河北省武邑中学2017届高三上学期第四次调研数学(文)试题 Word版含答案

数学试题（文科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上． 1. 已知集合{}2A=4120x x x +-<，{}22x B x =>，则A B （ ） A ．{}6x x < B ．{}2x x <C ．{}62x x -<<D ．{}12x x <<2.双曲线2228x y -=的实轴长是（ ）A ．2B ．C ．4D ．3.下列命题的说法错误的是（ ） A ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题． B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．对于命题:p x R ∀∈，210x x ++>，则2:,10p x R x x -∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” 4. 函数23y x =的图象大致形状是（ ）A B C D ．5.已知两个不同的平面a ，β和两条不重合的直线m ，n ，则下列四个命题中不正确的是（ ）A ．若//m n ，m a ⊥，则n a ⊥B ．若m a ⊥，m β⊥，则//a βC ．若m a ⊥，//m n ，n β⊂，则a β⊥D ．若//m a ，a n β= ，则//m n6. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a ，3a ，4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 和，则3253S S S S --的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-7. 若抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则MFO ∆的面积为（ ） ABC ．12D ．148. 以(),1a 为圆心，且与两条直线240x y -+=及260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ） A ．()2215x y +-= B ．()()22115x y +++= C ．()2215x y -+=D ．()()22115x y -+-=9. 向量()cos25,sin25a =︒︒，()sin20,cos20b =︒︒，若t 是实数，且u a tb =+，则u的最小值为（ ） AB ．1CD ．1210. 将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图像关于()1,0对称，若对任意x ，y R ∈，不等式()()2262180f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是（ ）A ．()3,7B．)C ．()9,49D ．()13,4912.已知函数()sin 1xf x x x π=+-在()0,1上的最大值为m ，在(]1,2上的最小值为n ，则m n +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置．13.已知函数ln xy x =在点()(),m f m 处的切线平行于x 轴，则实数m =______. 14.已知51sin 24a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos 2a =______. 15. .已知某棱锥的三视图如图（最左侧是正视图）所示，俯视图为正方形及一条对角线，根据图中所给的数据，该棱锥外接球的体积是_____.16.设()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为_____.三、解答题：大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2a B c b =-． (1)求A 的大小；(2)若2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积． 18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()12n n S n λ=+-⋅,又数列{}n b 满足:n n a b n ⋅=． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并求此时数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C —中，1A A -⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1A 3A =.（Ⅰ）过BC 的截面交1A A 于P 点，若PBC ∆为等边三角形，求出点P 的位置； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱柱111ABC B C —A 的体积比.20.（本小题满分12分）如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC ∆外接圆的方程；（3）若动圆P 过点()2,0N -，且与ABC ∆的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=，()0a b >>且过点⎛ ⎝⎭. (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程. 22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 1f x x ax ax =-+,其中0a ≥．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2) 若函数()f x 在(]0,1内至少有1个零点，求实数a 的取值范围；数学试题（文科）答案一、选择题：DCABD ABACA DD二、填空题：13. e 14.78- 16.02a ≤≤ 三、17.解法一：2cos 2a B c b =- ，由余弦定理得222222a c b a c b ac+-⋅=-即222b c a bc +-=根据余弦定理，有2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又O A π<<，故3A π=()234b c bc ∴+-=，又4b c +=，4bc ∴=1sin 2ABC S bc A ∆∴=18.解：解：（Ⅰ）由()12n n S n λ=+-⋅，当1n =时，11a S λ==；当2n ≥时，()()11112222n n n n n n a S S n n n ---=-=-⋅--⋅=⋅，故数列{}n a 的通项公式为()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩(Ⅱ)由n n a b n ⋅=有()()111,122n n n b n λ-⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩则数列{}n b 为等比数列， 则首项为11b λ=满足2n ≥的情况，故1λ=，则()112111122111212n n n n b q b b q--⎛⎫++===- ⎪-⎝⎭-…+b 而1212n⎛⎫-⎪⎝⎭是单调递增的，故[)121211,22n n b b ⎛⎫++=-∈ ⎪⎝⎭…+b 19.（1）由题意PC PB == 2分在三棱柱中，由1ABC AA ⊥平面且2AB AC ==可得，2PA =， 4分 故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处 6分（2）由（1）可知，111122362ABC A B C V -=⨯⨯⨯=，7分 111112221323p A B C V -=⨯⨯⨯⨯=8分 114222323p ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，9分所以11*436432p BCC V -=--=，所以所求两个几何体的体20.试题解析：（1）0,AT AB AT AB ⋅=∴⊥，又T 在AC 上，AT AB ∴⊥，ABC ∴∆为Rt ABC ∆，又AB 边所在直线的方程为360x y --=，所以直线AC 的斜率为3-，又因为点()1,1T -在直线AC 上，所以AC 边所在直线的方程为：()131y x -=-+，即320x y ++=. （2）AC 与AB 的交点为A ，所以由360,320,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-，BM MC =，()2,0M ∴为Rt ABC ∆斜边上的中点，即为Rt ABC ∆外接圆的圆心，又r AM ==从而ABC ∆外接圆的方程为:()2228x y -+=.（3）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+，即PM PN -=故点P的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为. 因为实半轴长a =2c =.所以虚半轴长b =从而动圆P 的圆心的轨迹方程为(22122x y x -=≤.解（1）由题意可得：221213ab c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2分22223,1,13x a b y ==∴+=4分（2）①当k不存在时，x y =∴=1324OAB S ∆∴== 5分②当k 不存在时，设直线为y kx m =+，()11,A x y ,()22,B x y ,2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,()222136330k x km m +++-= 6分2121222633,1313km m x x x x k k --+==++ 7分 ()22431d r m k =⇒=+8分AB =10分2=当且仅当2219kk =，即k = 11分11222OABS AB r ∆∴=⨯≤⨯=， OAB ∴∆，此时直线方程1y =±. 12分21.（1）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2'22111212ax ax a x ax f x a x a x x x-++-=--==--，………………2分当0a =时，()ln f x x =，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；………………3分 当0a >时，由()'0f x >得102x a <<，由()'0f x <得12x a >，函数()f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减：………………4分 当0a <时由()'0f x >得10x a <<-，由()'0f x <得1x a >-，函数()f x 在10,a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减：………………5分（2）当0a =时，函数()f x 在10,2a ⎛⎤⎥⎝⎦内有1个零点01x =；………………6分 当0a >时，由（1）知函数()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减：①若112a ≥，即102a <≤时，()f x 在(]0,1上单调递增，由于当0x →时，()f x →-∞且()210f a a =--<，知函数()f x 在(]0,1内无零点；………………7分②若1012a <<，即12a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，要使函数()f x 在(]0,1内至少有1个零点，只需满足102f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即431122a e <≤；………………9分 当0a <时，由（1）知函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； ③若11a-≥，即10a -≤<时，()f x 在(]0,1上单调递增，由于当0x →时，()f x →-∞，且()210f a a =-->，知函数()f x 在(]0,1内有1个零点；………………10分 ④若101a <-<，即1a <-时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减：由于当0x →时，()f x →-∞，且当1a <-时，11ln 0f a a ⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知函数()f x 在(]0,1内无零点：………………11分综上可得：a 的取值范围是[]43111,0,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.………………12分。