人教版初二数学上册三角形的高、中线
人教版八年级数学上册 (三角形的高、中线与角平分线)三角形教学课件
课堂练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高(D )
C AD
D
BC B
BA
CA B
A C
D
B
C DD A
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三 角形的一个顶点，那么这
个三角形是（B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
课堂探究
如图：△ABC中，D为BC中点，连结AD，你能根 据此图得到哪些结论？
活动三： 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角 证明：∠A+∠B=∠ACD
小组讨论，以小组为单位展示。
小组合作展示要求：(1)时间6分钟(2)先独立思考，后小组成员讨论(3)一 个组至少要有一种证明方法(4)随机抽取两个小组展示（5）展示的 小组一定要表达清楚每步证明用的理论依据（6）除展示的小组外， 其余的小组可以质疑，有价值的问题有加分鼓励。
例题解析
如图，已知AD，AE分别为三角形ABC的高和中线， AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求： （1）△ABE的面积； （2）△ACE和△ABE的周长的差。
课堂练习
1、下列说法正确的是（ B ） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线
2.填空：（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则
AB=2__A__F_____，BD= __C__D_____ ，AE= _________ 。
（2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= ____∠__2___, ∠3= _________, ∠ACB=2 ___∠_4____。
人教版数学八年级上册11.1知识点解读：三角形的高、中线与角平分线
知识点解读：三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的高、中线、角平分线〔掌握〕 知识详析： 三角形的高： 三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 高的表达方法〔右图〕：①的高；是ABC AD ∆ ②;D BC AD ，垂足为⊥③ 90=∠=∠CDA BDA BC D 上，且点在三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．几何语言：〔右图〕AD 是△ABC 的边BC 上的中线．逆向推理：假设AD 是△ABC 的中线，那么D 是边BC的中点．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段． 几何语言〔图3〕：假设∠1=∠2，那么AD 是∠BAC 的角平分线．逆向推理：假设AD 是角平分线，那么∠1=∠2．【典例】1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?解析：这是最根本，也最易混淆的根底知识，需要牢记掌握．我们可以根据三角形的高、中线和角平分线的概念定义知道它们既不是射线，也不是直线，而均表示线段．2.如图，在△ABC 中，AE ，AD 分别是BC 边上中线和高，〔1〕说明△ABE 的面积与△AEC 的面积有何关系？〔2〕你有什么发现？解析：关于三角形的面积，后面我们将要学到，三角形的面积公式为底乘高的一半．此时我们可以了解到同高等底的两个三角形的面积相等，三角形的中线图3 A BC D 1 2 D C B A把三角形分成两个面积相等的三角形．故△ABE的面积与△AEC的面积相等．知识点2：三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心〔了解〕知识详析：重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似．内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等．旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等．【典例】在△ABC中，边BC上的中线AD等于9cm，那么这个三角形的重心G 到顶点A的距离是____cm．解析：根据重心的概念得出AG=2DG，即可得出答案．由AD等于9cm，故重心G到顶点A的距离是6cm．。
人教版八年级数学上册第十一章 三角形的高、中线与角平分线
A.16
B.18
C.20
D.22
例7：如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC 于点F.若S△ABC＝24，BD＝4，则EF的长为___3_____．
例8：如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝1. (1)若AC的长是整数，求AC的长； (2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
知识点3：三角形的角平分线（重点）
1.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它 所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做 三角形的角平分线. 2.符号语言：
如图，∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC.
3.三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平 分线交于三角形内一点.
11.1与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线 与角平分线
1.通过阅读课本掌握三角形的高、中线、角平分线的定义，在由 图叙述定义的过程中，培养严谨的语言表达能力.
2.通过分析定义掌握三角形的高、中线、角平分线的画法，发展 学生的动手画图能力.
3.运用三角形的高、中线、角平分线的定义解决有关问题，培养 学生解决问题的能力.
∠EDB.∴ED＝EB. 同理可得FD＝FC，∴AB＋AC＝AE＋BE＋AF＋FC＝AE＋ ED＋AF＋FD＝AE＋AF＋EF＝△AEF的周长＝30 cm
1.本节课我们学习了哪些知识？ （三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线）
2.三角形的角平分线、高、中线都在三角形的内部吗？ （三角形的角平分线、中线都在三角形内部，三角形的 高不一定在三角形的内部）
3.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条边上 的高，观察画出的图形，三角形高的位置有何特征？
人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》教学设计
人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》教学设计一. 教材分析《三角形的高、中线与角平分线》是人教版八年级数学上册第11.1.2节的内容。
本节主要介绍了三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
通过学习，学生能够理解三角形的高、中线与角平分线的定义，掌握它们之间的关系，并能运用它们解决实际问题。
本节内容是学生进一步学习三角形和其他几何图形的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对几何图形的认识有一定的基础。
但是，对于三角形的高、中线与角平分线的概念和性质，学生可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要通过实例和练习，帮助学生理解和掌握这些概念和性质。
三. 教学目标1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
2.能够运用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
2.运用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.利用几何画板和实物模型，直观展示三角形的高、中线与角平分线的性质，帮助学生理解和掌握。
3.通过练习和问题解决，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示三角形的高、中线与角平分线的性质。
2.准备相关的练习题和实际问题，用于巩固和应用所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用几何画板和实物模型，展示三角形的高、中线与角平分线的定义和性质。
引导学生观察和思考，引导学生总结出三角形的高、中线与角平分线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何画板和实物模型，进行三角形的高、中线与角平分线的操作练习。
人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》 教案
第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、教学目标1.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，让学生感受数学的严谨性。
2.能正确作出一个三角形的高、中线、角平分线．提高学生动手操作及解决问题的能力二、教学重点、难点重点：了解三角形的高、中线及角平分线概念的同时还要掌握它们的画法难点：钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系．三、教学用具刻度尺、直尺、量角器四、相关资源三角形三线的动态演示五、教学过程（一）复习导入把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C．观察移动过程中形成的无数条线段（AD，AE，AF，AG…）中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？学生根据以往的经验积累，找到以下特殊位置的线段（AD，AE，AF）．设计意图：初步感知三角形的高、中线、角平分线，为下面抽象出它们的概念做准备．（二）探索新知1．教师布置学习任务，学生通过自学完成下表：设计意图：通过完成表格，使学生通过自主学习，掌握有关的概念．2．教师布置学习任务，要求学生按照三角形高线的定义分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线，观察各个图形间的相同或不同点，并要求学生进行归纳．（1）任意画一个锐角△ABC，请你画出BC边上的高．（2）你能画出其他两边上的高吗？（3）通过画图你发现了什么？三角形的重要线段概念图形几何语言表示三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线段，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高∵AD是△ABC的BC上的高，∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线三角形中，连接顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线∵AE是△ABC的BC上的中线，∴BE=CE=12BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线∵AF是△ABC的∠BAC的角平分线，∴∠BAF=∠CAF=12BAC锐角三角形的三条高交于同一点．（4）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？锐角三角形的三条高都在三角形的内部．（5）画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点．直角边BC边上的高是AB；直角边AB边上的高是CB；斜边AC边上的高是BD．（6）钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点．（7）它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点．学生操作，观察，交流，归纳．归纳：三角形的三条高的特性：锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交相交相交不相交高所在的直线是否相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部三角形的三条高所在直线交于一点．在此过程中，教师要关注学生能否正确地画出钝角三角形的高，这是本节课的难点． 设计意图：通过学生的动手操作、交流，讨论掌握三角形高线的画法，通过进一步观察，归纳得出三角形高线的特性．3．类似地，要求学生按照三角形中线与角平分线线的定义分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的中线与角平分线，观察各个图形间的相同或不同点，并要求学生进行归纳．结论：三角形的三条中线在三角形的内部交于一点．结论：三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点．设计意图：类比三角形的高的探究，得出三角形中线、角平分线的画法和相关性质，培养学生的观察与概括能力，体验学习数学的过程．（三）课堂练习1．三角形的三条高在（ ）．A ．三角形的内部B ．三角形的外部C ．三角形的边上D ．三角形的内部、外部或边上2．如图，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∠A ＝40°，则∠BOC ＝ ．3．如图，AD 是△ABC 的中线，则ABD S △ ACD S △．学生独立完成．答案：1．D．2．110°．3．＝．设计意图：通过练习，加深对三角形的高、中线、角平分线的认识．六、课堂小结1．三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法．2．三角形的高、中线、角平分线的几何表达及简单应用．注意：（1）每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线．（2）三角形的三条高交于一点：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点．三角形的三条中线交于三角形内一点，三角形的三条角平分线也交于三角形内一点．（3）三角形的高、中线、角平分线都是线段．（4）能将三角形的面积平均分成两部分的线是三角形的中线．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，培养学生总结概括的能力．七、板书设计11.1.2三角形的高、中线与角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线段，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高三角形的中线：三角形中，连接顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线三角形的高、中线、角的平分线的作法。
人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线 教学课件(共68张PPT)
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高.
三角形的高
定义
垂线 ，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点 垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义
人教版八年级数学上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课件
D C ∴ BD=CD= ½BC.
A ∵.AD是△ABC的
2 1 ∠BAC的平分线
D C ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
谢谢欣赏!
︶1 2
B
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于 一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
角平分线的理解：
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=∠__C_B_E_= 1 _∠_A_B_C_
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2_∠__A_C_F_=2_∠_B_C__F_B
D
C
三角形的角平分线与角的平分线
有什么区别？
思
考
三角形的角平分线是一 条线段 , 角的平分线是 一条射线
点击重点
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断 下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
①AD是⊿ABE的角平分线 ( × )
ALeabharlann FBCE
三角形的高的 表示法
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
锐角三角形
高在三角形内部的数量 高之间是否相交
高所在的直线是否相交
3 相交 相交
D
A
(D)
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（ ）B
人教版八年级数学上册11.三角形的高、中线与角平分线课件
由△ABC的面积公式可知,
1 2
AD·BC＝
1 2
BP·AC.
代入数值，可解得BP＝
24 5
.
方法总结
面积法的应用： 若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不
求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法 列等式求解.
新课讲解
2 三角形的中线
问题1： 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A 答：相等，因为两个三角形等底同 高，所以它们面积相等.
问题4 ： 通过问题3你能发现什么规律？B
DE C
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
新课讲解
例2 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点
D是AC的中点，设△ABC、△ADF和△BEF的面积分别为 S△ABC 、 S△ADF和S△BEF，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
三角形一个内角的平
三角形的 分线与它的对边相交,
角平分线 这个角顶点与交点之
间的线段
B
A ∵.AD是△ABC的∠BAC
2 1 的平分线，
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
DC
随堂即练
1．下列说法正确的是 A．三角形三条高都在三角形内
（B ）
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
注意:标明垂直的记号和垂足 的字母.
问题2 ：由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
B
垂足
01 23 4 5
01 23 4 5
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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七年级数学教学设计
课题11.1.2三角形的高、中线与角平分线
课型新授讲课老师：大同中学李志辉
三维目标知识
目标
通过观察、画、实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、中线、角平分线；会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的三条
高线、三条中线、三条角平分线所在直线会交于一点。
能力
目标
经历画、实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神。
学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实
践能力。
情感
目标
通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心。
教学重点
能够正确地画出三角形的“高线”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别。
教学难点在钝角三角形中作高。
教学方法引导讲授法
教学过程知识回顾：
垂线定义线段中点定义角平分线定义
引入新课
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?（引出三角形高）
活动1
（一）探究三角形的高
1．三角形高的定义：（通过画图引出三角形的高的定义）
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
（总结三角形的画法）
2.理解三角形高：如图，在△ ABC 中， AD是△ABC 的一条高。
∵AD是△ ABC的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
3．做一做：
⑴在学案中给出的锐角三角形画出三条高，完成时同桌交流发现了什么？
学生归纳总结：锐角三角形三条高线交于同一点。
⑵在学案中给出的直角三角形画出三条高，完成时同桌交流发现了什么？
学生归纳总结：直角三角形的三条高交于直角顶点。
⑶在学案中给出的钝角三角形画出三条高，观察三条高是否交于一点？同桌交流 学生归纳总结：钝角三角形三条高不交于一点。
钝角三角形三条高所在的直线交于一点。
⑷教师引导学生归纳：三角形三条高的特性（表格显示）
三角形三条高所在的直线交于一点。
活动2
（二）探究三角形的中线
1．直接引出三角形中线的定义：
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。
2.三角线中线的理解：如图，D 是BC 的中点，则线段AD 是△ABC 的中线。
∵AD 是△ABC 的中线
∴BD=DC=2
1BC 3．做一做，利用刻度尺在学案中的三角形中画出三条中线，你发现了什么?(同桌交流)
学生归纳总结：三角形的三条中线交于一点。
活动3
(三)探究三角形的角平分线
1．直接引出三角形角平分线定义：
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2.三角形角平分线的理解：如图,BD 是∠ABC 的角平分线。
∵BD 是△ABC 角平分线 ∴∠ABD=∠DBC=2
1∠ABC 3. 做一做:利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线，你发现了什么？ 学生归纳总结：三角形的三条角平分线交于一点。
4.三角形高线、中线和角平分线三个知识点的总和运用，学生通过做题理解知识点。
活动3
学生通过做学案课堂知识巩固，进一步理解本课知识。
A C
D
B。