本科复变函数考试作业2参考答案

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本科《复变函数》考试作业参考答案

单项选择题：以下各题只有一个正确答案，请将它选择出来（4分/题）。

1. ( 1 + i )10 = ( C )。

A. 1024B. 1024iC. 32iD. 322. 若函数13)(+=z zz f ，则其导数等于 ( D )。

A.()2133+z zB.()213+z zC.()21312++z z D.()2131+z3. 以下函数中，只有( D) 不是全复平面上解析的函数。

A. e z B. cos z C. z 3 D. Ln z4. 对于复积分⎰cdz z f )(，若曲线C 的参数方程为z (t ) = x (t ) + i y (t ) (a ≤ t ≤ b ) ，则此复积分可化为如下( B)中的普通定积分。

A. ⎰badt t z t z f )())(( B.⎰'badt t z t z f )())((C.⎰badt t z t f )()(D.⎰'badt t z t f )()(5. 复积分⎰==-2z dz iz z( C )。

A. –2πiB. 2πiC. –2πD. 2π6. 复积分⎰==-1212z dz z z (D )。

A. 4πiB. 2πiC. πiD. 07. 下列序列中，存在极限的是( A )。

A. n n n i n n z !=B. n i z n n 1+=C. nn z z z ⎪⎭⎫ ⎝⎛= D. i z n n 2=8. 下列级数中，绝对收敛的是( B)。

A. ()∑∞=+01n ni B.∑∞=1!n nn i C. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+021n n n i D.∑∞=1n nni9. 下列幂级数中，收敛半径不等于1的是(D )。

A.∑∞=-11n n zn B.∑∞=1n nn z C.∑∞=-1)1(n nnz D. nn n z n ∑∞=-1!)1(10. 以下说法中，正确的是(A )。

A. 函数在一点解析的充分必要条件是它在这点的邻域内可以展开为幂级数B. 求幂级数收敛半径的方法有比值法、根值法和代换法C. 收敛幂级数的和函数不一定是解析函数D. 洛朗级数不包含负次幂项，而泰勒级数包含负次幂项11. 若|z | < 1，则=++++ 321z z z ( C)。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数参考答案(1-8章)

复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、(1)设23412i z i +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则z = 5 ，辐角主值为4arctan()3π−。

(2)设55(1)1(1)1i z i −−=++，则其实部为125−，虚部为3225−。

提示：本题注意到2(1)2i i −=−，2(1)2i i +=。

则52225222(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。

(3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转23π时对应的复数为1i +，则原复数为1122−+−+。

提示：本题相当于解23111(1)()(1)2222i z ei i i i π−−+−=+=−−+=+。

(4)设1z =2z i =−，则12z z 的指数式i122e π，12zz 的三角式为 155[cos sin 21212i ππ+。

(5)2122lim1z zz z z z →+−−=−32。

提示：211122(2)(1)23limlim lim 1(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。

(6)设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π−=，那么z=1−+。

提示：（利用复数的几何意义）向量2z −与向量2z +夹角为5632πππ−=，在复平面上，代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2化）。

连接0，2z +，2z −的三角形为Rt Δ。

因此推出向量2z =，2arg 3z π=，即1z =−+。

本题也可以利用代数法来做。

2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式，并求z 的辐角主值。

复变函数—课后答案习题二解答

⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ 2 | f (z ) |⎟ ⎜ | f (z ) | ⎟ + ⎜ ⎜ ⎟ =| f ' (z ) | ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2 2
证
| f (z ) |= u 2 + v 2 ，于是
2
∂ | f (z ) |= ∂x
u
∂u ∂v ∂v ∂u u +v +v ∂ ∂ y ∂ y ∂x ， ∂x | f (z ) |= 2 2 2 2 ∂y u +v u +v
在 z 平面上处处连续，且在整个复平面 u,v 才满足 C-R 条件，故 f ( z ) = sin xchy + i cos xshy 在 z 平面处处可导，在 z 平面处处不解析。 3．指出下列函数 f ( z ) 的解析性区域，并求出其导数。 1） ( z − 1) ；
5
（2） z + 2iz ；
3
解
（1）若 f (z ) 恒取实值，则 v = 0 ，又根据 f (z ) 在区域 D 内解析，知 C-R 条件成立，于是
∂u ∂v ∂u ∂v =− = = 0， =0 ∂x ∂y ∂y ∂x
故 u 在区域 D 内为一常数，记 u = C (实常数 ) ，则 f ( z ) = u + iv = C 为一常数。（2）若 f (z ) = u + iv = u − iv 在区域 D 内解析，则
2 2 ∂u ∂v ⎛ ∂v ⎞ ∂u ⎤ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂u ⎞ + 2uv⎜ − ⎟ ⎥ + v 2 ⎜ ⎟ + v 2 ⎜ ⎟ + 2uv ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎥ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎦
= =

复变函数第二章答案

32页9. 设
f ( z ) u iv 是Z的解析函数，证明 2 | f ( z ) | )2 | f ( z )|2 (1) ( | f ( z ) | ) ( y x 证 | f ( z ) | u2 v 2 2u ux 2v v x u ux v v x | f (z) | x u2 v 2 2 u2 v 2 2u u y 2v v y u v x v ux | f (z) | 2 2 y 2 u v u2 v 2
z 0 时 ux v y , u y v x
因此 f ( z ) 在除去原点的复平面上处处可导处处解析
(4) 解
u y 1, 0, v y 0, ux 由 u y v x 得 f ( z ) Im z
f ( z ) Im z y v 0 u y,
33页16. 计算
3
i
Ln 3 ln 3 i 2k
解
3 e
iБайду номын сангаас
i Ln 3
e
2k [cos(ln 3) i sin(ln 3)]
k 0, 1, 2,...,
e
2k i ln 3
计算
解
(1 i ) i Ln(1 i ) i (1 i ) e
i
e

ln 2 ( 2k ) i 2 4
ln 2 ln 2 4 i sin ) (cos e 2 2 i 1 4) ln 2 i ( 2k ) Ln( 1 i ) Ln( 2 e
2 4
(
2k )
满足 u y v x f ( z ) x 2 iy 只有在直线 2 x 1 上可导因此在复平面上处处不解析 2 2 (2) f ( z ) xy ix y 2 v x2 y 解 u xy , 2 由 ux v y 得 x y ux y , v y x 2 u y 2 xy , v x 2xy 由 u y v x 得 xy 0

临沂大学成人教育复变函数2期末考试复习题及参考答案

A、 2
4、的收敛半径为（）（2.0）
B、 C、 0 D、正确答案： A 解析：
5、积分
A、 B、 C、 D、正确答案： C 解析：
（）（2.0）
6、
()
（2.0） A、 B、 C、 D、正确答案： C 解析：
7、实积分
A、
（）（2.0）
B、
C、
D、正确答案： D 解析：
8、级数
（2.0） A、收敛 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、发散正确答案： D 解析：
（）
9、
复数
的指数形式为（）
（2.0） A、 B、 C、
D、正确答案：面上的解析函数
（2.0） A、 B、 C、 D、正确答案： D 解析：
11、柯西-黎曼方程是函数解析的（）（2.0）
A、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、非充分非必要条件正确答案： B 解析：
复变函数(2)
一、单选题（共 50 题，100 分）
1、下列不等式正确的是（）（2.0）
A、 B、 C、 D、正确答案： D 解析：
2、设
（2.0） A、 B、 C、 D、正确答案： A 解析：
，则其导数
（）
3、函数
在
A、
B、 C、 D、正确答案： A
内的洛朗展式为（）（2.0）
解析：
33、是函数
（2.0） A、 2 B、 3 C、 5 D、 6 正确答案： D 解析：
（）的（）阶零点
34、设解析函数以（）
为实部，且满足
，则
（2.0） A、 B、 C、 D、
正确答案： A 解析：

复变函数习题答案,南昌大学,单元练习部分

复变函数习题答案,南昌大学,单元练习部分复变函数部分习题解答分析作业卷（一）一判断题1.复数7+6i1+3i.×.两个复数,只有都是实数时,才可比较大小.2.若z为纯虚数,则z=z.√.按书上定义,纯虚数指yi,y=0,若z=yi,则z= yi.3.函数w=arg(z)在z= 3处不连续.√.当z从下方→ 3时,w=arg(z)的极限为π;当z从上方→ 3时,w=arg(z)的极限为π.4.f(z)=u+iv在z0=x0+iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在(x0,y0)点连续.√.Th1.4.3.5.参数方程z=t2+ti(t为实参数)所表示的曲线是抛物线y=x2.×.x=y2.二填空题1.若等式i(5 7i)=(x+i)(y i)成立,则x=分析:两复数相等的定义.x= 6,y= 1,2.方程Im(i z)=3表示的曲线是3.方程z3+27=0的根为4.复变函数w=z 2,y=.或x=1,y=6.分析:由复数相等,Im(i z)=Im[i (x iy)]=Im[ x+(1+y)i]=1+y=3,故填y=2.kππ+2kπ分析:z3=27eiπ,z=271/3(cos(π+2)+sin()),k=0,1,2,z= 3, 3±3√的实部u(x,y)=,虚部v(x,y)=x22,π.v(x,y)=.3y.分析:将z=x+iy代入,分离实部、虚部,得u(x,y)=5.设z1=2i,z2=1 i,则Arg(z1z2)=π分析:arg(z1)=π,arg(z2)= ,Arg(z1z2)=√6.复数z= 2i的三角表示式为i( π)5分析:4[cos( 5.π)+isin( π)],4e5ππ+2kπ=+2kπ,(k=0,±1,±2,).,指数表示式为三计算、证明题√1.求出复数z=( 1+i)4的模和辐角.√48πππ4解z=( 1+i)=24(cos2+isin2)=16ei,|z|=16,Arg(z)=2.设z=x+iy满足Re(z2+3)=4,求x与y的关系式.解Re(z2+4)=Re(x2 y2+3+2xyi)=4,x2 y2=1.3.求f(z)=解由w=112π+2kπ,k=0,±1,±2,.将平面上的直线y=1所映射成w平面上的曲线方程.1,x得z=+iy=uvi.v又由y=1得=1,u2+v2+v=0.π4.求角形域0arg(z)解arg(w)=arg(z),解将x=一判断题z+z,yπ而π在映射w=z下的象.arg(z)0,角形域0arg(z)在映射w=z下的象为πarg(w)0.5.将直线方程2x+3y=1化为复数形式.=z z3代入2x+3y=1并整理得(1 3z=1.i)z+(1+i)作业卷（二）1.若f′(z)在区域D内处处为零,则f(z)在D内必恒为常数.√.在D内f′(z)=ux+ivx≡0,ux=vx=0.从而vy=ux=0,uy= vx=0.综上结论成立.2.若u(x,y)和v(x,y)可导,则f(z)=u+iv也可导.×.若u(x,y)和v(x,y)可导,则u,v之间一般没有什么直接关系.f(z)=u+iv可导,u,v之间一个几乎完全确定另一个(活动的余地只是一个常数).3.若f(z)在z0点不解析,则f(z)在点z0必不可导.×.参见三2.4.|sinz|≤1.×.复变函数中,sinz无界.如|sinik|=|eiik iik|=|ek k|→+∞(k→+∞,k0).5.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z0=x0+iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)可微.×.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z0=x0+iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)可微且满足 C R条件.反例u=x,v= y.du=dx+0dy,dv=0dx dy,u,v都可微但f(z)=u+iv=x iy无处可微.6.函数ez是周期函数.√.2πi为其周期.二填空题1.设ez= 3+4i,则Re(iz)=分析：对z= 3+4i两边取自然对数，有z=Ln( 3+4i)=ln| 3+4i|+iarg( 3+4i)+2kπi,从4而Re(iz)=i[iarg( 3+4i)+2kπi]=arctan+(2k+1)π.(注：这里是从集合角度说)2.3i=分析：3i=eiLn3=ei[ln3+iarg(3)+2kπi]=ei[ln3+2kπi]=e2kπ(cosln3+isinln3).3.( 1+i)i=分析：(1+4.cos2i=分析：cos2i=5.方程eiz=ei2i+e i2ie2+e 2=e iz的解为z=i)i=eiLn(1+i)=ei[ln|1+i|+iarg(1+i)+2kπi]=ei[ln√iπ+2kπi]=e2kπ π(cosln√+isinln√=cosh2.(注：后两结果都可)分析：两边同乘以eiz,得e2iz=1.两边取自然对数，得2iz=Ln1=ln|1|+iarg(1)+2kπi=2kπi,z=kπ.6.设z=x+iy,则ei 2z的模为分析：|ei 2z|=|ei 2(x+iy)|=e 2x.7.函数f(z)=u+iv在z0=x0+iy0点连续是f(z)在该点解析的三计算、证明题y在域x0内是解析函数.1.问k取何值时，f(z)=kln(x2+y2)+iarctan 条件.分析：f(z)在该点解析,则f(z)在该点的某一个邻域内可导，在该点当然连续。

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单项选择题：
以下各题只有一个正确答案，请将它选择出来（4分/题）。

1. ( 1 + i )10 = ( C )。

A. 1024
B. 1024i
C. 32i
D. 32
2. 若函数1
3)(+=z z
z f ，则其导数等于 ( D )。

A. ()
2
133+z z
B.
()
2
13+z z
C.
()
2
131
2++z z D.
()
2
131
+z
3. 以下函数中，只有( D) 不是全复平面上解析的函数。

A. e z B. cos z C. z 3D. Ln z
4. 对于复积分
⎰
c
dz z f )(，若曲线C 的参数方程为z (t ) = x (t ) + iy (t ) (a ≤ t ≤ b ) ，则此复积分
可化为如下( B)中的普通定积分。

A. ⎰
b
a
dt t z t z f )())(( B.
⎰
'b
a
dt t z t z f )())(( C.
⎰
b
a
dt t z t f )()( D.
⎰
'b
a
dt t z t f )()(
5. 复积分
⎰==-2z dz i z z
( C )。

A. –2πi
B. 2πi
C. –2π
D. 2π 6. 复积分
⎰==-121
2z dz z z (D )。

A. 4πi
B. 2πi
C. πi
D. 0
7. 下列序列中，存在极限的是( A )。

A. n n n i n n z !=
B. n i z n
n 1+= C. n
n z z z ⎪⎭
⎫ ⎝⎛= D. i z n n 2=
8. 下列级数中，绝对收敛的是( B)。

A. ()
∑∞
=+0
1n n
i B.
∑
∞
=1
!n n
n i C. ∑
∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+0
2
1
n n n i D.
∑
∞
=1
n n
n
i
9. 下列幂级数中，收敛半径不等于1的是(D )。

A. ∑∞
=-1
1
n n z
n B.
∑
∞
=1
n n
n z C.
∑
∞
=-1
)1(n n
n
z D. n
n n z n ∑
∞
=-1
!
)1(
10. 以下说法中，正确的是(A )。

A. 函数在一点解析的充分必要条件是它在这点的邻域内可以展开为幂级数
B. 求幂级数收敛半径的方法有比值法、根值法和代换法
C. 收敛幂级数的和函数不一定是解析函数
D. 洛朗级数不包含负次幂项，而泰勒级数包含负次幂项
11. 若|z | < 1，则=++++ 3
21z z z ( C)。

A. z z -1
B. z z +1
C. z -11
D. z
+11
12. 函数cos(2z ) 在z = 0处的泰勒展开式为( B )。

A.
()+∞<+-+-=-∑
∞
=z z z z n z n n n
,
!
62!42!221!)2(216
40
22
B.
()
+∞<+-+-=-∑∞
=z z z z n z n n n
,!
664!416!241!)2()2(16
4022
C.
()+∞<+-+-=+-∑
∞
=+z z z z z n z n n n
,
!
72!52!322!)12(217
50312
D. ()+∞<+-+-=+-∑
∞
=+z z z z z n z n n n
,
!
7128!532!382!)12()2(17
50
312
13. 函数z
e z 12在圆环域0 < |z | < ∞ 内的洛朗展开式为( D )。

A.
,!
4!3!21!)2(2
+++=+∑
∞
=z z n z n n
B.
,!
4!3!21!)2(2
10
+++=+--∞
=-∑
z z n z n n
C.
,!
4!3!21!)2(22
1
2 +++++=+∑
∞
-=--z z z z n z n n
D.
,!
4!3!21!)2(212
2
+++++=+--∞
-=-∑
z z z z n z n n
14. 以下关于函数)2)(1(1
)(--=z z z f 的说法中，正确的是( C )。

A. 它在圆环域0 < |z | < 1内的展开式是
∑
∞
=+0
12n n n z
B. 它在圆环域0 < |z | < 1内的展开式是
∑
∑
∞
=∞
=+--
1
1
12
n n n n n
z z
C. 它在圆环域0 < |z – 1| < 1内的展开式是∑∞
=---
1
)
1(n n z
D. 它在圆环域0 < |z – 1| < 1内的展开式是∑
∞
=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0
2
11n n z
15. 将函数)0,(1
)(≠+=
b a b
z a z f 在z = 0处进行泰勒展开，则收敛区域为 ( B)。

A. |z | < |a /b | B. |z | < |b /a | C. |z | > |a /b | D. |z | > |b /a |
16. 以下说法中不正确的是( B )。

A. 一个不恒为零的解析函数的奇点是孤立的
B. 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的
C. 函数在其可去奇点的留数等于零
D. f (z )在其孤立奇点z 0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数就是f (z )在z 0的留数
17. 关于函数21
11sin
)(z
z z f +-=的孤立奇点，以下说法正确的是 ( D )。

A. z = 0是可去奇点 B. z = 0是单阶极点 C. z = 1是单阶极点 D. z = 1是本性奇点
18. 以下函数中，z = 0不是其二阶极点的是 ( C )。

A. 4cos 1z z -
B. 2
-z C. )
2(12
2++z z z D. 2)(sin z z
19. 留数=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-0,1Re z e s z (B )。

A. 1
B. 0
C. e
D. –1
20. 留数=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-2,)2)(2(Re 2
3
z z z s ( C)。

A. –1 B. –0.5 C. 0.5D. 1
21. 留数=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-2,)2)(2(Re 2
3
z z z s ( D )。

A. –3.5 B. 3.5 C. 2.5D. –2.5
22. 留数=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0,1sin
Re 2z z s ( A )。

A. –1/6 B. 1/3 C. –1/2D. 1/120
23. 函数w = i z 2在z = i 处的伸缩率为 (C )。

A. –2 B. 0 C. 2 D. 1
24. 下列映射中，能将z =1映射为w = ∞ 的分式线性映射是 ( B )。

A. z
w 1= B. 1-=z z
w C. z i w )1(+= D. i z i z w +-=22
25. 下列映射中，能将一、三象限的角平分线y = x 映射为虚轴的分式线性映射是 ( C )。

A. z
w 1= B. 1-=z z
w C. z i w )1(+= D. i z i z w +-=22。