浙江高考解析几何大题

浙江高考历年真题之解析几何大题

1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．

解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22

2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，

则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2

222

224

a a a c c a a

b

c ?-=-???

=??=+???

由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22

1.43

x y +=故椭圆方程为

(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102

F PF PF M π

<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =

+，直线2PF 的斜率0

21

y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1

y k k F PF k k m y m y m -∴∠=

=≤=

+-+-?- 2

01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±->

2、（2006年）如图，椭圆b

y a x 2

22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的

离心率e=

2

3

。 (Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。

解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为

12

x

y += 因为由题意得???

????+-==+1211

2222x y b y a x 有惟一解，

即0)4

1(22222

22

=-+-+

b a a x a x a b 有惟一解, 所以22

2

2

(44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442

2

-+b a =0; 又因为e 3

c =即

22234

a b a -= ， 所以2

2

4a b = ;从而得22

1

2,,2

a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c =

, 所以 1266((F F ，从而M （1+4

6

，0）

由 ??

???+-==+1

211222

2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T =

因为126tan 1-=

∠T AF ，又21

tan =∠TAM ，6

2tan =∠2TMF ，得 12

6

6

1

121

62

tan -=

+

-=

∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠

3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2

214

x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．

（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．

解析：（I ）设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，．

由2

214

x y +=，解得21,221x b =±-所以222121

||21112

S b x x b b b b =

-=-+-=，当且仅当22b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由22

14

y kx b

x y =+???+=??得222

(41)8440k x kbx b +++-=

2216(41)k b ?=-+ ①

｜AB 222

2

12216(41)

1|1241

k b k x x k

k -++-=+=+ ②

又因为O 到AB 的距离2

21||

1S

d AB k =

=

=+ 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得4

2

4410k k -+=，解得，2

213,22

k b ==， 代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是

2622y x =

+或2622y x =-或2622y x =-+或26

22

y x =--．

4、（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-

）和到直线8

5

-=y 距离相等的点的轨迹。 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥ 轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得

QA

QB

2

为常数。

解析：（Ⅰ）设()N x y ，为C

上的点，则||NP =

N 到直线5

8

y =-的距离为58y +．

58y =+．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+．

（Ⅱ）解法一：设22x x M x ??+ ???，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，

，从而||1|QB x =+．

在Rt QMA △中，因为222||(1)14x QM x ??=++ ???

，

2||MA

=所以22

2

2

2

2

(1)||||||(2)4(1)

x QA QM MA kx k +=-=++ . ||QA =

22||2(11

2||||QB k x QA k x k

++=+g ．

当2k =时，2

||||

QB QA =l 方程为220x y -+=．

解法二：设2

2x x M x ??

+ ???

，

，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而 ||1|QB x =+．过(10)-，垂直于l 的直线11

:(1)l y x k =-+．因为||||QA MH =，所以||QA = 22||2(112||||QB k x QA k x k

++=+g ．当2k =时，2

||||QB QA =l 方程为220x y -+=．

5、（2009年）已知椭圆1C ：22

221(0)y x a b a b

+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的

焦点且垂直长轴的弦长为1． （I ）求椭圆1C 的方程；

（II ）设点P 在抛物线2C ：2

()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于 点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．

x

l

l

解析：（Ⅰ）解：由题意，得2121b b a

=??

?=??，

·．从而21a b =??=?，．

因此，所求的椭圆方程为2

214

y x +=． （Ⅱ）解：如图，设2

1122()()()M x y N x y P t t h +，，，，，，

则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为|2x t y t ='=． 直线MN 的方程为：2

2y tx t h =-+．

将上式代入椭圆1C 的方程中，得222

4(2)40x tx t h +-+-=． 即22222

4(1)4()()40t x t t h x t h +--+--=． ① 因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，

所以①式中的422

116[2(2)4]0t h t h ?=-++-+>． ②

设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()

22(1)

x x t t h x t +-==+． 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412

t x +=

． 由题意，得34x x =，即2

(1)10t h t +++=． ③

由③式中的2

2(1)40h ?=+-≥，得1h ≥，或3h -≤．

当3h -≤时，2

2040h h +<-<，

． 则不等式②不成立，所以1h ≥．

当1h =时，代入方程③得1t =-，将11h t ==-，代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1．

6、（2010年）已知1>m ，直线,02:2

=--m my x l 椭圆 21222

,,1:F F y m

x C =+ 分别为椭圆C 的左、右焦点.

（I ）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；

（II ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，21F AF ?，21F BF ?的重心分 别为G ，H.若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.

O

x

y

A

P M

N

解析：（Ⅰ）解：因为直线2:02m l x my --=经过2

2(1,0)F m -2221,22

m m m -==得

又因为 1.m >所以 2.m =

故直线l 的方程为210.x -=

（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，

由2

222,21

m x my x y m ?=+????+=??消去x 得：22

2104m y my +++=

则由2

2

28(1)804

m m m ?=--=-+>，知28m <

且有212121

,.282

m m y y y y +=-=

-由于12(,0),(,0)F c F c -故O 为F 1F 2的中点，

由2,2AG GO BH HO ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，可知2112(,),(,)3333x y y x G H ;222

1212()()||.99

x x y y GH --=

+

设M 是GH 的中点，则1212(

,)66

x x y y M ++; 由题意可知，2||||MO GH <

好22

2212121212()()4[()()]6699

x x y y x x y y ++--+<+; 即12120.x x y y +< 而2212121212()()22

m m x x y y my my y y +=+

++22

1(1)(),82m m =+-所以210.82m -<即2 4.m < 又因为10.m >?>且所以1 2.m <<所以m 的取值范围是（1，2）。

7、（2011年）已知抛物线1:C 2

x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M 。

（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.

解析：

8、（2012年）如图，椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的离心率为

1

2

，其左焦点到点Ｐ（２,１）的距离为10，不过原

．．．

点．Ｏ的直线l与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且线段ＡＢ被直线ＯＰ平分。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△ABP面积取最大值时直线l的方程。解析：