2019-2020学年湖南省名校联盟高二12月联考数学试题答案
湖南省名校2020-2021学年高二上学期第二次联考(12月)数学试题含答案
湖南省教育联合体2020年高二12月联考数 学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,1,0,1,2-=-A ，{}220--=<x B x x ，则=AB ( )A.{}1,1-B.{}1,0,1-C.{}0,1D.{}0,1,22.已知函数()2=++f x ax x a ，命题0:∃∈p x R ，()00=f x ，若⌝p 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3.已知2log =a π，ln =b π，0.93-=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.<<a b cB.<<b a cC.<<c b aD.<<c a b4.在首项为1，公比不为1的等比数列{}n a 中，127=m a a a a ，则m 的值为( )A.20B.22C.24D.285.党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值(GDP )y (单位：万亿元)关于年份代号x 的回归方程为()ˆ 6.6050.361,2,3,4,5,6,7=+=yx x ，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值(单位：万元)约为( )A.13.58B.14.04C.14.50D.202.166.若双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的一条渐近线与函数()()ln 1=-+f x x 的图象相切，则该双曲线离心率为( )A.2B.3C.2D.57.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，直线80+-=ax cy 平分圆22640+--=x y x y 的周长，则△ABC 面积的最大值为( )A.32B.3C.332D.2338.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的.常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造.该技术在珠宝、鞋类、工业设计、建筑、工程和施工，汽车航空航天、牙科和医疗产业、教育、地理信息系统、土木工程、枪支以及其他领域都有所应用.某校组织学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上四个顶点在圆锥底面上)，圆锥的底面直径和高都等于()221cm +，打印所用原料密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(取 3.14≈π，参考数据：()32114.07+≈，()221 5.83+≈，精确到0.1)A.21.5gB.30.7gC.45.6gD.55.3g二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2019-2020高三理科数学12月特供卷(二)(湖南省名校联考)附解析 (2)
2019-2020高三理科数学12月特供卷（二）（湖南省名校联考）附解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，丙所得为（ ）A ．钱B ．1钱C ．钱D ．钱4．已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，均为单位向量，（ ）U =R {|(2)0}A x x x =-≤{1,0,1,2,3}B =-()U A Bðz ()1i 12i z -=+z 2343532()2cos f x x x =+()f x '()f x ()y f x '=a b +=a b ()()2+⋅-=a b a bA ．B ．C ．D ．6．内角，，的对边分别为，，，则“为锐角三角形”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在中，，，，则的面积为（ ）A ．B ．1 C8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位 9．设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 10．定义在R 上的奇函数满足，且当时，，则（ ）A ．B ．C ．D ．111．设函数，若关于x 的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．若，恒成立，则整数k 的最大值为（ ） 12-1232-32ABC △A B C a b c ABC △222a b c +>ABC △1AB =3AC =1AB BC ⋅=ABC △12()cos2sin 2π6f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()cos2g x x =π3π3π6π64log 3a =8log 6b =0.10.5c -=a b c >>b a c >>c a b >>c b a >>()f x (1)(1)f x f x +=-[0,1]x ∈()(32)f x x x =-29()2f =1-12-1221,0(),0x e x f x x ax x ⎧-≤=⎨->⎩()0f x m +=(0,1)m ∈(,2]-∞-[2,)+∞[2,2]-(,2][2,)-∞-+∞(0,)x ∀∈+∞1ln(1)1x kx x ++>+A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．由曲线与直线围成的封闭图形的面积为_______．14．已知向量，，且，则______．15．已知是偶函数，则__________． 16．已知数列的前项和为，，，则当取最大值时，的值为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．22y x x =-+y x =()2,sin α=a ()1,cos α=b ∥a b ()πsin πcos 2αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭()ln(e 1)(0)axf x bx b =+-≠ab={}n a n n S 132020a =()12,n n n a S S n n -=≥∈*N n S n {}n a n n S 519a =555S ={}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T18．（12分）在中，角所对的边分别为，．（1）求；（2）为边上一点，，，求．19．（12分）已知函数，，曲线在点处的切线方程为． （1）求与的值；（2）求的最大值及单调递增区间．ABC △,,A B C ,,a b c 222()2cos a b ac B bc -=+A D BC 3BD DC =π2DAB ∠=tan C ()()cos sin f x x x α=+0πα<<()y f x =()()0,0f 12y x b =+αb ()f x20．（12分）已知数列满足且． （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．{}n a 1n a >()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++{}n a 2log n n n b a a =⋅{}n b n n T21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．()2xf x e ax a =+++()f x 0x ≤()2f x ≥a22．（12分）已知函数，． （1）若有两个零点，求a 的取值范围；（2）设，，直线的斜率为k ，若恒成立，求a 的取值范围．()ln 1f x x ax =-+a ∈R ()f x 11(,())A x f x 22(,())B x f x AB 120x x k ++>理 科 数 学（二）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】，∴，∴子集个数为4． 故选B ． 2．【答案】C【解析】由，可得． 在复平面内对应的点为位于第三象限．故选C ． 3．【答案】B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a ，，，则由题意可知，，即， 又，∴，故选B ． 4．【答案】C【解析】因为，显然是奇函数， 又，所以在R 上单调递增．只有C 符合，故选C ． 5．【答案】B 【解析】，均为单位向量，且，(,0)(2,)U A =-∞+∞ð(){1,3}U A B =-ð()1i 12i z -=+12i (12i)(1i)13i 213i 1i 2222z ++++-====-+-13i 22z =--13(,)22--2a d -a d -a d +2a d +22a d a d a a d a d -+-=++++6a d =-2255a d a d a a d a d a -+-+++++==1a =()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-()f x '()22cos 0f x x ''=-≥()f x 'ab +a b，，则，故选B ． 6．【答案】A【解析】当为锐角三角形时，C 一定为锐角，此时成立， 当成立时，由余弦定理可得，即C 为锐角， 但此时形状不能确定，故为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，故选A ． 7．【答案】C【解析】因为， 解得，所以． 所以的面积为C ． 8．【答案】D【解析】函数 ， 故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选D ．9．【答案】D【解析】，， ∴，，故选D ． 10．【答案】A【解析】∵，，2232∴=+⋅+a a b b 12∴⋅=a b ()()221222+⋅-=-⋅-=a b a b a a b b ABC △222a b c +>222a b c +>cos 0C >ABC △ABC △222a b c +>2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=2cos 3A =sin 3A ==ABC △11sin 1322AB AC A ⋅⋅=⨯⨯=()1cos 2sin 2cos 2cos 2π2622f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22cos 22π3x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()cos2g x x =π6()f x 2log a =2log b =660-<1a b <<0.121c =>()()f x f x -=-()()11f x f x -=+∴，，，故选A ． 11．【答案】B【解析】因为关于x 的方程对任意的有三个不相等的实数根，所以当时，，有一根， 当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知，对任意的恒成立，所以，解得．故选B ． 12．【答案】C 【解析】恒成立，即恒成立， 即的最小值大于k ，，令，则，∴在上单调递增，又，，∴存在唯一实根a ，且满足，． 当时，，；当时，，， ∴，故整数k 的最大值为3．故选C ．(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-4T =29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-()0f x m +=(0,1)m ∈0x ≤(0,1)m ∀∈1x e m -=-0x >2x ax m -=-20240aΔa m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩(0,1)m ∈24a ≥2a ≥1ln(1)1x k x x ++>+(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>()h x 21ln(1)()x x h x x --+'=()1ln(1)(0)g x x x x =--+>()01xg x x '=>+()g x (0,)+∞(2)1ln30g =-<(3)22ln20g =->()0g x =(2,3)a ∈1ln(1)a a =++x a >()0g x >()0h x '>0x a <<()0g x <()0h x '<min (1)[1ln(1)]()()1(3,4)a a h x h a a a+++===+∈第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，， 如图：结合图像可知围成的封闭图形的面积为．14．【答案】【解析】向量，，且，所以．．由，所以．故答案为．15．【答案】2【解析】由， 得，∴，． 16(0,0)(1,1)1123200111(2)d ()326x x x x x x -+-=-+=⎰45()2,sin α=a ()1,cos α=b ∥a b 2cos sin αα=()2πsin πcos (sin )(sin )sin 2ααααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=24sin 5α=45()()f x f x =-1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax axaxax ax e e bx ebx bx e ax bx e-++-=++=+=+-+2ax bx =2ab=16．【答案】674【解析】由，可得．所以． 从而有：是以为首项，为公差的等差数列．所以，所以．当时，递增，且； 当时，递增，且．所以当时，取最大值，故答案为674．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设公差为，则，解得，∴．（2）， ∴． 18．【答案】（1）；（2【解析】（1）由已知条件和余弦定理得， ()12,n n n a S S n n -=≥∈*N ()112,n n n n S S S S n n ---=≥∈*N ()11112,n n n n S S --=-≥∈*N 1{}nS 1120203S =1-120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-120233n S n =-1674n ≤≤n S 0n S >675n ≤n S 0n S <674n =n S 41n a n =-()343nn +d 1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩134a d =⎧⎨=⎩()34141n a n n =+-=-()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+2π3222222222a c b a b ac bc ac+--=⋅+即，则， 又，． （2）在中，由正弦定理可得，① 在中，，② 由①②可得，即，化简可得19．【答案】（1），；（2）最大值，单调递增区间为，． 【解析】（1），，，，．（2）， 当，时，取得最大值． 由，得，， ∴的单调递增区间为，．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，由，得．当时，，222a b c bc --=2221cos 22b c a A bc +-==-0πA <<2π3A ∴=ABC △sin sin120c BCC =︒ABD Rt△()sin 30cCBD︒+=()sin 30sin C C ︒+=1cos 22sin C C C +=tan C =π3α=4b =125πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()()()()sin sin cos cos cos 2f x x x x x x ααα'=-+++=+()102f '=π3α=()04f =4b =()2111πsin cos sin 22sin 22244423f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ππ22π32x k +=+k ∈Z ()f x 12πππ2π22π232k x k -≤+≤+5πππ,π1212x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()f x 5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 2nn a =()1122n n T n +=-⋅+1n =()221log 1a =1n a >12a =2n ≥()()()()()2222122211log log log 1216n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=--∴，∴，∵也适合，∴． （2），∴，，两式相减得，∴．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），若，则，在上单调递增；若时，由，得；由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，，即，令，则，， 当时，，满足题意；当时，，∴在上递增，由与的图像可得在上不恒成立；当时，由，解得，当时，，单调递减；()()()()()22211log 12112166n a n n n n n n n =++---=2nn a =1n =2nn a =2nn b n =⋅1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-()1122n n T n +=-⋅+[]1,0-()x f x e a '=+0a ≥()0f x '>()f x R 0a <()0f x '>()ln x a >-()0f x '<()ln x a <-()f x ()(),ln a -∞-()()ln ,a -+∞0x ≤22x e ax a +++≥0x e ax a ++≥()xh x e ax a =++()00h ≥1a ≥-0a =()0xh x e =>0a >()'0xh x e a =+>()h x (],0-∞xy e =()1y a x =-+()0h x ≥(],0-∞10a -≤<()0xh x e a '=+=()ln x a =-()ln x a <-()0h x '<()h x当时，，单调递增．∴在上的最小值为，∴， 解得．综上可得实数的取值范围是． 22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），， ①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点；②当时，在区间上，；在区间上，．∴在是增函数，在是减函数，，解得，此时，且，∴在上有1个零点；， 令，则， ∴在上单调递增，∴，即，∴在上有1个零点．∴a 的取值范围是． （2）由题意得，∴， ∴在上是增函数，∴在上恒成立，∴， ()ln 0a x -<≤()0h x '>()h x ()h x (],0-∞()()ln h a -()()()ln ln 0h a a a -=-≥10a -≤<a []1,0-(0,1)(-∞1()f x a x'=-0x >0a ≤()0f x '>()f x (0,)+∞0a >1(0,)a ()0f x '>1(,)a +∞()0f x '<()f x 1(0,)a 1(,)a +∞11()ln 0f a a =>01a <<2211e e a a<<1()110a a f e e e =--+=-<()f x 11(,)e a 2222()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a =--+=--<<2()32ln e F a a a =--222222()0e e aF x a a a-'=-+=>()F a (0,1)2()()130F a F e <=-<22()0e f a<()f x 221(,)e a a (0,1)22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-2()ln m x x x ax =+-(0,)+∞1()20m x x a x '=+-≥(0,)+∞min 1(2)a x x≤+∵，∴时，即时，取等号，∴∴a 的取值范围是x >12x x +≥=12x x =2x =a ≤(-∞。
湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若函数()()2e x f x a x a =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e 【答案】A【解析】【分析】 令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e x x x g x -'=， 令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞，则()()00f x f ==极小值，()()242e f x f ==大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【详解】复数()133z i i i =+=-+，所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第二象限.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题.3．若复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．±1【答案】B【解析】【分析】 根据纯虚数的定义求解即可.【详解】因为复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数,故21010a a ⎧-=⎨+≠⎩ ,解得1a =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( )A ．假设三内角都大于060B ．假设三内角都不大于060C ．假设三内角至多有一个大于060D ．假设三内角至多有两个大于060【答案】B【解析】【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 5．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )A ．2000元B ．3200 元C ．1800元D ．2100元 【答案】D第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有151071050⨯⨯=注,故至少要花105022100⨯=,故选D.6．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据定义或取特殊值对曲线C 的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数.【详解】在曲线C 上任取一点(),x y ，该点关于x 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()24421x y x y +-=+=，则曲线C 关于x 轴对称，命题①正确；点(),x y 关于y 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()42421x y x y -+=+=，则曲线C 关于y 轴对称，命题②正确；点(),x y 关于原点的对称点的坐标为(),x y --，且()()42421x y x y -+-=+=，则曲线C 关于原点对称，命题③正确；在曲线C 上取点3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，该点关于直线y x =的对称点坐标为3,55⎛ ⎝⎭，由于243291525⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =对称，命题④错误；在曲线C 上取点35⎫⎪⎪⎝⎭，该点关于直线y x =-的对称点的坐标为3,5⎛- ⎝⎭，由于2432915525⎛⎛⎫-+-=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =-对称，命题⑤错误. 综上所述，正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】 由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ， 8．已知23log 4a =，342b =，343c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】【分析】 由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论.【详解】33044223log log 10,,12234a b c<==<<∴<<Q 故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 9．复数1()2i z a R ai+=∈-在复平面上对应的点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，然后确定实部与虚部的取值范围．【详解】21(1)(2)2(2)2(2)(2)4i i ai a a i z ai ai ai a +++-++===--++，2a >时，20,20a a -<+>，对应点在第二象限；2a <-时，20,20a a ->+<，对应点在第四象限；22a -<<时，20,20a a ->+>，对应点在第一象限．2a =或2a =-时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，就可以确定其对应点的坐标．10．命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（）A ．x R ∃∈，31x >-B ．x R ∀∈，31x ≤-C ．x R ∀∈，31x >-D ．x R ∀∈，31x ≥-【答案】C【解析】【分析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【详解】量词改为：x R ∀∈，结论改为：31x >-，则x R ∀∈，31x >-.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.11．执行如图所示的程序框图，若输出的18S =-，则输入的S =（ ）A ．-4B ．-7C ．-22D ．-32【答案】A【解析】【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝6时不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S 的值．【详解】解：由题意，模拟执行程序，可得i ＝2，满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1，i ＝3满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9，i ＝1满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16，i ＝5满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16﹣25，i ＝6不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S ＝﹣1．故选A ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S 的表达式是解题的关键，属于基础题．12．定积分22aa a x dx --⎰等于( ) A ．214a πB ．212a πC ．2a πD ．22a π【答案】B【解析】【分析】由定积分表示半个圆的面积，再由圆的面积公式可求结果。
三湘名校联盟高二12月联考数学答案
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湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考数学试卷(PDF版)
130
= =13,
13
∴a^=y^－b^ ¯x=31.2
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ^y=13x+31.2 .
令 x=7，得 ^y=13×7+31.2=122.2 （百万元）
所以预测该公司 2019Q3 的销售额为 122.2 百万元--------------------(12 分）
20.【答案】以 D 为原点，射线 DA，DC，DD1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直
→ 角坐标系．由已知得 B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)，BC1＝(－2，0,2)，
→
→
FP＝(－1,0，λ)，FE＝(1,1,0)．
→ (1)证明：当λ＝1 时，FP＝(－1,0,1)，
→ 因为BC1＝(－2,0,2)．
→→ 所以BC1＝2FP，可知 BC1∥FP，
19. 解：（I）从 5 个季度的数据中任选 2 个季度，这 2 个季度的销售额有 10 种情况：
（46,56), (46,67), (46,86), (46,96), (56,67) ,(56,86),(56,96),(67,86), (67,96), (86,96)
设‘这 2 个季度的销售额都超过 6 千万元’为事件 A，事件 A 包含（67,86），（67,96）（86,96），
D．105°
8.与圆 C : x2 y2 4x 0 外切，又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )
A. y2 8x
B. y2 8x(x 0) 和 y 0
C. y2 8x(x 0)
D. y2 8x(x 0) 和 y 0(x 0)
9．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆 由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相 生相克的关系.若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相生的概率为（ ）
2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≤，{}21xB x =<，则（ ） A ．{}0A B x x ⋂=< B ．A B R =U C ．{}1A B x x ⋃=> D ．{}1A B x x ⋂=≤【答案】A【解析】求出集合B ，然后利用交集和并集的定义判断各选项中集合运算的正误. 【详解】解不等式0212x <=，得0x <，{}0B x x ∴=<， 所以{}0A B x x ⋂=<，{}1A B x x ⋃=≤. 故选：A. 【点睛】本题考查集合交集和并集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．已知函数()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()21f f =⎡⎤⎣⎦，则a =（ ） A ．2- B ．7-C ．1D ．5【答案】B【解析】先计算出()23f =-，然后得出()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦，即可求出实数a 的值. 【详解】()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩Q ，()21233f -∴=-=-，则()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦，得92a +=，解得7a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.3．已知曲线()321f x ax x =-+在1x =处的切线的倾斜角为4π，则a =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．3【答案】B【解析】由题意得出()1tan 14f π'==，利用导数运算可求出实数a 的值.【详解】()321f x ax x =-+Q ，()232f x ax '∴=-，又()1tan14f π'==，故321a -=，得1a =． 故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，涉及了直线的倾斜角与斜率，考查计算能力，属于基础题. 4．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A ．14π-B ．4π C ．16π-D ．6π 【答案】A【解析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.5．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且7925a a =+，则9S 的值为（ ） A ．9 B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差中项的性质得出7592a a a =+，可得出5a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可计算出9S 的值. 【详解】759925a a a a =+=+Q ，55a ∴=，因此，()199599452a a S a +===. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列求和，充分利用等差中项的性质计算可将问题简化，考查计算能力，属于中等题.6．已知曲线1:sin 24C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2:cos C y x =，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是（ ）A ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位 B ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位 C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位 D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8π个单位 【答案】D【解析】将曲线2C 的解析式化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用三角函数图象变换规律可得出结论. 【详解】曲线2C 化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象上每点向右平移8π个单位，可得到函数sin 2sin 2824y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即曲线1C . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，在变换时要保证两个函数名称要一致，结合三角函数图象变换原则来解决问题，考查推理能力，属于中等题.7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为25m 时，水位下降了（ ）mA ．5B ．2C ．1D ．12【答案】D【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，根据题意得出点()2,2A -在抛物线上，可求出a的值，并设拱顶高于水面m h ，可知点)5,h -在抛物线上，代入抛物线方程可解出h的值，由此可得出水面下降的高度. 【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，点()2,2A -在抛物线上，得2a =-，抛物线方程为22x y =-，当水面宽为25m h ，由点)5,h -在抛物线上，得52h =， 故水面下降了12m . 故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AM AN ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为（ ） A ．22B 2C 3D 3【答案】B【解析】由题意得知AMN ∆为等腰直角三角形，可得出点A 2，2222b a =+，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为()20c c >，离心率为c e a=， 由题意，圆A 为()222x a y b -+=，与渐近线by x a=交于M 、N 两点， 由0AM AN ⋅=uuu r uuu r 知90MAN ∠=o ，故圆心A 2，221b a b ca ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2b e =，解得2e =故选：B 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，分析三角形的几何性质是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．已知圆()22:22C x y -+=，点P 在直线20x y ++=上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A 3B ．22C ．23D ．4【答案】C【解析】由题意得出四边形PACB 的面积为22PAC S S ∆==，由勾股定理知，当PC 取最小值时，切线长PA 取最小值，利用圆心到直线l 的距离作为PC 的最小值，并利用勾股定理求出PA 的最小值，从而可得出四边形PACB 的面积S 的最小值. 【详解】如图，四边形PACB 的面积为22PAC S S PA ∆==，故当PA 最小时，S 有最小值， 记圆心到直线距离22d =22PC ≥226PA PC CA =-≥2623S ∴≥=故选：C.【点睛】本题考查与圆的切线相关的四边形面积的计算，涉及切线长的计算，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题. 10．若两个正实数x 、y 满足411x y +=，对这样的x 、y ，不等式234xy m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4-B ．()4,1-C ．()(),41,-∞-+∞UD ．()(),14,-∞-+∞U【答案】A 【解析】将代数式41x y +与4x y +相乘，展开后利用基本不等式求出4xy +的最小值为4，由题意得出234m m -<，解此不等式即可.【详解】 由基本不等式得4142224444x x y x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x y =时，等号成立，则4xy +的最小值为4.由题意可得234m m -<，即2340m m --<，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，考查了基本不等式中“1”的妙用，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF =u u u r u u u r，则MFK ∆的面积为（ ）A．23B．433C．2D．22【答案】A【解析】由3PF MF=u u u r u u u r可计算出点M的坐标，再利用三角形的面积公式可计算出MFK∆的面积.【详解】如下图，设点M的坐标为()00,x y，抛物线C的准线方程为1x=-，可设点()1,P p-，抛物线C的焦点为()1,0F，且抛物线的准线与x轴交于点()1,0K-，3PF MF=u u u r u u u rQ，即()()002,31,p x y-=--，()0312x∴-=，解得13x=，200443y x==，233y∴=，因此，MFK∆的面积为123232233MFKS=⨯⨯=△.故选：A.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积计算，同时也考查了利用向量共线求点的坐标，考查计算能力，属于中等题.12．已知函数()()()10log0ax xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x是偶函数，且()()2g x g x+=，当[]0,1x∈时，()21xg x=-，若函数()()y f x g x=-恰好有6个零点，则a的取值范围是（）A．()5,+∞B．()5,6C．()4,6D．()5,7【答案】D【解析】作出函数()y g x=与函数()y f x=的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点， 故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知函数()()21xf x xf e '=-，则()1f '=______．【答案】e【解析】对函数()y f x =求导，然后令1x =，可解出()1f '的值. 【详解】由()()21xf x f e ''=- 令1x =有()()()1211f f e f e '''=-⇒=.故答案为：e 【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.14．已知数列{}n a 满足()21*1232222nn na a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =______． 【答案】6364【解析】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，利用111,12,2n nn n T n a T T n --=⎧=⎨-≥⎩求出12n n a =，然后利用等比数列的求和公式可求出6S 的值. 【详解】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=， 则()221123112222n n n n T a a a a a n ----=+++⋅⋅⋅+=≥两式相减得()1112222n n n n a a n -=⇒=≥，由112a =也适合上式，有12n n a =，故661631264S =-=. 故答案为：6364. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.15．一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为1，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______．【答案】9π【解析】作出正四棱锥的实物图，找出球心的位置，并设其外接球的半径为R ，根据勾股定理列关于R 的等式，求出R 的值，再利用球体的表面积公式可计算出该几何体外接球的表面积. 【详解】几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，设该正四棱锥的外接球球心为O ，则球心O 在AC 上（A 为底面正方形的中心，C 正四棱锥的顶点），在Rt OAB ∆中，2OA CA OC R =-=-，由勾股定理得222OA AB OB +=，即()22222R R -+=，解得32R =，故四棱锥外接球的表面积为249S R ππ==. 故答案为：9π.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了利用三视图还原几何体，以及正四棱锥的外接球，找出球心的位置，并利用几何特征建立等式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.16．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过()*2k k N ∈次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．【答案】()2a m -【解析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过()2k k N *∈次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.【详解】由已知，如图光线从1F 出发，若先经过双曲线上一点B 反射，则反射光线相当于光线从2F 设出经过点B 再到达椭圆上一点A 反射回到1F ；同理，若先出发经过椭圆上一点A 反射，则光线沿着直线2AF 方向到达双曲线上一点B 反射后回到1F ，则可知，光线从1F 出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回1F ，则讨论光线反射两次后返回1F 的过程如图，212AF m AF =+，()11211122222BF BA AF a AF AF a m AF AF a m ++=-+=-++=-所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为()2a m - 故答案为：()2a m -【点睛】本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知命题:p 方程22121x y m m -=+-表示双曲线，命题:q x R ∀∈，210mx mx ++>．（1）写出命题q 的否定“q ⌝”；（2）若命题“p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]0,1.【解析】（1）根据全称命题的否定可得出命题q ⌝；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，并求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由题意可知命题p 为假命题，命题q 为真命题，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知0:q x R ⌝∃∈，20010mx mx ++≤，（或写为：x R ∃∈，210mx mx ++≤）； （2）若命题p 为真命题，由()()2102m m m +->⇒<-或1m >. 若命题q 为真命题，则x R ∀∈，210mx mx ++>. 若0m =，化为10>成立. 若0m ≠，则有20440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩，[)0,4m ∴∈. Q “p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题 p ∴假q 真，[][)[]2,10,40,1m ∴∈-=I .因此，实数m 的取值范围是[]0,1. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，同时也考查了利用复合命题的真假求参数，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知sin sin sin sin a A c C C b B +=．（1）求B ；（2）若等差数列{}n a 的公差不为0，且1tan 2a B =，2a 、4a 、8a 成等比数列，求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ． 【答案】（1）4B π=；（2）1nn + 【解析】（1）利用边角互化思想结合余弦定理求出cos B 的值，再由()0,B π∈，可得出角B 的值；（2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，求出11a =，由题意列出关于d 的方程，求出d 的值，利用等差数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项求和法可求出数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【详解】（1）由正弦定理有：222a c b +-=，由余弦定理2222cos22a c bBac+-==，又()0,Bπ∈，4Bπ∴=；（2）设等差数列的公差为d，则0d≠，由（1）11tan22a B a=⇒=，又()()()2242811137a a a a d a d a d=⇒+=++21a d d⇒=，d≠Q，12d a∴==，2na n∴=，从而()()14411122111n na a n n n n n n+===-⋅+++.11111111223341nSn n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n=-=++.【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了裂项求和法，涉及正弦定理边角互化思想的应用以及等差数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．（1）求a的值；（2）试估计购物金额的平均数；（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：方案一：全场商品打八折；方案二：全场商品优惠如下表：购物金额范围[)200,400[)400,600[)600,800[)800,1000[)1000,1200[]1200,1400商家优惠（元）3050140160280320如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？【答案】（1）0.0015a =；（2）750元；（3）方案一的优惠力度更大. 【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数； （3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大. 【详解】（1）各小组的频率依次为0.1、0.2、0.25、200a 、0.1、0.05. 由0.10.20.252000.10.051a +++++=，有0.0015a =； （2）购物金额的平均数为()3000.15000.27000.259002000.001511000.113000.05750x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元）；（3）选择方案一：优惠力度为()750180%150⨯-=元 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.故方案一的优惠力度更大． 【点睛】本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.20．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是正三角形，面SAC ⊥面ABC ，4AB =，22SA SC ==，E 、F 分别是AB 、SB 的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角B CE F --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（25. 【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，由等腰三角形三线合一的性质得出AC SO ⊥且AC BO ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AC ⊥面SBO ，从而得出AC SB ⊥；（2）利用面面垂直的性质定理证明出SO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角B CE F --的余弦值． 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，SA SC =Q ，AB BC =，AC SO ∴⊥且AC BO ⊥．又SO CO O =Q I ，AC ∴⊥面SBO ，又SB ⊂面SBO ，AC SB ∴⊥；（2）由面SAC ⊥面ABC ，平面SAC I 平面ABC AC =，SO AC ⊥，SO ⊂平面SAC ，可得SO ⊥面ABC .故以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：则()2,0,0A ，()0,23,0B ，()2,0,0C -，()0,0,2S()1,3,0E ∴，()0,3,1F .()3,3,0CE ∴=u u u r ，()2,3,1CF =u u u r，设(),,n x y z =r为平面EFC 的一个法向量由33000230x y n CE n CF x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，则3y =-，1z =． ()1,3,1n ∴=-r.又()0,0,2OS =u u u r 为面ABC 的一个法向量，由5cos ,52n OS ==⨯r u u u r 如图知二面角B CE F --的余弦值为5.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.21．如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且3CD =，道路的后一段是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值； （2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．【答案】（1）1a =-；（2）3DOE π∠=；（3）当6πα=时，矩形草坪面积最大.【解析】（1）将点F 的坐标代入函数()y f x =的解析式，可得出实数a 的值； （2）在函数()y f x =的解析式中令0x =，可求出点C 的坐标，由此得出OC ，可求出tan COD ∠，计算出COD ∠，由此可得出DOE ∠；（3）可得出23QM PN α==，232sin MN αα=-，从而得出“矩形草坪”的面积S 关于α的表达式，利用三角恒等变换思想将S 关于α的表达式化简为3236S πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭α的范围，可计算出S 的最大值以及对应的α值. 【详解】（1）由图可知函数()()214f x a x =++的图象过点()3,0F -，()34401f a a ∴-=+=⇒=-；（2）由（1）知()()214f x x =-++，当0x =时，()03f =，3OC ∴=，又3CD =Rt OCD ∆中，6COD π∠=，3DOE π∴∠=；（3）由（2）可知2223OD OC CD =+= 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上．如图：03POE παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，23sin QM PN α∴==，23cos ON α=， 又32sin 3OM QM α==，23cos 2sin MN ON OM αα∴=-=- ∴矩形草坪的面积为：()23sin 23cos 2sin S QM MN ααα=⋅=-212sin cos 43sin 6sin 223cos 22343sin 2236παααααα⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭， 又5023666ππππαα<<⇒<+<，故当262ππα+= 即6πα=时，有max 23S =.综上所述，当6πα=时，矩形草坪面积最大．【点睛】本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.22．如图，椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左右焦点1F 、2F 恰好是等轴双曲线22:2E x y -=的左右顶点，且椭圆的离心率为2，P 是双曲线E 上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别记为A 、B 和C 、D ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1K 、2K ，求证：12K K ⋅为定值；（3）若存在点P 满足324AB CD AB CD +=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，试求12F PF ∠的大小．【答案】（1）22142x y +=；（2）定值为1，见解析；（3）1245F PF ∠=o. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意得出c =算出a ，进而求出b 的值，由此可得出椭圆Γ的方程；（2）设点()00,P x y ，可得出22002x y -=，再结合斜率公式可计算出12K K ⋅的值；（3）设直线AB的方程为(y k x =，可得出直线CD的方程为(1y x k=，将直线AB 的方程与椭圆Γ的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出AB u u u r，同理得出CD u u u r，利用平面向量数量积的定义得出1211cos F PF AB CD ⎛⎫⎪∠=+⎪⎭u u u r u u u r ，计算出12cos F PF ∠，即可得出12F PF ∠的大小.【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意知()1F，)2F，c ∴=又离心率2c e a ==，2a ∴=，故b =Γ的方程为22142x y +=；（2）设()00,P x y ，则22002x y -=，可得22002y x =-，由此20122012y K K x ===-（定值）；（3）由（2）知121K K =，设直线AB的方程为(y k x =+，则直线CD方程为(1y x k=，联立(22142y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y ，得：()222212440k x x k +++-=， 记()11,A x y ，()22,B x y，则212212x x k-+=+，21224412k x x k -=+，()224112k AB k +∴==+u u u r，同理()22412k CD k +=+u u u r ，()()()222222111223334414141k k k k k k AB CD +++∴+=+==+++u u u r u u u r .由题意：12cos 4AB CD AB CD CD F PF +=⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r，故12113cos 42F PF AB CD ⎛⎫⎪∠==+==⎪⎭u u u r u u u r ，1245F PF ∴∠=o .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时考查了双曲线中的定值问题，以及焦点三角形中角的计算，涉及到弦长公式、平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于中等题.。
2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≤，{}21xB x =<，则（ ） A ．{}0A B x x ⋂=< B ．A B R =C ．{}1A B x x ⋃=> D ．{}1A B x x ⋂=≤【答案】A【解析】求出集合B ，然后利用交集和并集的定义判断各选项中集合运算的正误. 【详解】解不等式0212x <=，得0x <，{}0B x x ∴=<， 所以{}0A B x x ⋂=<，{}1A B x x ⋃=≤. 故选：A. 【点睛】本题考查集合交集和并集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．已知函数()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()21f f =⎡⎤⎣⎦，则a =（ ） A ．2- B ．7-C ．1D ．5【答案】B【解析】先计算出()23f =-，然后得出()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦，即可求出实数a 的值. 【详解】()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，()21233f -∴=-=-，则()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦，得92a +=，解得7a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.3．已知曲线()321f x ax x =-+在1x =处的切线的倾斜角为4π，则a =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．3【答案】B【解析】由题意得出()1tan 14f π'==，利用导数运算可求出实数a 的值.【详解】()321f x ax x =-+，()232f x ax '∴=-，又()1tan14f π'==，故321a -=，得1a =． 故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，涉及了直线的倾斜角与斜率，考查计算能力，属于基础题. 4．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A ．14π-B ．4π C ．16π-D ．6π 【答案】A【解析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.5．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且7925a a =+，则9S 的值为（ ） A ．9 B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差中项的性质得出7592a a a =+，可得出5a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可计算出9S 的值. 【详解】759925a a a a =+=+，55a ∴=，因此，()199599452a a S a +===. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列求和，充分利用等差中项的性质计算可将问题简化，考查计算能力，属于中等题.6．已知曲线1:sin 24C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2:cos C y x =，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是（ ）A ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位 B ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位 C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位 D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8π个单位 【答案】D【解析】将曲线2C 的解析式化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用三角函数图象变换规律可得出结论. 【详解】曲线2C 化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象上每点向右平移8π个单位，可得到函数sin 2sin 2824y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即曲线1C . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，在变换时要保证两个函数名称要一致，结合三角函数图象变换原则来解决问题，考查推理能力，属于中等题.7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了（ ）mA ．B ．2C ．1D ．12【答案】D【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，根据题意得出点()2,2A -在抛物线上，可求出a的值，并设拱顶高于水面m h ，可知点)h -在抛物线上，代入抛物线方程可解出h的值，由此可得出水面下降的高度. 【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，点()2,2A -在抛物线上，得2a =-， 抛物线方程为22x y =-，当水面宽为m h ，由点)h -在抛物线上，得52h =， 故水面下降了12m . 故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AM AN ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为（ ） A．2BCD【答案】B【解析】由题意得知AMN ∆为等腰直角三角形，可得出点A到渐近线的距离为2，2=，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为()20c c >，离心率为c e a=， 由题意，圆A 为()222x a y b -+=，与渐近线by x a=交于M 、N 两点， 由0AM AN ⋅=uuu r uuu r知90MAN ∠=o ，故圆心A，b a c==，即b e =，解得e =故选：B 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，分析三角形的几何性质是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．已知圆()22:22C x y -+=，点P 在直线20x y ++=上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．C ．D ．4【答案】C【解析】由题意得出四边形PACB 的面积为2PAC S S ∆==，由勾股定理知，当PC 取最小值时，切线长PA 取最小值，利用圆心到直线l 的距离作为PC 的最小值，并利用勾股定理求出PA 的最小值，从而可得出四边形PACB 的面积S 的最小值. 【详解】如图，四边形PACB 的面积为2PAC S S PA ∆==，故当PA 最小时，S 有最小值，记圆心到直线距离d =PC ≥PA =≥S ∴≥=故选：C.【点睛】本题考查与圆的切线相关的四边形面积的计算，涉及切线长的计算，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.10．若两个正实数x 、y 满足411x y +=，对这样的x 、y ，不等式234x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4-B ．()4,1-C ．()(),41,-∞-+∞UD ．()(),14,-∞-+∞【答案】A 【解析】将代数式41x y +与4x y +相乘，展开后利用基本不等式求出4xy +的最小值为4，由题意得出234m m -<，解此不等式即可.【详解】 由基本不等式得4142224444x x y x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x y =时，等号成立，则4xy +的最小值为4.由题意可得234m m -<，即2340m m --<，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，考查了基本不等式中“1”的妙用，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF =，则M FK ∆的面积为（ ）A．3B．3CD．【答案】A【解析】由3PF MF =可计算出点M 的坐标，再利用三角形的面积公式可计算出MFK ∆的面积.【详解】如下图，设点M 的坐标为()00,x y ，抛物线C 的准线方程为1x =-，可设点()1,P p -， 抛物线C 的焦点为()1,0F ，且抛物线的准线与x 轴交于点()1,0K -，3PF MF =，即()()002,31,p x y -=--，()0312x ∴-=，解得013x =，200443y x ==，0y ∴=， 因此，MFK ∆的面积为12233MFK S =⨯⨯=△. 故选：A.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积计算，同时也考查了利用向量共线求点的坐标，考查计算能力，属于中等题.12．已知函数()()()10log 0a x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x 是偶函数，且()()2g x g x +=，当[]0,1x ∈时，()21x g x =-，若函数()()y f x g x =-恰好有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．()5,+∞ B ．()5,6C ．()4,6D ．()5,7【答案】D【解析】作出函数()y g x =与函数()y f x =的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点， 故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知函数()()21xf x xf e '=-，则()1f '=______．【答案】e【解析】对函数()y f x =求导，然后令1x =，可解出()1f '的值. 【详解】由()()21xf x f e ''=- 令1x =有()()()1211f f e f e '''=-⇒=.故答案为：e 【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.14．已知数列{}n a 满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =______． 【答案】6364【解析】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，利用111,12,2n nn n T n a T T n --=⎧=⎨-≥⎩求出12n n a =，然后利用等比数列的求和公式可求出6S 的值. 【详解】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=， 则()221123112222n n n n T a a a a a n ----=+++⋅⋅⋅+=≥两式相减得()1112222n n n n a a n -=⇒=≥，由112a =也适合上式，有12n n a =，故661631264S =-=. 故答案为：6364. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.15．一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为1，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______．【答案】9π【解析】作出正四棱锥的实物图，找出球心的位置，并设其外接球的半径为R ，根据勾股定理列关于R 的等式，求出R 的值，再利用球体的表面积公式可计算出该几何体外接球的表面积. 【详解】几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，设该正四棱锥的外接球球心为O ，则球心O 在AC 上（A 为底面正方形的中心，C 正四棱锥的顶点），在Rt OAB ∆中，2OA CA OC R =-=-，由勾股定理得222OA AB OB +=，即()222R R -=，解得32R =，故四棱锥外接球的表面积为249S R ππ==. 故答案为：9π.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了利用三视图还原几何体，以及正四棱锥的外接球，找出球心的位置，并利用几何特征建立等式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.16．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过()*2k k N ∈次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．【答案】()2a m -【解析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过()2k k N *∈次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.【详解】由已知，如图光线从1F 出发，若先经过双曲线上一点B 反射，则反射光线相当于光线从2F 设出经过点B 再到达椭圆上一点A 反射回到1F ；同理，若先出发经过椭圆上一点A 反射，则光线沿着直线2AF 方向到达双曲线上一点B 反射后回到1F ，则可知，光线从1F 出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回1F ，则讨论光线反射两次后返回1F 的过程如图，212AF m AF =+，()11211122222BF BA AF a AF AF a m AF AF a m ++=-+=-++=-所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为()2a m - 故答案为：()2a m -【点睛】本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知命题:p 方程22121x y m m -=+-表示双曲线，命题:q x R ∀∈，210mx mx ++>．（1）写出命题q 的否定“q ⌝”；（2）若命题“p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]0,1.【解析】（1）根据全称命题的否定可得出命题q ⌝；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，并求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由题意可知命题p 为假命题，命题q 为真命题，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知0:q x R ⌝∃∈，20010mx mx ++≤，（或写为：x R ∃∈，210mx mx ++≤）； （2）若命题p 为真命题，由()()2102m m m +->⇒<-或1m >. 若命题q 为真命题，则x R ∀∈，210mx mx ++>. 若0m =，化为10>成立. 若0m ≠，则有20440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩，[)0,4m ∴∈. “p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题 p ∴假q 真，[][)[]2,10,40,1m ∴∈-=.因此，实数m 的取值范围是[]0,1. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，同时也考查了利用复合命题的真假求参数，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知sin sin sin sin a A c C C b B +=．（1）求B ；（2）若等差数列{}n a 的公差不为0，且1tan 2a B =，2a 、4a 、8a 成等比数列，求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ． 【答案】（1）4B π=；（2）1nn + 【解析】（1）利用边角互化思想结合余弦定理求出cos B 的值，再由()0,B π∈，可得出角B 的值；（2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，求出11a =，由题意列出关于d 的方程，求出d 的值，利用等差数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项求和法可求出数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【详解】（1）由正弦定理有：222a c b +-=，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈ ，4B π∴=； （2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，由（1）11tan 22a B a =⇒=，又()()()2242811137a a a a d a d a d =⇒+=++21a d d ⇒=，0d ≠，12d a ∴==，2n a n ∴=，从而()()14411122111n n a a n n n n n n +===-⋅+++. 11111111223341n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了裂项求和法，涉及正弦定理边角互化思想的应用以及等差数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．（1）求a 的值；（2）试估计购物金额的平均数；（3）若该商家制订了两种不同的促销方案： 方案一：全场商品打八折； 方案二：全场商品优惠如下表：如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？【答案】（1）0.0015a =；（2）750元；（3）方案一的优惠力度更大. 【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数； （3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大. 【详解】（1）各小组的频率依次为0.1、0.2、0.25、200a 、0.1、0.05. 由0.10.20.252000.10.051a +++++=，有0.0015a =； （2）购物金额的平均数为()3000.15000.27000.259002000.001511000.113000.05750x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元）；（3）选择方案一：优惠力度为()750180%150⨯-=元 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.故方案一的优惠力度更大． 【点睛】本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.20．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是正三角形，面SAC ⊥面ABC ，4AB =，SA SC ==E 、F 分别是AB 、SB 的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角B CE F --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2. 【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，由等腰三角形三线合一的性质得出AC SO ⊥且AC BO ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AC ⊥面SBO ，从而得出AC SB ⊥；（2）利用面面垂直的性质定理证明出SO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角B CE F --的余弦值． 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，SA SC =，AB BC =，AC SO ∴⊥且AC BO ⊥．又SO CO O =，AC ∴⊥面SBO ，又SB ⊂面SBO ，AC SB ∴⊥；（2）由面SAC ⊥面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO AC ⊥，SO ⊂平面SAC ，可得SO ⊥面ABC .故以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：则()2,0,0A，()0,B ，()2,0,0C -，()0,0,2S(),0E ∴，()F.()CE ∴=，()CF =，设(),,n x y z =为平面EFC 的一个法向量由300020x n CE n CF x z ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩，取1x =，则y =1z =． ()1,3,1n ∴=-. 又()0,0,2OS =为面ABC的一个法向量，由cos ,5n OS ==如图知二面角B CE F --.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.21．如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =，道路的后一段是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值； （2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．【答案】（1）1a =-；（2）3DOE π∠=；（3）当6πα=时，矩形草坪面积最大.【解析】（1）将点F 的坐标代入函数()y f x =的解析式，可得出实数a 的值； （2）在函数()y f x =的解析式中令0x =，可求出点C 的坐标，由此得出OC ，可求出tan COD ∠，计算出COD ∠，由此可得出DOE ∠；（3）可得出QM PN α==，2sin MN αα=-，从而得出“矩形草坪”的面积S 关于α的表达式，利用三角恒等变换思想将S 关于α的表达式化简为26S πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭α的范围，可计算出S 的最大值以及对应的α值. 【详解】（1）由图可知函数()()214f x a x =++的图象过点()3,0F -，()34401f a a ∴-=+=⇒=-；（2）由（1）知()()214f x x =-++，当0x =时，()03f =，3OC ∴=，又CD =Rt OCD ∆中，6COD π∠=，3DOE π∴∠=；（3）由（2）可知OD = 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上．如图：03POE παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，QM PN α∴==，ON α=，又2sin 3OM α==，2sin MN ON OM αα∴=-=- ∴矩形草坪的面积为：()2sin S QM MN ααα=⋅=-212sin cos 6sin 2226παααααα⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，又5023666ππππαα<<⇒<+<，故当262ππα+= 即6πα=时，有max S =综上所述，当6πα=时，矩形草坪面积最大．【点睛】本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.22．如图，椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左右焦点1F 、2F 恰好是等轴双曲线22:2E x y -=的左右顶点，且椭圆的离心率为2，P 是双曲线E 上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别记为A 、B 和C 、D ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1K 、2K ，求证：12K K ⋅为定值；（3）若存在点P 满足324AB CD AB CD +=⋅，试求12F PF ∠的大小． 【答案】（1）22142x y +=；（2）定值为1，见解析；（3）1245F PF ∠=. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意得出c =算出a ，进而求出b 的值，由此可得出椭圆Γ的方程；（2）设点()00,P x y ，可得出22002x y -=，再结合斜率公式可计算出12KK ⋅的值；（3）设直线AB 的方程为(y k x =，可得出直线CD 的方程为(1y x k=，将直线AB 的方程与椭圆Γ的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出AB ，同理得出CD ，利用平面向量数量积的定义得出1211cos F PF AB CD ⎛⎫⎪∠=+⎪⎭，计算出12cos F PF ∠，即可得出12FPF ∠的大小.【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意知()1F ，)2F ，c ∴=又离心率2c e a ==，2a ∴=，故b =Γ的方程为22142x y +=；（2）设()00,P x y ，则22002x y-=，可得22002y x =-，由此20122012y K K x ===-（定值）；（3）由（2）知121K K =，设直线AB的方程为(y k x =+，则直线CD方程为(1y x k=， 联立(22142y k xx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y ，得：()222212440k x x k +++-=， 记()11,A x y ，()22,B x y ，则212212x x k-+=+，21224412k xx k -=+， ()2241112k AB k+∴=+=+，同理()22412k CD k +=+，()()()222222111223334414141k k k k k k AB CD +++∴+=+==+++. 由题意：123232cos 4AB CD AB CD AB CD F PF +=⋅=∠， 故12113cos 4233AB CDF PF AB CD AB CD⎛⎫+⎪∠==+==⎪⎭，1245F PF ∴∠=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时考查了双曲线中的定值问题，以及焦点三角形中角的计算，涉及到弦长公式、平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于中等题.。
【2019-2020】高二数学12月联考试题 理
教学资料参考范本【2019-2020】高二数学12月联考试题理撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线x+y ﹣3=0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2 方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）222=+ky xA ．B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）),0(+∞3．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若m∥l，m∥α，则l∥αB ．若m⊥α，l⊥m ，则l∥αC ．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD ．若m ⊂α，m∥β，l ⊂β，l∥α，则α∥βA ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6. 已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点. 若,则该椭圆的离心率为（ ）AA ．B ．C ．D ．结论是（ ）A ．平面ABC 必不垂直于αB ．平面ABC 必平行于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内9. 若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（ ）122=+ny mx 01=-+y x B A ,AB22mnA ．B ．C ．D ．222239210．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（ ） A ．4 B ．4C ．4D ．811．曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（）A．（，] B．（，+∞）C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）12．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C 三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8π B．6π C．11π D．5π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a= ．14．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．15. 过点作一直线与椭圆相交于A、B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．18．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．19．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离．20. 已知椭圆C：的上顶点坐标为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求的取值范围.21.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.(Ⅰ) 求证：BC⊥平面ACFE；(Ⅱ) 若点M在线段EF上移动，试问是否存在点，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.22. 已知椭圆经过点其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于A 、B 两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，为坐标原点.求到直线距离的最小值.高二四校联考数学答案一、选择题1-12 DDCBAB CDBBAB13． a=﹣2 ． 14．若b ∉B ，则a∈A 15. 16． [﹣2，2] ．13-94=+y x17：（1）由圆C 与x 轴交于A （﹣5，0），B （1，0），可得圆心C 在AB 的中垂线上，即C 在直线x=﹣2上，与x ﹣2y+4=0联立，可得C （﹣2，1），半径r==，则圆C 的方程为（x+2）2+（y ﹣1）2=10，圆心到直线x ﹣y+1=0的距离d==，则|EF|=2=2=4；（2）设M （x ，y ），M 为PQ 的中点， 且Q （2，1），可得P （2x ﹣2，2y ﹣1），由P 在圆C 上运动，将其坐标代入圆C 的方程可得， （2x ﹣2+2）2+（2y ﹣1﹣1）2=10，即为x2+（y ﹣1）2=．则线段PQ 中点M 的轨迹方程为x2+（y ﹣1）2=．18：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a2＜0，即a ＞或a ＜－1.乙命题为真时，2a2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集， ∴a 的取值范围是.(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a ＜－， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13＜a≤1或－1≤a＜－1219.证明：（1）取OB 中点E ，连结ME 、NE ， ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD ， 又ME ⊄平面OCD ，CD ⊂平面OCD ， ∴ME ∥平面OCD ，∵OB 中点E ，N 为BC 的中点，∴EN ∥OC ， ∵EN ⊄平面OCD ，OC ⊂平面OCD ， ∴EN ∥平面OCD ，∵EN ∩EM=E ，EN ，EM ⊂平面EMN ， ∴平面EMN ∥平面OCD ，∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD ．解：（2）∵M 是OA 的中点，∴M 到平面OCD 的距离是点A 到平面OCD距离的，取CD 的中点为P ，连结OP ，过点A 作AQ ⊥OP 于点Q ，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长是点A到平面OCD的距离，∵OP===，AP=，∴AQ===．∴点A到平面OCD的距离为，∴点M到平面OCD的距离为．20解：（1）依题意得：，椭圆方程为（2）解：设，，则---（*）点满足，代入（*）式，得：根据二次函数的单调性可得：的取值范围为21（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，∴，则，∴，∴，又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC、BC、CF两两垂直，以C为原点，AC、BC、CF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图），则，，设，则，，设是平面AMB的法向量，则取x=1，得，显然是平面FCB的一个法向量，于是，化简得，此方程无实数解，∴线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45o.22.（1）由已知，所以, ① 又点在椭圆上，所以，②由①②解之得,故椭圆的方程为（2）当直线有斜率时，设时，则由消去得，，③设则，由于点在椭圆上，所以，从而，化简得，经检验满足③式，又点到直线的距离为：，并且仅当时等号成立；当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1，所以点到直线的距离最小值为.2017年下半年高二四校联考数学答题卷二、填空题（5分×4=20分）13、 14、15、 16、三、解答题（70分）17、（10分）18、（12分）19、（12分）20、（12分）21、（12分）22.（12分）。
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高二数学参考答案解析及给分细则一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分）1-5：ABBAC 6-10:DDBCA 11-12:AD1、解析：由B {x x 0}，得A B {x x 0}故选A2、解析：由f [f (2)]f (3)log 2(9a )1a 7.故选B3、解析：f (x )3ax 22，又(1)tan4f ，故3a -2=1,得a =1.故选B4、解析：安全区域为图中阴影部分，其面积22214S故概率4144P，故选A5、解析：由57925a a a 有19959()9452a a S a 。
故选C6、解析：122sin()sin(2)22C y xy x横坐标缩短为原来的曲线化为8右移个单位sin 2()sin(2)824y xx1C 即为曲线,故选D7、 解析：建系如图，设拱桥所在抛物线为2(0)xay a点A （2,-2）在抛物线上，得a = -2抛物线方程为22x y当水面宽为h m,由点)h 在抛物线上，得52h ，故水面下降了12m 。
故选 D8、解析：由题意，222()A x a y b 圆为,与渐近线b y x a 交于M 、N 两点， 0090,AM AN MAN 由知故圆心A 到渐近线距离为2b2222222a b e c b a即，故选 B9、解析：如图，四边形PACB 的面积为22PACS SPA故当PA 最小时，S 有最小值 记圆心到直线距离22,22dPC则226PA CA 又2623S,故选C10、解析：4142224444x x y x yyxyxy由23414m m m 知，故选A 11、解析：如图，过点M 作MH ⊥l 于H ， 由题意3PF MF224333MH PM MHp KFPF12323MMMp MHx x y 由定义1232322MFKS，故选A12、解析：如图，当0x时，()1f x x 与()g x 有1个交点，故0x 时()log a f x x 与()g x 有且仅有5个交点，必有1a 且(5)157(7)1f a f ，故选D二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分） 13、e14、636415、916、2（a -m ）答案解析：13、解析：'''''()2(1)1(1)2(1)(1)xf x f e x f f e f e 由令有 14、解析：法一：可求得1236623*********,,,,12222264a a a a S 法二：记211232222n n n nT a a a a 则22112311222(2)2n n n n T a a a a n两式相减得1112(2)22n nnn a a n由112a 也适合上式，有12n n a ，故661631264S15、解析：几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，在Rt △OAB 中， 由22(2)2R R 有32R， 故249SR16、解析：由已知,如图光线从出发,若先经过双曲线上一点反射,则反射光线相当于光线从设出经过点再到达椭圆上一点反射回到;同理,若先出发经过椭圆上一点反射,则光线沿着直线方向到达双曲线上一点反射后回到,则可知,光线从出发,无论经由那条路线,经过两次反射后必然返回,则讨论光线反射两次后返回的过程,如图,,所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为2（a-m ）三、解答题 17、解：（1）2000:,10q x R mx mx(或写为：2,10)x R mx mx ……………………4分（2）由p 有：(m +2)(m -1)>0m <-2或m >1 ……………………5分由q 有：若m =0,化为1>0成立 …………………6分若m ≠0,则有040mm ………………………7分∴[0,4)m ……………………………………………8分∵“p q ”为假命题，“q ”为假命题 ∴p 假q 真……………9分∴[2,1][0,4)[0,1]m ………………………………………10分18、解：（1）由正弦定理有：2222ac ac b …………2分由余弦定理 cos B =222222a cb ac……………………4分又(0,)B4B……………………5分（2）由（1）11tan 22a B a……………………6分又22428111(3)()(7)a a a a d a d a d1102a d d dd a …………………………7分 ∴2na n……………………………8分14411122(1)(1)1n n a a n n n n n n 从而………………10分1111111(1)()()()223341n S n n1111nn n …………………………12分19、解：（1）各小组的频率依次为0.1, 0.2, 0.25, 200a , 0.1, 0.05由0.1+0.2+0.25+200a +0.1+0.05=1有a =0.0015…………………………………………………3分 （2）平均金额3000.15000.27000.25900(2000.0015)11000.113000.05x750()元…………………………………………………7分（3）选择方案一：优惠力度为750×（1-80％）=150元………9分 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140（元） ……11分故，方案一的优惠力度更大. ……………………12分 20、（1）证明：取AC 的中点O ，连接OS,OB, ∵SA=SC,AB=BC∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO. ∴AC ⊥面SBO又SB 面SBO∴AC ⊥SB ………………5分(2)解：由面SAC ⊥面ABC,SO ⊥AC 可得SO ⊥面ABC ………6分故以O 为坐标原点，分别以OA,OB,OS 所在直线为x 轴，y轴，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则A(2,0，0),B(O,23,0),C(-2,0,0),S(0,0,2) ∴,1)∴(3,3,0),(2,3,1)CE CF设(,,)n x y z 为平面EFC 的一个法向量由3300230n CE x y n CF xy z1,3, 1.(1,3,1)x yz n 取则……………………9分又(0,0,2)OS为面ABC 的一个法向量由5cos ,552n OS如图知二面角B-CE-F 的余弦值为5………………………………12分 21、解：（1）由图可知函数2()(1)4f x a x 的图象过点F （-3,0）(3)4401f aa ……………………………3分（2）由（1）知2()(1)4f x x当x =0时，f (0)=3 ∴OC=3,又在Rt △OCD 中，6COD3DOE……………………………………………6分（3）由（2）可知2223OD OC CD 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上.如图：(0)3POE23sin23cosQMPN ON32sin3OMQM 又23cos 2sinMN ON OM……………………………8分∴矩形草坪的面积为：223sin (23cos 2sin )12sin cos 43sin 6sin 223cos 223S QM MN43sin(2)236……………………………10分又5023666故，当262即6时，有max23S综上所述，当6时，矩形草坪面积最大………………………12分22、解：（1）由题意知12(2,0),F F2c又离心率22cea 2,2ab 故椭圆C 的方程为22142x y ……………………………………2分（2）证明：设P(x 0,y 0)，则22002x y 由此20001221222y K K x x x（定值）…………………………5分 （3）由（2）知121K K设直线AB 的方程为(2)yk x，则直线CD 方程为1(2)yx k联立22(2)142y k xx y 消去y ，得：2222(12)42440k x k x k记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则221212224244,1212k k x x x x kk ………………………………7分∴222121224(1)1()412k ABk x x x x k同理224(1)2k CD k ………………………………………9分 ∴222222111223334(1)4(1)4(1)4k k k AB CD k k k 由题意：123232cos 44ABCDAB CD AB CD F PF 故121132cos()42323232AB CD F PF AB CD AB CD∴o 1245F PF……………………………………12分。