浅谈解析几何中的对称问题
解析几何中的对称性和轴对称性
解析几何中的对称性和轴对称性解析几何是数学的一个分支，涉及到平面几何和空间几何的研究。
对称性和轴对称性是解析几何中极其重要的一部分内容。
它们是我们研究几何形状的重要工具，可以帮助我们呈现出几何形状的美感和魅力。
从理论和实践两个方面来探讨对称性和轴对称性对于解析几何的意义和应用。
一、对称性在解析几何中，对称性是指一个几何形状能够保持不变，即在区域内任意取一点，以这个点为中心，任意方向转移后仍是同一形状。
简单来说，就是如果一个几何形状在满足特定条件的情况下能够发生变化，而这种变化后的形状与原始形状完全相同，那么这种几何形状就具有对称性。
对称性有许多种类型，如旋转对称性、平移对称性、点对称性等。
其中，旋转对称性是指在特定中心进行旋转后能够得到与原始形状相同的新形状；平移对称性是指在特定方向上平移后能够得到与原始形状完全相同的新形状；点对称性是指以特定点为中心将一条几何线转移到对称轴的相同位置上，从而得到一个与原始形状完全一致的新形状。
通过对称性，我们可以在几何形状间进行比较和分析，帮助我们更好地理解和掌握几何形状的规律和特征。
同时，在科学研究和实际工程中，对称性也具有重要的作用，可以帮助我们设计和制造更为合理、美观、稳定的物体。
二、轴对称性轴对称性是解析几何中另一个重要的概念，它与对称性有很多相似之处。
轴对称性是指一个几何形状能够保持不变，即在区域内任意取一点，以这个点为中心，任意方向转移后仍是同一形状。
而轴对称性和对称性的不同之处在于轴对称性是指一个几何形状能够沿特定轴进行翻转后得到与原始形状相同的新形状。
轴对称性有很多种类型，根据轴的不同可以分为水平轴对称、垂直轴对称、对角轴对称等。
其中，水平轴对称是指几何形状以水平轴为对称轴进行翻转后得到新形状；垂直轴对称是指几何形状以垂直轴为对称轴进行翻转后得到新形状；对角轴对称是指几何形状以对角线为对称轴进行翻转后得到新形状。
通过轴对称性，我们可以更好地理解和掌握几何形状的特征和规律，有助于我们分析和设计更为合理、美观、稳定的物体；同时，在实际工程中，轴对称性也有着重要的应用，如在汽车、飞机、船舶等的设计和制造中，轴对称性可以提高其稳定性和美观性。
探讨几何图形的对称性
探讨几何图形的对称性几何图形是数学中的重要概念，它们具有各种各样的形状和属性。
其中一个重要的属性就是对称性。
本文将探讨几何图形的对称性，包括对称轴、对称中心以及对称变换等方面的内容。
一、对称轴对称轴是指能将一个几何图形沿一条线对折，两边完全重叠的轴线。
在二维平面上，对称轴可以是垂直轴、水平轴或者斜轴。
以正方形为例，它具有四条对称轴，分别是垂直轴、水平轴以及两条对角线。
而矩形只有两条对称轴，分别是垂直轴和水平轴。
对称轴不仅使得图形看起来平衡美观，也有助于解决几何问题中的对称性特征。
二、对称中心对称中心是指能够将一个几何图形旋转180度，使得旋转后的图形与原图形完全重合的中心点。
以圆为例，它的对称中心就是圆心，因为无论如何旋转圆，都不会改变它的形状和大小。
而正方形、菱形都没有对称中心，因为无法通过旋转使得图形完全重合。
对称中心也是几何图形对称性的一种表现形式，它在实际生活中的应用非常广泛，比如建筑和艺术设计等领域。
三、对称变换对称变换是指通过某种运算对几何图形进行变换，使得变换后的图形与原图形相互对称。
常见的对称变换有镜像和旋转两种。
1. 镜像对称：镜像对称是指将一个几何图形沿着某条对称轴进行翻转，使得翻转后的图形与原图形完全重合。
例如，通过镜子看到的自己就是一个镜像对称的图形。
以矩形为例，只有沿垂直轴和水平轴进行镜像对称才能得到相同的图形。
镜像对称具有图形不变性的特点，可以帮助我们解决一些几何问题。
2. 旋转对称：旋转对称是指将一个几何图形以某个中心点为旋转中心，按照一定的角度进行旋转后，变换后的图形与原图形相互对称。
例如，正多边形就具有旋转对称性，以正三角形为例，将它以重心为中心逆时针旋转120度，就可以得到完全重合的图形。
旋转对称性不仅能够帮助我们观察和分析几何图形的性质，还可以应用于实际问题解决中。
在几何学中，对称性是一种重要的图形特征，它能够帮助我们理解和研究几何图形的性质。
通过对称轴、对称中心以及对称变换的探讨，我们可以更加深入地理解几何图形的对称性。
高中数学解析几何部分对称问题的研究
高中数学解析几何部分对称问题的研究高中数学解析几何中对称问题很多，在高考中出现的频率也较高，但现行教材中却讲得很少，令学生不知从何处着手。
所以笔者对此进行了初步研究，并总结成文，以期对学生有所帮助。
解析几何中对称问题研究的原因：一是从图形上看圆锥曲线有很好的对称性；二是从量的方面看，对称意味着两个常用等量关系：对称轴——线段的垂直平分线，隐含着垂直（斜率负倒数、向量内积等于零）、平分（线段中点坐标适合对称轴方程）两个关系；对称中心——线段的中点、中点坐标公式也是两个关系。
解析几何中对称问题研究的分类：一是关于点对称，即中心对称，包括特殊的点（坐标原点）对称；二是关于直线对称，即轴对称，包括特殊轴（如x 轴、y 轴、直线y=±x ）的轴对称。
现分述如下： 1、 关于中心对称1.1、 关于坐标原点中心对称理论推导：如图，点),(000y x P 关于坐标原点O （0，0）的对称点P （y x ,）。
⎪⎩=+020y y ⎩-=0y y 引申：曲线L ：F(x ，y)=0，关于坐标原点的中心对称曲线'L ：F(-x ，-y)=0。
1.1.1、点关于坐标原点中心对称例如，点A （-3，2）关于坐标原点的中心对称点'A （3，-2）。
1.1.2、 线关于坐标原点中心对称例如，直线Ax+By+C=0关于坐标原点的中心对称直线是-Ax-By+C=0，即：Ax+By-C=0。
1.2、 关于任意点中心对称理论推导：如图，点),(y x P P （y x ,）。
M 为线段P 0由中点坐标公式⎪⎩⎪⎨=+=n y y m 2200得：⎩⎨⎧-=-=0022y n y x m x引申：曲线L ：F(x ，y)=0，关于任意点M ),(n m 中心对称的曲线'L ：F(2m-x ，2n-y)=0。
1.2.1、点关于任意点中心对称例1 （1996年上海）已知O （0，0）和A （6，3）两点，若P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又知P 是线段OB 的中点，则B 的坐标为 。
解析几何中的对称及其所在平面
解析几何中的对称及其所在平面几何学是一门研究形状、大小、距离等等的学科，在视觉上较为直观。
在几何学中，对称是一个重要的概念，它不仅在解决几何学问题时起着关键作用，而且在各个领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将重点讨论解析几何中的对称及其所在平面。
一. 解析几何中的对称在解析几何中，对称是指一个函数关系，它能够将一点映射到与其关于某个轴对称的位置。
例如，对于点P(x,y)，以x轴为对称轴的对称点为P'(x,-y)。
在这种情况下，将点P转化为它的对称点P'所需的变换是y轴翻转变换。
此外，我们可以定义一个x/y轴的对称关系，类似于上述y轴对称，只不过此时改为以x/y轴为对称轴。
通过这些简单的对称变换，我们可以在解析几何中解决许多问题。
二. 对称性对称性是指一个图形可以保持不变的性质，即它与自己的对称副本在某些方面是相似的。
在解析几何中，对称性的重要性不言而喻。
一个图形的对称性可以使我们更容易地确定它的性质，并以此推导出更多的结论。
在很多情况下，我们可以通过对称性将一个几何问题转化为另一个等效问题。
例如，不规则图形可以通过分解成对称图形的组合来解决。
此外，在进行几何证明时，我们也可以利用一个图形的对称性，将其转化为一个相似的但更便于处理的图形。
三. 所在平面在解析几何中，所在平面指的是一个坐标系，它包含我们所关注的所有点和直线。
所在平面通常会引入一个或多个坐标轴，用于测量方向和距离。
世界上有许多种不同的坐标系，但在解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系、极坐标系或红外线坐标系。
无论使用哪种坐标系，我们都可以进行几何变换，如平移、旋转和缩放，以及对称变换等。
这些变换将会改变图形在坐标系中的位置，并可能会影响其形状和大小。
四. 解析几何中的应用在解析几何中，对称性和所在平面是非常有用的工具，它们可以帮助我们解决许多几何问题。
例如，我们可以通过对称性来求解几何图形的面积、周长等等。
我们还可以使用对称性和所在平面来帮助理解三角函数、向量和矩阵等数学概念。
常见几何图形的对称性解析
常见几何图形的对称性解析对称是几何学中一个重要的概念，它描述了一个图形在某种变换下保持不变的性质。
在日常生活中，我们经常会遇到一些常见的几何图形，它们具有不同的对称性。
本文将对常见几何图形的对称性进行解析，以帮助读者更好地理解和应用这些图形。
一、点对称点对称是最简单的一种对称性，它描述了一个图形关于某个点对称时保持不变。
例如，圆是一个具有点对称的图形。
无论我们如何选择圆上的一个点作为对称中心，圆都能够在这个点处保持不变。
此外，正方形也具有点对称性。
如果我们选择正方形的中心作为对称中心，正方形将在这个点处保持不变。
二、轴对称轴对称是另一种常见的对称性，它描述了一个图形关于某条轴对称时保持不变。
矩形是一个具有轴对称性的图形。
无论我们选择矩形的哪一条边作为对称轴，矩形都能够在这条轴上保持不变。
此外，椭圆也具有轴对称性。
如果我们选择椭圆的长轴作为对称轴，椭圆将在这条轴上保持不变。
三、中心对称中心对称是一种特殊的对称性，它描述了一个图形关于某个中心对称时保持不变。
正五边形是一个具有中心对称性的图形。
无论我们选择正五边形的哪个顶点作为中心，正五边形都能够在这个中心处保持不变。
此外，正六边形也具有中心对称性。
如果我们选择正六边形的中心作为中心对称中心，正六边形将在这个中心处保持不变。
四、多重对称除了上述的点对称、轴对称和中心对称外，还存在一些具有多重对称性的图形。
多重对称是指一个图形具有两种或更多种对称性。
例如，正十二边形具有点对称和轴对称两种对称性。
无论我们选择正十二边形的哪个顶点作为对称中心，正十二边形都能够在这个点处保持不变。
此外，如果我们选择正十二边形的任意一条边作为对称轴，正十二边形也能够在这条轴上保持不变。
五、应用与拓展对称性在几何学中具有重要的应用价值。
首先，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量。
例如，在计算一个图形的面积时，如果该图形具有对称性，我们可以只计算一部分，然后通过对称性推导出整个图形的面积。
解析几何中的对称问题
解析几何中的对称问题关键词：对称点、对称直线一、中心对称问题 1、点关于点对称 ①点(,)P a b 关于点00(,)M x y 的对称点1P 的坐标是 。
例1、点(3,A 关于点(2,7)M -对称点1A 的坐标是变式 点(13,2)A --关于点(3,5)M 对称点1A 的坐标是②直线0Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线方程是 。
例2、直线:3520l x y -+=关于点(2,7)M -对称的直线方程是变式直线20l y -+=关于点(1,3)M -对称的直线方程是二、轴对称问题1、点关于直线对称 ⑴点(,)P a b 关于直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标是 。
解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP BK A=⇒直线'PP 的方程→()By b x a A -=-由0()Ax By C B y b x a A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。
解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++⋅+⋅+=；① 再由'PP B K A =得b y Ba x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。
对称轴:0L x y C ++=点(,)P a b 关于直线:0L x y C ++=的对称点'P 的坐标是 。
例3、点(2,7)M -关于直线:20L x y +-=点N的坐标是变式 3 点(3,5)P -关于直线:10L x y +-=的对称点'P 的坐标是 。
对称轴:0L x y C -+=点(,)P a b 关于直线:0L x y C -+=的对称点'P 的坐标是 。
例4、点(2,7)M -关于直线:20L x y --=点N的坐标是变式 4 点2(3,)P m-关于直线:30L x y -+=的对称点'P 的坐标是 。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
解析几何中关于对称问题的一点探讨
解析几何中关于对称问题的一点探讨解析几何是一门数学分支学科，它是采用数学方法分析和研究中一些基本问题，而其中最重要的一个问题就是对称。
“对称”是一种形式上存在的均衡性现象，也是一种特殊的逻辑性现象，在多种自然界的现象中都能看到类似的现象，而且它也是解析几何中重要的一个概念。
在解析几何学中，“对称”这一概念可以说是最重要的概念之一，它可以被用来描述一个几何体所具有的某些特质。
关于对称的定义可以有多种，一般来说，它指的是一个几何体中的一些特性，比如说它的面积、边角度、关系等，只要有些特性在指定的空间范围内展示出的一种对称性，就可以说它是一个对称的几何体或图形。
而且，对称也可以指特定空间体系中的一种两元关系，比如在二维空间中，两个相邻的点可以构成一条直线，使得这条直线上任意两个点实际上都是对称的。
在解析几何学中，对称有多种不同的类型。
比如说，水平对称，即X轴对称；垂直对称，即Y轴对称；中心对称，即坐标原点对称；曲线对称，即沿着一条曲线进行对称；旋转对称，即沿着某条轴线旋转对称。
此外，还有轴对称、型对称以及投影对称等等。
在解析几何学中，对称可以被用来描述一个几何体所具有的特质，也可以被用来求解一些问题，比如在解决投影问题中，可以利用投影对称的性质来求解测量问题。
同时，对称也可以被运用来求解满足一定条件下的几何体的体积问题。
例如，如果几何体是一个对称的球体，则可以应用关于对称的概念，从而求出球体的体积；而如果几何体是一个对称的六面体，则可以利用关于六面体的对称特性，来求出它的体积。
在解析几何学中，可以将对称分为几种层次来进行分析，其中最基本的就是“轴对称”，即一个几何体可以被沿着一个轴线或轴向旋转，使其在同一个象限或不同象限以达到一定的对称效果。
而在表面上的对称关系则被称为“型对称”，即一个几何体可以被沿着一个由两个点确定的轴对称地变换，以使其同一部分的形状平行地移动或旋转，而全体的形状不发生变化的状态称为“型对称”状态。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称；线（直线或曲线）关于点成中心对称；点关于线成轴对称；线（直线或曲线）关于线成轴对称。
无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。
这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。
一、中心对称：即关于点的对称问题定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。
这个点叫做对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
1． 点关于点对称例1． 求P （3，2）关于M （2，1）的对称点P ’的坐标。
分析：由中心对称的性质得M 点是PP ’的中点，可求P ’（1，0） 。
小结：P （x 0,y 0）−−−−−−−→−的对称点，（关于点)b a M P ’（2a －x 0,2b －y 0）（依据中点坐标公式）。
特例P （x 0,y 0）−−−−−→−关于坐标原点对称P ’（－x 0, －y 0）。
2． 直线关于点对称例2． 求直线l 1:x ＋y －1=0关于M （3，0）的对称直线l 2的方程。
分析：思路一：在直线l 2上任取一点P （x ，y ），则它关于M 的对称点Q （6－x, －y ），因为Q 点在l 1上，把Q 点坐标代入直线l 1中，便得到l 2的方程：x ＋y －5=0。
思路二：在l 1上取一点P （1，0），求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标（5，0）。
再由k l1=k l2，可求出直线l 2的方程x ＋y －5=0。
思路三：由k l1=k l2，可设l 1：Ax ＋By ＋C=0关于点M （x 0,y 0）的对称直线为Ax ＋By ＋C ’=0且2200B A CBy Ax +++=22'00B A C By Ax +++，求出C '及对称直线l 2的方程x ＋y －5=0。
小结：直线关于点对称的情形：（1） 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。
设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；（2） 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。
它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。
2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。
解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。
再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。
解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=且=求设'C 从而可求的及对称直线方程。
3． 曲线关于点对称例3． 求直线C 1：y=x 2关于M （2，1）的对称曲线C 2的方程。
分析：设P （x,y ）是曲线C 2的任一点，则P 点关于M （1，1）的对称点为Q （4－x, 2－y ），因为Q 在C 1上，把Q 点坐标代入曲线C 1上，便得到C 2的方程：x 2－8x ＋y ＋14=0。
小结：曲线C 1：f(x,y)=0−−−−−−→−）对称（关于点b s,M 曲线C 2：f(2a －x, 2b －y)=0。
曲线C 2推导过程：设所求曲线上任意一点M(x,y),其关于点P （a,b ）对称的点M /(x /,y /)在曲线f(x,y)=0上．用点关于点对称的方法求出点M /的坐标后代入曲线f(x,y)=0中即得所求曲线方程．特例：f(x,y)=0−−−−−→−关于坐标原点对称曲线C 2：f(－x, －y)=0。
二、轴对称问题：即关于直线的对称问题定义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
性质：关于某条直线对称的两个图形，对称线段平行且相等；对称线段或其延长线相交，交点一定在对称轴上；对称点的连线都被对称轴垂直平分。
1． 点关于直线对称例4．试求P （-3，5）关于直线l: 3x －4y ＋4=0的对称点P ’的坐标。
分析：直线l 是线段PP ’的垂直平分线。
解：设P （-3，5）关于直线l 的对称点为P ’（x,y ），则PP ’中点为N （23x -，25y +），则有 325y 423x +⨯--⨯+4=0（因为N 在直线l 上）…………………………………①1433x 5y -=⨯+-（因为PP ’⊥l ）…………………………………………………② ①、②联立，解得x=3,y=-3，所求对称点P ’(3,-3)。
小结：（1）点关于常见直线的对称点的坐标：① A （a,b ）关于x 轴的对称点为A'（a,-b ）② B （a,b ）关于y 轴的对称点为B'（-a, b ） ③ C （a,b ）关于直线y=x 的对称点为C'（b,a ） ④ D （a,b ）关于直线y=-x 的对称点为D'（-b,-a ） ⑤ P （a,b ）关于直线x=m 的对称点为P'（2m-a,b ） ⑥ Q （a,b ）关于直线y=n 的对称点为Q'（a,2n-b ）（2）点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标。
解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP B K A =⇒直线'PP 的方程→()By b x a A-=-由0()Ax By C By b x a A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。
解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y++把中点坐标代入L 中得到022a xb yA B C ++⋅+⋅+=；① 再由'PP B K A =得b y B a x A-=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。
解法（三）：设对称点为'(,)P x y ，由点到直线的距离公式有=①，再由'PP B K A =得b y Ba x A-=-②由①、②可得到'P 点坐标。
2． 直线关于直线对称例5．求直线l 1:x －2y ＋1=0关于直线l: x ＋y －1=0的对称直线l 2的方程。
分析：思路一：先解l 1与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。
则交点必在对称直线l 2上，由A 、B ’两点可求出直线l 2的方程。
思路二：在l 2上任取一点P(x,y)，则P 点关于直线l 的对称点Q （x 1,y 1）在直线l 1上，再由PQ ⊥ l 得k pQ •k l =-1。
又PQ 的中点在l 上，由此解得x 1=f(x,y),y 1=g(x,y)，把Q （x 1，y 1）代人l 1的方程中可求出l 2的方程。
小结：直线1l 关于直线l 的对称直线2l 。
⑴ 当1l 与l 不相交时，则1l ∥l ∥2l 。
在1l 上取一点00(,)P x y 求出它关于l 的对称点Q 的坐标。
再利用12l l P P =可求出2l 的方程。
⑵ 当1l 与l 相交时，1l 、l 、2l 三线交于一点。
解法（一）：先解1l 与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。
则交点必在对称直线2l 上。
再在1l 上找一点B ，点B 的对称点'B 也在2l 上，由A 、'B 两点可求出直线2l 的方程。
解法（二）：在1l 上任取一点11(,)P x y ，则P 点关于直线l 的对称点Q 在直线2l 上，再由PQ ⊥l ，k pQ •k l =-1。
又PQ 的中点在l 上，由此解得11(,),(,)x f x y y g x y ==，把点11(,)x y 代入直线1l 的方程中可求出2l 的方程。
3． 曲线关于直线对称例6．求曲线C 1：9)3y (4)2x (22+++=1关于直线x ＋y=0对称的曲线C 2的方程。
分析：在C 2上任取一点P(x,y),可求出它关于l 的对称点坐标，再代人C 1中，就可求得C 2的方程4)2y (9)3x (22-+-=1。
小结：曲线关于常见曲线的对称曲线：① 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−→−轴对称关于x 曲线C 2：f(x,-y)=0 ② 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−→−轴对称关于y 曲线C 2：f(-x, y)=0 ③ 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−→−=对称关于x y 曲线C 2：f(y, x)=0 ④ 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−→−-=对称关于x y 曲线C 2：f(-y,-x)=0 ⑤ 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−−→−=对称关于直线m x 曲线C 2：f(2m-x,y)=0 ⑥ 曲线C 1：f(x,y)=0−−−−−→−=对称关于直线n y 曲线C 2：f(x, 2n-y)=0 【总结】通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：【应用】在此基础上，讨论对称问题的相关应用。
应用一：思维发散1与物理中的光线问题相结合。
例7．光线通过点A （2，3）在直线l ：x ＋y ＋1=0上反射，反射光线过点B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程。
分析：本题表面上为一道物理中的光线问题，但本质上是数学中点关于线的对称问题。
根据几何光学知识，A 关于直线l ：x ＋y ＋1=0的对称点A ’在反射光线所在直线上，B 关于直线l ：x ＋y ＋1=0的对称点B ’在入射光线所在直线上，所以入射光线即直线AB ’,反射光线即直线BA ’。
应用二：思维发散2与最值问题相结合。
例8．已知两点A(2,3),B （4，1），直线l ：022=-+y x ，在直线l 上求一点P 。
（1） 使PB PA +最小； （2） 使PB PA -最大。
解：（1）可判断A,B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1,y 1），则有022322211=-+⨯++y x ， 1)21(2311-=-⨯--x y 。