6-3多元函数的连续性
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第1节多元函数的概念(二)
lim 多元函数的连续定义 p p f ( P ) f ( P0 )
0
由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主 要概念、性质与二元函数类似. 因此，对于多元函数 微积分的研究主要以二元函数为主,多元函数微积分 可以由二元函数微积分类似推广.
小 结
一.多元函数的连续性
x x 0 , y y0
2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性 如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内 每一点都连续， 则函数z=f (x, y)在区域D内 连续，并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数. 二元连续函数的图形 是空间中的一个不断开 (无孔无缝)的连续曲面。
四.多元函数的连续性
z
z f ( x, y )
x 0 y 0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
lim z 0
二.闭区域上连续函数的性质
作业:P302 5(1)
四.多元函数的连续性
思考题1
设为空间任一有界闭区域，P为外 一点。问上是否一定有到P点最远和 最近的点存在？为什么？
四.多元函数的连续性
思考题1解答 有. 设P点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 )，Q( x , y , z )为上 任意一点 , 则两点间距离为
PQ ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
它 上 连 函 ， 是 的 续 数 由闭区域上连续函 数的性质可知，一定有最大值和最小值存在
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx
0
由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主 要概念、性质与二元函数类似. 因此，对于多元函数 微积分的研究主要以二元函数为主,多元函数微积分 可以由二元函数微积分类似推广.
小 结
一.多元函数的连续性
x x 0 , y y0
2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性 如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内 每一点都连续， 则函数z=f (x, y)在区域D内 连续，并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数. 二元连续函数的图形 是空间中的一个不断开 (无孔无缝)的连续曲面。
四.多元函数的连续性
z
z f ( x, y )
x 0 y 0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
lim z 0
二.闭区域上连续函数的性质
作业:P302 5(1)
四.多元函数的连续性
思考题1
设为空间任一有界闭区域，P为外 一点。问上是否一定有到P点最远和 最近的点存在？为什么？
四.多元函数的连续性
思考题1解答 有. 设P点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 )，Q( x , y , z )为上 任意一点 , 则两点间距离为
PQ ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
它 上 连 函 ， 是 的 续 数 由闭区域上连续函 数的性质可知，一定有最大值和最小值存在
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
多元函数的基本概念52774
P
E
定义： 如果点 P(可以属E于,也可不属E)于 的
任 一 邻 域 内 既 有 E的属点于 ,也 有 不 属 于E的 点,则 称P为E的 边 界.E点的 边 界 点 的 全 体 称 E的为边 界 ,记 为E.
P
E
定义：设E是平面上的一个,点 P是集平面上 的一个点 ,如果点P的任何一个邻域 内总有无限多个点点属集于 E,则称 P为E的聚点.
自变量、因变量等概念。
3、多元函数的图形（二元为例）
设函数z f (x, y)的定义域为 D,对于任意给定的 P(x, y)D,对应的函数值z为 f (x, y),这样,以x 为横坐标,以y为纵坐标,以z为竖坐标在空间就 确定一点M(x, y, z),当(x, y)取遍D上一切点时 ,得
到一个空间点x集, y, z) z f (x, y),(x, y)D,这
(2)找 两 种 不 同,趋 使li近 mf(方 x,y式 ) xx0 yy0 存 在 ,但 两 者,则 不 f(x等 ,y)在 点 (x0,y0) 处 极 限 不 . 存 在
四、多元函数的连续性
定义： 设n元函f(数 P)的定义域D 为 ,P0点 D集
是
其
聚 ,如点果 limf(P) PP0
（开集） （闭集） （都不属于）
6、区域与闭区域 定义：设D是开集 .如果对D于内任何两,都 点可 用折线连结起 ,且来该折线上的点都属 于D,则称开D集是连通(的 如下图 ).
y
连通的开集称为区域或开区域.
例 :{如 x ,(y )|1 x 2y2 4 }.
o
x
y
开区域连同它的边 起界 称一 为闭区 . 域
3多元函数的图形二元为例图形个点集称为二元函数的确定一点为竖坐标在空间就这样对应的函数值为对于任意给定的的定义域为设函数sinxy中的线性运算距离及重要子集类1线性运算线性组合的线性运算记为邻域是某一正数面上的一个点记为去心邻域称为中除去点常不写出以上不强调半径时的某一邻域如果存在点是平面上的一是平面上的一个点集记为的边界点的全体称为的边界的边界点也可不属于可以属于如果点内总有无限多个点属于的任何一个邻域如果点的一个点是平面上是平面上的一个点集1内点一定是聚点
E
定义： 如果点 P(可以属E于,也可不属E)于 的
任 一 邻 域 内 既 有 E的属点于 ,也 有 不 属 于E的 点,则 称P为E的 边 界.E点的 边 界 点 的 全 体 称 E的为边 界 ,记 为E.
P
E
定义：设E是平面上的一个,点 P是集平面上 的一个点 ,如果点P的任何一个邻域 内总有无限多个点点属集于 E,则称 P为E的聚点.
自变量、因变量等概念。
3、多元函数的图形（二元为例）
设函数z f (x, y)的定义域为 D,对于任意给定的 P(x, y)D,对应的函数值z为 f (x, y),这样,以x 为横坐标,以y为纵坐标,以z为竖坐标在空间就 确定一点M(x, y, z),当(x, y)取遍D上一切点时 ,得
到一个空间点x集, y, z) z f (x, y),(x, y)D,这
(2)找 两 种 不 同,趋 使li近 mf(方 x,y式 ) xx0 yy0 存 在 ,但 两 者,则 不 f(x等 ,y)在 点 (x0,y0) 处 极 限 不 . 存 在
四、多元函数的连续性
定义： 设n元函f(数 P)的定义域D 为 ,P0点 D集
是
其
聚 ,如点果 limf(P) PP0
（开集） （闭集） （都不属于）
6、区域与闭区域 定义：设D是开集 .如果对D于内任何两,都 点可 用折线连结起 ,且来该折线上的点都属 于D,则称开D集是连通(的 如下图 ).
y
连通的开集称为区域或开区域.
例 :{如 x ,(y )|1 x 2y2 4 }.
o
x
y
开区域连同它的边 起界 称一 为闭区 . 域
3多元函数的图形二元为例图形个点集称为二元函数的确定一点为竖坐标在空间就这样对应的函数值为对于任意给定的的定义域为设函数sinxy中的线性运算距离及重要子集类1线性运算线性组合的线性运算记为邻域是某一正数面上的一个点记为去心邻域称为中除去点常不写出以上不强调半径时的某一邻域如果存在点是平面上的一是平面上的一个点集记为的边界点的全体称为的边界的边界点也可不属于可以属于如果点内总有无限多个点属于的任何一个邻域如果点的一个点是平面上是平面上的一个点集1内点一定是聚点
8.2 多元函数的极限与连续
y→2 y→2
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
高等数学中的多元函数及解题方法
高等数学中的多元函数及解题方法多元函数是高等数学中的重要概念，它可以用来描述现实生活中各种事物的数学模型。
多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数，通常用符号f(x,y,z...)表示。
在解题过程中，我们需要掌握多元函数的性质和解题方法，下面将详细介绍。
一、多元函数的性质1. 定义域和值域多元函数的定义域是自变量可以取值的范围，值域是函数的取值范围。
比如，一个函数f(x,y)=x^2+y^2的定义域是全平面，值域为非负实数。
2. 偏导数多元函数的偏导数是指在函数中，除了求解关于本变量的导数外，其余自变量都视为常数而求出的导数。
如f(x,y)=x^2y^3,其中对x求偏导数，得到f_x(x,y)=2xy^3，对y求偏导数，得到f_y(x,y)=3x^2y^2。
3. 连续性与可导性多元函数在一定条件下是可导的，也有时可能不可导。
对于连续函数来说，它们都是可导的，而像分段定义的函数等非连续函数则可能不可导。
4. 极值与最值多元函数在取极值或最值时，需要求偏导数并令其为0来解方程组，从而求出临界点，再进行分类讨论。
其中，当一阶偏导数都为0时，需要继续求解二阶偏导数，看是否为正或负，以确定是极大值点还是极小值点。
二、多元函数的解题方法1. 隐函数求导法隐函数求导法是多元函数求导的重要方法。
对于f(x,y)=0这样的方程组，我们需要对其做一个导数，所以可以通过隐函数求导法来求解。
具体来说，我们需要对方程组两边同时求导，得到（∂y/∂x）=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)，从而得到y关于x的导数式子。
2. 幂级数展开法多元函数幂级数展开法是指在求解某些多元函数的极值时，可以用Taylor级数的展开来进行分析。
首先通过求偏导数得到一阶导数，再求出二阶与三阶导数。
最后利用泰勒公式进行求解，进而得出极值。
3. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数的最值或最优解的一个重要方法。
对于有约束条件的多元函数，我们需要用拉格朗日乘子来进行求解。
02多元函数的极限与连续
f(X ) U a ,( ) |f(X )a|
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(X)a
进
X X0
行
lim f(x)a.
xx0
整
理
现在进行形式上的推广
设 u f(X )X ,X 0为 的.聚点
若 0 , 0 ,当 X U ˆ ( X 点 0 ,) 时 ,
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(x)a.
xx0
现在进行形式上的推广
回忆一元函数极限的概念的
uf(X )X X0为的聚点 设 yf(x )x Ix ,0为 I的.聚点
X U ˆ(X0,)
若 0 , 0 ,当 x U ˆ ( x 0 , 点 ) 时 ,
若 X l iX 0m (X )0 ,则(称 X )为 X X 0时的.无
应用这个性质,
lifm (X ) a f(X ) a 可将一元函数的
X X 0
极限运算法则和
其 ,X 中 U ˆ(X 0 )X ,l X i0m 0 .
性质推广到多元 函数中来.
例
求 lim x2 y2 .
x0 | x | | y |
y0
怎么办? 怎么办? 解 由于
0 x2 y2 x2 y2 | x | | y | |x|| y| |x|| y|
x2 y2 | x|| y| |x| | y|
而 lim (|x|| y|)0, 故由夹逼定理, 得 x0 y0 lim x2 y2 0 x0 | x | | y | y0
limy 2. x 0 yБайду номын сангаас2
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(X)a
进
X X0
行
lim f(x)a.
xx0
整
理
现在进行形式上的推广
设 u f(X )X ,X 0为 的.聚点
若 0 , 0 ,当 X U ˆ ( X 点 0 ,) 时 ,
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(x)a.
xx0
现在进行形式上的推广
回忆一元函数极限的概念的
uf(X )X X0为的聚点 设 yf(x )x Ix ,0为 I的.聚点
X U ˆ(X0,)
若 0 , 0 ,当 x U ˆ ( x 0 , 点 ) 时 ,
若 X l iX 0m (X )0 ,则(称 X )为 X X 0时的.无
应用这个性质,
lifm (X ) a f(X ) a 可将一元函数的
X X 0
极限运算法则和
其 ,X 中 U ˆ(X 0 )X ,l X i0m 0 .
性质推广到多元 函数中来.
例
求 lim x2 y2 .
x0 | x | | y |
y0
怎么办? 怎么办? 解 由于
0 x2 y2 x2 y2 | x | | y | |x|| y| |x|| y|
x2 y2 | x|| y| |x| | y|
而 lim (|x|| y|)0, 故由夹逼定理, 得 x0 y0 lim x2 y2 0 x0 | x | | y | y0
limy 2. x 0 yБайду номын сангаас2
多元函数连续性的判定
连续，且对其中一个变量单调，则 Ｓ （ ｘ ， Ｙ ） 在 Ｄ内
连续 。
证明：不妨设／ ， Ｙ ）对ｘ 单调递增 （ 单调减的情形证法类似）。 设Ｘ ｏ ， Ｙ 。 ） ∈ Ｄ，由己知，存在 ５ １ ＞ ０ ，当ｌ Ｘ － Ｘ ｏ ｌ ＜ 时，
二 、命题
命题 １ 设 ｒ （ ｘ ， Ｙ ） 在区 域 Ｄ内对ｘ 连续， 而关于 ｘ 对ｙ 是一致连续， 则ｒ （ ｘ ， Ｙ １ 在Ｄ内 连续。
一
多元 函数 的 自变 量多于一 个 ，相应 地连续情 况也 就不 像一元 函数那 么简单 ，且教材 中对 多元 函数 连续 的情况 讨论较 少。正 因为多元 函数极 限 与连 续 的复杂性 ，导 致初 学者只停 留在 定义的表 面形式 ，不能深入挖 掘。以二元 函数为例 ，若 厂 ， ） 在点 Ｍ（ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） 连续 ，那 么一元 函数Ｓ （ ｘ ， Ｙ 。 ） 和 ／ （ ｇ ｏ ， ） 也分别在 ｏ 和 。点连续 。反之 ，由于二 元 函数的极限 中 ｏ 的方式是任意的 ，而不是 以特殊的方式 ，因此 ，由这 两个一 元 函数厂 ， Ｙ 。 ） 和 ｆ （ ｘ ） 分 别在 ０ 和 ｏ 点连续 ，并不能断定厂 ， ｙ ） 在
又 由单调 性， 有
致连 续的概念 在教材 中只是选学 内容 ，涉 及 较少 。鉴于有些 专业以 后可能要 用到 ，或 有考
， ｌ ， ） 一 厂 。 ， 。 】 ＜ 。又 存在 ＞ ｏ ，当 ｌ ｙ — 。 Ｉ ＜ 时，
ｌ ／ （ ｘ 。 ， ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ， 】
作者 简介 ：杨淑荣 （ １ ９ ６ ３ － ） ，女 ，汉族 ，天津河东人 ，烟台南 山学院工学院 ，副教授 。
第 １ ３卷 第 ４期
多元函数的基本概念汇总
邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的 邻域记为U(P0 ) 它是如下点集
U (P0, ) {P | | PP 0 | } 或 U (P0, ) {( x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 } 点 P0 的去心 邻域 记作 U (P0, ) 即
f (x, y) 0
必须注意 (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无 限接近于A
(2) 如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的
值 则函数的极限不存在 •讨论
xy 2 2 x y 0 2 2 函数 f (x, y) x y 在点(0 0)有无极限？ 2 2 0 x y 0
一、平面点集 n维空间
1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集 合是 C{(x y)| x2y2<r2} 或 C{P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离
•外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 •边界点 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点 也有不属于E的点 则称P点为 E的边点
外点
边界点
内点
E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为 二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 举例
zaxbyc表示一张平面
方程x2y2z2a2确定两个二元函数
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在D 的边界点 P0 连续
• P0
0, 0, 使得当 PU P0 I D
时, 有 f P f P0 .
D
定理４（有界性定理）
设函数 f P在 有界闭区域 上D连续，则 在 f 上P有 界．D
即存在常数 M 0 使
f P M P D.
都存在 >0, 使得 f U P0 U P0 .
如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称 f 在Ｄ
中连续．
４．有界闭区域上连续函数的性质
在一维空间中, 闭区间一定是有界的. 在空间 Rn (n 2) 中, 闭区域不一定有界.
一元连续函数在闭区间上的性质, 推 广到多元函数中应是连续函数在有界闭区 域上的性质.
(x, y)(0, 0) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
xy11 lim ( xy11)( xy11)
) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
lim
1 1
(x,y)(0, 0) xy11 2
例
求函数 z xy 的间断点. x y
r 0
x0 y0
x2 y2
故函数在点(0, 0)处连续.
例 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
根据连续性求极限
如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则
lim f (P) f (P0)
PP0
例例7 求 lim x y (x, y)(1,2) xy
解 函数 f (x, y) x y 是初等函数 它的定义域为 xy
设函数 f P在 闭区域 上D连续，并假定Ｍ 与m分别是 f 在P 上D的最大值和最小值，
则对于任意的 : m M ,
一定有一点 P0 D 使得 f P0 .
例
讨论函数
f
( x,
y)
x3
x
2
y3 y2
,
( x, y) (0,0)
Hale Waihona Puke ,( x, y) (0,0)
４．有界闭区域上连续函数的性质 定理５ 最大(小)值定理
设函数 f P在 有界闭区域 上D连续，则 在 f 上P达 到最D大值和最小值．
即存在点 P1, P2 D , 使
f P f P1, f P2 f P. P D.
４．有界闭区域上连续函数的性质 定理６（介值定理）
D{(x y)|x0 y0}
因为P0(1 2)为D的内点 所以
lim f (x, y) f (1, 2) 3
(x, y)(1,2)
2
例例 8 求 lim xy11 (x, y)(0, 0) xy
解 lim xy11 lim ( xy11)( xy11)
例
求函数 z tan(x2 y2 ) 的间断点.
解 由三角函数知识可知,
所求间断点为
x2 y2 k
2 ( k 0,1, 2, )
y
O
x
同心圆
解 由分母不能为零,
直线 x y 0 上 的一切点均为函 数的间断点.
y
O
D( f )
x
x y 0
多元函数间断点 情形比较复杂
多元函数的间断点可以构成一些 直线、曲线、曲面等, 也可以是 某些点的集合.
例
求函数 z 1 的间断点 .
x2 y2
解 由分母不能为零,
当x2 y2 0时, 函数无定义. 故点 (0, 0) 为函数的间断点.
6-3 多元函数的连续性 1. 多元函数的连续性
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似, 与函数的极限密切相关.
定义 设 u f x, y在点 x0, y0 的一个邻域内
有定义,若
lim f
x, yx0 , y0
x, y
f
x0, y0 ,
则称 f x, y 在 x0, y0 点连续.
故函数在(0,0)处连续.
lim f ( x, y) f (0,0),
( x, y )(0,0)
例 讨论函数在点(0, 0) 处的连续性:
f (x, y)
| (y x) x |, x2 y2 0,
x2 y2 0 x2 y2 0,
解 根据函数连续的定义,只需证明
lim f (x, y) 0 .
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos , y sin
f ( x, y) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2 0, ,
2
当 0 x2 y2 时 f ( x, y) f (0,0) 2
若 g x0, y0 0,则 w f x, y / g x, y
在 x0 , y0 点连续．
定理２ (复合函数的连续性)
设z f x, y 在点 x0 ,y0 附近内有定义, 且在 x0 ,y0 连续，
又设 且在
u
z0
g
z 在点 z0 f x0, y0 的附近有定义,
若 u f x, y 在区域Ｄ内有定义且在Ｄ内每一 点都连续，则称 u f x, y 在区域Ｄ内连续
2. 关于二元函数连续性的几个定理
定理1 设 f x, y与 g x, y 在点x0, y0 处连续，
u f x, y g x, y 及 v f x, y g x, y 在点 x0, y0 处也连续．
x0 y0
运用极坐标 x r cos , y r sin ,
x2 y2 r 2 , (x , y) (0, 0) r 0
运用夹逼定理:
0 | ( y x)x | r2 | (sin cos ) cos | 2r
x2 y2
r
lim 2r 0 lim | ( y x) x | 0
点连续，则复合函数
u g f x, y 在 x0,y0 点连续．
定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的.
３．映射的连续性
定义
设f : D Rm是Rn中的区域D到Rm的一个映射, 又设P0 D是区域D中的一点, 称f : D Rm在
P0点是连续的, 如果对于任意给定的 0,