陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二下学期期末检测数学(文科)试卷+Word版含答案
陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二数学下学期第四次阶段性测试试题文无答案
陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二数学下学期第四次阶段性测试试题 文（无答案）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ⋂B 中元素的个数为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1 3.在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 4.函数3sin 2cos 2y x x =+最小正周期为 （ ）A ．2πB ．32πC ．πD ．π25.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．462+6.某程序框图如图所示，若3a =，则该程序运行后，输出的的值为（ ） A ．33 B ．31 C ．29 D ．27 7.已知命题p ：;命题q ：若,则a <b .下列命题为真命题的是（ ）A．B．C．D．8.已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（）A．B．C．D．9.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）Ａ．Ｂ．D．11.如图，、分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．12.定义在R上的函数，满足，，若，且，则有（）A．B．C．D．不确定第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知________．15.曲线在点（1，2）处的切线方程为_________________________.16.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的的序号为_______________.三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和值域；（2）已知的内角所对的边分别为，若，且，求的面积18.（12分）如图，已知三棱锥中，，为中点，为中点，且为正三角形.（1）求证：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验。
陕西省榆林市绥德中学2019_2020学年高二数学下学期第二次阶段性测试试题文含解析
陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二数学下学期第二次阶段性测试试题 文（含解析）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|ln(1)}A y y x ==-，{}2|40B x x =-≤，则A B =（ ）A. {|2}x x ≥-B. {|12}x x <<C. {|12}x x <≤D.{|22}x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】化简集合,A B ,再根据交集的概念进行运算可得. 【详解】因为函数ln(1)y x =-的值域为R 所以A R =, 又集合[2,2]B =-,所以[2,2]A B B ⋂==-. 故选:D【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题. 2.已知命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，则命题 P 的否定为（ ） A. ,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥ B. ,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥ C. 00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x y D. 00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否定为“00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y ”． 故选D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.3.若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a >”是“23a >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由已知有2a q =，因为869a a >时，则29q >，可得33q q ><-或，即“869aa >”不能推出“23a >”，由3q >可得869a a >，即“23a >”能推出“869aa >”，结合充分必要条件的判断即可得解.【详解】解：若869a a >时，则29q >，则33q q ><-或，又2a q = 则23a <-或23a >； 若23a q =>时，则6289a q a =>， 即“869a a >”是“23a >”的必要不充分条件， 故选B .【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力.4.下列函数中，在区间()0+∞，上为增函数的是（ ）A. ln(2)y x =+B. y =C. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.1y x x=+【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则，即可判断．【详解】对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合；对B，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；对C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不存在增区间，不符合；对D ，函数1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合． 故选：A ．【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则的应用，属于容易题．5.已知函数()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()9f f =（ ）A.12B. 12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的解析式由内到外计算出()()9ff 的值.【详解】()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()139log 92f ∴==-， 因此，()()()92sin sin 332ff f ππ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.6.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()372xf x x b =-+（b 为常数），则f(-2)=（ ） A. 6 B. -6C. 4D. -4【答案】A∴f(x)为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()372xf x x b =-+，∵()0120f b =+=， ∴12b =-． ∴()371xf x x =--，∴()22(2)(3721)6f f -=-=--⨯-=．选A ．7.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.8.函数()212log 6y x x =-++的递增区间为（ ） A. 1(,3)2B. 1(2,)2- C. 1()2+∞，D.1()2-∞，【答案】A 【解析】 【分析】设260x x t -++>=，可求出函数的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，再结合复合函数的单调性法则，即可得出函数的单调递增区间． 【详解】设260x x t -++>=，解得23x -<<．由于函数26t x x =-++在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，而函数12log y t =在()0,∞+上递减，根据复合函数的单调性可知，函数()212log 6y x x =-++的递增区间为1,32⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调区间的求法，属于基础题．9.已知二次函数()224f x x x =-- 在区间[]2,a - 上的最小值为5-，最大值为4，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,1-B. (]2,4-C. []1,4D.[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分析确定实数a 满足的条件. 【详解】因为()()()15244f f f =--==，，对称轴为1x =,所以实数a 的取值范围是[]1,4,选C.【点睛】本题考查二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知(32)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 （ ）A. ()0,1B. 2(0,)3C. 1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D.22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的高低可得实数a 的取值范围.【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，故选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的高低分布，我们往往容易忽视后者.11.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，当0x <，()f x =（ ） A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D.(1)x x +【答案】B 【解析】【分析】任取(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由此求出()f x -，又()y f x =是定义在R 上的奇函数，故有()()f x f x =--即可解出(,0)x ∈-∞时的解析式． 【详解】()y f x =是定义在R 上的奇函数，故有()()f x f x =--，任取(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞， 当0x >时，()(1)f x x x =+()(1)f x x x ∴-=--， ()()(1)f x f x x x ∴=--=-故选B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，是函数奇偶性的一个重要应用．12.已知函数3()f x x x =+，对任意的[22]m ∈-，，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为（ ） A. 2(2,)3- B. 2(2,)3C. 2(2,)3-D.2(2,)3--【答案】A 【解析】 分析】先根据函数的解析式判断出函数的单调性和奇偶性，即可将不等式(2)()0f mx f x -+<变形得到关于x 的不等式20xm x +-<，构造函数()2g m xm x =+-，即可列出不等式组解出x 的取值范围．【详解】因为函数3()f x x x =+，()()f x f x -=-，易知函数3()f x x x =+为R 上单调递增的奇函数，所以(2)()0(2)()f mx f x f mx f x -+<⇒-<-，即20xm x +-<对任意的[22]m ∈-，恒成立，设()2g m xm x =+-，只需()()2020g g ⎧<⎪⎨-<⎪⎩即可．解不等式组220220x x x x +-<⎧⎨-+-<⎩，解得223x -<<．故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，以及更换主元法的应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13.已知{|A x y ==，{|1}B x x m =≤+，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则m 范围是______. 【答案】(,0]-∞ 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出集合A ，由x A ∈是x B ∈的必要条件可得B A ⊆，结合集合的包含关系得出参数的范围.【详解】由{}{|1A x y x x ===≤，{|1}B x x m =≤+ 又∵x A ∈是x B ∈的必要条件，∴B A ⊆，∴11m +≤，解得0m ≤，即m 的取值范围是(,0]-∞， 故答案为(,0]-∞.【点睛】本题主要考查函数定义域的求法、考查数学中的等价转化能力、集合的包含关系，属于中档题.14.定义在R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立，则(2023)f =__________.【答案】1 【解析】 【分析】 先由1(2)()f x f x +=，得到()f x 以4为周期；再求出(1)(1)1f f =-=，根据函数周期性，即可求出结果. 【详解】因1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立， 所以1(4)()(2)f x f x f x +==+，即函数()f x 以4为周期； 令1x =-，则1(12)(1)f f -+=-，即(1)(1)1f f ⋅-=， 又()f x 为偶函数，且()0f x >，所以(1)(1)1f f ⋅=，即()(1)11f f =-=； 因此(2023)(15064)(1)1f f f =-+⨯=-=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与周期性求函数值，属于基础题型. 15.给出以下结论：①命题“若2340x x +-=，则4x =”的逆否命题“若4x ≠，则2340x x --≠”； ②“4x =”是“2340x x --=”的充分条件；③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题； ④命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是真命题. 其中错误的是__________.（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义、充分条件的判定和四种命题的关系可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于①，根据逆否命题的定义可知：“若2340x x +-=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”， ①正确；对于②，当4x =时，234161240x x --=--=，充分性成立，②正确；对于③，原命题的否命题为“若0m ≤，则方程20x x m +-=无实根”；当104m -≤≤时，140m ∆=+≥，此时方程20x x m +-=有实根，则否命题为假命题；否命题与逆命题同真假，∴逆命题为假命题，③错误；对于④，原命题的逆命题为“若0m =且0n =，则220m n +=”，可知逆命题为真命题； 否命题与逆命题同真假，∴否命题为真命题，④正确. 故答案为：③.【点睛】本题考查四种命题的关系及真假性的判断、充分条件的判定等知识；关键是熟练应用四种命题真假性的关系来进行命题真假的判断.16.函数1()x x e f x e a-=+为奇函数，则a =____________.【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数定义()()f x f x -=-可构造方程求得结果.【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即1111x x x x xxe e e e a ae e a-----==-+++， 1x x ae e a ∴+=+恒成立，1a .故答案为：1.【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解参数值的问题；解决此类问题常有两种方法：①定义法；②特殊值法.三、解答题.（本大题共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（Ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩互化即可.（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=. （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==.【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；（2）直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：||||||AB PA PB 、，则有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =.18.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）50x y --=，()2224x y ++=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）两式相减，消去t 后的方程就是直线l 的普通方程，利用转化公式222x y ρ=+，sin y ρθ= ，极坐标方程化为直角坐标方程；（2）32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，然后写出点到直线的距离公式，转化为三角函数求最值.【详解】（1）直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=.（2）曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），点P的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 到直线l 的距离d =当cos 14πα⎛⎫⎪⎝⎭+=时，d 的最小值为1，所以PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值为1-.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型.19.已知函数2()(21)3f x x a x =+--.（1）当[22]3a x =-∈，，时，求函数()f x 的值域； （2）若函数()f x 在[13]-，上的最大值为1，求实数a 的值. 【答案】(1) 21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) 13a =-或1-.【解析】 【分析】（1）利用二次函数，配方通过闭区间以及二次函数的对称轴求解函数最值即可. （2）求出函数的对称轴，利用对称轴与求解的中点，比较，求解函数的最大值，然后求解a 的值即可.【详解】（1）当2a =时，22321()3324f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 又2[]3x ∈-，，所以321()min 24f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， max 315f x f ==（）（），所以值域为21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）对称轴为212a x -=-. ①当2112a --≤，即12a ≥-时， max 363f x f a ==+（）（）， 所以631a +=，即13a =-满足题意； ②当2112a -->，即12a <-时，max 121f x f a ==（）（﹣）﹣﹣，， 所以211a =﹣﹣，即1a =﹣满足题意. 综上可知13a =-或1-.【点睛】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20.已知函数()()2cos 2cos 0ωωωω=+>f x x x x ，且()f x 的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值.【答案】（1）1ω=，单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3.【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用函数()y f x =出最小正周期为π可求得ω的值，然后解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，即可解得函数()y f x =的单调递减区间； （2）利用图象变换求得()2sin 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得26x π-的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得函数()y g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【详解】（1）()2cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =出最小正周期为π，则222Tπω==，1ω∴=， 则()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象， 则()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤-≤，所以，当226x ππ-=时，函数()y g x =取得最大值，即()max 2sin 132g x π=+=. 【点睛】本题考查利用三角函数的周期性求参数，同时也考查了正弦型函数的单调区间和最值的求解，以及利用图象变换求函数解析式，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N =-+∈.（Ⅰ）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求数列{}1n a -的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）111432nn n T ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（Ⅰ）由112221n n n n n S S a a a ---==-++可以得出1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得出结论. （Ⅱ）由（Ⅰ）可推导出1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用分组求和法就能求出数列{}1n a -的前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）2n n S a n =-+， 当2n ≥时，1121n n S a n --=-+-， 两式相减，得121n n n a a a -=-++，即11133n n a a -=+. ∴1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列． （Ⅱ）由1121S a =-+，得113a =.由（Ⅰ）知，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，13为公比的等比数列．所以11111126323n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴111232nn a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴111631111243213nn nn n T ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.【点睛】本题考查了等比数列的证明，考查利用分组求和法求数列的前n 项和的求法. 22.已知函数()()22f x ax a x lnx =-++，(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，其中e 是自然对数的底数，求实数a 的取值范围；【答案】(1)2y =-.(2)1a ≥. 【解析】【详解】分析：（1）求出()'f x ，由 ()1f 的值可得切点坐标，由()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于2-，排除不合题意的a 的取值，即可求得到符合题意实数a 的取值范围. 详解：(Ⅰ)当1a =时，()()213,'23f x x x lnx f x x x=-+=-+， ()123f x x x=-+因为()()'10,12f f ==-， 所以切线方程是2y =-；(Ⅱ)函数()()22f x ax a x lnx =-++的定义域是()0,∞+当0a >时，()()()22211'22ax a x f x ax a x x-+-=-++=()()211(0)x ax x x --=>令()'0f x =得12x =或1x a= 当11a≤时，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是12f ，满足条件，于是1a ≥ ②当11e a <≤，即11a e ≤<时，()f x 在[]1,e 上的最小1()f a， 即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增 最小值()112f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，不合题意； ③当1e a >，即10a e<<时，()f x 在[]1,e 上单调递减， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()12f e f <=-，不合题意. 综上所述有，1a ≥.点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 处的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-.。
陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二数学下学期期末检测试题理【含答案】
陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二数学下学期期末检测试题 理第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
) 1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N (UM)= （ ）A ．{1，3}B ．{1，5}C ．{3，5}D.{4，5} 2.已知i 是虚数单位，m ，n R ，且1m i ni +=+，则m nim ni+-=（ ）A ．－ 1B ．1C ．－ID ．i 3.a 、b 、c 是空间三条直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是 （ ）①如果a⊥b，b⊥c，则a∥c；②如果a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③如果a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交； ④如果a 、b 共面，b 、c 共面，则a 、c 也共面。
A ．3 B ．2 C ．1 D ．04.若x ，2x +2，3x +3是某个等比数列的连续三项，则x =（ ）A ．－4B ．－1C ．1或4D ．－1或－4 5. 已知||=6，与的夹角为，且(+)•(﹣)=－72，||为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．146.在期中考试中，高三某班50名学生化学成绩的平均分为85分、方差为8.2，该班某位同学知道自己的化学成绩为95，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是 （ ）A ．65B ．75C ．90D ．100 7.函数1ln ,0()34,0x x f x x x -+⎧=⎨+⎩＞＜的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 8.若x 、y ∈R *，且xy =1+(x +y )，则（ ）A ．x y +有最大值为21+2（） B ．xy 有最大值为21+2（） C ．x y +有最小值为2(12)+ D ．xy 有最小值为2(12)9.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为21，则一卦中恰有两个变爻的概率为 （ ）A ．41B ．6415C ．729240D ．4096121510. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283)S a a =+（，则35a a 的值为 （ ）A ．61 B ．31C ．53 D ．65 11. 若90θ＜＜180，曲线22sin 1x y θ-=表示（ ）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆12. 已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()0f x f x '+＜，设()()x g x e f x =⋅，若不等式2(1)()g t g mt +＜对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(－，0)∪(4，+)B ．(0，1)C ．(－，－2)(2，+)D ．(－2，2)第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题,共20分）13. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，碗底的直径2m ，碗口的直径2n ，高度是h .他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．算出的抛物线标准方程为_________．14. 已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有[()3]4xf f x -=，则(2)f =_______．15. 一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．16. 已知log a ＞0，若，则实数x 的取值范围为______．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020高二下学期第一次阶段性测试数学(文科)试卷(含答案)
（2）设 bn (an 1) 2an ，求数列{bn}的前 n 项和Tn ．
21. （本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) aex ln x 1．
（1）设 x 2 是 f (x) 的极值点，求 a 和 f (x) 的单调区间；
（2）证明：当
19. （本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) sin2 x cos2 x 2 3 sin x cos x f ( 2 ) （1）求 3 的值； （2）求 f (x) 的最小正周期及单调增区间．
xR．
20. （本小题满分 12 分） ｛1｝
已知函数{an} 是首项为正数的等差数列，数列 an an1 的前 n 项和为 n
A {1,
0,
1,
2}， B {x |
1 x
1} ，则
A
B=
A．{0, 1}
B．{1, 2}
C．{1, 0}
D．
{1, 2}
（） （）
3.
M( 已知点
3, 3
3) 在幂函数
f (x) 的图像上，则
f (x)
1
A． f (x) x2
B． f (x) x2
C． f (x x 2
D．
1
f (x) x 2
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
12. 若方程| ln x | a 有两个不相等的实根 x1 和 x2 ，则 x1 x2 的取值范围是
A． (0, 1)
B． (1, )
C． ( 2, )
பைடு நூலகம்
D．
(2, )
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二数学下学期期末检测试题文[含答案]
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3 （2）若 PA 1 ， PD 2 AB 2 ，三棱锥 E ACD 的体积为 9 ，试求 PE : ED 的
值.
20. （本小题满分 12 分）2020 年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，
为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100 名学生对线上教学进行调查，其中 男生与女生的人数之比为 9 :11，抽取的学生中男生有 30 人对线上教学满意，女生中有 10 名表示对线上教学不满意.
K2
n(ad bc)2
附：
(a b)(c d )(a c)(b d ) .
P K 2 k
0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ln x ax ， g(x) x2 .( a R )
故点 E x1, y1 ，于是有 x1 x2 2t ， x1x2 2t 2 4 ．
设直线 AE 与 AQ 的斜率分别为 kAE ， kAQ ，由于点 A 2,1 ，
k AE
则
k AQ
y1 1 x1 2
y2 1 x2 2
2
x1
y2 2
1 2 x2 y1 x2 2 x1
1
，
又
Sn1 2 bn1
②
bn 1 由 ①② 得 bn bn bn1 ，即 bn1 2 （ n 2 ），
所以 bn 是首项为
1，公比为
1 2
的等比数列，故
bn
=
陕西省榆林市2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析
陕西省榆林市2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．斐波那契螺旋线，也称“黄金蜾旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．8π B ．4π C ．14D ．34【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，分别求出阴影部分面积和矩形ABCD 的面积，即可求得。
【详解】由已知可得：矩形ABCD 的面积为(35)(238)104+⨯++=， 又阴影部分的面积为2222221(112358)264ππ+++++=， 即点取自阴影部分的概率为261044ππ=，故选D 。
【点睛】本题主要考查面积型的几何概型的概率求法。
2．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e-∞ B ．39[,)e+∞ C ．28[,)e +∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可构造函数()2xae g x x x=-，由()0g x '≤在[]1,3x ∈上恒成立，分离参数并构造新的函数()h x ，利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出a 的取值范围.【详解】 由[]1,3x ∈，()()12122f x f x x x -<-得()()112212022f x x f x x x x ---⎡⎤⎦-<⎣恒成立， 令()()2g x f x x =-，即()2xae g x x x=-，[]1,3x ∈，则()g x 在[]1,3x ∈上单调递减，所以()21()20x ae x g x x-'=-≤在[]1,3x ∈上恒成立， 当1x =时，(1)20g '=-≤成立，当13x <≤时，()2120x ae x x --≤等价于()221xx a e x ≤-， 令()()(]22,1,31xx h x x e x =∈-， 则()()()2221101x x x h x e x ⎡⎤---⎣⎦'=<-， 所以()h x 在(]1,3x ∈上单调递减， ()()()233min 239331h x h e e⨯===⨯-，即39a e≤故选：D 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查导数和构造函数的应用，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.3．在一次试验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A ．ˆ1yx =- B ．2y x =+ C ．21y x =+ D ．1y x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程． 【详解】123423452.5,3.5444x y ++++++=＝＝＝， ∴这组数据的样本中心点是2.53.5（，）把样本中心点代入四个选项中，只有ˆ1yx =+成立， 故选D ． 【点睛】本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．4．已知有穷数列{}(1,n a n =2，3，⋯，6}满足(1,n a ∈2，3，⋯，10}，且当(,1,i j i j ≠=2，3，⋯，6)时，.i j a a ≠若123a a a >>，则符合条件的数列{}n a 的个数是( )A ．33107C A B ．331010C CC ．33107A AD ．63106C A【答案】A 【解析】 【分析】先选出三个数确定为123,,a a a ，其余三个数从剩下的7个里面选出来，排列顺序没有特殊要求. 【详解】先确定123,,a a a ，相当于从10个数值中选取3个，共有310C 种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为456,,a a a ，共有37A 种选法，所以符合条件的数列{}n a 的个数是33107C A ，故选A.【点睛】本题主要考查利用排列组合的知识确定数列的个数，有无顺序要求，是选择排列还是组合的依据. 5．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到一组样本数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），则下列说法中不正确的是A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1. 【答案】C 【解析】由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心(),x y ，正确； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。
陕西省榆林市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
陕西省榆林市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()f x 的图象如图，设()f x '是()f x 的导函数，则（）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'C ．(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<D ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'【答案】D【解析】【分析】 由题意，分析()'3f 、()()32f f -、()'2f 所表示的几何意义，结合图形分析可得答案．【详解】根据题意，由导数的几何意义：()'3f 表示函数在3x =处切线的斜率，()'2f 表示函数在2x =处切线的斜率，()()()()323232f f f f --=-，为点()()2,2f 和点()()3,2f 连线的斜率， 结合图象可得：()()()()0'332'2f f f f <<-<，故选：D ．【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率比较，属于基础题．2．对于问题：“已知是互不相同的正数，求证：三个数至少有一个数大于2”，用反证法证明上述问题时，要做到的假设是（ ）A ．至少有一个不小于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于等于2D ．都大于等于2【答案】C【解析】【分析】找到要证命题的否定即得解.【详解】“已知，，是互不相同的正数，求证：三个数，，至少有一个数大于2”，用反证法证明时，应假设它的反面成立． 而它的反面为：三个数，，都小于或等于2， 故选：．【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题．3．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αααα-=+（ ） A ．4-B ．3-C ．12D ．34【答案】B【解析】【分析】 根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值.【详解】 依题意可知1tan 2α=-，11sin cos tan 1231sin sin tan 112αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题.4．设0,0a b >>333a b 与的等比中项，则11a b +的最小值为（ ） A ．8B ．14C ．1D ．4 【答案】D【解析】33a b 与的等比中项，∴3=3a •3b =3a +b ，∴a +b=1．a ＞2，b ＞2．∴11a b +=()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ） A ．83B ．1或83C ．82D ．1或82 【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和.【详解】 8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为882188kk k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222828112C a a ⋅==，得2a =±. 当2a =时，二项式为82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=； 当2a =-时，二项式为82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选B.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题. 6．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β；②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β；③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．命题②不正确，缺少a α⊄条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．7．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确．．．的是（） A ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥B ．若l α⊥，m α⊥，则l m PC ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥D ．若l α⊥，αβ⊥，则l β∥ 【答案】D【解析】【分析】选项逐一分析，得到正确答案.【详解】A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；C.正确，因为平面β内存在直线m ，使//l m ，若l α⊥，则,m m αβ⊥⊂Q ，则αβ⊥；D.不正确，有可能l β⊂.故选D.【点睛】本题重点考查了平行和垂直的概念辨析问题，属于简单题型.8．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．24【答案】D【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种 考点：排列、组合及简单计数问题9．已知函数32()682f x x x x =-+-的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线2y =-的对称点落在直线2y kx =-上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,8)(8,)-⋃+∞C ．(,1)-∞D ．(,8)(8,1)-∞-⋃-【答案】D【解析】【分析】可先求2y kx =-关于2y =-的对称直线，联立对称直线和32()682f x x x x =-+-可得关于x 的函数方程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可【详解】设直线2y kx =-关于2y =-的对称函数为()g x ，则()2g x kx =--，因为()g x 与()f x 有三个不同交点，联立()32()6822f x x x x g x kx ⎧=-+-⎪⎨=--⎪⎩，可得3268x x k x x -+-=， 当0x =时显然为一解，当0x ≠时，有268k x x =-+-，0,8x k ≠∴≠-Q画出268y x x =-+-的图像，可知满足y k =与268y x x =-+-有两交点需满足1k <综上所述，实数k 的取值范围是(,8)(8,1)-∞-⋃-答案选D【点睛】本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点10．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF+的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果. 【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.11．关于函数()()2sin cos cos f x x x x =-的四个结论：()1:p f x 2；2:p 函数()221g x x =-的图象向右平移8π个单位长度后可得到函数()f x 的图象；()3:p f x 的单调递增区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈；()4:p f x 图象的对称中心为,128k k z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】【分析】把已知函数解析式变形,然后结合()sin y A ωx φ=+型函数的性质逐一核对四个命题得答案．【详解】2()2(sin cos )cos sin 22cos sin 2cos 212sin 214f x x x x x x x x x π⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭ 函数()f x 的最大值为21-,故1p 错误；函数()2sin 21g x x =-的图象向右平移8π个单位长度后,得2sin 212sin 2184y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得到函数()f x 的图象,故2p 正确; 由222242k x k πππππ-+≤-≤+解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴()f x 的单调递增区间为,3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故3p 错误； 由24x k ππ-=,得,,()82k x k Z f x ππ=+∈∴图象的对称中心为,128k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭,故4p 错误. ∴其中正确的结论有1个。
2019-2020学年陕西省榆林市数学高二(下)期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年陕西省榆林市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．抛物线28y x =的焦点到双曲线2214y x -=的渐近线的距离是（ ）A B C D【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果. 【详解】依题意，抛物线的焦点为()2,0，双曲线的渐近线为2y x =±，其中一条为20x y -=，由点到直线的距离公式得5d ==.故选C. 【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题. 2．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 【答案】C【解析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有410C 种不同挑选方法； 从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有48C 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有4410821070140C C -=-=种不同挑选方法 故选C ；【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决； 3．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有（ ） A ．960种 B ．984种 C ．1080种 D ．1440种【答案】A 【解析】分五类：（1）甲乙都不选：224434432C C A =；（2）选甲不选乙：21134323216C C A A = ；（3）选乙不选甲：12134333216C C A A =；（4）甲乙都选：111124322296C C A A A = ；故由加法计数原理可得43221621696960+++=，共960种，应选答案A 。
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数 学 试 题（文）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
) 1. 设21z i i ⋅=+，则z = （ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 2.已知集合{}()(){}Z x x x x B A ∈-+==,021,3,2,1＜，则=B A Y（ ）A ．{}1B ．{}21，C ．{}3210，，，D ．{}32101，，，，- 3.已知向量()1,1a =-v，(),2b x =v ，且a b ⊥v v ，则a b +v v 的值为（ ） AB．CD4.设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ） A ．9 B ．11 C ．13D ．155.设复数z 满足1z i +=，z 在复平面内对应的点为(),P x y ，则点P 的轨迹方程为 （ ） A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+= C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则95S S = （ ）A ．2B ．259C ．9D ．9257.设,x y 是0，1，2，3，4，5中任意两个不同的数，那么复数x yi +恰好是纯虚数的概率为 （ ）A ．16B ．13C ．15D ．1308.设R b a ∈,，则()02＜a b a -是b a ＜的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9. 将函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，得到函数()sin y f x x =⋅的图象，则()f x 的表达式可以是（ ）A ．()2cos f x x =B ．()2cos f x x =- C．()2f x x =D．()(sin 2cos 2)2f x x x =+ 10. 已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．711. 已知函数()21ln 2f x x a x x =-+在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．0a ≤B ．01a ≤≤C ．2a ≤D ．2a <12. 设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ∠=︒，2c =，213PF F S =△，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B．y = C．3y x =±D．y =第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为______________．14. 已知变量,x y 满足约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则3z x y =+的最小值为_____________．15. 的最大值为函数x x x f sin cos 2)(+=______________．16. 若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”．已知复数1z a =与22i z b =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为____________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin 2B m ⎛= ⎝v，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，且⊥.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n S b =-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在PD 上.（1）若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；（2）若1PA =，22PD AB ==，三棱锥E ACD -的体积为39，试求:PE ED 的值.20. （本小题满分12分）2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意. （1”；态 度性 别满意 不满意 合计男生女生合计100（25名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率。
附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=. ()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00121. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x ax =-，2()g x x =.(a R ∈)（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =(是椭圆C 上一点．（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值?如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．文科数学答案：一、选择题二、填空题：13.320x y --= 14. 8 15. 5 16.8+三、解答题：17.【解】（Ⅰ）m n ⊥u r r Q ，2sin cos sin 022B Bm n B B B ∴⋅=+==u r r .化简得：tan B =0B Q π<<，23B π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2221122c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，整理得220c c +-=，解之得：1c=，1133sin 1122ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯=. 18.【解】（1）因为11a =，12n n a a +-=，所以{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，所以()11221n a n n =+-⨯=-．又当1n =时，1112b S b ==-，所以11b =， 当2n ≥时，2n n S b =- ①112n n S b --=- ②由-①②得1n n n b b b -=-+，即112n n b b -=（2n ≥）， 所以{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，故112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=．（2）由（1）得12112n n n n c a b n -⎛⎫⎝=+⎪⎭=++，所以()121112112212212nn n n n T n -⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎝⎭-19.证明：（1）连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵ABCD 为矩形,∴O 为BD 的中点, 又E 为PD 的中点,∴EO PB P , ∵EO Ü平面AEC ,PB Ø平面AEC , ∴PB P 平面AEC .（2）由题设3AD =1CD =,∴ADC V 的面积为32.∵棱锥E ACD -∴E 到平面ABCD 的距离h 13=,即23h =.∵PA ⊥平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD ,过E 在平面PAD 内作EF AD ⊥,垂足为F ,则EF ⊥平面ABCD , 而PA ⊥平面ABCD ,于是EF PA P .∵1PA =,∴:2:3ED PD =.则:1:2PE ED = 20.【解】（1）22⨯列联表如下：()2210030104515 3.03 2.70675254555K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生， 其中男生2名，设为A 、B ；女生3人设为,,a b c ，则从这5名学生中抽取2名学生的基本事件有：(),A B ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共10个基本事件，其中抽取一名男生与一名女生的事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，共6个基本事件，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为63105=. 21.【解】（1）()ln f x x ax =-的定义域为()0,+∞，()1f x a x'=-， 当0a ≤时，()10f x a x-'=>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值点，当0a >时，解()10f x a x -'=>得10x a <<，解()10f x a x -'=<得1x a>， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 有极大值点1a，无极小值点.（2）由条件可得2ln 0(0)x x ax x --≤>恒成立， 则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立， 令()ln (0)x h x x x x =->，则()221ln x x h x x '--=， 令()21ln (0)k x x x x =-->，则当0x >时，()120k x x x'=--<，所以()k x 在()0,+∞上为减函数. 又()10k =，所以在()0,1上，()0h x '>；在()1,+∞上，()0h x '<. 所以()h x 在()0,1上为增函数；在()1,+∞上为减函数. 所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-.22.【解】（1）由题意知b =又离心率2e =，所以3a c =，于是有222b a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）由于直线l 的斜率为12．可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆22:48C x y +=，可得222240x tx t ++-=． 由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->，整理解得22t -<<．设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-．设直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -， 则12121122AE AQ y y k k x x ---+=+-++ ()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-，又1112y x t =+Q ，2212y x t =+．于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =---+++-()()()21212424240x x t x x t t t =--+-=-----=， 故直线AE 与AQ 斜率之和为0，即0AE AQ k k +=．。