勾股定理知识点与题型总结大全-勾股定理知识点总结
C
A B
D
勾股定理全章类题总结
类型一:等面积法求高
【例题】如图,△ABC中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,C D⊥AB于D。
(1)求AB的长;
(2)求CD的长。
类型二:面积问题
【例题】如下左图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的
正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。
【练习1】如上右图,每个小方
格都是边长为1的正方形,
(1)求图中格点四边形ABCD
的面积和周长。
(2)求∠ADC的度数。
【练习2】如图,四边形ABCD是正方形,AE⊥
BE,且AE=3,BE=4,阴影部分的面积是______.
【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( )
A. 12
B. 13
C. 144
D. 194
类型三:距离最短问题
【例题】如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30
千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用
为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M ,使铺设水管的费用最节省,并求出
总费用是多少?
A
B
C
D
7cm
A
B
D
C
E
B
169
25
A
B
C D
L
【练习1】如图,一圆柱体的底面周长为20cm ,高AB为4cm ,BC是上底面的
直径.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程.
【练习2】如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B
的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
类型四:判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ,且满足a 2
+b 2
+c 2
+50=6a+8b+10c ,判断ΔABC 的形状。
【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2-n 2,2mn,m 2+n 2
(m,n 为正整数,且m >n),判
断△ABC 是否为直角三角形.
【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件
a 2+
b 2+
c 2+338=10a +24b +26c ,试判断△ABC 的形状.
【练习3】.已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足
(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )三角形 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为
ab c b a 2)(2
2+=+,则这个三角形是( ) 三角形 (A )等边(B )钝角(C ) 直角(D )锐角
类型五:直接考查勾股定理
【例题】在Rt △ABC 中,∠C=90°
(1)已知a=6, c=10,求b ; (2)已知a=40,b=9,求c ;(3)已知c=25,b=15,求a.。
小河 A
B
东 北 牧童 小屋
【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
类型六:构造应用勾股定理
【例题】如图,已知:在中,,,. 求:BC的长.
【练习】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积。
类型七:利用勾股定理作长为n的线段
例1在数轴上表示的点。
作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
【练习】在数轴上表示13的点。
类型八:勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面
积。
【练习1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【练习2】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()A、8,15,17
B、4,5,6
C、5,8,10
D、8,39,40
类型九:生活问题
【例题】如下左图,在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯(如上右图),测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做 ㎝。
【练习2】如下左图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m ),却踩伤了花草。
【练习3】如上右图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞___________米. 类型十:翻折问题
【例题】如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗?
【练习1】如图所示,折叠矩形的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,已知AB=8cm ,BC=10cm ,求EF 的长。
【练习2】如图,△ABC 中,∠C=90°,AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8,AD=5,求AC 的长。
C B A D
E
勾股定理的逆定理
1.有五组数:①25,7,24;②16,20,12;③9,40,41;④4,6,8;⑤32,42,52,以各组数为边长,能组成直角三角形的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4
2.三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.8
3.下列各组线段中的三个长度①9、12、15;②7、24、25;③32、42、52;④3a 、4a 、5a (a>0);⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2(m 、n 为正整数,且m>n )其中可以构成直角三角形的有( ) A 、5组; B 、4组; C 、3组; D 、2组
4.在同一平面上把三边BC=3,AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC′,则CC′的长等于( )
A 、125 ;
B 、135 ;
C 、56 ;
D 、245
5. 下列说法中, 不正确的是 ( )
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形
B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形
D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形
6(呼和浩特)如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )
A. CD 、EF 、GH
B. AB 、EF 、GH
C. AB 、CD 、GH
D. AB 、CD 、EF
7.如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角
形,?其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积的和
是_______cm 2.
7cm
D
C
B A
8.已知2条线段的长分别为3cm 和4cm ,当第三条线段的长为_______cm 时,这3条线段
能组成一个直角三角形.
9、在△ABC 中,若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________.
10. 传说,古埃及人曾用"拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________
11.小芳家门前有一个花圃,呈三角形状,小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形,请问她可以用什么办法来作出判断?你能帮她设计一种方法吗? 12.给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……
(第6题)
(1)你能发现上式中的规律吗? (2)请你接着写出第五个式子. 13.观察下列各式,你有什么发现?
32=4+5,52=12+13,72=24+25,92=40+41……
这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢?请你结合有关知识进行研究.?如果132=b+c ,则b 、c 的值可能是多少
14.如图,是一块由边长为20cm 的正方形地砖铺设的广场,一只鸽子落在点A 处,?它想先后吃到小朋友撒在B 、C 处的鸟食,则鸽子至少需要走多远的路程?
C
B
A
15.如图,在△ABC 中,AB=AC=13,点D 在BC 上,AD=12,BD=5,试问AD 平分∠BAC 吗?为什么?
D C
A
B
16.如图,是一个四边形的边角料,东东通过测量,获得了如下数据:AB=?3cm ,?BC=12cm ,CD=13cm ,AD=4cm ,东东由此认为这个四边形中∠A 恰好是直角,?你认为东东的判断正确吗?如果你认为他正确,请说明其中的理由;如果你认为他不正确,那你认为需要什么条件,才可以判断∠A 是直角?
D
C
A B
17. 在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高______米
D B
C
A
勾股定理题型归纳
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 (3) 若2 c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳 题型一:利用勾股定理解决实际问题 训练1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 训练2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响 的时间为多少?
题型二、与勾股定理有关的图形问题 训练3.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 题型三、关于翻折问题 训练4、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG. 训练5、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F.若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=, 求BF 的长. G A B F E D C B A
勾股定理知识点总结
第18章 勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
a b c c b a E D C B A 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是,类似地可作 。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为 ; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, , 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
最新勾股定理知识点与常见题型总结(1)
《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三 角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直角三形的有: ( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关
勾股定理知识点总结
第十七章勾股定理知识点总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90 ∠=?,则c, C b,a=) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A勾股定理全章知识点归纳总结