矩阵论解题步骤-期末考试题

1. 广义逆（必考类型）

假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ，且A 可以满秩分解为A = BC ，A 的秩r(A) = r ，则B 为s x r 矩阵，C 为r x n 矩阵。则G 可表示为： H

1

1

C (CC )(B B)B H H

H

G --=

例题：

步骤：显然，A 要分解为BC ，必须知道A 的秩，故先对A 进行行化简成最简式

，r(A)=2，故A 满秩分解为A=（3x2）

（2x4）=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ，B 由A 最简式中只有1的原列组成，C 由A 的最简式的非零首元行组成。

B = ，

C =

，H 11C (CC )(B B)B H H H

A --+=，通过计算即可

得到A 的广义逆。（若B 、C 中有单位矩阵，那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵）

性质：

2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>=

比较重要的性质

(1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)]

(5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ，其中A=s x n ，B=n x t

步骤：

设r(B)=r ，B 的满秩分解为B=HK ，所以ABC=AHKC ， r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r （性质（5））

AB=AHK ，故r(AB)<=r(AH)，同理得r(BC)<=r(KC)，（性质（4）） 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B)，原式得证

知识点：

A ． 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ，其中B=s x r ，C=r x n 。该分解称为A 的

满秩分解。

3. nxn 2n n

2V {X |AX ,X C }n X ==∈，证明：12=V n C V ⊕

证明包含两部分，1）证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1

2V {0}V =

2）证明12V n C V ⊂⊕，12V n

C V ⊃⊕

步骤：

先证第一步，设1

2V V η∈ ，由已知可得，0,A A ηηη==，

因此0η=，故12V V +是直和，

很显然12V n C V ⊃⊕，两个子空间的和仍然属于该线性空间，因此主要证明

12V n C V ⊂⊕，只要能证明12,n C ηηηη∀∈=+分解，使得11V η∈，22V η∈即

可，

(A )A ηηηη=-+，可以证明，

2(A )A A ()A A 0A ηηηηηη-=-=-=用到已知条件，因此1(A )V ηη-∈，令2A X,AX=A A =A A X ηηηη=⋅==，因此2A V η∈，证明完毕。

4.

（1） 求F 在特定一组基下的矩阵，先搭好架子

111221

22111221{F (E ),F (E ),F (E ),F (E )}=(E ,E ,E ,E )B ，

B 就是所求矩阵，依次计算等式前面各项，

11F(E )=

11E =

=

，

12F(E )= ，21F(E )= ，22F(E )= ，故B=

(2) 易知11122122R(F)=span{F(E ),F(E ),F(E ),F(E )}，又由(1)可知，

11F(E )=1121E +E ，12F(E )=1222E +E ，21F(E )=1121E +E ，22F(E )=1222E +E ，显然，1121E +E 与1222E +E 是线性无关的，因而R(F)的一组基为

，

，

要求()22{X|AX 0,X C }K F ⨯==∈ 的一组基， 设1

23

4x x X x x ⎛⎫=

⎪⎝⎭

， F(X)=AX=

1

234x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=13

241324x x x x x x x x ++⎛⎫

⎪++⎝⎭

=

130x x +=

240x x +=，因此X=1212x x x x ⎛⎫ ⎪--⎝⎭

=1x +2x

，1121E -E 与1222

E -E 是线性无关的，因而K(F)的一组基为 ，

，

(3) 为证明R(F)+K(F)是否是直和，只要看他们的基的并集是否线性无关即可，列出

1121E +E ，1222E +E ，1121E -E ，1222E -E 在基11122122(E ,E ,E ,E )下的坐标向量组成的矩

阵并作初等列变换可得

->

，显然该矩阵的秩为4，也就是说R(F)+K(F)的

基的并集是线性无关的，因为R(F)+K(F)是直和。

5.

（1） 先证明H()ξ是线性映射，

H()=()2,()2,2,k l k l k l k l k l αβαβαβωωαβαωωβωω

++-<+>=+-<>-<>=(2,)(2,)k k l l ααωωββωω-<>+-<>=kH α（）

+l H β（），显然H()C n ξ⊂，故H()ξ是线性变换。

6.

7. 设A=

，（1）求变换矩阵P ，使1P AP J -=，其中J 是A 的Jordan 标准

形，（2）写出A 的Jordan 标准形J

计算特征多项式||I A λ-= λ

λ

λ

=

3

+1λ（），易知=-1λ是该特征多项式的三重根，令B A I =+，r(B)=2，A 的阶为3的主对角元为=-1λ的Jordan 块为1，可知，J=

，

再计算P ，设123(X ,X ,X )P =，由AP PJ =得，

1()X 0A I +=，21()X A I X +=，32()X A I X +=，

()X 0A I +=的通解为()2, 1, 1T X =，取 ()12, 1, 1T X =，再从非齐次方程组

1()Y A I X +=的解中任取一个作为2X ，显然可取2(1,0,0)T X =，另取一解

3(1/4,1/4,0)T

X =-，因此P=

。

8. 已知A=

，求e A 。（详细内容见下方“范数“）

令(x)e x

f =，先求A 的特征多项式