《复变函数》总结
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
复变函数总结
若函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 处 可导,则其导数公式:
定理2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
26
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
i
cos
, 3
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
因为
z1
cos
3
i sin
3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
所以
z1
z2
cos
3
6
i sin
3
6
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
19
例 计算 3 1 i 的值.
解 因为 n 1 所以 1 2 n1 1 n 0. 1
8
例
设
z1
5 5i,
z2
3 4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
复变函数小结
《复变函数》 小结第一章一、复数基本概念及其运算1. 复数：z x yi =+，i =（2）共轭复数：z x i y =-，记作：z 。
性质：z z =； 1212z z z z =；“”可以是：“,,,+-⨯÷”()()2222Re Im z z z z x y ⋅=+=+；Re 2z z x z +==，Im 2z zy z -== （3）复数的模、主辐角arg (,]z ππ∈-、辐角z =()()()arctan 0,arctan 0,0arg arctan 0,020,020,0y x x y y x x y z y x x y x y x y ππππ⎧>∀⎪+<≥⎪⎪=-<<⎨⎪=>⎪⎪-=<⎩一四象限二象限三象限正虚轴负虚轴rg arg 2A z z k π=+2. 复数的表示代数表示：复数z x i y =+11-←−→向量(,)x y 11-←−→点z ；三角表示： cos sin z r i r θθ=+(cos sin )r i θθ=+ 指数表示：(cos sin )z r i θθ=+i r e θ=.注：r 是z 的模，θ是z 的任意一个辐角。
3. 复数的运算四则运算：设有111z x i y =+，222z x i y =+两个复数：121212()z z x x i y y ±=±+±； 1212121221()()z z x x y y i x y x y ⋅=-++； 12z z z =； 乘幂与方根（利用指数表示、三角表示）设有复数i z r e θ=，则()ni nn in z re r eθθ==;21k i n n n k w r eθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭== （0,1,21k n =-）Note ：① 1212||||z z z z ⋅=⋅；1212Arg ()Arg Arg z z z z ⋅=+；②1122||||z z z z =；1122Arg Arg Arg z z z z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 三、复变函数及其运算 1. 复变函数：()w f z =。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，即复数域上的函数，是数学中重要的研究领域之一。
在复变函数的研究过程中，人们发现了许多有趣且重要的性质和定理。
本文将对复变函数的一些基本概念、性质以及常见定理进行总结，并探讨它们的应用。
一、复数的基本概念复数是由实部和虚部构成的，以形如a + bi的形式表示，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数域上的运算包括加法、减法、乘法和除法。
二、复变函数的定义与性质复变函数可看作是以复数为定义域和值域的函数。
复变函数的导数概念在复数域上进行推广，被称为复导数。
复导数的定义如下：设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是定义在某区域上的复变函数，若当点z在该区域内变动时，极限f'(z_0)=lim(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)在极限存在时，则称f(z)在z_0处可导。
复变函数的可导性与解析性密切相关。
如果一个函数在某区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
解析函数具有许多重要的性质，如可导函数的连续性和可微性。
三、柯西-黎曼方程与调和函数柯西-黎曼方程是解析函数的一个重要条件，其表达式为：∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂x其中u(x, y)为解析函数的实部，v(x, y)为解析函数的虚部。
柯西-黎曼方程表明，解析函数的实部与虚部之间存在一定的关系。
调和函数是满足柯西-黎曼方程的实函数，它在物理学和工程学中应用广泛。
调和函数具有许多有趣的性质，如最大值原理和平均值性质。
四、复变函数的积分与实变函数类似，复变函数也存在积分的概念。
复积分常用路径积分表示，即沿着某条曲线对函数进行积分。
路径积分与路径有关，沿不同路径积分的结果可能不同。
当沿闭合路径进行积分时，根据柯西积分定理可知，对于解析函数来说，积分结果为0。
这是柯西积分定理的基本形式。
另外，在某些情况下，复积分可通过取局部极值来求解，这一方法称为留数法。
留数法是复变函数积分的一个重要工具，在计算复积分中发挥着重要的作用。
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复变小结
1.幅角（不赞成死记，学会分析）
.2
argtg 2
0,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg πππππ<<-⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏<arg z ≤∏
Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2 2. 求根：
由z=θi e =r(cos θ+isin θ)得
z n =e in θ=r n (cosn θ+isinn θ) 当r=1时，
)sin (cos θθi n +=)sin (cos θθn i n + （*1） 当z w n =
w=
（*2） z arg =θ 例： 可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解 3.复函数：
a. 一般情况下：w=f(z),
直接将z=x+iy 代换求解
但遇到特殊情况时：如课本P12例1.13（3）可考虑： z=θi e =r(cos θ+isin θ)代换。
)
2
22cos sin 0,1,2,,1k k n n k i n i k n θπθπθπ
+++==+=-求方根公式(牢记!):
其中。
10
(sin cos )55i ππ+
b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式:
(向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA
c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。
d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8
4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程
a.在某个区域内可导与解析是等价的。
但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。
b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）
c.指数函数:复数转换成三角的定义。
d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π)
e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln)
能够区分： 的计算。
f.三角函数和双曲函数：
只需记住：
及 其他可自己试着去推导一下。
反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到
11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9)
5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz
iz iz iz ---=+=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos
a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。
（勿乱用）
例如: ⎰c zdz 与路径无关。
而dz z c
⎰与路径有关。
b.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C 为边界的有界区域D 内解析且在闭区域上连续时：
重要公式
c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：
d.调和函数：
一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。
6.级数 ⎩⎨⎧≠==-⎰=-+.0,0,0,π2)(d ||100n n i z z z
r z z n ()d 0
C f z z =⎰)17.3(.d )(π21)(00⎰-=
C z z z z f i z f ()010!()()d (3.20)2π()1,2,n n C n f z f z z i z z n +=-=⎰。
22(,)0
x y x y ϕϕϕ∂∂+=∂∂22调和:
a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。
b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。
c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。
（方法同于高数级数）
d.泰勒级数： 五个重要初等函数展开式：
其余可由式：
.1||,)1(1112<+-+-+-=+z z z z z
n n 直接推导。
（注意各展开式的[z]取值范围）
e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含Z 的负次数方幂。
泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。
（即当洛朗展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式）
f.零点，奇点，极点
零点:即使得函数f(z)=0的点。
.,2,1,0),(!1,)()(0)(00 ==-=∑∞
=n z f n c z z c z f n n n n n 其中成立)8.4(.!!21e 2 +++++=n z z z n z )11.4()!
2()1(!4!21cos )10.4()!12()1(!5!3sin 2421253 +-+-+-=++-+-+-=+n z z z z n z z z z z n n n n
奇点：即使得函数f(z)无意义的点。
（P82定理4.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）
奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。
可去奇点：即洛朗展开式中不存在Z 的负次数方幂。
本性奇点：即展开式中存在Z 的负无穷次方幂。
一般奇点：即展开式中存在Z 的有限次负次数方幂。
极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。
极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。
（奇点容易判断，极点可借助P83定理4.19判断同时可以学会判断是几阶极点，对于第五章中求留数有用）
P84定理4.22：极点和零点的关系。
7.留数
a.留数定理： 利用课本P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数 （没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）
b.利用留数定理求积分： 有些情况下利用留数和定理：
更便于求解
特殊转换：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Res ]),(Res[2z z f z f c.用留数计算实积分：
01
Res[(),]()d (5.3)
2C f z z f z z i π=⎰)7.5(.]),(Res[π2d )(
1∑⎰==n
k k C z z f i z z f .0d )(π21d )(π21
]),(Res[]),(Res[1=+=+∞⎰⎰∑-=C C n
k k z z f i z z f i z z f z f ⎰π20d )sin ,(cos θ
θθR
形如：的积分，一般令z=θi e
使用条件：R(x,y)变量x，y的有理函数，并且在单位圆上分母不为零。
形如⎰+∞∞
-
x
x
R d)
(
的积分
使用条件：函数R(x)是x的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
形如：
dx
x
f
e ix)(
⎰+∞
∞
-
的积分
使用条件:其中f(z)在Imz≥0内除可能有有限各孤立奇点外处处解析，并且当z在Imz≥0上时P104引理5.3中（5.15）式成立。
（具体理解大家可参考课本中的例题）
老师所给划题目：P22-例、P26-例、P33-3
P26-例、P33-1 P55-7（1、2）、相关例子P46-例、P47例、P55-8
P88-11（1-6）P79-80例、P89-16（2、5）P90-18（1、2、3）
P113-5、相关例子P97例、P113-6（1-5）P114-8、相关例子
以上基本上是理论的东西。
有些东西仅为个人理解，如有问题可提出来。
例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。
里面全部附有答案（如果找不到的可找我要）。
复变看书是作用不是很大，大家还是多做做题练习一下，效果会更好。