(学生版)八下第一章《三角形证明》培优提高(三)
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》解答题优生辅导训练(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》解答题优生辅导训练（附答案）1．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC 交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO ﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．2．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD＝AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD＝AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）3．如图1，Rt△ABC中AB＝AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD＝EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF 的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．4．如图是一个三角形金属轨道ABC，其周长99cm，AB＝AC，甲、乙、丙三个小球分别从A、B、C出发以相同的速度向B、C、A运动，当运动了6s时，分别到达P、Q、R三点处，AP＝AB，BQ＝BC．求：（1）三角形三条边的长度；（2）小球的运动速度；（3）出发多少秒后，哪两个球首次同时在同一条边上运动它们在同一条边上运动多长时间？5．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？7．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．8．如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分别为AB、BD中点．（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系．9．已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM 及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．（1）已知：如图RT△ABC中，∠ACB＝90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：DA ＝DB＝DC．（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？请说明理由．12．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝10，BC上的高为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，设运动的时间为t秒；（1）是否存在某一时刻使得MN垂直平分AC？若存在，请求出t；若不存在，说明理由．（2）直接写出t为何值时，△MNC为等腰三角形？13．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB＝OC．（1）如图，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；（2）如图，若点O在△ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）若点O在△ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示．14．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）直接写出∠ABC的度数；（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线．①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．15．在△ABC中，AB＝AC，AC⊥BA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P 在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行．（1）在图1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图2所示的位置时，请你通过观察、测量、猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿BC方向继续向右平移到图3所示的位置（点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与△ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）16．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（D在BC边上），BE⊥AC，垂足为点E，M为AB 的中点，联结ME、MD、ED．（1）当点AC边上时（如图），容易证明∠EMD＝2∠DAC；当点E在CA的延长线上，请在图中画出相应的图形，并说明“∠EMD＝2∠DAC”是否还成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；（2）如果△MDE为正三角形，BD＝4，且AE＝1，求△MDE的周长．17．如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点F；（1）求证：PD+PE＝CF；（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．18．运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是；（直接写出结论不必证明）（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．19．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，CD平分∠ACB，点E 为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠P AC+∠PBC＝°（直接写出结论，不需证明）．（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E 为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．20．如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC＝PB，则称点P为△ABC的准外心．（1）观察并思考，△ABC的准外心有个．（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD＝，在图中画出点P点，求∠APB的度数．（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求P A的长．21．如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰△AOB顶点A的坐标是（2，1），AO＝AB．（1）求点B的坐标．（2）过点B作BC⊥OA，交OA的延长线于点C，一等腰直角三角尺如图2摆放，它的直角顶点为D，一条直角边与AB边重合，另一条直角边恰好过点O．①请你通过观察，猜想OD与BC满足的数量关系，并证明你的猜想．②当三角尺沿AB方向平移到图3所示的位置时，一条直角边仍与AB重合，另一条直角边交OB于点E，过E点作EF⊥OA于点F．请你猜想并证明EF，ED与BC之间满足的数量关系．22．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．（1）如图1，若∠DAC＝2∠ABC，△ACB≌△DAC，则∠ABC＝°；（2）如图2，若∠ABC＝30°，△ACD是等边三角形，AB＝3，BC＝4．求BD的长．参考答案1．（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，答：OC＝2，BC＝2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP＝2﹣t，CQ＝t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP＝60°，∠HPC＝30°，∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t），∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t），即S＝﹣t2+t；②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO＝2，∠NOC＝60°，∴CZ＝，CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，∠NOC＝60°，∴∠GPO＝30°，∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），即S＝t2﹣t+；④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，∴CM＝BC＝1，有勾股定理得：BM＝，∵OB＝2，∴OM＝2﹣＝＝CK，∴S＝PQ×CK＝×2×＝；综合上述：S与t的函数关系式是：S＝；．（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．2．证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D，∴∠B＝∠D＝90°，∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，∴AB＝AC，AD＝．∴AB+AD＝．（2）由（1）知，AE+AF＝AC，∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CE＝CF．而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D＝∠CBE．∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF＝BE．∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AF＝AC．3．解：△DEF是等腰三角形．证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P，∵Rt△ABC中AB＝AC，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠PCN＝∠ACB，∠BAD＝∠ACP，∵AM⊥BD，∴∠ABD+∠BAM＝∠BAM+∠CAP＝90°，∴∠ABD＝∠CAP，∴△BAD≌△ACP（AAS），∴AD＝CP，∠ADB＝∠P，∵AD＝CE，∴CE＝CP，∵CN＝CN，∴△CPN≌△CEN（ASA），∴∠P＝∠CEN，∴∠CEN＝∠ADB，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形．附加题：△DEF为等腰三角形，证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，∵Rt△ABC中AB＝AC，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠PCN＝∠ACB＝∠ECN，∵AM⊥BD，∴∠ABD+∠BAM＝∠BAM+∠CAP＝90°，∴∠ABD＝∠CAP，∴△BAD≌△ACP（AAS），∴AD＝CP，∠D＝∠P，∵AD＝EC，CE＝CP，又∵CN＝CN，∴△CPN≌△CEN（SAS），∴∠P＝∠E，∴∠D＝∠E，∴△DEF为等腰三角形．4．解：（1）设AP＝xcm，则AB＝4xcm，BC＝3xcm，据题意得：4x+4x+3x＝99，x＝9，所以AB＝AC＝36cm，BC＝27cm；（2）∵AP＝9cm，∴运动速度为9÷6＝1.5cm/s；（3）出发后3×6＝18s后，乙丙两球首次同时在同一条边上运动．它们在同一条边上运动的时间为（36﹣27）÷1.5＝6（s）．5．（1）证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，（1分）∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°∴∠3＝∠1+∠A＝72°，∴∠1＝∠A，∠3＝∠C，∴AD＝BD，BD＝BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角边不等）；特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A＝2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；6．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴有勾股定理得PB＝2cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；（2）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴P A＝PC ∴P A＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或10.8s时△BCP为等腰三角形；（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP＝8﹣t，AQ＝16﹣2t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴8﹣t+16﹣2t＝12，∴t＝4；当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣8，AQ＝2t﹣16，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣8+2t﹣16＝12，∴t＝12，∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．7．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．8．解：（1）CM＝EM′．证明：根据线段中点的概念和已知的AB＝BD，得BM＝DM′；在△BCM与△DEM′中，∴Rt△BCM≌Rt△DEM′（SAS），∴CM＝EM′；（2）CK＝KE．理由如下：如图2，延长MK至L，使KL＝MM'，连接LE，则KL+KM′＝MM'+KM′，即KM＝LM′，由（1）可知CM＝EM′，∵BD＝AB，M是AB的中点，M'是BD的中点，∴BM＝BM′，∴∠BMM′＝∠BM′M，由（1）知Rt△BCM≌Rt△DEM′，∴∠BMC＝∠EM′D，∴∠CMK＝∠KM′E，在△CMK和△EM′L中∴△CMK≌△EM′L（SAS），∴CK＝EL，又∵∠CKM＝∠LKE＝∠KLE，∴KE＝LE，∴CK＝KE．9．解：（1）结论：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD．理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，∴BM＝DM＝CE；又∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；同理可得∠DME＝2∠DCM；∴∠BME+∠DME＝2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD＝2∠BCD．（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝EC＝MC，又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴DM＝EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠EMB﹣∠EMD＝2∠BCM﹣2∠DCM＝2（∠BCM﹣∠DCM）＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝EC＝ME；又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝ME，DM＝MC，∴∠BEC＝∠EBM，∠MCD＝∠MDC，∴∠BEM+∠MCD＝∠BAC＝90°﹣∠BCD，∴∠BMD＝180°﹣（∠BMC+∠DME），＝180°﹣2（∠BEM+∠MCD）＝180°﹣2（90°﹣∠BCD）＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．（3）所画图形如图所示：图1中有BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM＝DM；图3中有BM＝DM，∠BMD＝360°﹣2∠BCD．解法同（2）．10．解：①相等，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°，∴∠NFE＝15°，∴∠NEF＝75°＝∠MDF，在△DMF和△ENF中，，∴△DMF≌△ENF（AAS），∴FE＝FD；②成立．过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∴四边形BNFM是圆内接四边形，∵∠ABC＝60°，∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，∵∠CF A＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠DFE＝∠CF A＝∠MFN＝120°．又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，∴∠DFM＝∠NFE，在△DMF和△ENF中，∴△DMF≌△ENF（ASA），∴FE＝FD．11．解：（1）∵ED垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴DA＝DB＝DC；（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，∵PM⊥FH，PN⊥FG，∴△MPF和△NPF都是直角三角形；作线段MF的垂直平分线交FP于点O，由（1）中所证可知OF＝OP＝OM；作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O；∴OM＝OP＝OF＝ON，又∵MN⊥FP，∴∠OKM＝∠OKN＝90°，∵OK＝OK；∴Rt△OKM≌Rt△OKN；∴MK＝NK；∴△FKM≌△FKN；∴∠MFK＝∠NFK，即FP平分∠HFG．12．解：（1）不存在．过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝4，∵AC＝5，∴CD＝＝3，∵∠C是公共角，∠ADC＝∠MNC，∵BM＝2t，CN＝t，∴MC＝BC﹣BM＝10﹣2t，∴，解得：t＝，∴当t＝时，MN垂直AC但不平分；（2）若①CM＝CN，则10﹣2t＝t，解得：t＝；②若CN＝MN，过点N作NE⊥BC于点E，则CE＝CM＝（10﹣2t）＝5﹣t，∵t＝；③若MN＝CM，同理可得：t＝．综上可得：t＝或或．13．（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠BEO＝∠CFO＝90°．∵在Rt△OBE和Rt△OCF中，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．（2）解：成立．证明：过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，则∠BEO＝∠CFO＝90°，∵在Rt△OBE和Rt△OCF中，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠EBO＝∠FCO．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠EBO+∠OBC＝∠FCO+∠OCB．即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．（3）解：不一定成立，如右图．14．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝＝＝72°；（2）①如图（2），△ADB、△BCD是等腰三角形．说明△ADB是等腰三角形，理由：由（1）得：∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°，又∵∠A＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，即△ADB是等腰三角形．说明△BCD是等腰三角形，理由：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣36°）＝72°又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠C＝∠BDC，∴BD＝BC，即△BCD是等腰三角形．②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD＝72°；当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P：一点在线段BC延长线上，此时∠CPD＝36°；一点在线段BC上，此时∠CPD＝＝54°．15．解：（1）ME＝MF，ME⊥MF．∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵BM＝CM，∠BME＝CMF∴△BEM≌△CFM∴ME＝MF∵∠EMA+∠AMF＝∠FMC+∠AMF＝∠AMC＝90°∴ME⊥MF（2）ME＝MF，ME⊥MF；证明：连接AM∵△ABC是等腰直角三角形，M为斜边BC的中点∴AM＝BC＝CM，AM⊥BC，∠EAM＝∠C＝45°∴∠AMC＝90°∵两个三角形是等腰直角三角形，且斜边平行，直角顶点P在斜边BC上移动∴四边形AEPF为长方形，∴AE＝PF，∵∠C＝45°，∠PFC＝90°，∴∠FPC＝∠C＝45°，∴AE＝PF＝CF，∴△AEM≌△CFM∴ME＝MF，∠AME＝∠CMF∴∠EMA+∠AMF＝∠FMC+∠AMF＝∠AMC＝90°∴ME⊥MF（3）ME＝MF，ME⊥MF仍然成立．16．（1）解：如图，“∠EMD＝2∠DAC”成立．理由：∵BE⊥CA，AD⊥BC，∴∠BEA＝∠ADB＝90°，∵BM＝AM，∴EM＝BM＝AM＝DM，∴B、D、A、E四点共圆，∴∠DAC＝∠EBD，∵∠EMD＝2∠EBD，∴∠EMD＝2∠DAC．（2）解：①当点E在CA的延长线上，∵△EMD是等边三角形，∴∠EMD＝60°，∴∠DAC＝∠EBC＝30°，设DC＝a，则AC＝2a，AD＝a，在Rt△BEC中，BC＝2EC，∴4+a＝2（1+2a），∴a＝，∴AD＝，在Rt△ADB中，AB＝＝，∴DM＝AB＝，∴△EDM的周长为．②如图当点E在线段AC上时，∵△EMD是等边三角形，∴∠EMD＝60°，∴∠DAC＝∠EBC＝30°，设DC＝a，则AC＝2a，AD＝a，在Rt△BEC中，BC＝2EC，∴4+a＝2（2a﹣1），∴a＝2∴AD＝2，在Rt△ADB中，AB＝＝2，∴DM＝AB＝，∴△EDM的周长为3．综上所述，△EDM的周长为或3．17．（1）证明：作PM⊥CF，∵PD⊥AB，CF⊥AB，∴∠FDP＝∠DFM＝∠FMP＝90°，∴四边形PDFM是矩形，∴PD＝FM．∵PE⊥AC，且PM⊥CF，∴∠PMC＝∠CEP＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AB⊥FC，PM⊥FC，∴AB∥PM，∴∠MPC＝∠B，∴∠MPC＝∠ECP，在△PCM和△CPE中，∵，∴△PCM≌△CPE（AAS），∴CM＝PE，∴PD+PE＝FM+MC＝CF；（2）PD﹣PE＝CF；证明如下：作CM⊥PD于M，同（1）得四边形CMDF是矩形，则CF＝DM，∴CM∥AB，∴∠MCP＝∠B，又∠ACB＝∠ECP（对顶角相等），且AB＝AC得到∠B＝∠ACB，∴∠MCP＝∠ECP，又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC＝∠PEC＝90°，在△PCM和△PCE中，∵，∴△PCM≌△PCE（AAS），∴PM＝PE，∴PD﹣PE＝PD﹣PM＝DM＝CF．18．解：（1）∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）h1﹣h2＝h．（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，则：A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：1+M y＝OB，M y＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，∴M（，2）；②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣1＝OB，M y＝3+1＝4，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，∴M（﹣，4），∴点M的坐标为（，2）或（，4）．19．解：（1）猜想：∠P AC+∠PBC＝180°；（2）结论：依然成立．证明：连接CE．∵E为AB中点，∴AE＝EB＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DCE＝∠ECA﹣∠DCA＝∠EAC﹣45°，又∵∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣45°＝135°﹣∠PDE，∴∠DCE＝135°﹣∠PDE﹣45°＝90°﹣∠PDE＝∠DPE，∴PE＝EC＝AE，∴△P AE与△PBE为等腰直角三角形，∠APB＝90°，∴∠P AC+∠PBC＝360°﹣∠APB﹣∠ACB＝360°﹣90°﹣90°＝180°．20．解：（1）∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，∴△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．∴△ABC的准外心有无数个．故答案为：无数；（2）①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝DB＝AB，与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC，②若P A＝PC，连接P A，同理可得P A≠PC，③若P A＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°；（3）∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4，①若PB＝PC，设P A＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，∴x＝，即P A＝，②若P A＝PC，则P A＝2，③若P A＝PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．故P A＝2或．21．解：（1）过A作AM⊥OB于M．∵A的坐标是（2，1），∴OM＝2．又∵AO＝AB，∴OB＝4．（2分）∴B的坐标是（4，0）．（3分）（2）①OD＝BC．（4分）证明：在△ODA与△BCA中，，∴△ODA≌△BCA．（AAS）∴OD＝BC．（7分）②DE+EF＝BC．（8分）方法一：连接AE．S△ABO＝OA．BC，S△ABO＝S△ABE+S△AEO＝AB．DE+OA．EF，＝OA（DE+EF），∴DE+EF＝BC．（10分）方法二：过点E作EG⊥BC，G为垂足，交AB于点H．再利用△DEH≌△GBH得到DE＝BG．22．解：（1）∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∵△ACB≌△DAC，∴∠DAC＝∠ACB，∠B＝∠BAC，∵∠DAC＝2∠ABC，∴∠ACB＝2∠ABC，∴∠ABC＝45°；（2）如图，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE＝60°，并在AE上取AE＝AB，连接BE和CE．∵△ACD是等边三角形，∴AD＝AC，∠DAC＝60°．∵∠BAE＝60°，∴∠DAC+∠BAC＝∠BAE+∠BAC．即∠EAC＝∠BAD．∴△EAC≌△BAD．∴EC＝BD．∵∠BAE＝60°，AE＝AB＝3，∴△AEB是等边三角形，∴∠EBA＝60°，EB＝3．∵∠ABC＝30°，∴∠EBC＝90°．∵∠EBC＝90°，EB＝3，BC＝4，∴EC＝5∴BD＝5．。
北师大版初二年级下册三角形的证明培优带答案
三角形证明单元检测卷A1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形一个角是80°，则它顶角度数是（ ）A ． 80°B ． 80°或20°C ． 80°或50°D ． 20°2．（4分）下列命题逆命题是真命题是（ ）A ． 如果a ＞0，b ＞0，则a+b ＞0B ． 直角都相等C ． 两直线平行，同位角相等D ． 若a=6，则|a|=|b|3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm ，最长边AB 长是A ． 5cmB ． 6cmC ． 7cmD ． 8cm4．（4分）如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 是（ ）5．（4分）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 垂直平分线交AB 于E ，垂足为D ．若ED=5，则CE 长为（）6.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A=∠ABE ．若AC=5，BC=3，则BD 长为（ ）7．（4分）如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 、CF 相交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 平分线上．以上结论正确是（ ）8．（4分）如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD 等于（ ）9．如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC 长度是（ ）10．（4分）（2013•遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC于点D ，则下列说法中正确个数是（ ）①AD 是∠BAC 平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3．A ． ∠A=∠CB ． A D=CBC ． B E=DFD ． A D ∥BC A ． 10 B ． 8C ． 5D ． 2.5A ． 2.5B ． 1.5C ． 2D ． 1A ． ①B ． ②C ． ①②D ． ①②③A ． 10B ． 12C ． 24D ． 48A ． 6B ． 8C ． 9D ． 10A ．1B ． 2C ． 3D ．412．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C 三点为顶点三角形是等腰三角形，则点C个数是（）13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度最小值为4；④四边形CDFE面积保持不变；⑤△CDE面积最大值为8．其中正确结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．15．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长等腰三角形周长为_ ．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= _________ ．17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于_________ ．18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对点A处，则壁虎捕捉蚊子最短距离为m．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C 落在AB边上点E处，若点P是直线AD上动点，则△PEB周长最小值是．三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，C是AB中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．21．（7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB距离相等，且到两工厂C、D距离相等，用尺规作出货站P位置．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB长度？A．2B．3C．4D．523．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD长．24．（10分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上一点D，点A旋转到点E位置．F，G分别是BD，BE上点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG度数．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D直线GF交AC于点F，交AC平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF大小关系，并证明你结论．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是_________ 三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF形状并证明；②当点D在线段BC延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应图形．北师大版八下《第1章三角形证明》2014年单元检测卷A（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形一个角是80°，则它顶角度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°考点：等腰三角形性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等性质，难点在于要分情况讨论求解．2．（4分）下列命题逆命题是真命题是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b|考点：命题与定理．分析：先写出每个命题逆命题，再进行判断即可．解答：解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B．直角都相等逆命题是相等角是直角，是假命题；C．两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．若a=6，则|a|=|b|逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题．故选：C．点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题条件是第二个命题结论，而第一个命题结论又是第二个命题条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题逆命题．正确命题叫真命题，错误命题叫做假命题．判断命题真假关键是要熟悉课本中性质定理．3．（4分）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：含30度角直角三角形．分析：三个内角比以及三角形内角和定理，得出各个角度数．以及直角三角形中角30°所对直角边是斜边一半．解答：解：根据三个内角比以及三角形内角和定理，得直角三角形中最小内角是30°，根据30°所对直角边是斜边一半，得最长边是最小边2倍，即8，故选D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对直角边是斜边一半．4．（4分）（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE是（）A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC考点：全等三角形判定．分析：求出AF=CE，再根据全等三角形判定定理判断即可．解答解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF 和△CBE 中∴△ADF ≌△CBE （ASA ），正确，故本选项错误；故选B ． 点评： 本题考查了平行线性质，全等三角形判定应用，注意：全等三角形判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．5．（4分）（2012•河池）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 垂直平分线交AB 于E ，垂足为D ．若ED=5，则C E 长为（ ）考点： 线段垂直平分线性质；含30度角直角三角形．分析： 根据线段垂直平分线性质得出BE=CE ，根据含30度角直角三角形性质求出BE 长，即可求出CE 长． 解答： 解：∵DE 是线段BC 垂直平分线，∴BE=CE ，∠BDE=90°（线段垂直平分线性质），∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形性质），∴CE=BE=10．故选A ．点评： 本题考查了含30度角直角三角形性质和线段垂直平分线性质应用，关键是得到BE=CE 和求出BE 长，题目比较典型，难度适中．6．（4分）（2013•邯郸一模）如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A=∠ABE ．若AC=5，BC=3，则BD 长为（ ）A ． 2.5B ． 1.5C ．2 D ．1考点： 等腰三角形判定与性质．分析： 由已知条件判定△BEC 等腰三角形，且BC=CE ；由等角对等边判定AE=BE ，则易求BD=BE=AE=（AC ﹣BC ）．解答： 解：如图，∵CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，∴BC=CE ．又∵∠A=∠ABE ，∴AE=BE ．∴BD=BE=AE=（AC ﹣BC ）．∵AC=5，BC=3，∴BD=（5﹣3）=1．故选D ．点评： 本题考查了等腰三角形判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质运用．7．（4分）如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 、CF 相交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 平分线上．以上结论正确是（ ）A ． ①B ． ②C ．①② D ．①②③ 考点： 全等三角形判定与性质；角平分线性质．专题： 常规题型．分析： 从已知条件进行分析，首先可得△ABE ≌△ACF 得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．解答： 解：∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵AB=AC ，∠A=∠A ，∴△ABE ≌△ACF （①正确）∴AE=AF ，∴BF=CE ，∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，∠BDF=∠CDE ，∴△BDF ≌△CDE （②正确），∴DF=DE ，连接AD ，A ． 10B ． 8C ． 5D ．2.5∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠EAD，即点D在∠BAC平分线上（③正确），故选D．点评：此题考查了角平分线性质及全等三角形判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第1章三角形的证明章末综合培优提升训练(附答案)
2021年度北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明章末综合培优提升训练（附答案）1．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13B．17C．13或17D．13或102．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为（）A．B．2C．D．33．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3B．4C．5D．64．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，交AB于点E．若AC＝m，BC＝n，则△BDE的周长为（）A．m+n B．2m+2n C．m+2n D．2m+n6．下列命题正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等7．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°8．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，AB＝AE，BC＝CD，则∠DBE的度数为（）A．35°B．40°C．42°D．50°9．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠C，则∠BAC的度数为（）A．20◦B．40◦C．60◦D．80◦10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是高，AE⊥AB交BC于E，则DE与BC之间的数量关系是（）A．BC＝3DE B．BC＝6DE C．BC＝2DE D．BC＝5DE11．已知O为原点，A（2，2）为坐标平面内一点，B是y轴上一点，且△AOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（）A．5B．4C．3D．212．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝．13．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为．14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是．16．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，动点P在线段BC上从B点向C点运动，连接AP，则AP的最小值为等于．17．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为．18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8，∠B＝15°，则EC的长为．19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为．20．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H，∠CAD＝30°，若AC＝4，则点H到BC的距离是．21．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．23．如图△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，D为垂足，交AC于E，连接BE．（1）若∠A＝42°，求∠EBC的度数；（2）若AB＝12，△BEC的周长是20，求△ABC的周长．24．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．25．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．27．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC 分别交AB、AC于E、F．①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠P AC的数量关系式．参考答案1．解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：B．2．解：设CD＝x，∵在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴AD＝BD，∵在△ACD中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2x，即BD＝AD＝2x，∵BC＝3＝BD+CD＝2x+x，解得：x＝1，即BD＝2x＝2，故选：B．3．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故选：D．4．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，解得x＝17，此时三边长7cm、7cm、17cm，∵7+7＜17∴此三角形不成立；若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得7+x+x＝31，解得x＝12，此时三边长7cm、12cm、12cm．答：该等腰三角形的腰长为12cm．故选：D．5．解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAE，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD＝DE，∠CAD＝∠BAD，∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，∵∠B+∠CAD+∠BAD＝180°﹣∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2m，∴BE＝AE＝m，∵BE＝m，BC＝n，∴△BDE的周长为BE+DE+DB＝BE+CD+BD＝BC+BE＝m+n，故选：A．6．解：A、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、高线互相重合，原命题是假命题；B、在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上，是真命题；C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；故选：B．7．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．8．解：∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB；∴∠A+∠ABE+∠AEB＝180°＝∠A+2∠AEB；同理：∠C+2∠CDB＝180°．∴（∠A+∠C）+2（∠AEB+∠CDB）＝360°；即：80°+2（∠AEB+∠CDB）＝360°，∠AEB+∠CDB＝140°．∴∠DBE＝180°﹣（∠ADB+∠CEB）＝40°．故选：B．9．解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠ADB＝∠DAC+∠C．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝∠C，设∠C＝2x°可得：2x+2x+x+4x＝180°，解得：x＝20°，∴∠BAC＝x+2x＝60°，故选：C．10．解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是高，∴AB＝2AD，BD＝AD，∵AE⊥AB交BC于E，∴2DE＝AE，AD＝DE，∴BC＝2AD＝6DE，故选：B．11．解：如图，满足条件的点B有四种情形，故选：B．12．解：如图，连接OB，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠A，∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO，∵OE垂直平分BC，∴OC＝OB，∴∠CBO＝∠C，∴∠COB＝180°﹣2∠CBO，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∴∠AOC＝360°﹣（180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠ABO）＝2（∠CBO+∠ABO）＝2∠ABC ＝2×50°＝100°，故答案为：100°．13．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，连接BD，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，即（4﹣x）2+32＝x2，解得：x＝，即BD＝，在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，故答案为：．14．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．15．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×12×8+×18×8，＝120．故答案为：120．16．解：如图，P在BC上运动时，由垂线段最短知，P在AP⊥BC时，AP最短，作AM⊥BC，∵AB＝BC，∴BM＝MC＝BC＝3，在Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2，即32+AM2＝52，∴AM＝4，即AP最最小值为4．故答案为：4．17．解：如图，过点E作EF⊥AC于F，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，由勾股定理得：BD＝＝＝5，∵S△BEC＝BE•CD，且CD＝12，且△BCE的面积为48，∴48＝，∴BE＝8，∴DE＝8﹣5＝3，∵CE为△ACD的角平分线，DE⊥CD，EF⊥AC，∴EF＝DE＝3，即点E到AC的距离为3．故答案为：3．18．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，∵DE垂直平分AB，BE＝8，∴BE＝AE＝8，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝×8＝4，∴EC＝AC＝4，故答案为：．19．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠NMC＝60°，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM＝ACB＝30°，∴∠ACM＝∠NMC，∴MN＝CN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，故答案为：6．20．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠HBD+∠BHD＝90°，∵∠CAD＝30°，AC＝4，∴CD＝AC＝2，∵BE⊥AC，∴∠HBD+∠C＝90°，∴∠BHD＝∠C，∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在△BDH和△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴HD＝CD＝2，故点H到BC的距离是2．故答案为2．21．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20．22．解：（1）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴AE＝BE，AN＝CN，∵BC＝12，∴△AEN周长l＝AE+EN+AN＝BE+EN+NC＝BC＝12；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠CAN＝30°，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝60°；（3）∵∠AEN＝∠B+∠BAE＝60°，∠ANE＝∠C+∠CAN＝60°，∴△AEN为等边三角形．23．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE⊥AB AD＝DB，∴AE＝EB，∴∠A＝∠EBA，∵∠A＝42°，∴∠EBA＝42°，∠C＝∠ABC＝69°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝27°；（2）由（1）得BE＝AE AB＝AC，∴AC＝AE+EC＝BE+EC，∵△BEC的周长＝BE+EC+BC＝20，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BE+EC+BC＝12+20＝32．24．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．25．解：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．26．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．27．解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠F AP＝∠P AC，∴∠F AC＝2∠P AC，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°．。
(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交 AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于点N ，连接EN ，下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②DF= DN ；③AN = BF ；④EN ⊥NC ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，BE=10cm ，则AC 等于（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm 4．等腰三角形的一个角为40︒，则其底角的度数为( )．A ．40︒B ．70︒C ．40︒或70︒D ．50︒或70︒5．如图，过边长为3的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（ ）A ．13B ．12C ．32D ．26．如图，在四边形ABCD 中，90A BDC ∠=∠=︒，C ADB ∠=∠，点P 是BC 边上的一动点，连接DP ，若3AD =，则DP 的长不可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，在ABC 中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径 画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点,B D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若4,1AE BE ==，则EC 的长度是（ ）A ．3B ．5C ．5D ．78．如图，ABC 为等边三角形，BO 为中线，延长BA 至D ，使AD AO =，则DOB ∠的度数为（ ）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（ ）A ．65°B ．105°C ．55°或105°D ．65°或115°11．如图，ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，若100BAC ∠=︒，则EAG ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°12．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AD 平分∠BACB ．∠ADC =60° C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ．:DACABCSS＝1：2二、填空题13．如图，在△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，若∠BOC ＝80°，则∠A ＝_____．14．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形ABCD ，经测量，3m AB =，4m BC =，12m CD =，13m DA =，90B ∠=︒．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．15．在锐角ABC 中，AB AC =，CE 是高，且36ECA ∠=︒，平面内有一异于点A ，B ，C ，E 的点D ，若ABC CDA △△≌，则DAE ∠的度数为______．16．如图，80AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE △是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为________．17．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF ；②AD 垂直平分EF ；③BFD CED S BFS CE∆∆=；④EF//BC ；一定成立的结论是______（请将正确结论的序号填在横线上）18．如图，30,AOB OC ︒∠=为AOB ∠内部一条射线，点P 为射线OC 上一点，6OP =，点,M N 分别为,OA OB 边上动点，则MNP △周长的最小值为______．19．如图，//AB CD 、BAC ∠的平分线AP 与ACD ∠的平分线CP 相交于点P ，作PE AC ⊥于点E ．若3PE =，则两平行线AB 与CD 间的距离为________ ．20．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．三、解答题21．如图，ABC ，其中AC BC >．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线交AC 于点P （要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）若8,AB PBC =的周长为13，求ABC 的周长；（3）在（2）的条件下，若ABC 是等腰三角形，直接写出ABC 的三条边的长度． 22．如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A 的坐标是（-1，0），B 点坐标是（-3，1），C 点坐标是（-2，3）．（1）作△ABC 关于y 轴对称的图形△DEF ，其中A 、B 、C 的对应点分别为D 、E 、F ； （2）动点P 的坐标为（0，t ），当t 为何值时，PA ＋PC 的值最小，并写出PA ＋PC 的最小值；（3）在（1）的条件下，点Q 为x 轴上的动点，当△QDE 为等腰三角形，请直接写出Q 点的坐标．23．如图，//CD AB ，BC 平分ACD ∠，CF 平分ACG ∠，40BAC ∠=，12∠=∠．解答下列问题：（1）求1∠度数； （2）求4ACE∠∠的值． 24．如图，等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ． （1）如图①，点E 为AB 的中点，求证：AE=DB ．（2）如图②，点E 在边AB 上时，AE DB （填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F （请你完成以下解答过程）．（3）在等边△ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若AB=1，AE=2时，直接写出CD 的长．25．如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线l 1交BC 于点D ，AC 边的垂直平分线l 2交BC 于点E ，l 1与l 2相交于点O ，连接OB ，OC ，若△ADE 的周长为6 cm ，△OBC 的周长为16 cm ．（1）求线段BC 的长；（2）连接OA ，求线段OA 的长； （3）若∠BAC ＝120°，求∠DAE 的度数．26．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠AB C交AC于点D．（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=12∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE=DF，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．【详解】解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE=DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．2．D解析：D【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，∴△AFE为等腰三角形，∴结论①正确；∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，∴∠AMF=90°，∴∠DBF=∠DAN，∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∴AD=BD，∴△DBF≌△DAN，∴DF= DN，AN=BF，∴结论②③正确；∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，∴△BMA≌△BMN，∴AM=MN，∴BE是线段AN的垂直平分线，∴EA=EN，∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，∴AD∥EN，∵AD⊥BC∴EN⊥NC，∴结论④正确；故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12 AE．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE=10(cm)，∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=12AE=12×10=5(cm)．故选：B ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．4．C解析：C 【分析】结合题意，根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】当40︒角为等腰三角形顶角时，其底角的度数为18040702；当40︒角为等腰三角形底角时，其底角的度数为40︒； 故选：C ． 【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和的性质；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，从而完成求解．5．C解析：C 【分析】过P 作//PF BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP PF QC ==，根据等腰三角形性质求出EF AE =，证PFD QCD ∆≅∆，推出FD CD =，推出12DE AC =即可． 【详解】解：过P 作//PF BC 交AC 于F ，//PF BC ，ABC ∆是等边三角形，PFD QCD ∴∠=∠，60APF B ∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，60A ∠=︒，APF ∴∆是等边三角形， AP PF AF ∴==， PE AC ⊥， AE EF ∴=，AP PF =，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中 PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， PFD QCD ∴∆≅∆，FD CD ∴=，EF FD AE CD ∴+=+， 12AE CD DE AC ∴+==， 3AC =，32DE ∴=， 故选：C ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．6．A解析：A【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD ＝∠CBD ，角平分线的性质定理得AD ＝DH ，垂线段定义证明DH 最短，求出DP 长的最小值为3，即可得到正确答案 ．【详解】过点D 作DH ⊥BC 交BC 于点H ，如图所示：∵∠A=∠BDC=90° ，又∵∠C ＋∠BDC ＋∠DBC ＝180°，∠ADB ＋∠A ＋∠ABD ＝180°，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，又∵AD ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴AD ＝DH ，又∵AD ＝3，∴DH ＝3，∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长等于3，即DP 长的最小值为3，故DP 的长不可能是2，【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．7．A解析：A【分析】利用基本作图得到CE AB ⊥，再根据等腰三角形的性质得到5AC =，然后利用勾股定理计算即可；【详解】由做法得CE AB ⊥，则90AEC ∠=︒，145AC AB BE AE ==+=+=,在Rt △ACE 中，3CE ===； 故答案选A ．【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．8．B解析：B【分析】 由△ABC 为等边三角形，可求出∠BOA =90°，由△ADO 是等腰三角形求出∠ADO =∠AOD =30°，即可求出∠BOD 的度数．【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，BO 为中线，∴∠BOA ＝90°，∠BAC ＝60°∴∠CAD ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣60°＝120°，∵AD ＝AO ，∴∠ADO =∠AOD =30°，∴∠BOD ＝∠BOA +∠AOD ＝90°+30°＝120°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．9．D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°−25°＝65°．综上所述，顶角的度数为：65°或115°．故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．B解析：B【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．【详解】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠GAC＝∠C，∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，∴∠EAG＝100°−80°＝20°，故选B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12．D解析：D【分析】由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 可判断A ，再求解1302DAC DAB BAC ∠=∠=∠=︒， 可得60,ADC ∠=︒ 可判断B ，再证明,DA DB = 可判断C ，过D 作DF AB ⊥于,F 再证明,DC DF = 再利用ACD ACD ABC ACD ABD S S S S S =+ ，可判断,D 从而可得答案． 【详解】解：90,30,C B ∠=︒∠=︒903060,BAC ∴∠=︒-︒=︒由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 故A 不符合题意；1302DAC DAB BAC ∴∠=∠=∠=︒， 903060,ADC ∴∠=︒-︒=︒ 故B 不符合题意；30,DAB B ∠=∠=︒,DA DB ∴=D ∴在AB 的垂直平分线上，故C 不符合题意；过D 作DF AB ⊥于,F90,C AD ∠=︒平分,BAC ∠,DC DF ∴=30B ∠=︒，2,AB AC ∴=11,,22ACD ABD S AC CD S AB DF ∴== 121122ACDACD ABC ACD ABD AC CD SS S S S AC CD AB DF ∴==++ 1.233AC AC AC AC AB AC AC AC ====++ 故D 符合题意； 故选：.D【点睛】 本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．40°【分析】连接OA根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°根据线段垂直平分线的性质得到AO=BOAO=CO根据等腰三角形的性质计算即可【详解】解：连接OA∵∠BOC＝80°∴∠OBC解析：40°．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO，AO=CO，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：连接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠B AC＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．3600【分析】连接AC根据勾股定理的性质计算得AC；根据勾股定理的逆定理推导得计算得从而得四边形面积；结合草坪每平方米100元通过计算即可得到答案【详解】如图连接AC∵∴∵∴∴∴∴四边形面积为：∵解析：3600【分析】S；根据勾股定理的逆定理，推导得连接AC，根据勾股定理的性质，计算得AC、ABCS，从而得四边形ABCD面积；结合草坪每平方米100元，通∠=︒，计算得ACD90ACD过计算即可得到答案．【详解】如图，连接AC∵3m AB =，4m BC =，90B ∠=︒ ∴225AC AB BC m +=，2162ABC S AB BC m =⨯=△ ∵12m CD =，13m DA =∴22222512169DA AC CD =+=+=∴90ACD ∠=︒ ∴21302ACD S AC CD m =⨯=△ ∴四边形ABCD 面积为：236ABC ACD S S m +=△△∵草坪每平方米100元∴铺满这块空地需花：361003600⨯=元，故答案为：3600．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，从而完成求解．15．117°或9°【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可【详解】如图所示∵在△ABC 中AB ＝ACCE 是高且∠ECA ＝36°∴∠BAC ＝90°-36°=54°∠ACB ＝∠ABC ＝63°∵△解析：117°或9°【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．【详解】如图所示，∵在△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是高，且∠ECA ＝36°，∴∠BAC ＝90°-36°=54°，∠ACB ＝∠ABC ＝63°，∵△ABC ≌△CDA ，∴∠CAD ＝∠ACB ＝63°，∴∠DAE ＝∠CAD+∠BAC ＝63°+54°＝117°，同理，∠D1AE＝∠CAD1-∠BAC=63°-54°=9°，故答案为：117°或9°【点睛】本题考查了全等三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．16．40°或70°或100°【分析】求出∠AOC根据等腰得出三种情况OE＝CEOC＝OEOC＝CE根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可【详解】解：∵∠AOB＝80°OC平分∠AOB∴∠AOC＝4解析：40°或70°或100°【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝40°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝40°，∴∠OEC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝12（180°﹣40°）＝70°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝40°；故答案为：100°或70°或40°．【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．17．①②③【分析】由三角形ABC 中∠BAC 的平分线交BC 于点D 过点D 作DE ⊥ACDF ⊥AB 根据角平分线的性质可得DE=DF ∠ADE=∠ADF 然后根据全等三角形的性质可得AF=AE 继而证得①∠AFE=∠A解析：①②③【分析】由三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，根据角平分线的性质，可得DE=DF ，∠ADE=∠ADF ，然后根据全等三角形的性质，可得AF=AE ，继而证得①∠AFE=∠AEF ；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD 垂直平分EF ；然后利用三角形的面积公式求解即可得③BFD CED S BF S CE ∆∆=，EF 平行BC 不能判断，于是可得④ ． 【详解】解：①∵三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴∠ADE=∠ADF ，DF=DE ，∵AD=AD ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE （HL ），∴AF=AE ，∴∠AFE=∠AEF ，故正确；②∵DF=DE ，AF=AE ，∴点D 在EF 的垂直平分线上，点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ，故正确；③∵12BFD DF S BF ∆=•，S △CDE =12CE DE •，DF=DE ， ∴BFD CED S BF S CE∆∆=；故正确； ④∵∠EFD 不一定等于∠BDF ，∴EF 不一定平行BC ．故错误．故答案为：①②③．【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．18．6【分析】作点P 关于OA 的对称点P1点P 关于OB 的对称点P2连结P1P2与OA 的交点即为点M 与OB 的交点即为点N 则此时MN 符合题意求出线段P1P2的长即可【详解】解：作点P 关于OA 的对称点P1点P 关解析：6【分析】作点P 关于OA 的对称点P 1，点P 关于OB 的对称点P 2，连结P 1P 2，与OA 的交点即为点M ，与OB 的交点即为点N ，则此时M 、N 符合题意，求出线段P 1P 2的长即可．【详解】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，△PMN的最小周长为PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故答案是：6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．19．6【分析】先过点P作FG⊥AB可以得到FG⊥CD根据角平分线的性质可得OE=OF=OG即可求得AB与CD之间的距离【详解】解：过点P作FG⊥AB即PF⊥AB∵AB∥CD∴FG⊥CD即PG⊥CD∴FG解析：6【分析】先过点P作FG⊥AB，可以得到FG⊥CD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．【详解】解：过点P作FG⊥AB，即PF⊥AB．∵AB∥CD，∴FG⊥CD，即PG⊥CD．∴FG就是AB与CD之间的距离．∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点P，PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥CD．∴PE=PF，PE =PG，∴PE=PF=PG，∴AB与CD之间的距离=2•PE=2×3=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB 与CD 之间的距离是正确解决本题的关键．20．【分析】先利用同角的余角相等得到=再通过证得到即再利用三角形内角和得可得最后利用角的和差即可得到答案=【详解】证明：∵∴∴=又∵∴∴即∵∴即∴=故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形的性质内角和定理 解析：=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再 利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】 本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）画图见解析；（2）△ABC 的周长=21；（3）AB=8，AC=8，BC=5．【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出图形即可；（2）根据垂直平分线的性质可得AP =BP ，从而得出AC +BC 的值，再根据AB =8，即可求得△ABC 的周长；（3）分两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）如图所示：即PQ 为所求；；（2）如图所示：∵AB的垂直平分线交AC于点P，∴PA=PB，∵△PBC的周长为13，∴PB+PC+BC=13，∴PA+PC+BC=13，即AC+BC=13，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+13=21；（3）∵AC＞BC，∴分两种情况，①AC=AB=8时，BC=21-AC-BC=21-8-8=5；②BC=AB=8时，AC=21-AB-BC=21-8-8=5，∵AC＞BC，∴不合题意舍去；综上所述，若△ABC是等腰三角形，△ABC的三条边的长度为AB=8，AC=8，BC=5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图、三角形周长等知识．本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）t=1，最小值为323）Q（51，051，0）或（5，0）或（94，0） 【分析】 （1）分别作出A ，B ，C 的对应点D ，E ，F 即可． （2）连接CD 交y 轴于点P ，连接PC ，点P 即为所求作．（3）根据等腰三角形的判定画出图形分类求解即可．【详解】解：（1）如图，△DEF 即为所求作；（2）如图，点P 即为所求作，点P 的坐标为（0，1），∴当1t =时，PA ＋PC 的值最小，最小值为CD=223332+=；（3）DE 22215=+=，如图，当5Q 的坐标为：Q 1（51，0），Q 251，0）； 当5Q 的坐标为：Q 3（5，0）；当DQ=EQ 时，设Q （m ，0），∵D （1，0），E （3，1），2DQ =2EQ ，∴()()222131m m -=-+， 解得：94m =． ∴Q 4（94，0）； 综上，满足条件的点Q 的坐标为：（1，01，0）或（5，0）或（94，0）． 【点睛】 本题考查了作图-轴对称变换，等腰三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（1）70°；（2）32 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ，再利用平角定义可得∠BCF =90°，进而可得CB ⊥CF ，计算出∠ACB 的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；（2）利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE 的度数，根据∠4的度数可得结果．【详解】解：（1）∵BC 平分∠ACD ，CF 平分∠ACG ，∴∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ， ∵∠ACG +∠ACD =180°，∴∠ACF +∠ACB =90°，∴CB ⊥CF ，∵∠BAC =40°，∵CD//AB ，∴∠ACG =40°，∴∠ACF =20°，∴∠ACB =90°-20°=70°，∴∠BCD =70°，∵CD ∥AB ，∴∠2=∠BCD =70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°；（2）∵∠BCD =70°，∴∠ACB =70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE =30°，∵CF 平分∠ACG ，∴∠ACF =∠4=20°， ∴4ACE ∠∠=3020︒︒=32． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系．24．（1）见解析；（2）=，理由见解析；（3）1或3【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到CE为∠ACB的平分线，证明BD=BE，等量代换证明结论；（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；（3）分点E在AB的延长线上和点E在BA的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，∴CE为∠ACB的平分线，∴∠BCE=12∠ACB=12×60°=30°．∵ED=EC，∴∠D=∠DCE=30°，∵∠ABC=60°，∠D+∠DEB=∠ABC，∴∠DEB=30°，∴BD=BE，∵AE=BE，∴AE=BD；（2）解：AE=BD，理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AB=AC，∴BE=CF，∴∠DBE=∠EFC=120°，在△DBE 和△EFC 中，DE EC DBE EFC BE FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EFC （SAS ），∴EF=DB ，∵AE=EF ，∴AE=DB ；故答案为：=；（3）当点E 在BA 的延长线上时，如图③，作EF ∥BC 交CA 的延长线于F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF=AE=EF=2，∠BEF=60°，∴∠CEF=60°+∠BEC ，∵∠EDC=∠ECD=∠B+∠BEC=60°+∠BEC ，∴∠CEF=∠EDB ，在△CEF 和△EDB 中，603CEF EDB F B EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD=EF=2，∴CD=BD-BC=1，当点E 在AB 的延长线上时，如图，作EF ∥BC 交AC 的延长线于F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF=AE=EF=2，∠AEF=60°，∴∠CEF=60°-∠AEC ，∵∠D=∠ECD=∠ABC+∠AEC=60°+∠AEC ，∴∠CEF=∠D ，在△CEF 和△EDB 中，601CEF D F DBE EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD=EF=2，∴CD=BD+BC=3，综上所述，CD=1或3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（1）6 cm ；（2）5 cm ；（3）∠DAE ＝60°【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA ＝DB ，EA ＝EC ，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到OA ＝OB ，OA ＝OC ，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据∠BAC ＝120°，得到∠ABC ＋∠ACB ＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到DA ＝DB ，EA ＝EC ，从而得到∠BAD ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠ACB ，继而求得∠DAE 的度数．【详解】解：（1）∵l 1是AB 边的垂直平分线，∴DA ＝DB ，∵l 2是AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC ，∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝DA ＋DE ＋EA ＝6 cm ．（2）连接OA ，∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB＋OC＋BC＝16 cm，BC＝6 cm，∴OA＝OB＝OC＝5 cm．（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＋∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝60°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．26．（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠AB C，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=12×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=12FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=12∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【详解】证明(1)∵BD平分∠AB C，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=1× 180°=90°，2∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=1FM，2∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=1∠ABC=22.5°，2∠ABC=∠ABC，∴∠MNC=2∠NFH=2×12∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键．。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明 能力提升( 解析版)
第一章三角形的证明卷I（选择题）一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1.如图，已知AB // CD，OM是∠BOF的平分线，∠2=70∘，则∠1的度数为( )A.140∘B.130∘C.125∘D.100∘2.等腰三角形的一个角是80∘，则它顶角的度数是（）A.80∘或20∘B.80∘C.80∘或50∘D.20∘3.用反证法证明“△ABC中，如果AB≠AC，那么∠B≠∠C”时，第一步是( )A.假设AB=ACB.假设∠B=∠CC.假设AB≠ACD.假设AB≠AC4.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√5，则BC的长为( )A.√3−1B.√3+1C.√5−1D.√5+15.图中，最外面是第1个等边三角形，边长为1，记周长为l1，然后以中心为顶点构造第2个等边三角形，使其底边与第1个等边三角形底边重合，记其周长为l2；若继续构造下去，则第n个等边三角形的周长l n为（）A.(13)n−1B.(13)n−2C.3⋅(12)n−2D.3⋅(12)n−1 6.如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15∘后得到△AB 1C 1，若AC ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A.2√33B.√36C.√3D.3√3卷II （非选择题）二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7.直角三角形中两个锐角的差为20∘，则两个锐角的度数分别是________．8.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB =8cm ，AC =6cm ，S △ABD =12，则 S △ACD =________．9.如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A ＝60∘，∠ACF ＝48∘，则∠ABC 的度数为＝________．10.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C 处．若AE=√3，则BC的长是________．11.如图，某汽车从A处出发准备开往正北方向M处，但是由于AM之间道路正在整修，所以需先到B处，再到M处，若B在A的北偏东25∘方向上，汽车到B处发现，此时正好BM=BA，则汽车要想到达M处，此时应沿北偏西________的方向行驶．12.如图，在直角坐标系中，ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0, 8)，B(−6, 8)，C(−6, 0)，D(0, 0)，现有动点P在线段CB上运动，当△ADP为等腰三角形时，P点坐标为________．三、解答题（本题共计11小题，共计84分）13.（6分）如图，在△ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，DE⊥CB于E，∠B=55∘，求∠CDE的度数．14.（6分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，求△BCD的周长．15.（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30∘，∠DAB＝45∘．求证：△ADC是等腰三角形．BC．16.（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=12求证：AB平分∠EAD．17.(6分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP＝AP′．（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP＝CP′．18.(8分)如图，已知∠BAC＝120∘，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D，（1）求∠ADB的度数；（2）若AD＝2，求BC的长．19.（8分）如图，D为等边△ABC边BC上一点，DE⊥AB于E，若BD:CD＝2:1，DE＝2√3，求AE．20.(8分)如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．（1）求证：∠BAC＝2∠EDB；（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．21.(9分)如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．求证：（1）∠BAC=2∠BEC；（2）∠CAE+∠BEC=90∘．22.（9分）我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．AB，求∠APB的度应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，已知PA=PB且PD=12数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．23.（12分）感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180∘，∠B=90∘，易知：DB=DC．探究：如图②，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B=45∘，∠C=135∘，试说明：DB与DC的数量关系，并说明原因．应用：如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180∘，∠ABD<90∘，DB与DC的上述关系还成立吗？并说明原因．参考答案与试题解析第一章三角形的证明一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1.【答案】A【解答】解：∵AB // CD，∠2=70∘，∴∠BOM=∠2=70∘，∵OM是∠BOF的平分线，∴∠BOF=2∠BOM=140∘，∵AB // CD，∴∠1=∠BOF=140∘．故选A．2.【答案】A【解答】(180∘−80∘)=50∘；解：分两种情况讨论：①当80∘的角为顶角时，底角为12②当80∘角为底角时，另一底角也为80∘，顶角为20∘；综上所述：等腰三角形的一个角是80∘，则它顶角的度数是80∘或20∘；故选：A．3.【答案】B【解答】解：用反证法证明“△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C“第一步应是假设∠B=∠C，故选B.4.【答案】D【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=√5，在Rt△ADC中，DC=√AD2−AC2=√(√5)2−22=1；∴BC=√5+1．故选D．5.【答案】B【解答】由已知得：第1个等边三角形的周长为：1+1+1＝3=(13)1−2，第2个等边三角形的周长为：13+13+13=1=(13)2−2，第3个等边三角形的周长为：19+19+19=13=(13)3−2，…，所以第n个等边三角形的周长l n为：(13)n−2．6.【答案】A【解答】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15∘后得到△AB′C′，∵∠CAC′＝15∘，∴∠C′AB＝∠CAB−∠CAC′＝45∘−15∘＝30∘，AC′＝AC＝2，∴阴影部分的面积=12×2×tan30∘×2=2√33，二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7.【答案】55∘、35∘【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x−20∘，则x+x−20∘=90∘，解得，x=55∘，x−20∘=35∘故答案为：55∘、35∘．8.【答案】9cm2【解答】解：过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是角平分线，∴DE=DF，∵S△ABD=12AB⋅DE，∴12=12×8DE，解得DE=3(cm)，∴DF=3cm，∴S△ACD=12AC⋅DF=12×6×3=9(cm2)，故答案为：9cm2．9.【答案】48∘【解答】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60∘，∴∠ABC+∠ACB＝120∘，∵∠ACF＝48∘，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝48∘，∴3∠FCE ＝120∘−48∘＝72∘，∴∠FCE ＝24∘，∴∠ABC ＝48∘，10.【答案】√3【解答】∵AB =AC ，∠A =36∘，∴∠B =∠ACB =180∘−36∘2=72∘，∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处，∴AE =CE ，∠A =∠ECA =36∘，∴∠BCE =∠BCD −∠ECD =72∘−36∘=36∘，∴∠BEC =180∘−∠B −∠BCE =180∘−72∘−36∘=72∘， ∴∠BEC =∠B,∴BC =CE.∵AE =√3，∴BC =CE =AE =√3.故答案为：√3.11.【答案】25∘【解答】解：∵MB =BA ，∴∠M =∠A =25∘，∴∠1=∠M =25∘，故答案为：25∘．12.【答案】(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)【解答】解：如图，当AP=PD时，点P在AD的垂直平分线上，∴P(−6, 4)，当AP=AD=8时，BP=√AP2−AB2=2√7，当DP=AD=8时，PC=2√7，∴P(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)，∴P点坐标为(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)．故答案为：(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)．三、解答题（本题共计11小题，共计84分）13.【答案】解：∵AC=BC，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90∘，∴∠CDE+∠BDE=90∘，∵DE⊥CB，∴∠B+∠BDE=90∘，∴∠CDE=∠B=55∘．【解答】解：∵AC=BC，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90∘，∴∠CDE+∠BDE=90∘，∵DE⊥CB，∴∠B+∠BDE=90∘，∴∠CDE=∠B=55∘．14.【答案】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，∵AB=AC，AB+BC=13，∴△BCD的周长为13．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，∵AB=AC，AB+BC=13，∴△BCD的周长为13．15.【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30∘，∵∠C+∠BAC+∠B＝180∘，∴∠BAC＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∵∠DAB＝45∘，∴∠DAC＝∠BAC−∠DAB＝120∘−45∘＝75∘；∵∠DAB＝45∘，∠B＝30∘∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75∘，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30∘，∵∠C+∠BAC+∠B＝180∘，∴∠BAC＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∵∠DAB＝45∘，∴∠DAC＝∠BAC−∠DAB＝120∘−45∘＝75∘；∵∠DAB＝45∘，∠B＝30∘∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75∘，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．16.【答案】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BC，AD⊥BC，∴BD=12BC，∵BE=12∴BD＝BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BC，AD⊥BC，∴BD=12BC，∵BE=12∴BD＝BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．17.【答案】如图①，点P′为所求作的图形，理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P′，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠HCB，∴∠ABP′＝∠ACP，∵AB＝AC，∠BAP′＝∠CAP，∴△ABP′≅△ACP，∴AP′＝AP，如图②，点P′为所求作的图形，理由：同（1）的方法即可得出，BP＝CP′．【解答】如图①，点P′为所求作的图形，理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P′，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠HCB，∴∠ABP′＝∠ACP，∵AB＝AC，∠BAP′＝∠CAP，∴△ABP′≅△ACP，∴AP′＝AP，如图②，点P′为所求作的图形，理由：同（1）的方法即可得出，BP＝CP′．18.【答案】∵∠BAC＝120∘，AB＝AC，(180∘−∠BAC)＝30∘，∴∠B＝∠C=12∵AC的垂直平分线DE，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30∘，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60∘．∵∠B＝30∘，∠ADB＝60∘，∴∠BAD＝90∘，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵DC＝AD＝2，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6．【解答】∵∠BAC＝120∘，AB＝AC，(180∘−∠BAC)＝30∘，∴∠B＝∠C=12∵AC的垂直平分线DE，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30∘，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60∘．∵∠B＝30∘，∠ADB＝60∘，∴∠BAD＝90∘，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵DC＝AD＝2，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6．19.【答案】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60∘，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90∘，∴∠BDE＝30∘，∴BD＝2BE，在Rt△BDE中，设BE＝x，则BD＝2x，∵DE＝2√3，由勾股定理得：(2x)2−x2＝(2√3)2，解得：x＝2，所以BE＝2，BD＝4，∵BD:CD＝2:1，∴CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6，∵AE＝AB−BE∴AE＝6−2＝4．【解答】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60∘，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90∘，∴∠BDE＝30∘，∴BD＝2BE，在Rt△BDE中，设BE＝x，则BD＝2x，∵DE＝2√3，由勾股定理得：(2x)2−x2＝(2√3)2，解得：x＝2，所以BE＝2，BD＝4，∵BD:CD＝2:1，∴CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6，∵AE＝AB−BE∴AE＝6−2＝4．20.【答案】∵AB＝AC，D为BC边的中点∠BAC ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∴∠B+∠BAD＝90∘∵DE⊥AB∴∠B+∠EDB＝90∘∠BAC∴∠EDB=∠BAD=12即∠BAC＝2∠EDB∵AB＝AC＝6，DE＝2=6∴S△ABD=6×2×12∵D为BC边的中点∴S△ADC＝S△ADB＝6∴S△ABC＝12【解答】∵AB＝AC，D为BC边的中点∠BAC ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∴∠B+∠BAD＝90∘∵DE⊥AB∴∠B+∠EDB＝90∘∠BAC∴∠EDB=∠BAD=12即∠BAC＝2∠EDB∵AB＝AC＝6，DE＝2∴S△ABD=6×2×12=6∵D为BC边的中点∴S△ADC＝S△ADB＝6∴S△ABC＝1221.【答案】解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=12∠ACD=12(∠BAC+∠ABC)，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+12∠ABC，∴∠BEC+12∠ABC=12(∠BAC+∠ABC)∴∠BEC=12∠BAC，即∠BAC=2∠BEC；（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN∴∠CAE=12∠CAN=12(180∘−∠BAC)，∴∠CAE+∠BEC=12(180∘−∠BAC)+12∠BAC=90∘．【解答】解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=12∠ACD=12(∠BAC+∠ABC)，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+12∠ABC，∴∠BEC+12∠ABC=12(∠BAC+∠ABC)∴∠BEC=12∠BAC，即∠BAC=2∠BEC；（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN∴∠CAE=12∠CAN=12(180∘−∠BAC)，∴∠CAE+∠BEC=12(180∘−∠BAC)+12∠BAC=90∘．22.【答案】解：应用：因为PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ，∴∠APD =45∘，故∠APB =90∘；探究：∵BC =5，AB =3，∴AC =√BC 2−AB 2=√52−32=4，①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2， ∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能成立．故PA =2或78．【解答】解：应用：因为PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ，∴∠APD =45∘，故∠APB =90∘；探究：∵BC =5，AB =3，∴AC =√BC 2−AB 2=√52−32=4，①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2， ∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能成立．故PA =2或78．23.【答案】解：探究：DC =DB ，理由如下：在图②中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ．∵∠DCA =135∘，∴∠DCF =180∘−∠DCA =45∘=∠B ．在△DCF 和△DBE 中，{∠F =∠DEB =90∘∠DCF =∠BDF =DE，∴△DCF ≅△DBE(AAS)，∴DC =DB ．应用：结论仍成立，理由如下：在图③中，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ， ∵DA 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∴DM =DN ．∵∠B +∠ACD =180∘，∠ACD +∠NCD =180∘， ∴∠B =∠NCD ．在△NCD 和△MBD 中，{∠N =∠BMD∠NCD =∠B DN =DM，∴△NCD ≅△MBD ，∴DC =DB ．【解答】解：探究：DC =DB ，理由如下：在图②中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ．∵∠DCA =135∘，∴∠DCF =180∘−∠DCA =45∘=∠B ．在△DCF 和△DBE 中，{∠F =∠DEB =90∘∠DCF =∠BDF =DE，∴△DCF ≅△DBE(AAS)，∴DC =DB ．应用：结论仍成立，理由如下：在图③中，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ， ∵DA 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∴DM =DN ．∵∠B +∠ACD =180∘，∠ACD +∠NCD =180∘， ∴∠B =∠NCD ．在△NCD 和△MBD 中，{∠N =∠BMD∠NCD =∠B DN =DM，∴△NCD ≅△MBD ， ∴DC =DB ．。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章：三角形的证明 培优达标卷
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点， 当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（ ）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（ ）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1） 若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线； 由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=， 由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+， 而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==， 故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒， 又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒． 同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=， 综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ； （2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ， 则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。
北师大初二数学8年级下册 第1章(三角形的证明)1.4角平分线 同步提升训练(含解析)
北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步提升训练（附答案）1．如图，已知△ABC的面积是30，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的周长是（ ）A．30B．25C．20D．152．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（ ）处．A．一B．二C．三D．四3．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（ ）A．15B．12C．10D．144．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）A．1B．1.5C．2D．2.55．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝11，AB＝6，DE＝2，则AC ＝（ ）A．7B．6C．5D．46．如图，在△ABC中，BD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝4，BC＝6，DF＝2，则AE的长为（ ）A．3B．C．D．7．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）A．11B．8C．12D．38．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P（A、P、C 三点不共线），记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（ ）A．S1+S3＝S2+S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S4＝S2+S3D．S1＝S39．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（ ）A．25B．5.5C．7.5D．12.510．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角的平分线的交点．上述结论中，正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于 ．12．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD ＝8，则四边形ABCD的面积是 ．13．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是 ．14．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC＝ ．15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 cm2．16．如图，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ABC和∠BAC的角平分线的交点是点D，则△ABD 的面积为 ．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 ．18．如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且2∠C＝90°﹣∠ABH，若CD＝4，△ABC的面积为12，则AD＝ ．19．如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM＝MP＝6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是 ．20．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B 作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE ＝ ．21．如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E．（1）若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；（2）直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．24．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．25．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．26．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．参考答案1．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OD⊥BC于D，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，∵△ABC的面积是30，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴S△ABC＝×（AB+BC+AC）×3＝30，∴AB+BC+AC＝20，即△ABC的周长是20，故选：C．2．解：∵度假村到三条公路的距离相等，∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，∵△ABC的三条角平分线相交于一点，∴度假村可供选择的位置有一处，故选：A．3．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：∵BD是AC边上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．故选：B．4．解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝AD＝2，故选：C．5．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝2，∵S△ADC+S△ABD＝S△ABC，∴×2×AC+×2×6＝11，∴AC＝5．故选：C．6．解：如图所示，过D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∵AE⊥BC，∴BC×AE＝AB×DF+BC×DH，即6AE＝4×2+6×2，∴AE＝，故选：C．7．解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE＝3，∴EF＝DE＝3，∴△BCE的面积S＝＝，故选：C．8．解：四边形ABCD，四个内角平分线交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，如图，可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d，则S1＝a+d，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+d，∴S1+S3＝a+b+c+d＝S2+S4，故选：A．9．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S Rt△ADF＝S Rt△ADH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S Rt△DEF＝S Rt△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，∴35+S Rt△DEF＝60﹣S Rt△DGH，∴S Rt△DEF＝．故选：D．10．解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．12．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×12×8+×18×8，＝120．故答案为：120．13．解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，∴PA＝PE＝PD，∵AD＝10，∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，故答案为：5．14．解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∴O为△ABC的三内角平分线的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∴∠OBC+∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，故答案为：125°．15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．16．解：连接CD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，由勾股定理得，AB＝，∵点D是∠ABC和∠BAC的角平分线的交点，DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，∴DE＝DF＝DG，×AB×DE+×AC×DF+×BC×DG＝×AC×BC，即×10×DE+×6×DF+×8×DG＝×6×8，解得，DE＝2，∴△ABD的面积＝×10×2＝10，故答案为：10．17．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．18．解：∵BH为△ABC的高，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH＝90°﹣∠ABH，而2∠C＝90°﹣∠ABH，∴∠BAH＝2∠C，∵∠BAH＝∠C+∠ABC，∴∠ABC＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，∵AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，∵△ABC的面积为12，∴×AD×BC＝12，即×AD×8＝12，∴AD＝3．故答案为3．19．解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，∴∠AOP＝∠AOB＝30°，∴∠DPO＝60°，∵PM＝DM＝6，∴∠MDP＝∠DPM＝60°，∵∠PDO＝90°，∴∠ODM＝30°＝∠AOP，∴OM＝DM＝6，∴OP＝12，∴PD＝OP＝6，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值＝PD＝6，故答案为：6．20．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，∵S△BCE＝•EC•BF＝，∴×2m×m＝，∴m＝或﹣（舍弃），∴CE＝2m＝5，故答案为5．21．解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝75°，∴∠ACB＝50°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝25°，∵∠B＝75°，CD⊥AB，∴∠BCD＝15°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝25°﹣15°＝10°，即∠DCE的度数是10°；（2）∠DCE＝（∠B﹣∠A），理由：∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，CE平分∠ACB，∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°﹣∠B，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠A﹣∠B﹣90°+∠B＝（∠B﹣∠A），即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．22．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．23．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．24．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．25．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．26．解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．。
北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元培优测试题4(附答案)
北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元培优测试题4（附答案）1．如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，若BC ＝10，AC ＝6，则△ACD 的周长是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．202．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处，测得小岛C 位于轮船北偏东60︒方向上，继续向东航行10 n mile ，到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15︒方向上，此时轮船与小岛C 的距离为（ ）n mile.（结果保留根号）A ．10B ．52C ．5D ．533．以下四组数中的三个数作为边长，不能构成直角三角形的是（ ）A ．1，2，3B ．5，12，13C ．32，42，52D ．8，15，17. 4．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）A ．1，3，2B ．3，4，5C ．5，11，12D ．9，15，17 5．如图，ABC ∆中，AD BC ⊥交BC 于D ，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，F 为BC 延长线上一点，FG AE ⊥交AD 的延长线于G ，AC 的延长线交FG 于H ，连接BG ，下列结论：①DAE F =∠∠；②∠AGH=∠BAE+∠ACB ；③::AEB AEC S S AB AC ∆∆=，其中正确的结论有（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠A ＝30°，BD ＝1，则AB的值是（）.A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE 的周长为10，且BC=4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．68．如图是由8个全等的长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰．．三角形的点P的个数是A．3个B．4个C．5个D．6个9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=4，则D到斜边的距离为（）A．4.5 B．4 C．3.5 D．310．如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )A．55°B．45°C．35°D．65°11．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，点D在∠ABC的平分线上，AC与BD交于F，连CD，∠ACD+2∠ACB=180°，AB=2EC，BD=214，BE=3，则AF=______．12．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是20，小正方形的面积是8，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为______．13．如图, 等腰△ABC中，AB=AC, ∠A=20°, 线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC= __________度.14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若AB=10，AC=8，则△AEF的周长是_______________。
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（学生版）八下第一章《三角形证明》培优提高 （三）
八下第一章《三角形证明》培优提高（三）
3、（2012?广州）在 Rt △ AB 中, △ C=90°AC=9, BC=12,则点 C 到 AB 的距离是（ B . 12 25
B . 2 ; 7、（ 2012?贵阳）如图，在RtA AB
C 中，/ ACB=90°,AB 的垂直平分线 DE 交于BC 的延长线于 F,若/ F=30 °, DE=1，则EF 的长是（ ）
一、选择题:
1、已知△ ABC 中，AB = AC, 则^ ABC 的腰和底边长分别为 AB 的垂直平分线交 AC 于D,A ABC 和^ DBC 的周长分别是 60 cm 和38 cm , （ ） A . 24 cm 和 12 cm B . 16 cm 和 22 cm C. 20 cm 和 16 cm D . 22 cm 和 16 cm
2、（2013?郴州）如图，在 Rt△XCB 中，ZACB=90 °, △\=25 °, D 是 AB 上一点.将 使B 点落在AC 边上的B 处，则△XDB 等于（ ）
Rt △KBC 沿CD 折叠, A . 25
C . 35°
D . 40 C. 9
4
4、（2011?恩施州）如图， AD 是△KBC 分别为 50和39,则ZEDF 的面积为（ 的角平分线，DF△XB ，垂足为F ,
）
DE=DG , ZADG 和 △KED 的面积
（2012?广安） 已知等腰^ ABC 中，AD 丄BC 于点D, 且 AD =2BC ， 则^ ABC 底角的度数为（
A . 45
B . 75
C . 45 或 75
D . 60
（2012?毕节地区）如图.在
接CD,若BD=1,则AC 的长是（
RtA ABC 中，/ ）
A=30 °, DE 垂直平分斜边 AC ,交AB 于D , E 是垂足，连 D .
A . 11
B . 第4题 第6题
C . 7
D . 3.
1、如图,△ ABC 中，/ACB= 90° ,CD 丄 AB 于点 D,/ A =
30 ,BD = 1.5cm ,贝U AD=
cm . 二、填空题:
A . 3
B . 2 D. 1
8、（2012?攀枝花）已知实数 X , y 满足|x-4|+ j y 8=0,则以x , y 的值为两边长的等腰三角形的周长是
A . 20 或 16
B . 20 C. 16 D . 以上答案均不对
9、（2012?三明）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在x 轴上，若以P, 0, A 为顶点的
三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（
） A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个
10、（ 2012?本溪）如图在直角△ ABC 中，/ BAC=90°, 交边BC 于点E ,连接AE ,则^ ACE 的周长为（ AB=8, ）
AC=6, DE 是AB 边的垂直平分线， 垂足为D , A . 16 B . 15 C . 14 D .
13
（第 10 题） 11、（ 2012?荆门）如图，△ ABC 是等边三角形，P 是/ ABC 的平分线 的垂直平分线交 BC 于点F ,垂足为点Q .若BF=2,贝y PE 的长为（ BD 上一点，PE 丄AB 于点E ,线段BF ）
A . 2
B . 243 C. 43 D. 3 （第 11
匚
4、如图，在△ ABC 中，/ C = 90°,/ B = 15° , AB 的垂直平分线交 BC 于D ,交AB 于E ,若DB = 10cm , 贝U AC = .
5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 300,腰长为6，则其底边上的高是
6、（2013?泰安）如图，在 RtAXBC 中，△\CB=90 °, AB 的垂直平分线 DE 交AC 于E ,交BC 的延长线于
F ,若 ZF=30 °, DE=1，贝U BE 的长是 ________ .
7、（2005?绵阳）如图，在^ AB （中, BC=5cm, BP CP 分别是△ ABCO △ AC 的角平分线，且 PDAABPE ^ A , 则△PDE 勺周长是 cm .
8、在^ ABC 中, / A=40° , AB=AC , AB 的垂直平分线交 AC 与D,则/ DBC 勺度数为
ABC 中，/ A=30, AB=8,贝U AB 边上的高 CD 的长是
11、（ 2012?常德）如图，在 RgABC 中，/ C=90° AD 是/ BAC 的平分线，DC=2,贝U D 到AB 边的距离 是 .
12、（2012?黔西南州）如图，在^ ABC 中，/ ACB=90°, D 是 BC 的中点，DEX BC, CE// AD,若 AC=2, CE=4, 则四边形ACEB 的周长为 _________________ .
13、（
2012?黑龙江）等腰三角形一腰长为 5, —边上的高为4，则底边长
3 / 8
（填空1） （填空4） （填空6） （填空7）
2、在^ ABC 中，/ A:/B:/ C = 1:2:3 , AB = 6cm ,则
BO cm .
3、等边△ ABC 的周长为12cm ，则它的面积为
cm 2. 9、（2012?襄阳）在等腰△
10、（ 2012?梅州）如图，
/ AOE=/ BOE=15, EF// OB , EC 丄 OB ,若 EC=1,贝U EF=
（填空10（填空11（填空
12
14、（2012?黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成
.
个正三角形15、（2012?佳木斯）等腰三角形一腰长为5, —边上的高为3,则底边长为三、解答题:
1、如图，CEL AB, BF丄AC, CE与BF相交于D,且BD=CD.求证：D在/ BAC的平分线上.
2、如图，ABC中，AB AC, A 50 , DE是腰AB的垂直平分线，求DBC的度数。
3、如下图，CD 丄 AD , CB 丄 AB , AB=AD ，求证：CD=CB .
4、女口图，△
ABC 中,/ B=90° , AB=BC AD 是△ ABC 的角平分线，若 BD=1 求 DC 的长.
C
5、（2012?遵义）如图，△ ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C 不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），
过P作PE丄AB于E,连接PQ交AB于D.
（1）当/ BQD=30时，求AP的长;
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由
.
6、（2012?珠海）如图，在△ ABC中，AB=AC AD是高，AM是^ ABC外角/ CAE的平分线.
（1）用尺规作图方法，作/ ADC的平分线DN;（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F,判断△ ADF的形状.（只写结果）
7、（2012?鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放,
A、B、D在同一直线上，EF △KD，△=住DF=90 ° ZC=45 ° 住=60 °量得DE=8，试求BD的长.。