第四章系统的运动稳定性
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
系统稳定性及其李雅普诺夫稳定
第四章系统稳定性及其李雅普诺夫稳定4－1 稳定性一般概念对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。
从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。
系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。
外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。
输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。
系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。
当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。
在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。
因此经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。
系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制）无关。
在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的情况来判断系统的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部（即都在复平面的左部），则系统输出稳定。
对于n阶线性连续系统，其特征方程为：…………………………（4－1）当n≥4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。
所以1877年劳斯（Routh）和1895年霍尔维茨（Hurwitz）分别提出了有名的劳斯－霍尔维茨稳定判据，它可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。
有关Routh-Hurwitz判据的详细内容请参阅有关经典控制论教材。
当系统不是线性定常系统时，或者对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好解决了，这就需要下面介绍的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。
第四章线性控制系统的稳定性
G ( s) f ( s) K P(s + Z i )
i 1
P ( s + Pj ) P ( s 2 + 2x k w nk s + w nk 2 )
j 1 k 1
q
r
则脉冲响应为： g (t)
A e
j j 1
q
p t j
+ B e
k k 1
r
x w t k nk
sinwnk 1 xk t + Ck e
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根
不易求
其它简单的判定方法?
2019/4/16
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22
4.2.2 Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
Routh表
系统闭环特征方程
n 1 n 2 + + a0 S a1 S a2 S + + a 1 S + a 0 a0 > 0 n n n
10
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
2019/4/16
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11
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
临界稳定
2019/4/16
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12
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原 平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳 定。反之，若初始扰动的影响下，系统的 动态过程随时间的推移而发散，则称系统 不稳定。
i 1
P ( s + Pj ) P ( s 2 + 2x k w nk s + w nk 2 )
j 1 k 1
q
r
则脉冲响应为： g (t)
A e
j j 1
q
p t j
+ B e
k k 1
r
x w t k nk
sinwnk 1 xk t + Ck e
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根
不易求
其它简单的判定方法?
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4.2.2 Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
Routh表
系统闭环特征方程
n 1 n 2 + + a0 S a1 S a2 S + + a 1 S + a 0 a0 > 0 n n n
10
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
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4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
临界稳定
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4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原 平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳 定。反之，若初始扰动的影响下，系统的 动态过程随时间的推移而发散，则称系统 不稳定。
第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)
1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
现代控制理论 第四章 稳定性理论
G (t ) = Φ (t ) B + D δ (t )
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
第四章稳定性分析——劳讲义斯判据4-1
21
THANKS
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a 5 s 5 a 4 s 4 a 3 s 3 a 2 s 2 a 1 s a 0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a 2 a 4 A2 A1
13
s5
1
52
s4
1
51
s3
0 ( )
10
s2
5 1
10
s1 5 1 2 0 0
5 1
s0
1
00
5 1 0
5 12
0
5 1
劳斯表中第一列元素符号的变化两次， 说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不 稳定。
14
（2）某一行元素全为零 在劳斯表中，如果出现某一行元素全为零，
说明特征方程存在大小相等符号相反的实根 和（或）共轭虚根，或者共轭复根。
s0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： ss1 1
20
原特征方程，经过整理，得到 s1 特征方程：
s1 35s1 23s110
s
3 1
1
3
s
2 1
5
1
s
1 1
2.8
0
s
0 1
1
0
劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一 个特征方程根在垂线 s1右边。即有一个根在阴影 区内。
即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3、现代控制理论判稳方法： [俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用 方法，适用于各种系统。 李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解 的性质判稳－－间接法 李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李 氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对 任何复杂系统都适用。 4、本章内容：李氏第二法及其应用。
几何意义：在n维状态空间中，表示以x e为球心， 以ε为半径的一个球，记作S(ε）
四、稳定性的定义
在f作用下
有界 x → xe
x偏离x e 有三种 无界（无穷大）
& 1、李氏稳定性：设x = f ( x, t ), 若任意给定一个实数ε > 0, 总存在另一个实数δ，使当 x0 − xe ≤ δ时，从任意初态 x0出发的解x(t ) = φ (t , x0 , t0 )满足 x − xe ≤ ε， ≥ t0 ), (t 则称系统的平衡状态xe是稳定的，或称xe在李氏意义下稳定
引言：
第四章 李雅普诺夫稳定性 分析和应用
1、稳定性是控制系统的首要问题。 2、经典理论判稳方法及局限性。 A、直接判定：单入单出中，基于特征方程的 根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用 劳斯－古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。 局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性 和时变系统。 B、间接判定：方程求解－对非线性和时变 通常很难。
，忽略高阶项，可得系统的线性化方程：
& δ x = Aδ x
∂f 其中：A = ∂x
可以采用线性系统判断稳定性的方法来判断系统的状态稳定性与输出稳定 性。
x = xe
某系统的状态方程为
& x1 = x1 − x1 x2 & x2 = − x2 + x1 x2
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Re i , i 1,2 , , n
定理：定常线性系统渐
进稳定的充要条件是，
对任意给
定的 n n 阶非负对称阵 Q D T D ，当 [ A D ]能观测时，
矩阵方程
A T P PA D T D ，有唯一对称正定解。
线性系统理论
系统的运动稳定性
20
a1 1 0 0
a3
i a5
a2 a1 1
a4 a3 a2
, i 1,2, , n
a 2i1 a 2i
ai
均大于 0，这里 a j 0, j n
线性系统理论
系统的运动稳定性
19
4.3.2 Lyapunov定理
定理：线性定常系统为
渐进稳定的充要条件是
矩阵方程
A T P PA Q
对于任意给定的正对称
P(t) T ( , t) Q( )( , t)d t
对于 t 0收敛，且为下述矩阵微 分方程的唯一解 P (t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) , t t0
线性系统理论
系统的运动稳定性
16
定理：考虑线性时变系统，xe为其唯一的平衡状态，A(t)的 元均为分段连续的一致有界的实函数，则原点平衡状态为
第四章 系统的运动稳定性
Lyapunov意义下的运动稳定性 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
1
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性 4.2 线性时变系统的稳定性判定 4.3 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
2
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性
一致渐近稳定的充要条件是对于任意给定的一个实对称、
一致有界和一致正定的时变阵Q(t), Lyapunov矩阵微分方程 P(t) P(t)A(t) AT (t)P(t) Q(t) ,t t0
有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解P(t)。 推论：设A(t)为[t0 , )上的一致有界分段连续矩阵，且
(2)对(,t0)和任意给定的实 数0,对应地存在实数 T(,,t0) 0,使得满足||x0 xe ||(,t0)的任一初
态x0出发的受扰运动同足 时满
|(t；x0,t0)xe ||, t t0 T(,,t0)
S(δ)
线性系统理论
S(ε)
渐近稳定示意图
系统的运动稳定性
6
定义 4： [Lyapu意 no义 v 下的一致性 渐] 近在稳上定述
线性系统理论
系统的运动稳定性
12
定理 3： 若原点的某邻域 内 存在一个正定函数 V (x ), 它沿系统的全导数在 内为半负定的（或负定 的）， 则系统的零平衡状态为 局部稳定的（或渐近稳 定的）。 定理 4： 若原点的某邻域 内 存在一个正定函数 V (x ), 它沿系统的全导数在 内为半负定的，但在 中 V (x )在 系统的非零解上非零， 则系统的零平衡状态渐 近稳定。
的 则 对任 称 给 xe||为 ||x一 定 0L(t,yx初 x的 xa00e出 ,|tp|0态 任 )u发 意 (nx一 e,o的 t|义 0|0v)实 ,都 受 ,下 数 对 扰 稳 t应 运 t定 0 地 动 不 的存 都 等 。在 满 式一 足 (,个 t0),使 实得 数满足
稳定示意图
定理 5： 若在 R n 上存在一个具有无穷大 性质的正定函 数 V (x ), 它沿系统的全导数在 R n上为负定的，则系统的 零平衡状态为全局渐近 稳定的。 定理 6： 若原点的某邻域 内 存在一个正定函数 V (x ), 它沿系统的全导数在 内为正定，则零平衡点 不稳定的。
线性系统理论
系统的运动稳定性
0, 使得满足
|| x 0 x e || ( , t 0 )
的任一初态 x 0出发的受扰运动都满足 不等式
|| (t , x 0 , t 0 ) x e || k ( ) e (t t0 ) , t t 0
则称 x e为全局指数稳定的。
线性系统理论
系统的运动稳定性
9
4.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理
负实部。
定义：设 A R nn，则 （1） A称为 Hurwitz 稳定的，如果
实部。
A 的所有特征值都有负
（2） A称为临界 Hurwitz 稳定的，如果 A的所有特征值都
有非正实部，且零实部 根为其最小多项式的单 根。
线性系统理论
系统的运动稳定性
18
Hurwitz 定理：给定实系数多项 式
f (s) s n a1s n1 a 2 s n2 a n1s a n 其所有根均 s平面左半平面的充要条 件是
Lyapu意 no义 v 下的渐近义 稳中 定， 性 和 若 定 T的选取
不依赖于初t0始 ，时 则刻 称平衡 xe是 状一 态致渐近稳
一致渐近稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
7
定义5：[Lyapunov意义下的大范围渐近稳 定性]
设x
为系
e
统的平衡状态，若以状
态空间中任一有限点
x
为初态的
0
定义 9： 设 x R n , 是 R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x, t)是定义在 [t0 , ) 上的一个标量函数，若 (1)V (x, t)关于 x和 t均具有一阶连续偏导 (2)V (0, t) 0 (3)V (x, t)有限正定，即存在两个 连续的非减的标量函数
(|| x ||) 和 (|| x ||) 满足： (0) (0) 0，并使得对任何
的任一初态 x 0出发的受扰运动都满足 不等式
|| (t , x 0 , t 0 ) x e || e (t t0 ) , t t 0 则称 x e为指数稳定的。 定义 8：[全局指数稳定的定义 ] 设 x e为系 统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 k ( ) 0和
阵 Q 都有唯一正定对称解
P。
推论： (1) A T P PA Q 有唯一正定对称解 是 A 的特征值都有负实部。
P 的充要条件
( 2 ) n n 阶正定对称阵 Q 以及正数 ，矩阵方程
2 P A T P PA Q
有唯一正定对称解的充
要条件是矩阵 A 的每一个特
征值 i (i 1,2 , , n )满足
定义：设 Q(t)为定义在 [t0 , )上的一个分段连续的实 对 称矩阵函数，它称为是 一致有界和一致正定的 ，如果
存在正实数 2 1 0,使得下式成立 0 1I Q(t) 2 I ,t t0
引理：设系统是一致渐 近稳定的， (t, t0 )为其状态转移 矩阵， Q(t)为一致有界和一致正定 的矩阵，则积分
[A(t) AT (t)] 0
则系统一致渐近稳定。
线性系统理论
系统的运动稳定性
17
4.3 线性定常系统的稳定性
4.3.1 直接判据与Hurwitz定理
定理：（ 1）系统稳定的充要条件 是 A的所有特征值均具 有非正实部，且其具有 零实部的特征值为其最 小多项式
的单根。
（2）系统渐进稳定的充要 条件是 A的所有特征值均具有
t t0和x 0有
0 (|| x || V (x, t) (|| x ||)
则称 V (x, t)为定义在 [t0 , ) 上的一个正定函数。
若 lim (|| x ||) , 则称正定函数 V (x, t)具有无穷大性质。 || x||
线性系统理论
系统的运动稳定性
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定义10： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域，
x
出发的运动满足不等式
0
|| (t；x0 , t0 ) xe || ,
t t0 ，
称x
为不稳定的。
e
线性系统理论
系统的运动稳定性
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定义 7：[指数稳定的定义 ] 设 x e为系 统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( )和 0,
使得满足
|| x 0 x 一个标量函数，若
(1)V (x)关于 x的所有分量均具有一阶 连续偏导
(2)V (0) 0
(3)对于 x 0有V (x) 0,
则称 V (x)为定义在 上的一个 时不变正定函数。
若 lim V (x) ,则称正定函数 V (x)具有无穷大性质。 | |x| |
V (x, t)沿系统的全导数
线性系统理论
系统的运动稳定性
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定义2：[Lyapuno意v 义下的一致稳定]性
在上述Lyapuno意v 义下的稳定性定义，中
若的选取只依赖于 而与初始时刻t0的
选取无关，则进一步平称衡状态xe是 一致稳定的。
一致稳定示意图
线性系统理论
系统的运动稳定性
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定义3： [Lyapuno意v 义下的渐近稳定 ] 性系统的一个平 衡状态xe称为渐近稳定的，如果 (1)xe是Lyapuno意v 义下稳定性的
受扰运动 (t；x0 , t0 )都是有界的，且满足
lim
t
(t；x0
,
t0
)
xe
则称
x
是大范围渐近稳定的
e
全局渐近稳定。
不稳定示意图
定义6：[Lyapunov意义下的不稳定定义 ]
设
x
为系
e
统的平
衡状态，若对于不管多 大的有限实数 0,都不可能找到
相应的实数 ( , t0 ), 使得由满足 || x0 xe || ( , t0 )的任一
4.1.1 系统的运动与平衡点
研究运动稳定性问题，时常限于研究无外作的用系统 自治系统。 x f(x,t), x(t0) x0, t t0