自动控制原理(系统根轨迹分析)
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理-第4章 根轨迹
又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理根轨迹
D( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0 G( s ) H ( s ) 1
根轨迹方程
G ( s)
C (s)
H (s)
(i 0,1, 2)
m
G( s) H ( s) e jG( s ) H ( s ) 1 e j ( 180 i360 )
1、幅值条件
1、根轨迹分支数等于4；
-2.73 0
2、根轨迹起点和终点；
3、根轨迹的渐近线：n=4,m=0,四条
n m
a
p z
i 1 i j 1
j
nm
0 1 j 1 j 2.73 1.18 4
渐近线与实轴正向夹角分别是
(2l 1) a ,( l 0,1, 2, 3), 45,135, 135, 45 nm
G( s ) H ( s ) 1
即 |G(s)H(s)|
k | s zi | | s pi |
i 1 i 1 n
1
2、相角条件
G( s ) H ( s ) 180 i 360
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1 i 1 m n
同样s3点也不是根轨迹上的点。
结论
实轴上某段区域右边的开环实数零点和开环实数极点总 数为奇数时，这段区域必为根轨迹的一部分。
p3
j
0
p2
°
z2
p1
°
z1 p4
六.根轨迹与实轴的交点
分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。 分离点 会合点
K 0
d
K 0
K
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
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武汉工程大学自动控制原理实验报告专业班级：指导老师：姓名：学号：实验名称：系统根轨迹分析实验日期：2011-12-01第三次试验一、实验目的1、掌握利用MATLAB精确绘制闭环系统根轨迹的方法；2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响；二、实验设备1、硬件：个人计算机2、软件：MATLAB仿真软件（版本6.5或以上）实验内容1．根轨迹的绘制1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K )()(s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。
2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。
关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。
不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。
图3.1 函数rlocus 的调用例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。
图3.2 闭环系统一图3.3 闭环系统一的根轨迹及其绘制程序注意：在这里，构成系统s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中s最高次幂项的系数为1。
当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1);当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。
对于图 3.2 所示系统，G(s)H(s)=)2()1(++s s s K *11+s =)3)(2()1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys :sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1)若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 r locfind 。
然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。
将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。
另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某点 并点击鼠标左键，这时图上会出现一个关于该点的信息框，其中包括该系统在此点的特征根的值及其 对应的 K 值、超调量和阻尼比等值。
图 3.4 给出了函数 r locfind 的用法。
2．实验内容图3.5 闭环系统二1） 对于图 3.5 所示系统，编写程序分别绘制当（1） G(s)=)2(+s s K,（2） G(s)=)4)(1(++s s s K,（3） G(s)=)6)(4)(2(+++s s s s K,（4） G(s)=)24)(24)(4)(2(j s j s s s s K-+++++,（5） G(s)=)2()4(++s s s K ,（6） G(s)=)4)(2()6(+++s s s s K ,（7） G(s)=)4)(2()24)(24(++-+++s s s j s j s K时系统的根轨迹，并就结果进行分析。
解析： (1)运行程序sys=zpk([ ],[0,-2],1);rlocus(sys); rlocfind(sys); 运行结果：-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s系统极点：p=0,-2 无零点 故有两条渐近线，且φ=090，-090 渐近线与实轴的交点：σ=2)2(0-+=-1 分离点：K=-s(s+2),dK/ds=-2s-2,令其=0，则s=-1，此时K=1当K=0时，系统根轨迹从极点0，-2处出发；当K=1时，在实轴的-1处会合，分别沿垂直于-1的直线以090，-090方向延伸，在根轨迹无穷远处，K=∞ 由分析可知，运行结果与理论结果一致。
（2）运行程序sys=zpk([ ],[0,-2,-4],1);rlocus(sys); rlocfind(sys); 运行结果：-12-10-8-6-4-2024-8-6-4-22468Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s系统极点：p=0,-2,-4 无零点 系统有三条渐近线，且φ=060，-060，0180 渐近线与实轴的交点：σ=3420--=-2 根轨迹与虚轴的交：点令s=jw,带入特征方程s(s+2)(s+4)+K=0,得：jw(8-2w )+(K-62w )=0,故w=2.83,-2.83 带入特征方程验证，K>0 实轴上的根轨迹：[-2,0]，（-∞，-4）[-2,0]之间的根轨迹，K=0时，分别从-2,0出发；当K=3.08*2*4=24.64时会合，再分别沿渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ （-∞，-4）之间的根轨迹，K=0时，从-4出发，沿负实轴趋于无穷，无穷远处，K −→−∞ 由分析可知，运行结果与理论结果一致。
(3)运行如下程序:sys=zpk([ ],[0 -2 -4 -6],1); rlocus(sys);rlocfind(sys); 运行结果如下：-15-10-50510-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s系统极点：p=0,-2,-4，-6 无零点系统有四条渐近线，且φ=045，-045，-0135，0135 渐近线与实轴的交点：σ=4642---=-3 分离点：，解得：，当2s 带入特征方程时，k<0,故舍去。
根轨迹与虚轴的交点：令s=jw,带入特征方程为0484412234=++++K s s s s ，令实部和虚部分别为0，得：w=2或-2,k=160 实轴上的根轨迹：[-2,0],[-6,-4][-2,0]之间的根轨迹：当K=0时，分别从-2,0出发，当K=16*2*486=768时，在实轴上会合，再分别沿0045,45-渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ [-6,-4]之间的根轨迹：当K=0时，分别从-6，-4出发，当K=768时，在实轴上会合，再分别沿00135,135-渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ 根据分析可知，运行结果与理论结果一致。
（4）运行如下程序：sys=zpk([ ],[0 -2 -4 -4-2j -4+2j],1); rlocus(sys); rlocfind(sys); 运行结果如下：-15-10-50510-15-10-551015Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s系统极点：p=0,-2,-4，-4-j2,-4+j2 无零点系统有五条渐近线，且φ=5180*)12(0+q （q=0,1,2,3,4）,即φ=00000180,108,108,36,36--渐近线与实轴的交点：σ=5242442j j +-----=-514根轨迹与虚轴的交点：令s=jw,带入特征方程,016018476142345=+++++K s s s s s 解得w=2.15或73.85（舍去，不符合K>0）实轴上的根轨迹：[-2,0],（-∞，-4）[-2,0]之间的根轨迹：当K=0时，分别从-2,0出发，在s=-0.648[此时K=44.7*2*4*(4+j2)*(4-j2)]处会合，然后沿0036,36-的渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ （-∞，-4）之间的根轨迹：当K=0时，从-4出发，沿0180渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ 同时，当K=0时，系统根轨迹分别从-4-j2,-4+j2出发，沿00108,108-渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ 运行结果与理论结果一致。
（5）运行如下程序： sys=zpk([-4],[0 -2],1); rlocus(sys); rlocfind(sys); 运行结果如下：系统极点：p=0，-2 零点：-4 系统有一条渐近线，φ=0180分离点：211++s s =41+s ，解得：s=-4+22或-4-22根轨迹是一个以-4为圆心，22为半径的圆根轨迹分别从-2,0出发，在s=-4+22处会合，然后分开，顺着圆的轨迹在s=-4-22处会合，一条终止于s=-4处，另一条终止于s −→−-∞处。
起点处，K=0，终点处，K −→−∞ 由分析可知，实验结果与理论结果一致。
（6）运行如下程序： sys=zpk([-6],[0 -2 -4],1); rlocus(sys); rlocfind(sys);运行结果如下：Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s-6-5-4-3-2-10系统极点：p=0,-2,-4 零点：-6 系统有两条渐近线，且φ= 090,-090 渐近线与实轴的交点：σ=4)6(42----=0令s=jw,代入s(s+2)(s+4)+K(s+6)=0,得：jw(2w +8+K)+6(2w -1)=0,故w=1,-1 而此时，K=-9<0,所以根轨迹与虚轴没有交点。
实轴上的根轨迹：[-2,0],[-6,-4][-2,0]之间的渐近线：当K=0时，根轨迹分别从-2,0出发；当K=0.603时，在实轴上s=0.936处会合，在分别沿着090,-090的渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ [-6,-4]之间的根轨迹：当K=0时，从-4出发，当K −→−∞时，根轨迹终止于零点-6由以上分析可知，运行结果与理论结果一致。
（7）运行以下程序：sys=zpk([-4-2j -4+2j],[0 -2 -4],1); rlocus(sys); rlocfind(sys); 运行结果如下：Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s-8-7-6-5-4-3-2-10-4-3-2-11234系统的极点：p=0,-2,-4 零点：-4-j2，-4+j2 系统有一条渐近线，且φ= 0180 渐近线与实轴的交点：σ=4.05)24()24(420=+-------j j令s=jw,代入s(s+2)(s+4)+K(s+4+j2)(s+4-j2)=0,得jw(8+8K-2w )+(20K-62w -K w 2)=0.令实部和虚部分别为0，得w=-10+j 60或-10-j 60.而此时K<0,故根轨迹与虚轴无交点。
实轴上的根轨迹：[-2,0],(-4,-∞)[-2,0]之间的根轨迹：当K=0时，根轨迹分别从-2,0出发；当K=0.232*4*2)24)(24(j j -+=0.58时，在实轴的s=-1.06处会合；在K −→−∞时，终止于零点-4-j2,-4+j2(-4,-∞)之间的根轨迹：当K=0时，根轨迹从-4出发，在K −→−∞时，终止于负实轴的无穷远处由以上分析可知，运行结果与理论结果一致。