(优选)数学建模方法及其应用中的随机模型讲解部分第章随机模型
数学建模中的随机性
数学建模中的随机性在数学建模的过程中，随机性是一个非常重要的因素。
它在许多问题中起到了至关重要的作用，例如金融、生物学、环境科学等等。
然而，在很多情况下，我们并不能直接获得所需的数据，因此，我们需要使用随机数来模拟实验结果。
在这篇文章中，我们将深入探讨数学建模中的随机性。
一、随机性的基本概念随机性是指事物在某一时刻或某一范围内出现的不确定性。
在数学中，我们使用随机变量来描述随机性。
随机变量是一个取值不确定的数学变量，它可以表示一个事件在某个范围内的可能性。
在描述随机性时，我们经常用到的概念是概率。
概率是指某个事件发生的可能性。
例如，抛一枚硬币，出现正面的概率是50%。
在数学建模中，我们通过概率的计算来预测某个事件发生的可能性。
二、随机数的应用在数学建模中，随机数起到了非常重要的作用。
通过随机数，我们可以模拟实验结果，预测某个事件的概率。
在计算机科学中，随机数可以通过伪随机数算法来生成。
伪随机数是通过计算机算法生成的数字序列，它看起来像是随机数，但实际上它是有规律的。
在使用伪随机数时，我们需要注意它的周期和分布情况，以确保生成的随机数符合我们的需求。
在金融和经济领域，随机数也被广泛应用。
例如，在股票价格的预测中，我们需要通过随机数来模拟未来的价格波动。
在风险分析中，我们也需要使用随机数来模拟各种可能的情境，以便更好地评估风险。
三、随机模型的建立在建立数学模型时，我们经常要使用随机模型。
随机模型可以帮助我们描述复杂的现实情况，从而更好地预测结果。
例如，在生态学中，我们需要使用随机模型来描述种群数量的变化。
随机模型可以考虑各种可能的因素，例如环境因素、食物供应等等，从而更好地预测未来种群数量的变化。
在工程学中，随机模型也经常被用到。
例如，在建筑物的设计中，我们需要使用随机模型来考虑各种可能的因素，例如风力、地震等等，从而确保建筑物更加牢固。
四、随机性的挑战随机性虽然在数学建模中起到了非常重要的作用，但它也带来了一些挑战。
数学建模之随机模型
G(n) = ∑[(a − b)r − (b − c)(n − r)] f (r ) +
r =0
n
r =n+1
∑ (a − b)nf (r)
∞
求 n 使 G(n) 最大
求解
n
将r视为连续变量
f (r ) ⇒ p (r ) (概率密度）
∞
G(n) = ∫0 [(a − b)r − (b − c)(n − r)]p(r)dr + ∫n (a − b)np(r)dr
u=1/m
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
m 1 n D = [1 − (1 − ) ] n m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
m n n ( n − 1) n −1 D ≈ [1 − (1 − + )] = 1 − 2 n m 2m 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当n远大于1时, E ≈ n/2m ~ E与n成正比，与m成反比 若n=10, m=40, 提高效率 • 增加m D≈87.5% (89.4%) 的途径： • 习题1
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ +β ˆ x +β ˆ x +β ˆ x2 ˆ=β y 0 1 1 2 2 3 2
ˆ = 8 .2933 (百万支) y
区间 [7.8230，8.7636]
2 ˆ ˆ ˆ ˆ xx ˆ y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 x2 + β 4 1 2
y的90.54%可由模型确定 p远小于α=0.05
随机数学模型基础篇
第三章 随机数学模型§3.1 多元回归与最优逐步回归一、数学模型设可控或不可控的自变量x x x p 12,,, ；目标函数y y y m 12,,, ，已测得的n 组数据为： },,,,,,,{2121m p y y y x x x αααααα(1.1)其中y j m n j αα,,,,,,,,==1212 是系统的测试数据，相当于如下模型：设多目标系统为：为简化问题，不妨设该系统为单目标系统，且由函数关系y f x x x p =(,,,)12 ，可以设：y x x p p =+++βββ011(1.2)可得如下线性模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++=+++++=+++++=n np p n n n p p p p x x x y x x x y x x x y εββββεββββεββββ 22110222222211021112211101 (1.3)εεε12,,, n 为测量误差，相互独立，εσi N ～(,)0。
令Y y y y X x x x x x x x x x n p p n n np p n =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪121112121222120112111 ββββεεεε可得Y X =+βε(1.4)(1.4) 称为线性回归方程的数学模型。
y 1y 2y mx 1x 2x p利用最小二乘估计或极大似然估计，令 ∑=----=ni ip p i ix x yQ 12110][βββ 使Q Q =min ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==p i Qi ,,2,1,00 ∂β∂(1.5)可得系数βββ01,,, p 的估计。
令 A X X p T =+设()1方阵可逆，由模型Y X =β 可得： X Y X X A T T ==ββ即有 β=-A X Y T 1 (1.6)可以证明(1.6)与(1.5)是同解方程组的解，它是最优线性无偏估量，满足很多良好的性质，另文补讲。
第三章(9)随机模拟-仿真模型、蒙特卡洛模拟
Matlab程序： function y=paidui(T) L=zeros(1,T+1);% 等待的顾客人数， T1=zeros(1,T+1); %等待时间的累加， T2=zeros(1,T+1); %服务时间的累加, L1=zeros(1,T+1);%到达顾客人数累加。 t=1; x=0:T; r=rand(1,T); for t=1:T if 0<=r(i) & r(i)<0.4 n=0; elseif 0.4<=r(i) & r(i)<0.7 n=1; else n=2; end;
蒙特卡罗模拟 （Monte Carlo Simulation）
第三章 常用数学模型及建模方法
当所求问题的解可以视为某个随机变量X的概率或期 望的函数时 通过随机抽样 即模拟随机变量X产生 望的函数时，通过随机抽样，即模拟随机变量 的“实验”；然后计算频率或平均值，以估计概率 或期望 或期望；从而得到所求问题的解。 得到 求 的解
p ( k ) : pi ,
i 1 kpຫໍສະໝຸດ (0) 0p ( k ) p ( k 1) ,
p (n) 1
取服从[0, 1]区间上均匀分布的随机数 R[0, 1]，则容易证明: P( “ p(k-1) < R < p(k) ” ) = pk = P ( “ = ak” ) 即随机事件 “ p((k-1)) < R < p((k)) ” 与 “ =ak” 有相同的概率分布。 因此，当p(k-1) < R < p(k)时， 则认为事件 =ak发生。 发生 每隔一分钟记录一次系统状态，模拟10分钟的 Matlab程序如下：
>>r=rand(1,10); >>r=rand(1 10); >>for i=1:10; if r(i)<0.4 () ; n(i)=0; elseif 0.4<=r(i) & r(i)<0.7 n(i)=1; else n(i)=2; end; end
数学建模第五章随机模型
05
随机模拟
随机模拟的基本原理
随机模拟是一种基于概率统计的数值计算方法，通过模拟随机事件或过程来求解实 际问题。
随机模拟的基本原理包括抽样、统计推断和误差分析，其中抽样是随机模拟的核心 步骤，通过从概率分布中抽取样本，模拟随机事件的概率特征。
随机模拟的精度取决于样本数量和分布的准确性，样本数量越多，模拟结果越接近 真实情况。
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蒙特卡洛积分
蒙特卡洛积分是一种基于随机抽样的 数值积分方法，通过将积分转化为求 和的形式，利用大数定律和中心极限 定理来估计积分值。
蒙特卡洛积分在金融、物理、工程等 领域有广泛应用，可以用于求解复杂 的高维积分问题。
蒙特卡洛积分的精度与样本数量和积 分的可积性有关，对于不可积的积分， 可以通过增加样本数量来提高估计精 度。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
总结词
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔科夫链的随机抽样方法，常用于求解复杂数学 问题的不确定性。
详细描述
马尔科夫链蒙特卡洛方法通过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布为目标分布，从而通 过抽样得到目标分布的近似解。这种方法在统计学、物理、经济学等领域有广泛应用， 可以用于求解复杂数学问题的不确定性，如概率论中的积分、统计推断中的参数估计等。
描述随机变量取值概率分布的函数称 为随机变量的分布函数。常见的分布 函数有离散型分布和连续型分布，如 二项分布、泊松分布、正态分布等。
03
随机过程
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间上的扩展，描述了一个随机现象在连续时间或 离散时间上的变化。
分类
根据过程的性质和特点，随机过程可以分为平稳随机过程、非平稳随机过程、离 散随机过程和连续随机过程等。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
随机规划模型
研究Pn(t)旳变化规律；得到X(t)旳期望和方差
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t旳出生和死亡概率作下列假设
1)出生一人旳概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上旳概率为o(t).
2)死亡一人旳概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上旳概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立旳随机事件。
为拟定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个以便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空旳概率p，则 s=mp
怎 设每只挂钩为空旳概率为q，则 p=1-q
样 求
设每只挂钩不被一工人触到旳概率为r，则 q=rn
概 设每只挂钩被一工人触到旳概率为u，则 r=1-u
率 一周期内有m个挂钩经过每一工作台旳上方
u=1/m
优化模型：求m 使J(m) 最小（已知l , ）
求解 J (m) m
P(m)
y
xm,
m,
l
J ()
( )
P(m)
l
p( x)dx
p(x)
1
e
(
xm)
2 2
2
2
z
(
z)
z
(
y)dy
(y)
1
y2
e2
2
J () ( )
J (z) ( z)
(z)
求 z 使J(z) 最小（已知 ）
• 能够用一种周期内传送带运走旳产品数占产品 总数旳百分比，作为衡量传送带效率旳数量指标。
• 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品旳时刻不会一致，能够以为是随机旳， 而且在一种周期内任一时刻旳可能性相同。
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数；
数学模型之随机模型
用数学公式或位移寄存器的 移位操作来产生的随机数，实际 上是伪随机数
几种产生均匀随机数的方法
2
(1) 利用计算机移位寄存器的移位操作来产生均匀分 布的伪随机数
如 取 原 整 数 45086273, 可 以 得 到 第 一 个 随 机 数 0.45086273；
将 45086273 右 移 三 位 得 00045086 ， 将 45086273 与 00045086 按 位 相 加 得 45021259 ， 将 45021259 左 移 四 位 得 12590000, 将12590000 与 45021259 按位相加得57511259， 于是得到第二个随机数0.5751129；
X1 2lnU1 cos(2U2 )
X2 2lnU1 sin(2U2 ).
8
证明: 由
y1 2ln v1 cos(2v2)
y2 2ln v1 sin(2v2).
解得
v1 exp(( y12 y22 ) / 2)
v2
1
2
arctan(
y2 y1
)
F (x1, x2 ) P{X1 x1, X 2 x2}
再将 57511259与右移三位的数按位相加得57568760， 将57568760与左移四位的数相加得整数34168760，这就得 到第三个随机数0.34168760。按此规律一直重复下去，可以 得到一个随机数序列。
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即得一名健康人与一名指定病人接触并被感染的概率为
p1
p
m
n 1
。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了求出一名健康人每天被感染为病人的
概率 p2 ，利用对立事件概率的计算方法:
p2
1 (1
p1)i
1
(1
m )i 。
n 1
健康人被感染为病人的人数也服从二项分布，
其平均值 sp2 (n i) p2 ，
n (a b)nf (r)dr
问题3 报亭的进报策略模型
均方差为 sp2 (1 p2 ) (n i) p2(1 p2) 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了简便，将上式右端作 Taylor 展开，并取 前两项：
p2
1
(1
mi
n 1
) mi mi , (n
n 1 n
m, n
1)
最后得到： mi(n i) ，
n
1 p2 n mi 。 (n i) p2 mi(n i)
（优选）数学建模方法及其应用 中的随机模型讲解部分第章随机 模型
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
假设某班共有 n 个同学参加活动，每个同学都
随机地抽取一份礼品， Ai (i 1, 2, , n) 表示第 i 个
同学抽取到自己所带的礼品。
n 个同学中至少有一人抽取到自己所带的礼品
为 A1 A2
具有相同概率 p ，每人每天平均与 m 人接触。
当一个健康人与病人接触时，这个健康人
被感染的概率为 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
由于任何两人接触的概率为 p ，且两两接触的独立 性，一名健康人每天接触的人数服从二项分布，其平均值 为 m 。利用二项分布的基本性质，并注意到人群总数为 n ， 则有 m (n 1) p ，于是， p m 。
这个结果合理吗？
为了直观，给出几组检验数据的计算结果。
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
不妨设 m 20, 0.1，对于不同的i ，计算 和 。
从计算结果可以看出：随着人数 i 的增加，平均感
染率 随之增加，而相对误差 随之减少；
当病人的比例 i 一定，总人口数 n 变大时，相对误差 n
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
健康人群每天平均被感染的人数 与人群中每人 每天平均接触的人数 m 以及接触时被感染的概率 成
正比，并且随着人群总数 n 的增加而增加。
平均感染率 与病人数 i 的关系，当 i 很小或很大 （接近 n ）时， 值都很小，而当 i n 时， 值最大。
2
如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律， 那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种 估计的准确性有多大？
问题2：传染病的传播模型
(1)问题的分析与假设
假设将人群分为病人和健康人两类，病人
数和健康人数分别记为 i 和 s ，总人数为 n ，短 时间内不变，即 i s n 。
人群中任何两人的接触是相互独立的，且
因为需求量是随机的，致使报亭每天的销售收 入也是随机的。所以，不能以报亭每天的收入数作 为优化模型的目标函数，而应该是以报亭的长期（ 几个月，或一年）卖报的日平均收入最大为目标函 数。
由概率论的知识，这相当于报亭每天销售收入 的期望值，以下简称平均收入。
设每天报纸的需求量为 r 份的概率是 p(r) （r=0，1，2，… ），报亭每天购进 n 份报纸的 平均收入为 G(n)元。
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
问题为在已知 p(r) 和 a,b, c ，求进报数量 n 使 G(n) 有最大值。
通常需求量 r 的取值和购进量 n 都比较大，将 r
视为连续变量，这时概率 p(r) 转化为概率密度函数
f (r) ，则
G(n)
n
0
(a
b)r
(b
c)(n
r)f
(r)dr
n n 1
1 1 1 (1)n1 1
2! 3!
n!
当充分大,即人数较多时,至少有1人抽取到自己所带礼品
的概率为
n
P( ) 1 e1 0.63212
i 1
1、初等概率模型
问题2：传染病的传播模型
现在的问题：
对某种传染病而言，人群中有病人（带菌者）和 健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机 的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是 随机的.
1 1 , (1 i n n 1
j
n) 。
类似地， P( Ai Aj Ak )
1 1 1 , (1 i n n 1 n 2
j
k
n) ，
P( A1 A2
11
An )
n
n 1
1
n
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
由概率的加法公式与乘法公式，则 n 个同学中至少
有一个抽取到自己所带礼品的概率为
n
n
P( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
C C C 1 1 2 1 1 3 1 1 1 (1)n1 1 1 1
n n n n n 1 n n n 1 n 2
也随之减少。
问题3：售报厅的进报策略模型
(1)问题的提出
报纸每份购进价为 b 元，零售价为 a 元，退回价为 c 元，且 a b c 。
则报亭售出一份赚 a b 元，退回一份 赔 b c 元。报亭应该如何确定每天购进
报纸的数量，以获得最多的收入？
问题3 报亭的进报策略模型
(2) 问题的分析
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
根据报亭每天的需求量（即销售量）的不确定性。
如果某天的需求量 r n ，则售出 r 份，退回 n r 份；
如果某天的需求量 r n ，则 n 份将全部售出。
考虑到该报亭需求量为 r 的概率是 p(r) ，平均收入
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] p(r) r 0 (a b)np(r) r n1
n
An ，简记为 Ai 。 i 1
n
要解决的问题是求事件的概率 P( Ai ) 。 i 1
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
事实上,第 i 个同学抽取到自己所带礼品的概率为
P(
Ai
)
1 n
,
(i
1,
2,
, n) 。
第 i 和第 j 个同学同时抽取到自己所带礼品的概率为
P( Ai Aj )