常用逻辑用语知识点教师
高一数学寒假作业02 常用逻辑用语(教师版)
高一数学寒假作业专题02常用逻辑用语1．命题：∀x∈Z,2x∈Z的否定为（）A．∀x∈Z,2x∉Z B．∃x∈Z,2x∉Z C．∀x∉Z,2x∉Z D．∃x∈Z,2x∈Z 【答案】B【解析】命题：∀x∈Z,2x∈Z为全称量词命题，其否定为∃x∈Z,2x∉Z；故选：B2．“a=1”是“函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数，即f(−x)=−f(x)，即f(−x)+f(x)=0，可得lg(√x2+1+ax)+lg(√x2+1−ax)=lg(x2+1−a2x2)=0，所以x2−a2x2=0，可得a=±1，所以“a=1”是“函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.3．已知命题p：x2+x−2>0，命题q：x−1>0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为命题p：x>1或x<−2，命题q：x>1，所以p是q的必要不充分条件，故选：B4．设a>0且a≠1，则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分必要条件【答案】A【解析】若函数f(x)=a x在R上是减函数，则0<a<1，若函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数，则2−a>0，又a>0且a≠1，所以0<a<2且a因为集合(0,1)真包含于集合(0,1)⋃(1,2)所以“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数”的充分非必要条件.故选：A5．命题“∀x∈[1,2]，3x2−a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤3D．a≤4【答案】A【解析】若“∀x∈[1,2],3x2−a≥0为真命题，得a≤3x2对于x∈[1,2]恒成立，只需a≤(3x2)min=3，所以a≤2是命题“∀x∈[1,2],3x2−a≥0为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.6．2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市的一名务工人员,但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件.故选：B.7．若a,b∈R，则“a<b”是“lna<lnb”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】因函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，则lna<lnb⇔0<a<b而a,b∈R，当a<b时，a，b可能是负数或者是0，即lna或lnb可能没有意义，所以“a<b”是“lna<lnb”的必要不充分条件.8．下列四个结论中正确的个数是（）（1）设x<0，则4+x2x有最小值时4；（2）若f(x+1)为R上的偶函数，则f(x)的图象关于x=1对称；（3）命题“∃n∈N,2n>1000”的否定为：“∀n∈N,2n≤1000”；（4）命题“已知x,y∈R，若x+y=3，则x=2且y=1”是真命题．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】（1）∵x<0，∴−x>0，4−x >0，∴4+x2x=x+4x=−(−x+4−x)，∴(−x)+(4−x )≥2√(−x)(4−x)=4，当且仅当x=−2时取等号，∴4+x2x≤−4，∴（1）错；（2）∵函数y=f(x+1)为偶函数，∴函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，∵y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的，∴函数y=f(x)的图象关于x=1对称．∴（2）对．（3）由命题的否定可判断正确；（4）令x=4,y=−1，满足x+y=3与x=2且y=1矛盾，∴（4）错．正确个数为两个.故选：B9．下列说法中，错误的是（）A．“x，y中至少有一个小于零”是“x+y<0”的充要条件B．已知a,b∈R，则“a2+b2=0”是“a=0且b=0”的充要条件C．“ab≠0”是“a≠0或b≠0”的充要条件D．若集合A是全集U的子集，则x∉∁U A⇔x∈A【答案】AC【解析】对于A，当x=3，y=−2时，满足x，y中至少有一个小于零，但无法推出x+y<0，A 说法错误；对于B，若a2+b2=0，则a=b=0；若a=b=0，则a2+b2=0，即“a2+b2=0”是“a =0且b=0”的充要条件，B说法正确；对于C，当a=0,b=1时，满足a≠0或b≠0，但此时ab=0，即无法推出ab≠0，C说法错误；对于D ，若集合A 是全集U 的子集，则(∁U A )∪A =U ，即命题“x ∉∁U A ”与“x ∈A ”是等价命题，D 说法正确. 故选：AC10．下列选项中，p 是q 的充要条件的是（ ） A ．p ：xy >0，q ：x >0，y >0 B ．p ：A ∪B =A ，q ：B ⊆AC ．p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形存在两角相等D ．p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分 【答案】BC 【解析】对于A ：由xy >0，得x >0，y >0或x <0，y <0，故P 不是q 的充要条件，故A 错误； 对于B ：由A ∪B =A ，则B ⊆A ，若B ⊆A 则A ∪B =A ，故P 是q 的充要条件，故B 正确； 对于C ：三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故P 是q 的充要条件，故C 正确； 对于D ：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p 不是q 的充要条件，故D 错误； 故选：BC11．下列命题中，是真命题的是（ ） A ．a >1且b >1是ab >1的充分条件B ．“x >12”是“1x <2”的充分不必要条件C ．命题“∀x <1，x 2<1”的否定是“∃x ≥1，x 2≥1”D ．a +b =0的充要条件是ab =−1 【答案】AB 【解析】对于A ，当a >1，b >1时，ab >1，充分性成立，A 正确；对于B ，当x >12时，0<1x <2，充分性成立；当1x <2时，x >12或x <0，必要性不成立，则“x >12”是“1x <2”的充分不必要条件，B 正确；对于C ，由全称命题的否定知原命题的否定为：∃x <1，x 2≥1，C 错误； 对于D ，当a =0，b =0时，a +b =0，此时ab 无意义，充分性不成立，D 错误. 故选：AB.12．下列所给的各组p 、q 中，p 是q 的必要条件是（ ） A ．p ：△ABC 中，∠BAC >∠ABC ，q ：△ABC 中，BC >AC ； B ．p ：a 2<1， q ：a <2； C ．p ：ba<1，q ：b <a ；D ．p ：m ≤1，q ：关于x 的方程mx 2+2x +1=0有两个实数解． 【答案】AD【解析】对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当∠BAC>∠ABC时，有BC>AC，当BC>AC时，有∠BAC>∠ABC，所以p是q的充要条件；对于B，由a2<1，得−1<a<1，则a<2一定成立，而当a<2时，如a=−2，a2<1不成立，所以p是q的充分不必要条件；对于C，由ba<1可知，当a>0时，b<a；当a<0时，b>a；而当b<a时，若a>0，则b a <1，若a<0，则ba>1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，当m=0时，关于x的方程mx2+2x+1=0只有一个实根，若关于x的方程mx2+2x +1=0有两个实数解时，则{m≠0Δ=4−4m>0，得m<1且m≠0，所以p是q的必要不充分条件；故选：AD13．已知“∃x∈R，使得2x2+ax+12≤0”是假命题，则实数的a取值范围为________．【答案】(−2,2)【解析】∵“∃x∈R，使得2x2+ax+12≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使2x2+ax+12>0”是真命题，∴判别式Δ=a2−4×2×12<0，∴−2<a<2.故答案为：(−2,2)．14．若命题p是“对所有正数x，均有x>x2+2”，则¬p是___________.【答案】∃x>0，使得x≤x2+2【解析】解：根据全称命题的否定为特称命题得命题p：“对所有正数x，均有x>x2+2”的否定¬p是：存在正数x，使得x≤x2+2.故答案为：∃x>0，使得x≤x2+2.15．下列四个结论：①“λ=0”是“λa⃗=0⃗⃗”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2+AC2=B C2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件；④若a，b∈R，“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．其中正确命题的序号是________．【答案】①④【解析】当λ=0时，λa ⃗=0⃗⃗，当λa ⃗=0⃗⃗时，λ=0或a ⃗=0⃗⃗，①正确； 当△ABC 中∠B =π2，则AC 2=BC 2+AB 2，故②错误； 取a =0,b =1得到a 2+b 2≠0，故③错误；若a 2+b 2≠0，则a ，b 不全为0，若a ，b 不全为0，则a 2+b 2≠0，故④正确； 故答案为：①④.16．在复数范围内，给出下面3个命题：①|a +b |2=a 2+2ab +b 2；②已知z 1、z 2、z 3∈C ，若(z 2−z 1)2+(z 3−z 1)2=0，则z 1=z 2=z 3；③z 是纯虚数⇔z +z =0.其中所有假命题的序号为______. 【答案】①②③ 【解析】①：等号的左边是非负实数，而右边不一定是非负实数，如a =1，b =i ，假命题. ②：取z 1=0，z 2=1，z 3=i ，则(z 2−z 1)2+(z 3−z 1)2=0，但z 1、z 2、z 3互不相等，假命题.③：当z =0时满足z +z =0，但z 不是纯虚数，所以z +z =0推不出z 是纯虚数，假命题. 故答案为：①②③17．已知p:∀x ∈R,ax 2−ax +1>0恒成立，q:∃x ∈R,x 2+x +a =0.如果p,q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(−∞,0)⋃(14,4) 【解析】若p 为真命题，当a =0时，可得1>0恒成立，满足题意； 当a ≠0时，则{a >0Δ=(−a )2−4a <0，解得0<a <4，∴当p 为真命题，实数a 的取值范围是[0,4). 若q 为真命题，则有Δ=12−4a ≥0，解得a ≤14， ∴当q 为真命题，实数a 的取值范围是(−∞,14]. ∵p,q 中有且仅有一个为真命题，∴当p 为真命题，q 为假命题时，实数a 的取值范围是[0,4)∩(14,+∞)=(14,4); 当p 为假命题，q 为真命题时，实数a 的取值范围是(−∞,0).综上，当p,q 中有且仅有一个为真命题时，实数a 的取值范围是(−∞,0)⋃(14,4). 18．已知集合M ={x ∣(x +3)(x −5)⩽0},N ={x ∣−m ⩽x ⩽m }. （1）若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）当m ⩾0时，若“x ∈M ”是“x ∈N ”的必要条件，求实数m 的取值范围.（1）[5,+∞) （2）[0,3] 【解析】（1）可得M ={x ∣(x +3)(x −5)⩽0}={x ∣−3⩽x ⩽5} 若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，则M ⊆N ，所以{−m ⩽−3m ⩾5，解得m ⩾5，所以实数m 的取值范围为[5,+∞)；（2）若“x ∈M ”是“x ∈N ”的必要条件，则N ⊆M ， 因为m ⩾0，所以N ≠∅，则{m ⩾0−m ⩾−3m ⩽5，解得0⩽m ⩽3,综上所述，实数m 的取值范围为[0,3].19．将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断“α⇒β”是否成立. （1）直角三角形的外心在斜边上； （2）有理数是实数；（3）面积相等的两个三角形全等. 【答案】（1）若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.α⇒β成立 （2）若一个数是有理数，则这个数是实数.α⇒β成立（3）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.α⇒β不成立 【解析】（1）命题改写成：若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上. 由直角三角形的外心是斜边的中点，可知α⇒β成立. （2）命题改写成：若一个数是有理数，则这个数是实数. 实数由有理数和无理数构成，即Q ⊆R ，可知α⇒β成立.（3）命题改写成：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等，可知α⇒β不成立.20．已知命题p ：“∀−1⩽x ⩽1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】 （1）(2,+∞)； （2）[6,+∞).（1）由题意命题p ：“∀−1⩽x ⩽1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题． ∴m >x 2−x 在−1⩽x ⩽1恒成立，即m >(x 2−x)max ，x ∈[−1,1]； 因为x 2−x =(x −12)2−14，所以−14⩽x 2−x ⩽2，即m >2， 所以实数m 的取值范围是(2,+∞)；（2）由p 得，设A ={m|m >2}，由q 得，设B ={m|a −4<m <a +4}， 因为q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件； 所以q ⇒p ，但p 推不出q ， ∴B ⫋A ； 所以a −4⩾2，即a ⩾6， 所以实数a 的取值范围是[6，+∞)．21．已知集合A 是函数y =√2−x 2的定义域，集合B ={x |x 2−2ax +a 2−1≤0}，其中a ∈R ． （1）若a =1，求A⋂B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）A⋂B ={x|0≤x <√2}； （2）1−√2<a <√2−1. 【解析】（1）由题设，A ={x|−√2<x <√2}，B ={x|a −1≤x ≤a +1}， 由a =1，则B ={x|0≤x ≤2}， ∴A⋂B ={x|0≤x <√2}.（2）由题意知：B ⊆A ，而a +1>a −1恒成立， ∴{a −1>−√2a +1<√2，可得1−√2<a <√2−1. 22．请在①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的问题中横线部分．若问题中的a 存在，求出a 的取值范围，若问题中的a 不存在，请说明理由．问题：已知集合A {x |0≤x ≤4}，B ={x |1−a ≤x ≤1+a }(a >0)，是否存在实数a ，使得x ∈A 是x ∈B 成立的______？ 【答案】答案见解析. 【解析】选①，则A 是B 的真子集，则1−a ≤0且1+a ≥4（两等号不同时取）， 又a >0，解得a ≥3，∴存在a ，a 的取值集合M ={a |a ≥3}选②，则B 是A 的真子集，则1−a ≥0且1+a ≤4（两等号不同时取），又a>0，解得0<a≤1，∴存在a，a的取值集合M={a|0<a≤1}选③，则A=B，则1−a=0且1+a=4，又a>0，方程组无解∴不存在满足条件的a.。
常用逻辑用语-知识点+习题+答案
常用逻辑用语知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假假假假当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题． 练习题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（ ）A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（ ） A 、51x ＝51yB 、51x <51yC 、51x ＝51y 且51x <51yD 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0 6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（ ） A 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝07、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根9、不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）A 、-1<x<3B 、0<x<3C 、-2<x<3D 、-2<x<110.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（ ）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>511、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是12、:23A x -<, 2:2150B x x --<, 则A 是B 的_____ _条件。
高考数学讲义常用逻辑用语.板块三.逻辑连接词与量词.教师版1
题型一：逻辑连接词 【例1】 写出下列命题的“p ⌝”命题：（1）正方形的四边相等；（2）平方和为0的两个实数都为0；（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角是锐角；（4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一个为0；（5）若(1)(2)0x x --≠，则1x ≠且2x ≠.【考点】逻辑连接词 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 【答案】（1）存在一个正方形的四边不相等.（2）平方和为0的两个实数不都为0.（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的某个内角不是锐角.（4）若0abc =，则,,a b c 中都不为0.（5）若(1)(2)0x x --≠，则1x =或2x =.【例2】 若:{|1},:{0}p N x R x q ⊄∈>-=∅.写出由其构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题，并指出其真假.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ,p q 均为假命题.典例分析板块三.逻辑连接词与量词【答案】 “p 或q ”为：:{|1}p N x R x ⊄∈>-或:{0}q =∅,是假命题；“p 且q ”为：:{|1}p N x R x ⊄∈>-且:{0}q =∅,是假命题；“非p ”为：:{|1}p N x R x ⊆∈>-，是真命题.【例3】 用联结词“且”、“或”分别联结下面所给的命题p q ，构成一个新的复合命题，判断它们的真假．⑴p ：1是质数；q ：1是合数；⑵p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分；【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 【答案】⑴p 是假命题，q 是假命题，故p q ∨，p q ∧都是假命题；⑵p 是真命题，q 是真命题，故p q ∨是真命题，p q ∧是真命题．【例4】 把下列各组命题，分别用逻辑联结词“且”“或”“非”联结成新命题，并判断其真假．⑴p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．⑵p ：1是方程2430x x -+=的解；q ：3是方程2430x x -+=的解．⑶p ：不等式2210x x -+>解集为R ；q ：不等式2221x x -+≤解集为∅．⑷p ：{0}∅Ü；q ：0∈∅．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵p 真，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真． ⑵∵p 真，q 真，∴p q ∧为真，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为假．⑶∵p 假，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为假，p ⌝为真，q ⌝为真．⑷∵p 真，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．【答案】⑴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．⑵p q ∧为真，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为假．⑶p q ∧为假，p q ∨为假，p ⌝为真，q ⌝为真．⑷p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．【例5】 判断下面对结论的否定是否正确，如果不正确，请写出正确的否定结论：⑴至少有一个S 是P ；否定：至少有两个或两个以上S 是P ；⑵最多有一个S 是P ．否定：最少有一个S 是P ；⑶全部S 都是P ．否定：全部的S 都不是P ．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 “集合M 中至少有一个元素m 不具有性质a ”的否定是：集合M 中所有元素都具有性质a ．反之亦对．因为“集合M 中至少有一个元素不具有性质a ”，它包含了“M 中有一个元素不具有性质a 、两个元素不具有性质a ……所有元素都不具有性质a ”等各种情形．因此它的否定是“M 中所有元素都具有性质a ”．如“三角形中至少有一个内角大于或等于60︒”的否定是“三角形中所有内角都小于60︒”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a 、b 都不是零”的否定是“a ，b 中至少有一个是零”．【答案】⑴不正确，没有一个S 是P ．⑵不正确，至少有两个S 是P ．⑶不正确，存在一个S 不是P ．【例6】 “220a b +≠”的含义为__________；“0ab ≠”的含义为__________．A ．a b ，不全为0B ．a b ，全不为0C ．a b ，至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 220a b +≠的含义为a b ，不全为0，选A ； 0ab ≠的含义为,a b 全不为0，选B ．【答案】A,B【例7】 已知全集R U =，A U ⊆，B U ⊆，如果命题p A B U ，则命题“p ⌝”是（ ）A AB U B ðC A B ID ()()U U A B I 痧 【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D ；【例8】 命题“关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A ．无解B ．两解C ．至少两解D ．无解或至少两解【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D ；【例9】 若条件:P x A B ∈I ，则P ⌝是（ ）A ．x A ∈且xB ∉ B ．x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉D ．x A B ∈U【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 x 至少不属于A B ，中的一个． 【答案】B ；【例10】 命题：“若220()R a b a b +=∈，，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()R a b a b ≠≠∈，，则220a b +≠B ．若0a ≠且0()R b a b ≠∈，，则220a b +≠C ．若0()R a b a b =≠∈，，则220a b +≠D ．若0a ≠或0()R b a b ≠∈，，则220a b +≠【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 0a b ==的否定为a b ，至少有一个不为0． 【答案】D ；【例11】 命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a <或3a ≥B ．0a ≤或3a ≥C ．0a <或3a >D ．03a <<【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 0a <时，显然2230ax ax -+>不恒成立；0a =时，恒成立； 0a >时，只需240a ∆=-12a ≥即可，解得3a ≥．【答案】A ；【例12】 命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”的真值不同D ．命题p 和命题q 的真值不同【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D ．【例13】 已知命题p ：若实数x y ，满足220x y +=，则x y ，全为0；命题q ：若a b >，则11a b<，给出下列四个复合命题：①p 且q ②p 或q ③p ⌝④q ⌝，其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 p 为真命题，q 为假命题，∴p ⌝为假命题，q ⌝为真命题，②④为真命题． 【答案】B ；【例14】 由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ⌝”为真的是（ ）A ．p ：0=∅，q ：0∈∅B ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．p ：{}{}a a b ，躿，q ：{}a a b ∈，D ．p ：53>，q ：12是质数【关键词】无【解析】 【答案】B ；【例15】 在下列结论中，正确的是（ ）①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件②“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 p q ∧为真,p q ⇒都为真p q ⇒∨为真，反之不成立，①正确； p q ∧为假，可能,p q 都为假，故推不出p q ∨为真，②错误；p ⌝为假，有p 为真，故p q ∨为真；而p q ∨为真，p 可能为假，从而p ⌝可能 为真，③正确；p ⌝为真，说明p 假，从而p q ∧为假，④错误；故选B ．【答案】B【例16】 设命题p ：2x >是24x >的充要条件，命题q ：若22a b c c >，则a b >．则( ) A ．“p 或q ”为真 B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假命题【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008年，北京东城，高考二模【解析】 p 假q 真．【答案】A ．【例17】 若命题“p 且q ”为假，且“p ⌝”为假，则 （）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假【关键词】无【解析】“p∧（且）为假，得q为假⌝”为假，则p为真，而p q【答案】B【例18】若条件:∈I,则PP x A B⌝是（）A.x A∉ D. x A B∉且x B∈⋃∈且x B∉ B. x A∉或x B∉ C. x A【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】P∉I，∴x至少不属于,A B中的一个.⌝：x A B【答案】B【例19】设集合{}{}=>=<,那么“x MM x x P x x|2,|3∈I”的∈”是“x M P∈,或x P（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】“x M∈I”，反之可以∈”不能推出“x M P∈,或x P【答案】A【例20】p或q”是假命题.其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．②③D．①④【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题.【答案】C【例21】 已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定 （ ）A.p 为真命题B.q 为假命题C.,p q 中至少有一个是假命题D.,p q 都是假命题【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】C【例22】 已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 :12p x ⌝+≤，31x -≤≤，2:56q x x ⌝-≤，2560x x -+≥，3x ≥或2x ≤ 【答案】A【例23】 下列判断正确的是 （ ）A.22x y x y ≠⇔≠或x y ≠-B.命题“a 、b 都是偶数，则a b +是偶数” 的逆否命题是“若a b +不是偶数，则a 、b 都不是偶数”C.若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D.已知,,a b c 是实数，关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是空集，必有0a >且0∆≤【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 A 不正确，因为“x y ≠或x y ≠-”只要求其中之一成立即行，而22x y ≠需二者都成立；B 不正确，“a 、b 都是偶数”的否定是“a 、b 不都是偶数”；D 不正确，不等式 20ax bx c ++≤的解集是空集还可能是0,0a b c ==> .【答案】C【例24】 在下边的横线上填上真命题或假命题．⑴若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，那么p q ∧是______； p q ⌝∧是_____；⑵若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，那么p q ∧是______；p q ∨是_______； p ⌝是_______．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无 【解析】 ⑴p ⌝真，说明p 为假命题；又p q ∨为真命题，故q 为真命题，从而p q ∧是假命题；p q ⌝∧是真命题；⑵根据“p ⌝或q ⌝”是假命题知，命题p ⌝、q ⌝都是假命题，从而p 、q 都是真命题，故p q ∧ 是真命题；p q ∨是真命题；p ⌝是假命题．【答案】⑴真命题，真命题，⑵真命题，真命题，假命题【例25】 ⑴p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的 条件；⑵p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的 条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 ⑴p q ∨真⇒p 真或q 真；p q ∧真⇒p 真且q 真，故p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的必要不充分条件；⑵p ⌝假则p 真，从而p q ∨真，但p q ∨真时，p 可能假，故推不出p ⌝假，故p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件．【答案】⑴必要不充分，⑵充分不必要【例26】 如在下列说法中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；④“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件．其中正确的是__________．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 【答案】①③．【例27】 如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的________________条件；②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 【答案】必要，必要【例28】 已知命题：:p “若1a >，则32a a >”；命题:q “若0a >，则1a a>”.则在“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”四个命题中，真命题是 .【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 p 真，q 假. 【答案】p 或q ,非q【例29】 命题:0p 不是自然数；命题q 是无理数，则在命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”中，真命题是 ；假命题是 .【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 p 假，q 真. “p 或q ”为真，只要,p q 中有一个为真即可；“p 且q ”必须,p q中均为真.【答案】 “p 或q ”, “非p ”; “p 且q ”, “非q ”【例30】 命题“对一切非零实数x ，总有12x x+≥”的否定是 ，它是 命题.(填“真”或“假”)【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 例如：2x =-，则1,0,2x R x x x∈≠+<. 【答案】1,0,2x R x x x∃∈≠+<，真命题【例31】 甲、乙两人参加一次竞赛，设命题p 是“甲获奖”，命题q 是“乙获奖”，试用p q，及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示：⑴两人都获奖； ⑵两人都未获奖； ⑶恰有一人获奖； ⑷至少有一人获奖．【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑷也是对⑵中情况的否定，故也可表示为(()())p q ⌝⌝∧⌝，故容易知道(()())p q p q ∨=⌝⌝∧⌝，也即()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝．【答案】⑴两人都获奖说明两个命题都成立，故为p q ∧；⑵都未获奖说明两个命题都不成立，故为()()p q ⌝∧⌝； ⑶恰有一人获奖说明一个命题成立，另一个命题不成立，故为()()p q p q ⌝∧∨∧⌝；⑷至少有一人获奖说明p 或q 成立，即p q ∨．【例32】 命题p ：若R a b ∈，，则1a b +>是1a b +>的充分条件，命题q ：函数y 的定义域是(1][3)-∞-+∞U ，，，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．p 且q 为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 令1,1a b ==-，知命题p 假；由1203x x --⇒≥≥或1x -≤，故命题q 真；【答案】D ；【例33】 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p s ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2007年，湖北，高考【解析】 由右图易知；qsr p【答案】B ；【例34】 已知p ：方程220x mx ++=有两个不等的负根；q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围是_______．【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由题意知，命题p q ，一真一假；p 为真时有：280m m m -<⎧⇒>⎨∆=->⎩q 为真时有：216(2)16013m m ∆=--<⇒<<；p 真q 假时有3m ≥；p 假q 真时有1m <≤(1[3)m ∈+∞U ，； 【答案】(1[3)m ∈+∞U ，【例35】 已知命题p ：关于x 的不等式20062008x x a -+->恒成立；命题q ：关于x 的函数log (2)a y ax =-在[01]，上是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是_______；【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由题意知，命题p q ，一真一假；20062008x x -+-的最小值为2，故此不等式恒成立，即p 为真时有2a <；q 为真时log (2)a y ax =-在[01]，上是减函数，∵0a >，故内层函数为减函数，从而外层对数函数为增函数，有1a >，又202a a ->⇒<，故12a <<；p 真q 假时1a ≤；p 假q 真时a 不存在，故(1]a ∈-∞，； 【答案】(1]-∞，；【例36】 已知命题p ：方程2220a x ax +-=在[11]-，上有解；命题q ：只有一个实数满足不等式2220x ax a ++≤．若p q ∨是假命题，求a 的取值范围．【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由2220a x ax +-=知0a ≠，解此方程得1212x x a a ==-，．∵方程2220a x ax +-=在[11]-，上有解，∴1||1a ≤或2||1a≤，∴||1a ≥．只有一个实数满足不等式2220x ax a ++≤，表明抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个公共点，∴2480a a ∆=-=， ∴0a =或2a =．∴命题p 为假，则11a -<<；命题q 为假，则0a ≠且2a ≠．∴若p q ∨是假命题，则p q ，都是假命题，a 的取值范围是(10)(01)-U ，，． 【答案】(10)(01)-U ，，【例37】 命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围.【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 “p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题当p 为真命题时，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-；当q 为真命题时，则216(2)160m ∆=+-<，得31m -<<- 当q 和p 都是真命题时，得32m -<<- ∴1m <-【答案】1m <-【例38】 已知函数2()(1)lg 2f x x a x a =++++(R a ∈，且2)a ≠-，⑴()f x 能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和，求()g x 和()h x 的解析式；⑵命题p ：函数()f x 在区间2[(1))a ++∞，上是增函数；命题q ：函数()g x 是减函数．如果命题p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． ⑶在⑵的条件下，比较(2)f 与3lg2-的大小．【考点】逻辑连接词 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵()()()f x g x h x =+，()()()()()f x g x h x g x h x -=-+-=-+，∴[]1()()()(1)2g x f x f x a x =--=+，[]21()()()lg 22h x f x f x x a =+-=++； ⑵命题p 为真时有：21(1)2a a +-+≤1a ⇒≥-或32a -≤，命题q 为真时有：101a a +<⇒<-；命题p 且q 为假，p 或q 为真包括：p 真q 假与p 假q 真两种情况；故1a -≥或312a -<<-，即32a >-；⑶(2)42(1)lg 226lg 2f a a a a =++++=+++，(2)(3lg 2)23lg 2lg 2f a a --=++++，32x >-时，20x +>，函数()23lg 2lg 2x x x ϕ=++++在32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， 故3()02a ϕϕ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，即在⑵的条件下，(2)3lg2f >-．【答案】⑴()(1)g x a x =+，2()lg 2h x x a =++， ⑵32a >-，⑶(2)3lg2f >-题型二：全称量词与存在量词【例39】 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题．⑴平面四边形都存在外接圆；⑵有些直线没有斜率； ⑶三角形的内角和等于π； ⑷有一些向量方向不定； ⑸所有的有理数都是整数； ⑹实数的平方是非负的．【考点】全称量词与存在量词 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ．【答案】⑴全称命题；⑵存在性命题；⑶全称命题，意思是所有的三角形都有内角和等于π；⑷存在性命题；⑸全称命题；⑹全称命题【例40】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．⑴线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑵负数的平方是正数；⑶有些三角形不是等腰三角形； ⑷有些菱形是正方形．【考点】全称量词与存在量词 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴全称命题；⑵全称命题；⑶存在性命题；⑷存在性命题．【例41】 设语句()p x ：cos()sin 2πx x +=-，写出“()R p θθ∀∈，”，并判断它是不是真命题．【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 R θ∀∈，cos()sin 2πθθ+=-；由诱导公式知，是真命题．【答案】R θ∀∈，cos()sin 2πθθ+=-；真命题【例42】 用量词符号“∀∃，”表示下列命题，并判断下列命题的真假．⑴任意实数x 都有，2210x x ++>； ⑵存在实数x ，2210x x ++<；⑶存在一对实数a b ，，使20a b +<成立； ⑷有理数x 的平方仍为有理数；⑸实数的平方大于0．⑹有一个实数乘以任意一个实数都等于0．【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴R x ∀∈，2210x x ++>；假命题，1x =-时，结论不成立；⑵R x ∃∈，2210x x ++<；假命题，R x ∈时，2221(1)0x x x ++=+≥； ⑶R a b ∃∈，，20a b +<；真命题，如12a b ==-，； ⑷Q x ∀∈，2Q x ∈；真命题； ⑸R x ∀∈，20x >；假命题，200=．⑹R a ∃∈，R x ∀∈，有0ax =；真命题，0a =即满足．【答案】⑴R x ∀∈，2210x x ++>；假命题⑵R x ∃∈，2210x x ++<；假命题 ⑶R a b ∃∈，，20a b +<；真命题 ⑷Q x ∀∈，2Q x ∈；真命题⑸R x ∀∈，20x >；假命题，200=． ⑹R a ∃∈，R x ∀∈，有0ax =；真命题【例43】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴所有的素数是奇数；⑵一切实数x，有2(1)0x->；⑶对于正实数x，12xx+≥；⑷1sin2sinRx xx∀∈+，≥；⑸一定有实数x满足2230x x--=；⑹至少有一个整数x能被2和3整除；⑺存在两个相交平面垂直于同一条直线；⑻{|x x x∃∈是无理数}，2x是无理数．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴⑵⑶⑷是全称命题，⑸⑹⑺⑻是存在性命题，⑴⑵⑷⑺是假命题，⑶⑸⑹⑻是真命题．【例44】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴21x+是整数（Rx∈）；⑵对所有的实数x，3x>；⑶对任意一个整数x，221x+为奇数；⑷末位是0的整数，可以被2整除；⑸角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；⑹正四面体中两侧面的夹角相等；⑺有的实数是无限不循环小数；⑻有些三角形不是等腰三角形；⑼有的菱形是正方形．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴~⑹是全称命题，⑺~⑼是存在性命题，⑶~⑼是真命题，⑴⑵是假命题．【答案】⑴~⑹是全称命题，⑺~⑼是存在性命题，⑶~⑼是真命题，⑴⑵是假命题【例45】 写出下列命题p 的否定形式，并判断p 与p ⌝的真假．⑴平行四边形的对边相等； ⑵不等式22210x x ++≤有实数解． ⑶R x ∀∈，210x x ++>； ⑷R x ∃∈，21x x +<； ⑸有些实数的绝对值是正数．⑹不是每个质数都是偶数．【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴p ⌝：存在对边不相等的平行四边形；p 真，p ⌝假；⑵p ⌝：不等式22210x x ++≤无实数解；p 假，p ⌝真； ⑶p ⌝：R x ∃∈，210x x ++≤；p 真，p ⌝假； ⑷p ⌝：R x ∀∈，21x x +≥；p 假，p ⌝真；⑸p ⌝：任意实数的绝对值都不是正数（或：,0R x x ∀∈≤）；p 真，p ⌝假． ⑹p ⌝：每个质数都是偶数；p 真，p ⌝假．【答案】⑴p 真，p ⌝假；⑵p 假，p ⌝真；⑶p 真，p ⌝假；⑷p 假，p ⌝真；⑸p 真，p ⌝假；⑹p 真，p ⌝假．【例46】 判断下列命题的真假：(1)对任意的,x y 都有222x y xy +≥； (2)所有四边形的两条对角线都互相平分； (3)∃实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-；(4)存在实数x 使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)是真命题，因为对任意实数,x y ，都有2222()0x y xy x y +-=-≥，∴222x y xy +≥.(2)是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件.(3)是假命题，因为2222425(2)(1)0a b a b a b +-++=-++≥，当且仅当2,1a b ==-时等号成立， 所以不存在实数对,a b ，使22(2)(1)0a b -++<，不存在即实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-.(4)是真命题，因为存在实数20x =>，使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【答案】(1)是真命题，(2)是假命题，(3)是假命题，(4)是真命题。
必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语第2讲 集合的表示方法教师版
第2讲 集合的表示【知识梳理】知识点一 列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【要点讲解】使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a 1，a 2，…，a n }；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.【知识精讲】例1 (1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,9}，若x ∈A 且x ∉B ，则x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．9 (2)用列举法表示下列集合：①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合；③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．【解】选B (1)∵x ∈A ，∴x ＝1,2,3.又∵x ∉B ，∴x ≠1,3,9，故x ＝2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的实数解是x ＝0或x ＝1，所以方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．【变式训练】1、已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .解：对任意a ∈A ，有|a |∈B .因为集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A ，知0,1,2,3∈B .又因为B 中只有4个元素，所以B ＝{0,1,2,3}.2、 用列举法表示下列集合．(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合．解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为B ，那么B ＝{0,1}．3、用列举法表示下列集合．(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．解：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C ，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．4、用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，－1≤x ≤1，且x ∈Z}．解：由－1≤x ≤1，且x ∈Z ，得x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1.∴A ＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．【方法技巧总结】用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．【知识梳理】知识点二描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【要点讲解】1．描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.例1 (1)用符号“∈”或“∉”填空：①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【解】(1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．【答案】(1)①∈∉②∈【变式训练】1、下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象.2、试用描述法表示下列集合．(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．3、用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合．解：{(x，y)|y＝x2－2}．4、用描述法表示下列集合．(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．5、集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )A．{x|x＝2n±1，n∈N}B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}D．{x|x＝(－1)n-1(2n＋1)，n∈N}【解】选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.【方法技巧总结】利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．知识点三集合表示的综合应用【知识梳理】用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．【知识精讲】题型1 选择适当的方法表示集合例1 用适当的方法表示下列集合．(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．解(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．【变式训练】1、若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.【答案】{2 000,2 001,2 004}【解析】由A ＝{x ∈Z|－2≤x ≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x 2∈{0,1,4}，x 2＋2 000的值为2 000,2001,2 004，所以B ＝{2 000,2 001,2 004}．2、设集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈N x N x 26|. ①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .【解】①当x ＝1时，62＋1＝2∈N ； 当x ＝2时，62＋2＝32∉N. 所以1∈B,2∉B .②∵62＋x∈N ，x ∈N ， ∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A .(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．题型2 新定义的集合例2 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{}5n ＋k |n ∈Z ，k ＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a ，b 属于同一“类”，则a －b ∈[0]；④若a －b ∈[0]，则整数a ，b 属于同一“类”．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由于[k ]＝{ 5n ＋k |n ∈Z|，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；对于③，∵a ，b 是同一“类”，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，则a －b ＝5(n 1－n 2)能被5整除，∴a －b ∈[0]，∴③正确；对于④，若a －b ∈[0]，则可设a －b ＝5n ，n ∈Z ，即a ＝5n ＋b ，n ∈Z ，不妨令b ＝5m ＋k ，m ∈Z ，k ＝0,1,2,3,4，则a ＝5n ＋5m ＋k ＝5(m ＋n )＋k ，m ∈Z ，n ∈Z ，∴a ，b 属于同一“类”，∴④正确，则正确的有①③④，共3个．【变式训练】1、 定义集合运算：A ※B ＝{t |t ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 中的所有元素之和为________．答案 6解析 由题意得t ＝0,2,4，即A ※B ＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A ※B 中的所有元素之和为6.【易错题】[典例] 集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．【解析】当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1时，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素．【易错点】解答上面例题时，a ＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是a ＝0，即它是一元一次方程；二是a ≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．【易错点训练】1、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围解：A 中至多有一个元素，即A 中有一个元素或没有元素．当A 中只有一个元素时，由例题可知，a ＝0或a ＝1.当A 中没有元素时，Δ＝4－4a <0，即a >1.故当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围为{a |a ＝0或a ≥1}．2、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围解：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题可知，当a ＝0或a ＝1时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－4a >0，即a <1.∴A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为{a |a ≤1}．3、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若1∈A ，则a 为何值？解：∵1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3.4、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，是否存在实数a ，使A ＝{1}，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：∵A ＝{1}，∴1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3.又当a ＝－3时，由－3x 2＋2x ＋1＝0，得x ＝－13或x ＝1， 即方程ax 2＋2x ＋1＝0存在两个根－13和1，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1，与A ＝{1}矛盾． 故不存在实数a ，使A ＝{1}．【课堂小测】1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)} 解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}．2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y |y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0} 解析：选B 集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3．给出下列说法：①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与集合{x |y ＝1－x }是相等的．其中正确的是________(填序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或⎩⎨⎧ x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故②不正确；集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．答案：①4．已知A ＝{－1，－2,0,1}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，则B ＝________.解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，∴B ＝{0,1,2}．答案：{0,1,2}5．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集；(6)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3){x |x 是梯形}或{梯形}．(4){x |x ＝3n ，n ∈Z}．(5){1,2}．(6){x |x >3}．【课后作业】一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2 C ．{1,2}D ．{(1,2)} 考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合答案 C解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C 不符合．2．集合A ＝{x ∈Z|－2<x <3}的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示有限数集答案 D解析 因为A ＝{x ∈Z|－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2，共4个．3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示点集答案 D解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．{1，－3}考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 C解析 当x >0，y >0时，m ＝3， 当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．5．下列选项中，集合M ，N 相等的是( )A ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}B ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}C ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D ．M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2}考点 集合的表示综合题点 集合的表示综合问题答案 A解析 元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中元素是两个数，N 中元素是一个点，不相等；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相等．6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )A.{}x |x 是小于18的正奇数B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5C.{}x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5 考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 D解析 对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.7．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ∈Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ∈Z ，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A 考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示与余数有关的整数集合答案 D解析 ∵集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3为偶数，故D 错误．8．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( )A ．18B ．17C ．16D ．15答案 B解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M 中的元素是有序数对(a ，b )，所以集合M 中的元素共有17个，故选B.二、填空题9．集合{x ∈N|x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 {1}解析 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1.又x ∈N ，∴x ＝1.10．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合答案 3解析 根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．11．定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －23<0，则集合A －B ＝________.考点 集合的表示综合题点 集合的表示综合问题答案 {x |x ≥2}解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}． 三、解答题12．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示集合的综合问题解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}． 集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．13．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q}．(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．四、探究与拓展14．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N *}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ∈N *}，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( )A ．2 006＝a ＋b ＋cB ．2 006＝abcC ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c ) 考点 用描述法表示集合题点用描述法表示与余数有关的整数集合答案 C解析由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足．故选C.15．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．。
常用逻辑用语.板块一.命题与四种命题.教师版
题型一：判断命题的真假【例1】 判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【考点】判断命题的真假 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴是命题；⑵不是命题；⑶不是命题；⑷不是命题；⑸是命题．【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根. （4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【考点】判断命题的真假 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 对于判断是否是命题的问题，主要根据命题的定义加以判断.命题的定义是“可以判断真假的陈述句”，因此说，要想判断一个语句是否是命题，主要判断两个方面：一是所给出的语句是否能判断真假，另一方面，是要看这个语句是不是陈述句.而对于（1）中的反意疑句句，如果将它转化为陈述句即为“矩形是平行四边形”，是可以判断真假的，从而是命题；（2）这是疑问句，题设条件没有对语句的真假作出判断，不是命题；（3）是祈使句；（4）是开语句；（5）这典例分析板块一.命题与四种命题是一种特殊的陈述句，但是目前为止无法判断真假，但是但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假，所以也是命题.【答案】（1）是命题，且是真命题.（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断.（3）不是命题，是祈使句. （4）是开语句，不是命题. （5）是命题.但目前无法判断真假.【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 π()3p ：5ππcos sin 63=-，左边== 【答案】π()3p ：5ππcos sin 63=-，真命题【例4】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交；⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B Ú，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴假命题，还可能是异面直线；⑵假命题，这两个平面可以平行也可以相交，不一定垂直；⑶假命题，常值函数是周期函数，但没有最小正周期；⑷假命题，反例：1)1-=．⑸假命题，反例：{12}A =，，{1}B =；事实上A B A B A ⇒≠Ú； ⑹真命题，因为1m >时，440m ∆=-<，方程无实根； ⑺假命题，如132a b c d ====，，，即为反例；⑻真命题，若结论不成立，即有a c b d ==，a b c d ⇒+=+．【答案】⑴假命题，⑵假命题，⑶假命题，⑷假命题，⑸假命题，⑹真命题，⑺假命题，⑻真命题.【例5】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①假命题，如12a =；②假命题，集合N 中最小的数是0，如01a b ==，；③假命题，{}11，与集合元素的互异性矛盾． 【答案】A【例6】 命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（ ）A ．p 真q 真B ． p 真q 假C ． p 假q 真D ． p 假q 假【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ；奇函数可以在0处无定义；对勾函数的单调减区间不能写成并集形式；【答案】D【例7】 给出下列三个命题：①若1≥a b >-，则11≥a ba b++；②若正整数m 和n 满足≤m n 2n；③设11()，P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以()，Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 与圆2O 相切；其中假命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【考点】判断命题的真假 【难度】2星【题型】选择【关键词】2005年，天津，高考【解析】 ①1()111x f x x x==-++在(1)，-+∞上为增函数，故①真；由均值不等式知②真；③由等式知点P 为圆12，O O 的交点，得不出其它结论，故③假；假命题个数为1．【答案】B【例8】 已知三个不等式：000，，c dab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 易知由000，c d ab bc ad a b >->⇒->；000，c dab bc ad a b>->⇒->； 000，c dbc ad ab a b->->⇒>．【答案】D ；【例9】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【考点】判断命题的真假【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D ．【例10】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥．其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】判断命题的真假 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 ②③正确．【答案】C ；【例11】 已知三个不等式：0,0,0c dab bc ad a b>->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （）A. 0B. 1C. 2D. 3【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 易知由0,00c dab bc ad a b>->⇒->； 0,00c dab bc ad a b>->⇒->；0,00c dbc ad ab a b->->⇒>.【答案】D【例12】 下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象．⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数．其中真命题的序号是 ．【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】① ④【例13】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，安徽，高考【解析】 ①显然是真命题；将△BCD 固定，A 点任意，则垂足也是任意的，但△BCD 的三条高线的交点是固定的，故②是假命题；③也是假命题，比如ABCD 是正四面体；任意两对棱中点的连线都互相平分，因此三条线段交于一点，④是真命题； 不妨设棱AB 最长，由AD BD AB +>及AC BC AB +>，可得2AD BD AC BC AB +++>，因此必有AC AD AB +>或BC BD AB +>成立，⑤是真命题．【答案】①④⑤；【例14】 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，江苏，高考【解析】【答案】①②【例15】 若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________.【考点】判断命题的真假 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 提示：[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,514x x x <>⎧⎨≤≤⎩或【答案】[)1,2【例16】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2faa =，则f 是平面M 上的线性变换；w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点】判断命题的真假 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，四川，高考【解析】 令01，a b λμ====，由题有(0)2(0)(0)0f f f =⇒=，故①正确； 由题()2()f a b a b λμλμ+=+，()()222()f a f b a b a b λμλμλμ+=+=+， 即()()()f a b f a f b λμλμ+=+，故②正确；由题()f a b a b e λμλμ+=+-，()()f a f b a e b e λμλμ+=-+-， 即()()()f a b f a f b λμλμ+≠+，故③不正确；由题b a λ=，(0)()()()0()()f f b a f b f a f b f a λλλ=-=-=⇒=，即()()，f a f b 也共线，故④正确；【答案】①②④；【例17】 设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)x f x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是 .【考点】判断命题的真假 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】 |||1|x x ++表示x 轴上的点到点(0,0)和(1,0)-的距离之和，易知其最小值为1，若命题p 为真，则1a <；若命题q 为真，则731a ->， 可得2a <. p 真q 假不可能，若p 假q 真，则有12a ≤<.【答案】[1,2)【例18】 关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3 【考点】判断命题的真假 【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】 本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令21x t -=(0)≥t ①， 则方程化为20t t k -+=②， 作出函数21y x =-的图象，结合函数的图象可知：⑴当0t =或1t >时方程①有2个不等的根；⑵当01t <<时方程①有4个根；⑶当1t =时，方程①有3个根．故当0t =时，代入方程②，解得0k =此时方程②有两个不等根0t =或1t =，故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即104k <<此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程21x t -=的解有8个，即原方程的解有8个；当14k =时，方程②有两个相等正根12t =，相应的原方程的解有4个． 【答案】B ．【例19】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【考点】判断命题的真假 【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】 记，，A B C 三点的坐标分别为()()()，，，，，A A B B C C x y x y x y ， 则+≥A C C B A C C B A B A B AC CB x x x x y y y y x x y y AB +=-+--+--+-=，当，C C x y 都分别在，A B x x 与，A B y y 之间时，上面的不等式取到等号，故①正确，③不一定；对于②，取(00)(01)(1，，，，，C A B ，则②中等式左边112=+=，右边2(11)4=+=，故②假．【答案】A ；【例20】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．【考点】判断命题的真假 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，江西，高考【解析】 如图，设221x y +=的一条半径与x 轴正半轴所成的角为(02)≤≤πθθ，该半径在圆上的点坐标为(cos sin )θθ，，易知过该点的圆的切线方程为cos sin 1x y θθ+=（一般的，过圆222x y r +=上一点00()x y ，的圆的切线方程为200xx yy r +=），将圆221x y +=向y 轴正方向平移两个单位，则相应的切线方程为cos (2)sin 1x y θθ+-=，所以直线系M 是与圆22:(2)1C x y +-=相切的所有直线．A 错，因为过定点的圆的切线最多两条；B 对，显然圆C 内的点不在M 中的任一条直线上；C 对，因为对3≥n n ∀∈N ，，存在正n 边形与圆C 相切，正n 边形的边所在的直线即满足要求；D 错，圆C 是正三角形的内切圆和旁切圆时，正三角形的面积不相等．【答案】B 、C ；题型二：四种命题之间的关系【例21】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】逆命题：若||||x y =，则x y = （假，如1x =，1y =-）否命题：若x y ≠，则||||x y ≠ （假，如1x =，1y =-） 逆否命题：若||||x y ≠，则x y ≠ （真，∵||||x y x y =⇒=）【例22】 写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无.【解析】【答案】逆命题:若b a +是偶数，则b a ,都是偶数，它是假命题;否命题:若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数，它是假命题; 逆否命题:若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数，它是真命题.【例23】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假）否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假） 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真） ⑵逆命题：若a b +是偶数，则a 和b 都是偶数．（假）否命题：若a 和b 不全是偶数，则a b +不是偶数．（假） 逆否命题为：若a b +不是偶数，则a 和b 不都是偶数．（真）⑶分析：“当0c >时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a b >，结论是ac bc >．逆命题：当0c >时，若ac bc >，则a b >．（真） 否命题：当0c >时，若a b ≤，则ac bc ≤．（真） 逆否命题：当0c >时，若ac bc ≤，则a b ≤．（真） ⑷逆命题：若3x =且2y =，则5x y +=．（真） 否命题：若5x y +≠，则3x ≠或2y ≠．（真） 逆否命题：若3x ≠或2y ≠，则5x y +≠．（假）【例24】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【考点】四种命题之间的关系 【难度】星2 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴命题p 的否命题为：若0ac <，则二次方程20ax bx c ++=有实根，p 的否命题是真命题．∵0ac <，0ac ->240b ac ⇒∆=->⇒二次方程20ax bx c ++=有实根． ∴该命题是真命题．⑵命题q 的否命题为：若x a =或x b =，则2()0x a b x ab -++=． 该命题是真命题．⑶命题r 的否命题为：若(1)(2)0x x --≠，则1x ≠且2x ≠． 该命题是真命题．⑷命题l 的否命题为：ABC ∆中，若90C ︒∠≠，则A ∠、B ∠中至少有一个不是锐角．该命题是假命题．⑸命题s 的否命题为：若0abc ≠，则a b c ，，都不为零． 该命题是真命题．【例25】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ①中条件p ：两个三角形全等；结论q ：两个三角形面积相等，p q ⇒；②为q p ⇒，故为命题①的逆命题；③为p q ⌝⇒⌝，故为命题①的否命题； ④为q p ⌝⇒⌝，故为命题①的逆否命题．【答案】②为命题①的逆命题；③为命题①的否命题；④为命题①的逆否命题．【例26】 下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①的否命题为：若220x y +=，则0x y ==，真命题；②的逆命题为：相似的多边形都是正多边形，假命题； ③中原命题是真命题，故逆否命题也为真命题；④中原命题是真命题，因为若x 是有理数，x 也为有理数，得()x x -=题．【答案】B ．【例27】 命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 0a b ==的否定为，a b 至少有一个不为0． 【答案】D ；【例28】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x -B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2007年，重庆，高考【解析】【答案】D ．【例29】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅的情况有：2a =-或22240625(2)4(4)0a a a a ⎧-<⎪⇒-<<⎨++-<⎪⎩，故当625≤a -<时，不等式解集为空集；又6[11]25，，⎡⎫-⊆-⎪⎢⎣⎭，故原命题、逆否命题为真，否命题与逆命题为假． 【答案】B.【例30】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”，为真命题；②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；③为真命题，∵1q ≤时，一元二次方程的判别式440q ∆=-≥，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.【答案】C ．【例31】 下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①假命题，集合N 中最小的数是0；②假命题，如12a =； ③假命题，如0,1a b ==；④假命题，{}1,1与集合元素的互异性矛盾. 【答案】A【例32】 有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③④【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”为真命题；②的否命题为 “不全等三角形的面积不相等相等”为假命题； ③的逆否命题为“若220x x q ++=有实根,则1q ≤”，为真命题； ④的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，是假命题.【答案】C【例33】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 逆命题和否命题是真命题．【答案】C ；【例34】 给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C ；【例35】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D ．【例36】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ①的逆命题为“若x y ，互为相反数，则0x y +=”为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不相等”为假命题；③的逆否命题为“若220x x q ++=没有实根，则1q >”，为真命题； ④的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，是假命题．【答案】C ；【例37】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 命题的条件p 为：ABC ∆不是等腰三角形；结论q 为：它的任意两个内角不相等．p ⌝：ABC ∆是等腰三角形；q ⌝：存在两个内角相等；故所求的逆否命题为：若ABC ∆有两个内角相等，则它是等腰三角形．【答案】若ABC ∆有两个内角相等，则它是等腰三角形．【例38】 下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B Ü”； ②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】②④．【例39】 “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为；【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】在ABC ∆中，若90°C ∠≠，则，A B ∠∠不都是锐角；【例40】 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 ①、②显然正确；③当1≤m 时，有440≥m ∆=-，∴方程有实数根，即原命题为真，∴它的逆否命题也为真；④A B B =则B A ⊆，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假．【答案】①②③；【例41】 命题“若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.【考点】四种命题之间的关系 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 原命题是真命题.【答案】原命题的逆否命题是“若x y +不是偶数，则,x y 不都是奇数”， 它是真命题.【例42】 写出命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.【考点】四种命题之间的关系 【难度】星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】原命题的逆否命题是：“若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”.它是真命题.∵方程20x x m +-=没有实数根， ∴140m ∆=+<， ∴14m <-， ∴0m ≤成立.(也可以证明原命题正确)【例43】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列； ⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【考点】四种命题之间的关系 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴∵11m m m S S a ++=+，212m m m m S S a a +++=++．由已知212m m m S S S ++=+，∴1212()()m m m m m m S a a S S a +++++=++，∴2112m m a a ++=-，即数列{}n a 的公比12q =-．∴112m m a a +=-，214m m a a +=，∴212m m m a a a ++=+，∴m a ，2m a +，1m a +成等差数列．⑵⑴的逆命题是：若m a ，2m a +，1m a +成等差数列，则m S ，2m S +，1m S +成等差数列．设数列{}n a 的公比为q ，∵1m m a a q +=，22m m a a q +=．由题设，212m m m a a a ++=+，即22m m m a q a a q =+，即2210q q --=，∴1q =或12q =-．当1q =时，∴1m S ma =，21(2)m S m a +=+，11(1)m S m a +=+不成等差数列． 故逆命题为假．【例44】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么OA 3OB ⋅=”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【考点】四种命题之间的关系 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2006年，上海，高考【解析】【答案】（1）［证法一］设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).①当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于点A (3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；②当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴3)(41212212121=+=+=⋅y y y y y y x x OB OA 综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OA OB ⋅=3”是真命题.［证法二］设直线l ：3+=ty x 代入抛物线y 2=2x 消去x ，得0622=--ty y . 设),(11y x A ，),(22y x B ，则t y y 221=+，621-=y y ， 从而1212121233OA OB x x y y (ty )(ty )y y ⋅=+=+++=21212129)(3y y y y t y y t ++++=3692362=-+⋅+-=t t t ，∴“如果直线l 过点T （3，0），那么OA OB ⋅＝3”是真命题.(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：智康高中数学.板块一.命题与四种命题.题库.教师版 21 ()213y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上. ［证明］设直线l ：b ty x +=代入抛物线y 2=2x 消去x ，得0222=--b ty y .，设),(11y x A ，),(22y x B ，则t y y 221=+，b y y 221-=，∴OA OB ⋅=121212()()x x y y ty b ty b +=+++12y y 22121212()t y y bt y y b y y =++++ b b b b t bt bt 2222222-=-+⋅+-=，令322=-b b 得3=b 或1-=b .此时直线l 过点(0,3)或(0,1-)，故原命题为假命题.。
常用逻辑用语知识点教师
常用逻辑用语目标认知考试大纲要求:1。
理解命题的概念；了解逻辑联结词“或"、“且"、“非”的含义。
2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系。
3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点：充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分（或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理知识点一:命题1。
定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。
（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p，q，r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“"的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。
如:一定推出。
②若要判断命题“"是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非"这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
(2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定).(3)复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真,可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假,可简称为“一假必假”。
③“非p"与p的真假相反。
注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义,以“p或q"为例:一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立.可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式:“p或q”的否定是“p且q”; “p且q”的否定是“p或q”。
数学常用逻辑用语
数学常用逻辑用语
1. 嘿，数学常用逻辑用语就像一把神奇的钥匙，能打开好多知识大门呢！比如“如果今天下雨，我就带伞”，这不就是典型的条件语句嘛！
2. 哇塞，数学常用逻辑用语可是很重要的呀！就像我们说话做事要有条理一样，比如“要么吃苹果，要么吃香蕉”，多明确呀！
3. 哎呀，数学常用逻辑用语真的超有意思！就像走迷宫有了指引，比如“所有的三角形内角和都是 180 度”，这就是普遍真理呀！
4. 嘿呀，数学常用逻辑用语可不是吃素的！就好像给你指明方向的灯塔，比如“若一个数是偶数，那它一定能被 2 整除”。
5. 哇哦，数学常用逻辑用语那可太关键啦！就如同游戏规则一样，比如“存在一个数使得等式成立”，这多神奇！
6. 哟呵，数学常用逻辑用语简直妙不可言！好比是搭建房子的基石，比如“只要努力学习，就会取得好成绩”。
7. 哈哈，数学常用逻辑用语太好玩啦！就像一个神秘的密码锁，比如“当且仅当条件满足时才成立”，是不是很特别！
8. 哎呀呀，数学常用逻辑用语真的很神奇呢！就像我们走路要有路线一样，比如“非此即彼”的判断。
9. 嘿哟，数学常用逻辑用语真的超厉害！就如同给你力量的魔法，比如“若 A 则B”这样的逻辑关系。
10. 哇啦，数学常用逻辑用语那可是相当重要啊！就好像是航行中的指南针，比如“不是正数就是负数或0”。
我觉得数学常用逻辑用语是数学中非常基础且关键的部分，掌握了它，能让我们更好地理解和运用数学知识呀！。
高中数学：常用逻辑用语
常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。
其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。
2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。
（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。
3.一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件 （1）充分条件：如果A 成立，那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。
（2）必要条件：如果A 成立，那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。
（3）充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是A 成立的重要条件，所以此时，A 、B 互为充要条件。
【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A ＝＞B ”的不同表达方法。
5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （¬p ）。
（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。
6.量词与命题量词名称 常见量词表示符号全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命 题 表述形式 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p（2）全称命题与特称命题 命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常用逻辑用语
目标认知
考试大纲要求：
1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.
3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
重点：充分条件与必要条件的判定
难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理
知识点一：命题
1. 定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.
（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.
（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题
（3）命题“”的真假判定方式：
①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。
如：一定推出.
②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.
2. 逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.
（2）复合命题的构成形式：
①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.
（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：
非
真真假真真
真假假真假
假真真真假
假假真假假
①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
③“非p”与p的真假相反.
注意：
（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。
可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.
（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；
否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.
2. 四种命题的关系
①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命
题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。
知识点三：充分条件与必要条件
1. 定义：
对于“若p则q”形式的命题：
①若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若p q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若既有p q，又有q p，记作p q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
2. 理解认知：
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，
再用结论推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.
“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
3. 判断命题充要条件的三种方法
（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原
命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用
与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A B可判断为A B；A=B可判断为A B，且
B A，即A B.
如图：
“”“，且”是的充分不必要条件.
“”“”是的充分必要条件.
知识点四：全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词
全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)
成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。
含有
存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示
为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
2. 对含有一个量词的命题进行否定
（I）对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p：，他的否定：全称命题的否定是特称命题。
（II）对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p：，他的否定：特称命题的否定是全称命题。
注意：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。
（2）一些常见的词的否定：
正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个
规律方法指导
1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真
假性一致.
2. 要注意区分命题的否定与否命题.
3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二
者相互对照可加深认识和理解.
4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。
对于充要条件的证明，必须证明充分
性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命
题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.
5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。
总结升华：
1. 判断复合命题的真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式；
②判断其中简单命题p和q的真假；
③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.
2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.
类型二：四种命题及其关系
2. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
解析：逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；
否命题：已知是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；
逆否命题：已知是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。
总结升华：
1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；
2. 互为逆否命题的两个命题同真假；
3. 注意区分命题的否定和否命题.
类型三：全称命题与特称命题真假的判断
总结升华：
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素，验证成立；
要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立可；
2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使
成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
类型四：充要条件的判断
总结升华：
1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；
2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是与关系.
类型五：求参数的取值范围
总结升华：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q 真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．
总结升华：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。
类型六：证明
总结升华：
1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，
得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，
或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是
比原命题更具体更容易研究的命题.
2. 反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．
总结升华：
1. 对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须分清条件是什
么，结论是什么。
2. 充分性：由条件结论；必要性：由结论条件.
3.叙述方式的变化（比如是的充分不必要条件”等价于“的充分不必要要条件是”）.。