四年级奥数巧数长正方形的个数
正方形个数计算方法
正方形个数计算方法人们常常在学习或工作中会遇到计算正方形个数的问题，众所周知，正方形是一种具有特殊角的四边形，由四条相等的边构成，四个角都为直角，每条边上的角相互垂直，有时我们需要求出正方形的个数，那么如何计算出正方形的个数呢？本文将带领大家全面了解和掌握正方形个数计算方法。
首先，假如有N个点，要求求出存在N个点构成的正方形的个数，这个问题也是常见的数学概念。
首先，我们需要确定是否存在四点确定一个正方形，即四点要满足以下关系：A（x1，y1）B（x2，y2）C （x3，y3）D（x4，y4），若其中任意三点不共线，且斜率 ABC、BCD、CDA、DAB相等，则满足四点确定一个正方形的条件，且边长是：- AB=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2）BC=√((x2-x3)^2+(y2-y3)^2）CD=√((x3-x4)^2+(y3-y4)^2）DA=√((x4-x1)^2+(y4-y1)^2）其次，求出正方形的个数，可以采用枚举法，即从 N 个点中枚举出四点，当这四点满足正方形的条件时，就算枚举出一个正方形。
当 N 个点中枚举全部的四个点组合时，就可以求出 N 个点组成的正方形的个数。
最后，要再次强调，求出正方形的个数不局限于枚举法，还可以采用组合数计算方法来解决。
比如：N个点组成的正方形的个数为C(N,4)÷4，也就是说，从N个点中枚举出4个点组成的正方形的个数为C(N,4)，然后将此值除以4，即可得到N个点构成的正方形的个数。
总结以上，正方形的个数计算方法主要有两种，枚举法和组合数计算法。
其中，枚举法从N个点中枚举出4个点，满足正方形的条件，当我们枚举完全部的组合时，就可以求出N个点构成的正方形的个数；而组合数计算法则是利用公式C(N,4)÷4，其中C(N,4)表示从N个点中枚举出4个点，即可求出N个点构成的正方形的个数。
掌握了正方形个数计算方法，我们在学习和工作中所遇到计算正方形个数的问题，就可以得心应手，轻松解决，为我们节省大量的时间，提高效率。
数正方形个数的简便方法
数正方形个数的简便方法数正方形的问题在数学中有着广泛的应用，包括计算几何、组合数学、算法等领域。
本文将介绍数正方形的简便方法，同时讨论该问题在不同领域中的应用。
一、基本概念在介绍数正方形的方法之前，我们先来回顾一下数正方形的基本概念和问题描述。
问题描述：给定一个网格图，其中有若干个正方形格子，要求计算正方形的数量。
例如下图所示的网格图中，红色方框所圈出的格子就是一个正方形。
[Image]基本概念：我们定义一个正方形的边长为k，如果这个正方形的面积为k*k，则称它为一个大小为k的正方形。
根据定义，大小为k的正方形的个数可以表示为：(n-k+1)^2，其中，n表示网格图的大小。
我们可以用一个二元组(i,j)表示一个正方形的左上角，其中，i表示该正方形在竖直方向上的位置，j表示该正方形在水平方向上的位置。
则一个大小为k的正方形就可以用左上角的坐标来表示，即左上角的坐标为(i,j)时，对应的正方形大小为k的正方形。
因此，我们可以枚举所有可能的左上角坐标，然后判断以该坐标为左上角时，能否构成一个大小为k的正方形。
假设网格图的大小为n*n，则总共有\binom{n}{2}个左上角坐标可以枚举。
二、暴力方法我们可以枚举所有可能的左上角坐标(i,j)，然后检查以该坐标为左上角时，能否构成一个正方形。
如果可以，则计数器cnt+1。
最终的答案即为cnt的值。
下面是暴力枚举左上角坐标的代码实现：pythondef countSquare(n, mat):cnt = 0for i in range(n):for j in range(n):# 如果该坐标所在的格子是1if mat[i][j] == 1:# 枚举正方形边长for k in range(1, n):# 如果以该坐标为左上角的正方形大小为kif i + k < n and j + k < n and mat[i][j+k] == 1 and mat[i+k][j] == 1 and mat[i+k][j+k] == 1:# 计数器加1cnt += 1return cnt# 测试mat = [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]print(countSquare(3, mat))该方法的时间复杂度为O(n^5)，显然随着n的大小增加，计算时间会非常长，并且难以应用到大规模数据中。
小学四年级奥数讲义
小学四年级奥数讲义需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。
相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。
即 a-b-c=a-(b+c) a-(b+c) =a-b-c（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
如： a-b+c=a+c-b（3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“—”号，那么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。
如a-(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。
2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c、 (a-b)×c=a×c-b×c 3、除法中的巧算：（1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。
公式：如果a÷b=c 则 (a×n)÷(b×n)=c(a÷n)÷(b÷n)=c n≠0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。
公式：a÷(b×c)= a÷b÷c（4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”公式：a÷(b÷c)= a÷b×c（5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c +b÷c=(a + b)÷c4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 2×5=104×25=100 8×125=1000 16×625=10000 3×37=111 7×11×13=100137037×3=101015、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾“尾同头合十”：（头×头+尾）×100+尾×尾6、平方差公式： a2-b2=(a+b)×(a-b)7、配对求和，也就是等差数列求和。
巧数正方形图形的方法
巧数正方形图形的方法巧数正方形图形是一种非常有趣的几何图形，它具有独特的特点和美妙的几何属性。
在本文中，我们将介绍巧数正方形的构造方法和一些有趣的性质，希望能够帮助读者更好地理解和欣赏这一美妙的图形。
首先，我们来介绍巧数正方形的构造方法。
巧数正方形是指边长为奇数的正方形，例如3×3、5×5、7×7等。
构造一个巧数正方形的方法有很多种，其中比较常见的方法是通过交错填充数字的方式来构造。
具体步骤如下：1. 首先确定正方形的边长，假设为n。
2. 从正方形的中间位置开始，填入数字1。
3. 从数字1开始，按照顺时针方向，依次填入数字2、3、4……直到nn。
4. 如果填充到的位置超出了正方形的边界，则应该从另一侧继续填充，直到填充完所有的数字。
通过以上的步骤，我们就可以构造出一个边长为n的巧数正方形。
这种构造方法不仅简单直观，而且可以帮助我们更好地理解巧数正方形的结构和特点。
接下来，我们来介绍一些巧数正方形的有趣性质。
首先，巧数正方形中的所有数字之和都具有一定的规律。
以3×3的巧数正方形为例，我们可以发现，其中的所有数字之和为15。
而对于任意一个边长为n的巧数正方形，其所有数字之和都可以表示为n(nn+1)/2。
这个规律非常有趣，也可以通过数学归纳法来进行证明。
此外，巧数正方形还具有一些特殊的对称性质。
以5×5的巧数正方形为例，我们可以发现，它具有水平、垂直和对角线三种对称轴。
这种对称性质使得巧数正方形在几何上具有非常美妙的表现，也为我们提供了更多的思考和探索空间。
总之，巧数正方形是一种非常有趣的几何图形，它不仅具有独特的构造方法，而且还具有丰富多彩的性质和特点。
通过对巧数正方形的学习和探索，我们可以更好地理解几何图形的美妙之处，也可以培养我们的数学思维和创造力。
希望本文能够帮助读者更好地理解和欣赏巧数正方形，也希望读者能够通过自己的努力和探索，发现更多有趣的数学世界。
四年级奥数 巧数长正方形的个数
第4讲巧数长(正)方形的个数数图形时要有次序、有条理,才能不遗漏、不重复,一般步骤应就是:仔细观察,发现规律,应用规律。
长方形就是用“点”或者“线”来数的,而正方形就是用“块”来数的。
数长方形的公式:长边上的线段与×宽边上的线段与数正方形的公式:1、一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数就是:m×n＋(m-1)×(n-1)＋(m-2)×(n-2)＋…………………………＋1×【n-(m-1)】(其中m<n)2、当m=n时,即一个划分成n×n=n2个小正方形的正方形中,共可以数出正方形的个数就是:n2＋(n-1)2＋……………………＋22＋12典型例题:1、长方形的构成必须有长与宽,下图中有许多长方形,您能数出它们有多少个？分析与解答:因为长方形的构成与长的线段数有关,也与宽的线段数有关,所以数长方形的个数必须要瞧长与宽两个因素。
上图上长有6条线段,即3＋2＋1=6(个) 宽边上有3条线段,即2＋1=3(个)因此,根据数长方形公式:6×3=18(个)答:上图中共有18个长方形。
2、下图中共有多少个长方形？分析与解答:这道题比例1横竖都多了一条线,那么长方形的个数明显增多了,利用公式仍然要数出长边上的线段数与宽边上的线段数即长边上的线段与:4＋3＋2＋1＝10个宽边上的线段与:3+2+1=6个因此根据数长方形公式:10×6=60个答:上图中共有60个长方形。
3、下图中共有多少个正方形？分析与解答:我们先来数一数:只含一个正方形的有9个(即3×3=9);含有4个正方形的有4个(即2×2=4);含有9个正方形的有1个。
通过刚才的数,我们发现图中正方形的个数为1×1+2×2+3×3=1+4+9=14个,以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。
数正方形的个数的规律
数正方形的个数的规律
关于数正方形的个数的规律，其实是一个比较有趣的数学问题。
它涉及到数学的几何学和组合数学知识。
在解决这个问题之前，我们需要先了解一下正方形的性质。
正方形是一种特殊的矩形，它有四条边长相等的边和四个角度相等的角。
我们可以通过改变正方形的大小和位置来得到不同的正方形。
当我们在一个正方形中选取若干个点时，我们可以发现这些点能够组成一些小正方形。
那么，如何计算这些小正方形的数量呢？
在计算小正方形的数量时，我们需要考虑正方形的边长。
以边长为n的正方形为例，我们可以将它分解成n层，每一层都是一个边长为n的正方形，每一层中包含的小正方形数量为n-1。
因此，我们可以得到一个公式：小正方形的数量为
1^2+2^2+...+n^2。
这个公式可以通过数学归纳法来证明。
当n=1时，只有一个小正方形。
假设当n=k时，小正方形的数量为1^2+2^2+...+k^2，那么当n=k+1时，我们可以将它分解成k层，每一层都是一个边长为k+1的正方形，每一层中包含的小正方形数量为(k+1)-1=k。
因此，小正方形的数量为1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2，即可以得到公式：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
总之，计算小正方形的数量需要考虑正方形的边长，而利用数学归纳法可以得到一个通用的公式。
这个问题是一个非常有趣的数学问题，也是一个很好的锻炼数学思维的机会。
四年级奥数第一讲_速算与巧算含答案解析
第一讲 速算与巧算一、 知识点：1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。
2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。
二、典例剖析：例（1） 19199199919999199999++++分析：运用凑整法来解十分方便，也不容易出错误。
解：原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 -----=20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215--练一练：898998999899998999998+++++=答案：1111098例（2）10099989796321+-+-++-+分析：暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。
解：原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+100491=++150=练一练：989796959493929190894321+--++--++---++答案：99例（3） 1111111111⨯分析：111,1111121,11111112321⨯=⨯=⨯= 解：1111111111123454321⨯=练一练：2222222222⨯答案：493817284例（4） 1234314243212413+++分析：数字1、2、3、4，在个位、十位、百位、千位上均各出现一次。
解：原式1111222233334444=+++ 1111(1234)=⨯+++ 111110=⨯ 11110=练一练：5678967895789568956795678++++答案：388885例（5） 339340341342343344345++++++分析：这七个数均差1，且个数为7个，所以中间数就是七个数的中位数。
解：原式3427=⨯ 2394=练一练：(445443440439433434)6+++++÷答案：439例（6） 482594115932359⨯+⨯-⨯分析：先改变运算顺序，把4159⨯与32359⨯交换位置，48259⨯与32359⨯都有公共因素59，将48259⨯与32359⨯的差算出再与41159⨯求和。
数正方形个数的规律
数正方形个数的规律引言正方形是我们生活中常见的几何形状之一，无论是在建筑设计、数学领域还是日常生活中，我们都能看到许多正方形的存在。
而正方形的个数又是一个非常有趣的问题，它既涉及到数学的思维，也与几何形状的排列有关。
本文将探讨数正方形个数的规律，从而帮助我们更好地理解正方形的特性与分布。
正方形个数与边长的关系首先，我们来考虑一个简单的情况：当正方形的边长为1时，它只有一个正方形。
当边长为2时，它由4个边长为1的正方形组成。
当边长为3时，它由9个边长为1的正方形、4个边长为2的正方形和1个边长为3的正方形组成。
我们可以发现，正方形的个数与边长之间存在着一定的对应关系，即正方形个数等于各边长的平方和。
数学上可以用如下公式表示：正方形个数= 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2正方形个数与排列组合然而，上述公式只适用于边长为整数的情况。
当边长为非整数时，情况就会变得复杂一些。
我们知道，正方形的边长必须是非负实数，因此我们需要考虑边长为非整数的情况。
我们可以将正方形个数与排列组合的概念联系起来。
对于一个边长为n的正方形，我们可以从中选取不重复的两个顶点来确定一个边长为s的正方形（其中s为任意非负实数）。
通过排列组合的方法，我们可以计算出不同边长的正方形个数。
具体计算公式如下：正方形个数 = C(n+1, 2)其中C(n+1, 2)表示从n+1个顶点中选取2个顶点的组合数。
换言之，对于n+1个顶点，我们可以选择任意两个顶点来确定一个边长为s的正方形。
正方形个数与正方形间的关系正方形的个数除了与边长有关，还与正方形之间的关系有关。
在一个边长为n的正方形中，我们可以找到边长为1的小正方形n2个。
此外，我们还可以找到边长为2的正方形(n-1)2个，边长为3的正方形(n-2)^2个，以此类推。
因此，正方形的个数还可以通过正方形之间的关系来计算。
具体计算公式如下：正方形个数 = n^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2 + … + 1^2正方形个数的规律总结通过以上推导，我们可以总结出数正方形个数的规律如下：1.当正方形的边长为整数时，正方形个数等于各边长的平方和，即正方形个数= 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2。
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第 4 讲巧数长（正）方形的个数
数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规
律，应用规律。
长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。
数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和
数正方形的公式：1、一个被划分成m×n 的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的
个数是：
m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2 ）＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋1×【n-（m-1）】（其中m<n）
2 、当m=n时，即一个划分成n×n=n2个小正方形的正方形中，共可以数出正方形的个数是：n2＋（n-1）2＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋22＋12
典型例题：
1、长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多长方形，你能数出它们有多少个？
分析与解答:
因为长方形的构成与长的线段数有关，也与宽的线段数有关，所以数长方形的个数必须要看长与宽两个因素
上图上长有6 条线段，即3＋2＋1=6（个）宽边上有3 条线段，即2＋1=3（个）因此，根据数长方形公式：6×3=18（个）答：上图中共有18 个长方形。
2、下图中共有多少个长方形？
分析与解答：
这道题比例1 横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的线段数和宽边上的线段数即
长边上的线段和：4＋3＋2＋1＝10 个宽边上的线段和：3+2+1=6个
因此根据数长方形公式：10×6=60 个
答：上图中共有60 个长方形。
3、下图中共有多少个正方形？
分析与解答：
我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即
2×2=4）；含有9 个正方形的有1个
通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为1× 1+2× 2+3×3=1+4+9=14 个，以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。
4、下图中共有多少个正方形？
分析与解答：
这道题显然与上题不一样，虽然都是由基本小正方形组成，但长和宽里的个数不一样，即小正方形拼接成了一个长方形，那么方法也要有所改变。
先看长边上小正方形的个数，有5 个，再看宽边上小正方形的个数，有3 个，我们还用数的方法试试，只含有一个小正方形的有3×5=15个，含4 个小正方形的有（3-1 ）×（5-1 ）=8个，含9个小正方形的有（3-2 ）×（5-2 ）=3 个，通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为：
3× 5＋（3-1 ）×（5-1 ）＋（3-2 ）×（5-2 ）=26个
答：图中共有26 个正方形
5、数一数，下图中共有多少个长方形？
分析与解答：
这道题和前4 个题不同，不是横竖规范的分割，这道题意在提醒同学遇到问题不能
思维定式，不能按上面所讲的规律求解，我们可以用枚举法找出个数，灵活解决问题，先给图中每个基本图形编上序号
再分类数一数：
（1）、6 个基本图形中有4 个长方形：①、③、④、⑥
（2）、由两个基本图形组成的长方形有3 个：② +④、③ +⑤、③ +④
（3）、由3 个基本图形组成的长方形有2 个：① +③+⑤、② +④+⑥
（4）、由6 个基本图形组成的长方形有1 个：① +②+③+④+⑤+⑥ 所以上图中共有长方形：4+3+2+1=10个答：上图中共有10 个长方形。
基础练习：
1、下图中共有多少个长方形？
2、下图中共有多少个长方形？
3、下图中共有多少个正方形？
4、下图中共有多少个正方形？
5、下图中共有多少个正方形？
提高练习：
1、数一数图中长方形的个数
2、数一数下图中有多少个正方形？
3、下图中共有多少个正方形？
4、下图中共有多少个正方形？。