高三数学一轮复习 第2章 第6课时 对数函数 文 新人教版A
2019高三数学人教A版 文一轮教师用书：第2章 第6节 对
第六节对数函数[考纲传真](教师用书独具)1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．(对应学生用书第18页)[基础知识填充]1．对数的概念如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：log a b＝log c blog c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N，③log a Mn＝n logaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[知识拓展]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log am b n ＝nm log a B ．其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R .2．对数函数的图象与底数大小的比较如图2-6-1，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜B ．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．图2-6-1 [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2，b ＝log 213，c ＝log 13，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 13＞log 12＝1，∴c ＞a ＞B ．]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图2-6-2，则下列结论成立的是( )图2-6-2A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34； 当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．]5．(2018·苏州模拟)计算：2log510＋log514＝________，2log43＝________.【导学号：79170033】23[2log510＋log514＝log5⎝⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log43＝12log23＝log23，所以2log43＝2log23＝ 3.](对应学生用书第19页)(1)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A．10B．10C．20 D．100(2)(2018·太原模拟)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于()A．13B．36C．33D．24(1)A(2)D[(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝log m2＋log m5＝log m10＝2，∴m＝10.(2)由log7[log3(log2x)]＝0得log3(log2x)＝1，即log2x＝3，所以x＝8，所以x＝2 4.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N⇔b＝log a N(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( ) A ．24 B ．16 C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 33 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝ 23＋log 23＝8×3＝24，故选A ．(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.]{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )A BC D(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．故选B ．(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[变式训练2] (1)(2018·邵阳模拟)若函数f (x )＝a x －k ·a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )(2)(2018·合肥模拟)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )【导学号：79170034】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(1)B (2)B [(1)由题意函数f (x )＝a x －k ·a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，∴有f (0)＝0，即0＝1－k ， ∴k ＝1，根据增＋增＝增，∴y ＝a x 是增函数，∴a ＞1.那么函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)的图象单调递增，恒过(0,0)，故选B ． (2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.]角度1 比较对数值的大小(1)(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b(2)(2018·榆林模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a(1)B (2)B [(1)∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a ＞b ＞0，∴a c ＞b c ，C 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝c x 在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a ＞b ＞0，∴c a ＜c b ，D 项错误．(2)因为a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，所a ＞b ＞C ．] 角度2 解简单的对数不等式(1)(2018·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3＋log 2x ，x ＞0x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－2]∪(0,4) C ．[－2,4]D ．(－∞，－2]∪[0,4](2)(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0(1)C (2)D [(1)由于f (x )＝⎩⎨⎧3＋log 2x ，x ＞0x 2－x －1，x ≤0，当x ＞0时，3＋log 2x ≤5，即log 2x ≤2＝log 24，解得0＜x ≤4，当x ≤0时，x 2－x －1≤5，即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤0， ∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]，故选C ． (2)法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D ．] 角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：79170035】 [解] (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，即⎩⎨⎧a ＞0， a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2+2(－1a )+3＝1，解得a ＝12.故存在实数a＝12使f(x)的最小值为0.[规律方法]利用对数函数的性质研究对数型函数的性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．。
新高考一轮复习人教A版第二章第六讲对数与对数函数课件(58张)
【名师点睛】对数运算的一些结论 (1)logam bn＝mn logab. (2)logab·logba＝1. (3)logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
(0，＋∞) R
(续表)
y＝logax
a>1
0<a<1
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.2lg 3≠3lg 2 B.若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN C.y＝log2x2 不是对数函数，而 y＝log2(－x)是对数函数 D.函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域 相同 答案：ABC
解析：原式＝1－2log63＋log63lo2g＋64log663×log66×3 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632＝212－lolgo6g263 ＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
答案：1
3.已知 2x＝12，log231＝y，则 x＋y 的值为________. 答案：2 4.设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B.(－∞，2]
C.[2，＋∞)
D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5， 则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减， 在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上 单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)， 由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.
【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第2章 2.6 对数与对数函数
(1)原式=100
3 2
3
lg
2lg
2
=10
=10 2
=
2
.
lg
=100(lg 3-lg 2)=100
3
3
lg
2 =(102) 2
9
.
4
(2)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5
=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.
3
(3)当 x>1 时,若 logax>logbx,则 a<b.( × )
-2
(4)函数 f(x)=lg+2与 g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.( × )
1
(5)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1), ,-1 .
( √ )
结合法求解.
对点训练2
(1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结
论成立的是( D )
A.a>1,c>1
B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
由该函数的图象通过第一、第二、第四象限知该函数为减函数,所以
0<a<1.因为图象与x轴的交点在区间(0,1)之间,所以该函数的图象是由函
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解 (1)由ax-1>0,得ax>1.
2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6节对数与对数函数课时作业含解析新人教版
第二章 函数、导数及其应用授课提示：对应学生用书第247页[A 组 基础保分练]1．(2021·重庆第一次模考)已知log 23＝a ，log 35＝b ，则lg 6＝( ) A.11＋ab B ．a 1＋abC.b 1＋ab D ．a ＋11＋ab答案：D2．(2021·济南模拟)已知函数f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12，则f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2答案：C3．(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 解析：∵3log 32＝log 38＜2，∴log 32＜23，即a ＜c .∵3log 53＝log 527＞2，∴log 53＞23，即b ＞c .∴a ＜c ＜b . 答案：A4．已知a ＞b ＞0，且a ＋b ＝1，x ＝⎝⎛⎭⎫1a b ，y ＝log ab ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，z ＝log b 1a ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x ＞z ＞y B ．x ＞y ＞z C ．z ＞y ＞xD ．z ＞x ＞y答案：A5．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)答案：A6．(多选题)(2021·山东潍坊五县联考)已知a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则( )A ．∃x ，y ＞0，使得a ＜b ＜c ＜dB ．∀x ，y ＞0，都有c ＝dC ．∃x ，y 且x ≠y ，使得a ＝b ＝c ＝dD ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1解析：a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则lg a ＝lg 2x ，lg b ＝lg 2y ，lg c ＝lg x lg y ，lg d ＝lg x lg y ，则∀x ，y ＞0，都有c ＝d ，故B 正确，A ，C 不正确；对于D ，假设a ，b ，c ，d 中最多有一个大于1，若x ＞10，y ＞10，则a ＞1，b ＞1，c ＞1，d ＞1，则假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1，D 正确． 答案：BD7．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．答案：7 28．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为________． 答案：(－4,4]9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解析：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解析：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，得a ＝－1， 故f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.[B 组 能力提升练]1．(2021·合肥模拟)函数f (x )＝ln x ·(e x －1)e x ＋1的图象大致为( )答案：B2．(多选题)(2021·山东临沂期末)若10a ＝4,10b ＝25，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab ＞8(lg 2)2D ．b －a ＞lg 6解析：由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，则a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，A 正确；b －a ＝lg 25－lg 4＝lg 254，又lg 254＞lg 6，∴b －a ＞lg 6，B 错误，D 正确；又ab ＝4lg 2lg 5＞4lg 2lg4＝8(lg 2)2，C 正确． 答案：ACD3．若函数f (x )＝a x －k (a ＞0，且a ≠1)的图象经过定点(19,1)，且g (x )＝log a (x ＋k －19)满足g (x 1x 2x 3…x 2 019)＝19，则g (x 21)＋g (x 22)＋g (x 23)＋…＋g (x 22 019)的值为( )A.19 B ．19 C ．38D ．log a 19解析：由题意可知f (19)＝1，得k ＝19，所以g (x )＝log a x ，所以g (x 1x 2x 3…x 2 019)＝log a (x 1x 2x 3…x 2019)＝19，所以g (x 21)＋g (x 22)＋g (x 23)＋…＋g (x 22 019)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝2log a (|x 1x 2x 3…x 2 019|)＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×19＝38. 答案：C4．若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1,3y ＝3t ＋1,5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B5．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知55＜84,134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84,134＜85，∴5log 85＜4,4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6．(多选题)(2021·山东夏津一中月考)已知函数f (x )＝－log 2x ，下列说法正确的是( ) A ．函数f (|x |)为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1,3)上单调递增D ．若0＜a ＜1，则|f (1＋a )|＜|f (1－a )|解析：对于A ，f (|x |)＝－log 2|x |，f (|－x |)＝－log 2|－x |＝－log 2|x |＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，故A 正确；对于B ，若f (a )＝|f (b )|，其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，则f (a )＝|f (b )|＝－f (b )，－log 2a ＝log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0，得ab ＝1，故B 正确；对于C ，函数f (－x 2＋2x )＝－log 2(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x ＞0，解得0＜x ＜2，所以函数f (－x 2＋2x )的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为0＜a ＜1，所以1＋a ＞1＞1－a ＞0,0＜1－a 2＜1，所以f (1＋a )＜0＜f (1－a )，故|f (1＋a )|－|f (1－a )|＝|－log 2(1＋a )|－|－log 2(1－a )|＝log 2(1＋a )＋log 2(1－a )＝log 2(1－a 2)＜0，故D 正确． 答案：ABD7．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，若函数g (x )＝a x ＋m－3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，而f (0)＝0, ∴f (－2)＝log a 3＝－1，∴a ＝13，∴g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －3，令g (x )＝0，得x ＝－m －1，则－m －1≤0，求得m ≥－1，故m 的取值范围为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[C 组 创新应用练]1．(2021·开封模拟)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe ＜3e B ．3e －2π＜3πe －2 C ．log πe ＞log 3eD ．πlog 3e ＞3log πe解析：对于选项A ，函数y ＝x e 在(0，＋∞)上单调递增，所以πe ＞3e ，故选项A 错误；对于选项B,3e －2π＜3πe －2，两边同时除以3π可得3e －3＜πe －3，由函数y ＝x e －3在(0，＋∞)上单调递减可得选项B 错误；对于选项C ，由log πe ＞log 3e 可得1ln π＞1ln 3，所以ln π＜ln 3，而函数y ＝lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ，由πlog 3e ＞3log πe 可得πln 3＞3ln π，所以πln π＞3ln 3，所以ππ＞33，故选项D 正确． 答案：D2．(2021·朝阳模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12 B ．13C.16D ．110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈(7.35,7.45)，且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg[H ＋][OH －]＝lg [H ＋]10－14[H ＋]＝lg[H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误．答案：C3．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14， 即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数练习文
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数练习文【最新考纲】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．会画底数为2，10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果a x＝N(a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b(a ＞0，且a≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M·N)＝log a M ＋log a N ，②log a M N ＝log a M －log a N ，③log a M n＝nlog a M (n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.( )(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( )(4)当x＞1时，若log a x＞log b x，则a＜b.( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1，0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1，0＜c ＜1解析：由图象可知y ＝log a (x ＋c)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.答案：D3．(2015·四川卷)lg 0.01＋log 216的值是________． 解析：lg 0.01＋log 216＝lg 1100＋log 224＝－2＋4＝2. 答案：24．(2015·北京卷)2－3，312，log 25三个数中最大的数是________．解析：因为2－3＝123＝18＜1，1＜312＝3＜2，log 25＞log 24＝2，所以三个数中最大的数是lo g 25. 答案：log 255．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)． 答案：(－∞，2)两种关系1．a b＝N ⇔log a N ＝b(a ＞0，a ≠1，N ＞0)．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．两点注意1．在无M ＞0的条件下，log a M n＝nlog a |M|(n∈N *，且n 为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时，务必先研究函数的定义域．对数函数的单调性取决于底数a ，应注意底数的取值范围．两类方法1．对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化为同真数后利用图象比较．2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．一、选择题1．2lg 2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：2lg 2－lg 125＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫22÷125＝lg 100＝2.答案：B2．(2016·石家庄一模)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解析：因为312＞1，0＜log 1312＜1，c ＝log 213＜0所以a ＞b ＞c. 答案：A4．函数f(x)＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )解析：f(x)＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x|的图象可知选D. 答案：D5．(2016·唐山统考)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：要使函数f(x)的值域为R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a＜12.答案：C 6．设f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f(x)＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：由f(x)是奇函数可得a ＝－1， ∴f(x)＝lg 1＋x1－x 的定义域为(－1，1)．由f(x)＜0，可得0＜1＋x1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A二、填空题7．(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278＋0＝278.答案：2788．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．解析：x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，则y≤log 128＝－3，即函数的值域为(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]9．(2015·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b)取得最大值．解析：由于a ＞0，b ＞0，ab ＝8，所以b ＝8a.所以log 2a ·log 2(2b)＝log 2a ·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16a ＝log 2a ·(4－log 2a)＝－(log 2a －2)2＋4，当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b)取得最大值4. 答案：4 三、解答题10．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a ＞0且a ≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值集合． 解：(1)f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}， 且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x ＜1}内是增函数，所以f(x)＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f(x)＞0的x 的解集是{x|0＜x ＜1}．11．设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12log a (ax)·log a (a 2x)(a ＞0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解：由题意知f(x)＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f(x)取最小值－18时，log a x ＝－32，又∵x∈[2，8]，∴a ∈(0，1)． ∵f(x)是关于log a x 的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． ①若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，此时f(x)取得最小值，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．②若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。
高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第6讲对数与对数函数理新人教A版
答案
解析
4．已知函数 f(x)＝flo2gx2x，，0x<≥x<11，，
则
f
22的值是(
)
A．0
B．1
1 C.2
D．－12
答案 C
解析
∵f(x)＝
log2x，x≥1， f2x，0<x<1，
0< 22<1，
2>1，
∴f
22＝f(
2)＝log2
f(x)＝
21－x，x≤1， 1－log2x，x>1，
则满足
f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ) A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
答案 D
答案
解析 当 x≤1 时，由 21－x≤2 得 1－x≤1，∴0≤x≤1. 当 x>1 时，由 1－log2x≤2 得 x≥12，∴x>1. 综上，x 的取值范围为[0，＋∞)．故选 D.
答案 C
答案
解析 函数 y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除 A，B；又函数 y ＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除 D.故选 C.
解析
(2)当 0<x≤12时，4x<logax，则 a 的取值范围是(
)
A.0，
2
2
B.
22，1
C．(1， 2)
答案 B 解析 要使函数 f(x)＝ 1－ln x有意义，则1x>－0，ln x≥0， 解得 0<x≤e，则函数 f(x)的定义域为(0，e]．故选 B.
答案
解析
2．(2019·吉林模拟)不等式 log3(2x－1)≤2 的解集为( )
新高考数学一轮复习教师用书：第2章 6 第6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制：a>0,且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：alog a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝nlog a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b a2.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域：(0,＋∞)值域：R过定点(1,0)当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y ＝log a x,y ＝log b x,y ＝log c x,y ＝log d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线y ＝1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N.( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y)．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1,函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f(x)是函数y ＝2x的反函数,则f(2)＝________． 解析：由题意知f(x)＝log 2x, 所以f(2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x)＋1(a ＞0,且a≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时,y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3,1)． 答案：(3,1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13,b ＝log 213,c ＝log 1213,则a,b,c 的大小关系为________．解析：因为0<a<1,b<0,c ＝log 1213＝log 23>1.所以c>a>b.答案：c>a>b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a>0,a ≠1,函数y ＝a x与y ＝log a (－x)的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x)的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称,符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x(a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a>1时,有log a 4－log a 2＝1,解得a ＝2；②当0<a<1时,有log a 2－log a 4＝1,解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________． 解析：由log 23(2x －1)≥0,得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______,2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43,则2a＋2－a＝________． 【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23,所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 2 3 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________,2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2,因为log 43＝12log 23＝log 23,所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2)＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上,且m>0,n>0,则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x)的定义域为(－∞,1),排除A,B ；又函数y ＝2log 4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过A(－3,－1), 由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得,－3m ＋－1n ＝－1,即3m ＋1n＝1,故3m ＋n ＝(3m ＋n)×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ,因为m>0,n>0,所以n m ＋mn≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn,即m ＝n 时取等号), 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16,故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c)(a,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A ．a>1,c>1B ．a>1,0<c<1C ．0<a<1,c>1D ．0<a<1,0<c<1解析：选D.由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y ＝log a (x ＋c)的图象在c>0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.2．已知函数f(x)＝log a (x ＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1),则log b a ＝________． 解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a (－1＋b)＝0且f(0)＝log a (0＋b)＝1,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以logb a ＝1. 答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题． 角度一 求对数型函数的定义域函数f(x)＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 【解析】 要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1,54<x ≤32.故函数f(x)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二 比较对数值的大小(1)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a ＝－f(log 215),b ＝f(log 24.1),c ＝f(20.8),则a,b,c 的大小关系为( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b(2)设a ＝log 3π,b ＝log 23,c ＝log 32,则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>a>cD ．b>c>a【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得,a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f(log 25),因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8,且函数f(x)是增函数,所以c<b<a.(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1,b ＝log 23<log 22＝1,所以a>b,又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1,c>0,所以b>c,故a>b>c.【答案】 (1)C (2)A 角度三 解对数不等式设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)【解析】 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a>1或－1<a<0.故选C. 【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x|( ) A ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增 B ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减 C ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减(2)若f(x)＝lg(x 2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞,1]上递减,则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x|＝lg|x|,所以函数y ＝lg|x|为偶函数,又函数y ＝lg|x|在区间(0,＋∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称可得,y ＝lg|x|在区间(－∞,0)上单调递减,故选B.(2)令函数g(x)＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a 2,对称轴为x ＝a,要使函数在(－∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a ≥1，解得1≤a<2,即a∈[1,2)． 【答案】 (1)B (2)[1,2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较． ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x>log a b 的不等式,借助y ＝log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论．②形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a>0,a ≠1,函数f(x)＝log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是( )A.16≤a<14或a>1 B ．a>1 C.18≤a<14 D.15≤a ≤14或a>1 解析：选A.令t ＝|ax 2－x|,y ＝log a t,当a>1时,外函数为递增函数,所以内函数t ＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递增函数,所以1a <3或4≤12a ,解得a>13或a≤18,所以a>1,当0<a<1时,外函数为递减函数,所以内函数t＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递减函数,12a ≤3<4<1a ,解得16≤a<14,综上所述,16≤a<14或a>1,故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)＝lg(2x －4),则方程f(x)＝1的解是________,不等式f(x)<0的解集是________．解析：因为f(x)＝1,所以lg(2x －4)＝1,所以2x －4＝10,所以x ＝7；因为f(x)<0,所以0<2x －4<1,所以2<x<2.5,所以不等式f(x)<0的解集是(2,2.5)．答案：7 (2,2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f(x)＝log a (2x －a)(a>0且a≠1)在区间[12,23]上恒有f(x)>0,则实数a 的取值范围是( )A ．(13,1)B ．[13,1)C ．(23,1)D ．[23,1)【解析】 当0<a<1时,函数f(x)在区间[12,23]上是减函数,所以log a (43－a)>0,即0<43－a<1,解得13<a<43,故13<a<1；当a>1时,函数f(x)在区间[12,23]上是增函数,所以log a (1－a)>0,即1－a>1,解得a<0,此时无解．综上所述,实数a 的取值范围是(13,1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想,在研究指数、对数函数的性质时,常对底数a 的值进行分类讨论,实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax2＋2x(a,b 是常数且a>0,a ≠1)在区间[－32,0]上有y max ＝3,y min ＝52,试求a,b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1, 因为x∈[－32,0],所以t∈[－1,0]．(1)若a>1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为增函数, 所以a t∈[1a,1],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1a ,b ＋1],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a<1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为减函数, 所以a t∈[1,1a],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1,b ＋1a ],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上,a,b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. 2．函数f(x)＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞,－3)∪(0,＋∞)D ．(－∞,－3)∪(－3,0)解析：选A.因为f(x)＝ln （x ＋3）1－2x,所以要使函数f(x)有意义,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x<0. 3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p,log 35＝q,则lg 5(用p 、q 表示)等于( ) A.3p ＋q5 B.1＋3pqp ＋qC.3pq1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p,所以lg 3＝3plg 2,又因为log 35＝q,所以lg 5＝qlg 3,所以lg 5＝3pqlg2＝3pq(1－lg 5),所以lg 5＝3pq1＋3pq,故选C.4．若函数f(x)＝ax －1的图象经过点(4,2),则函数g(x)＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f(4)＝2,即a 3＝2,a ＝32. 所以g(x)＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g(0)＝0,且g(x)在定义域上是减函数,故排除A,B,C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f(x)＝log 12|x －1|,则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)<f(3)B ．f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(3)C ．f(3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)D ．f(3)<f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232,因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0,所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f(0)＝log 121＝0；f(3)＝log 122＝－1,所以C 正确．6．设函数f(x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2,＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2,＋∞) 解析：选B.因为f(x)的定义域为R,f(－x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f(x),所以f(x)为R 上的偶函数．易知其在区间[0,＋∞)上单调递减,令t ＝log 2x,所以log 12x ＝－t,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2,即2f(t)≥2,所以f(t)≥1,又因为f(1)＝log 122＋83＋1＝1,f(x)在[0,＋∞)上单调递减,在R 上为偶函数,所以－1≤t≤1,即log 2x∈[－1,1],所以x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,故选B. 7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a,b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b),则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b)＝k, 所以a ＝2k,b ＝5k,a ＋b ＝10k,所以ab ＝10k, 所以a ＋b ＝ab,则1a ＋1b ＝1.答案：18．设函数f(x)＝|log a x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n －m 的最小值为13,则实数a的值为________．解析：作出y ＝|log a x|(0＜a ＜1)的大致图象如图,令|log a x|＝1. 得x ＝a 或x ＝1a ,又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0, 故1－a ＜1a－1,所以n －m 的最小值为1－a ＝13,a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f(x)＝log a (8－ax)(a>0,a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________．解析：当a>1时,f(x)＝log a (8－ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－2a)>1, 解得1<a<83,当0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－a)>1, 且8－2a<0,所以a>4,且a<1,故不存在．综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|，0＜x≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f(a)＝f(b)＝f(c),可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c,则ab ＝1,bc ＝9,故a ＝1b ,c ＝9b ,则a ＋b＋c ＝b ＋10b ,又b∈(1,3),位于函数f(b)＝b ＋10b 的减区间上,所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f(x)＝log 12(a x－3)(a>0且a≠1)．(1)若a ＝2,求函数f(x)在(2,＋∞)上的值域；(2)若函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3,则它在(2,＋∞)上是增函数,所以t>22－3＝1, 由复合函数的单调性原则可知,f(x)＝log 12(2x－3)在(2,＋∞)上单调递减,所以f(x)<f(2)＝log 12 1＝0,即函数f(x)在(2,＋∞)上的值域为(－∞,0)．(2)因为函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则,所以t ＝a x－3在(－∞,－2)上单调递减且恒为正数,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，t min>a －2－3≥0，解得0<a≤33. [综合题组练]1．设x,y,z 为正数,且2x＝3y＝5z,则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：选D.设2x＝3y＝5z ＝k>1, 所以x ＝log 2k,y ＝log 3k,z ＝log 5k.因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0,所以2x>3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5<0,所以3y<5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0,所以5z>2x.所以5z>2x>3y,故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数：f 1(x)＝2log 2(x ＋1),f 2(x)＝log 2(x ＋2),f 3(x)＝log 2x 2,f 4(x)＝log 2(2x),其中“同形”函数是( )A ．f 2(x)与f 4(x)B ．f 1(x)与f 3(x)C ．f 1(x)与f 4(x)D ．f 3(x)与f 4(x)解析：选A.f 3(x)＝log 2x 2是偶函数,而其余函数无论怎样变换都不是偶函数,故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x)的图象重合,故排除选项B,D ；f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x,将f 2(x)＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象,再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象,根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数,其中e 为自然对数的底数,则m ＝________,若a 2＋ab ＋4b 2≤m,则ab 的取值范围是________．解析：由题意,f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx,所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x,所以m ＝1,因为a 2＋ab ＋4b 2≤m,所以4|ab|＋ab≤1,所以－13≤ab ≤15,故答案为1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，154．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)单调递减,若实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则a 的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数,则f(－x)＝f(x),即有f(x)＝f(|x|), 由实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则有f(log 3a)＋f(－log 3a )≥2f(1), 即2f(log 3a )≥2f(1)即f(log 3a )≥f(1), 即有f(|log 3a|)≥f(1),由于f(x)在区间[0,＋∞)上单调递减, 则|log 3a|≤1,即有－1≤log 3a ≤1, 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。
名师导学高考数学一轮总复习第二章函数第6讲函数的单调性课件文新人教A版
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5.对任意 a，b∈R，记 max{a，b}＝ba，，aa<≥bb. ，函数 fx＝ 3
max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是 2 .
【解析】作出函数 y＝x＋1和 y ＝x－2的图象，如图，由图可知 f(x)
＝x2＋－1x，，xx≥<1212，所以 f(x)的最小值
为 f12＝32.
第六页，共35页。
【知识要点】
1.单调函数的有关概念
(1)增函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说
f(x)在这个区间上是增函数.
(2)减函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说
立.
即
a≥
x2＋2x x＋1
＝
（x＋1）2－1 x＋1
＝
(x
＋
1)
－
1 x＋1
对
任
意
x∈(－1，1)都成立.
令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋（x＋11）2>0.
∴y＝(x＋1)－x＋1 1在(－1，1)上单调递增.
∴y<(1＋1)－1＋1 1＝32.
∴a≥32.
第十九页，共35页。
(3)若函数 f(x)在 R 上单调递减， 则 f′(x)≤0 对任意 x∈R 都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0 对任意 x∈R 都成立， ∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0 对任意 x∈R 都成立.
2.判断函数单调性的常用方法
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第二章 基本初等函数、导数及其应用 第6课时 对数函数
考
考点一 对数的运算
点
考点二 对数函数的图象及应用
考点三 对数函数性质及应用
■方法探究•系列
■应考迷津•展示
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考纲·展示
1.以常见对数为内容的对数式的化简与运算． 2.以常用对数、自然对数为内容的对数函数的图象与性质． 3.根据对数函数的单调性、定义域等性质求对数式中的字母参数． 4.指数式与对数式的转化问题．
常用对数 底数为 10
lg N
自然对数 底数为 e
ln N
3.对数的性质 (1)a N＝ N； (2)logaaN＝ N (a>0 且 a≠1)．
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教材梳理 基础自测
一、对数的概念与运算
4(1．)换对底数公的式重：要公log式bN＝llooggaaNb (a，b 均大于零且不等于 1)； (2)logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝logad.
二、对数函数的图象与性质
2.反函数 指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数， 它们的图象关于直线 y＝x 对称．
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教材梳理 基础自测
二、对数函数的图象与性质
[自测 3] 函数 y＝ log2x－1的定义域是( )
A．(0，＋∞)
B．(0,2]
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教材梳理 基础自测
一、对数的概念与运算
1．对数的定义 如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN ， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
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教材梳理 基础自测
一、对数的概念与运算
2．几种常见对数
对数形式 特点
记法
一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠1) logaN
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教材梳理 基础自测
一、对数的概念与运算
5．对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)logaMN＝logaM－logaN ； (3)logaMn＝ nlogaM ；
n (4)logamMn＝ mlogaM .
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{突破点1} 分清对数函数图象的类别 对数函数的图象总体分为两大类：增函数与减函数，在(0,1)内，图象的变 化速度较大，在(1，＋∞)内，图象变化较缓．
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考点突破 题型透析
考点二 对数函数的图象及应用
1．(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
教材梳理 基础自测
一、对数的概念与运算
[自测 1] 如果 3x＝2，则 x＝( A．log32 C．log3x A
) B．log23 D．log2x
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教材梳理 基础自测
一、对数的概念与运算
[自测 2] (教材改编)2log510＋log50.25＝( )
A．0
B．1 C．2
D．4
C
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考点突破 题型透析
考点二 对数函数的图象及应用
选 D.分类讨论，再结合函数图象的特点用排除法求解． 分 a>1,0<a<1 两种情形讨论． 当 a>1 时，y＝xa 与 y＝logax 均为增函数，但 y＝xa 递增较快，排除 C； 当 0<a<1 时，y＝xa 为增函数，y＝logax 为减函数，排除 A，由于 y＝xa 递增较慢，所以选 D.
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教材梳理 基础自测
二、对数函数的图象与性质
[ 自 测 5] 函 数 y ＝ loga(x － 1) ＋ 2(a>0 ， a≠1) 的 图 象 恒 过 一 定 点 是 __________． (2,2)
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教材梳理[自测 6] 函数 y＝log2x 的反函数为 g(x)，则 g(log2( 2－1))＝__________.
g(x)＝2x，
∴g(log2( 2－1))＝2
＝ 2－1.
2－1
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考点突破 题型透析
考点一 对数的运算
{突破点} 熟练掌握对数的性质和运算法则 对数的概念、对数的性质、对数的运算法则是正确进行对数运算的依据， 注意法则的正用与逆用．
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考点突破 题型透析
考点一 对数的运算
1．(2014·高考广东卷)等比数列an的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1 ＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝__________. 先由对数的运算性质转化为积的对数，再由等比数列的性质求解． log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5 ＝log2(a1a2a3a4a5)＝log2a35＝5log2a3 ＝5log2 a1a5＝5log22＝5. 5
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考点突破 题型透析
考点一 对数的运算
对数式化简求值的基本思路： 1利用换底公式及logamNn＝mn logaN尽量地转化为同 底的和、差、积、商的运算； 2利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转 化为对数真数的积、商、幂再运算.
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考点突破 题型透析
考点二 对数函数的图象及应用
教材梳理 基础自测
二、对数函数的图象与性质
1. a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点 (1,0)
当 x>1 时，y>0；
当 x>1 时，y<0；
当 0<x<1 时，y<0
当 0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
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教材梳理 基础自测
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考点突破 题型透析
考点一 对数的运算
2．(2014·高考重庆卷)函数 f(x)＝log2 x·log 2(2x)的最小值为__________． 利用对数的运算法则及性质对函数解析式进行化简，通过换元化归为二 次函数求最值． f(x)＝log2 x·log 2(2x)＝12log2x·2 log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．设 t＝log2x(t∈ R)，则原函数可以化为 y＝t(t＋1)＝t＋122－14(t∈R)，故该函数的最小值 为－14.故 f(x)的最小值为－14. －14
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
D
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教材梳理 基础自测
二、对数函数的图象与性质
[自测 4] 函数 y＝lg|x|( ) A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B