《复变函数》总结

复变小结

1.幅角（不赞成死记，学会分析）

.2

argtg 2

0,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg πππππ<<-⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2 2. 求根：

由z=θi e =r(cos θ+isin θ)得

z n =e in θ=r n (cosn θ+isinn θ) 当r=1时，

)sin (cos θθi n +=)sin (cos θθn i n + （*1） 当z w n =

w=

（*2） z arg =θ 例： 可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解 3.复函数：

a. 一般情况下：w=f(z),

直接将z=x+iy 代换求解

但遇到特殊情况时：如课本P12例1.13（3）可考虑： z=θi e =r(cos θ+isin θ)代换。

)

2

22cos sin 0,1,2,,1k k n n k i n i k n θπθπθπ

+++==+=-求方根公式(牢记!):

其中。

10

(sin cos )55i ππ+

b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式:

(向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA

c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。

d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8

4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程

a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。

b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）

c.指数函数:复数转换成三角的定义。

d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π)

e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln)

能够区分： 的计算。

f.三角函数和双曲函数：

只需记住：

及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到

11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9)

5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz

iz iz iz ---=+=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos

a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。（勿乱用）

例如: ⎰c zdz 与路径无关。而dz z c

⎰与路径有关。

b.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C 为边界的有界区域D 内解析且在闭区域上连续时：

重要公式

c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：

d.调和函数：

一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。

6.级数 ⎩⎨⎧≠==-⎰=-+.0,0,0,π2)(d ||100n n i z z z

r z z n ()d 0

C f z z =⎰)17.3(.d )(π21)(00⎰-=

C z z z z f i z f ()010!()()d (3.20)2π()1,2,n n C n f z f z z i z z n +=-=⎰。

22(,)0

x y x y ϕϕϕ∂∂+=∂∂22调和:

a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。

b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。

c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数）

d.泰勒级数： 五个重要初等函数展开式：

其余可由式：

.1||,)1(1112<+-+-+-=+z z z z z

n n 直接推导。（注意各展开式的[z]取值范围）

e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含Z 的负次数方幂。泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。（即当洛朗展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式）

f.零点，奇点，极点

零点:即使得函数f(z)=0的点。

.,2,1,0),(!1,)()(0)(00 ==-=∑∞

=n z f n c z z c z f n n n n n 其中成立)8.4(.!!21e 2 +++++=n z z z n z )11.4()!

2()1(!4!21cos )10.4()!12()1(!5!3sin 2421253 +-+-+-=++-+-+-=+n z z z z n z z z z z n n n n

奇点：即使得函数f(z)无意义的点。（P82定理4.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）

奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。

可去奇点：即洛朗展开式中不存在Z 的负次数方幂。 本性奇点：即展开式中存在Z 的负无穷次方幂。

一般奇点：即展开式中存在Z 的有限次负次数方幂。 极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。

极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。

（奇点容易判断，极点可借助P83定理4.19判断同时可以学会判断是几阶极点，对于第五章中求留数有用）

P84定理4.22：极点和零点的关系。

7.留数

a.留数定理： 利用课本P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数 （没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）

b.利用留数定理求积分： 有些情况下利用留数和定理：

更便于求解

特殊转换：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Res ]),(Res[2z z f z f c.用留数计算实积分：

01

Res[(),]()d (5.3)

2C f z z f z z i π=⎰)7.5(.]),(Res[π2d )(

1∑⎰==n

k k C z z f i z z f .0d )(π21d )(π21

]),(Res[]),(Res[1=+=+∞⎰⎰∑-=C C n

k k z z f i z z f i z z f z f ⎰π20d )sin ,(cos θ

θθR