江苏省大丰市新丰中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题【带答案】
2019—2020学年度第一学期高二年级学段(期中)考试数学试卷题
2019—2020学年度第一学期高二年级学段（期中）考试数学试卷题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则a,c 的位置关系为()A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面2.已知直线l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0 与l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则k 的值是()A.1 或3B.1 或C.3 或D.1 或23.圆锥的底面半径为1，高为3 ，则圆锥的表面积为()A.B.2C.3D.44.在直线3x-4y-27=0 上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为()A.(5,-3)B.(9,0)C.(-3,5)D.(-5,3)5.若圆C1:x2+y2=1 与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则m=()A.21B.19C.9D.-116.某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm37.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是()A.2B.3C.4D.6铜陵市一中期中考试第1页,共9页8.正四面体ABCD 中，E、F 分别是棱BC、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为（）9.垂直于直线y=x+1 且与圆x2+y2=4 相切于第三象限的直线方程是(A.x+y+22=0 B.x+y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y-2 2=010.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为1 的线段PQ 在棱AA1上移动,长为3 的线段MN 在棱CC1上移动,点R 在棱BB1上移动,则四棱锥R-PQMN 的体积是()A.12B.10C.6D.不确定11.已知A(-2,0),B(0,2),实数k 是常数,M,N 是圆x2+y2+kx=0 上两个不同点,P 是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果点M,N 关于直线x-y-1=0 对称,则△P AB 面积的最大值是()A.3-2B.4C.3+2D.612.设圆C : x2 y2 3，直线l : x3y 6 0 ，点P x0, y0l ，若存在点Q C ，使得OPQ 60（O 为坐标原点），则x0的取值范围是())铜陵市一中期中考试第2页,共9页填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分.把答案填在题中的横线上)二、解答题(本大题共6 小题,共70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10 分)已知直线l : y 3x3.(1)求点P 4,5关于直线l的对称点坐标；(2)求直线l关于点P 4,5对称的直线方程.18.(本小题满分12 分)如图,AA1B1B 是圆柱的轴截面,C 是底面圆周上异于A,B 的一点,AA1=AB=2.(1)求证:平面A1AC⊥平面BA1C;(2)求1-鏸ୋ的最大值.铜陵市一中期中考试第3页,共9页铜陵市一中期中考试 第 4页,共 9 页19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP ⊥平面 PCD ,AD ∥BC ,AB=BC= AD ,E ,F 分别为线段 AD ,PC 的中点.求证: (1)AP ∥平面 BEF ;(2)BE ⊥平面 P AC.20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 M (0,-2),N (3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程;(2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A ,B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P (2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,P A ⊥底面 ABCD ,P A=AB=2,E 为 P A 的中点. (1)求证:PC ∥平面 EBD ;(2)求三棱锥 C-P AD 的体积 V C-P AD ;(3)在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ⊥平面 MBD ,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知以点 C (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A ,与 y轴交于点 O 和点 B ,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M ,N ,若 OM=ON ,求圆 C 的方程.1 2铜陵市一中期中考试 第 5页,共 9 页数学答案13. 1 14.2=x 或01043=+-y x 15. 0412322=--++y x y x 16.π617. (1)()7,2- ----------------------5分 (2)173-=x y ----------------------10分18.(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A ,B 的一点,且AB 为底面圆的直径,∴BC ⊥AC.又AA 1⊥底面ABC ,∴BC ⊥AA 1, 又AC ∩AA 1=A ,∴BC ⊥平面A 1AC. 又BC ⊂平面BA 1C ,∴平面A 1AC ⊥平面BA 1C. ----------------------6分(2)解：在Rt △ACB 中,设AC=x ,∴BC=√AB 2-AC 2=√4-x 2(0<x<2),∴V A 1-ABC =13S △ABC ·AA 1=13·12AC ·BC ·AA 1=13x√4-x 2=13√x 2(4-x 2)=13√-(x 2-2)2+4(0<x<2).∵0<x<2,∴0<x 2<4.铜陵市一中期中考试 第 6页,共 9 页∴当x 2=2,即x=√2时,V A 1-ABC 的值最大,且V A 1-ABC 的最大值为23. ----------------------12分19.证明：(1)设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.因为E 为AD 的中点,AB=BC=12AD ,AD ∥BC , 所以AE ∥BC ,AE=AB=BC , 所以O 为AC 的中点.又在△P AC 中,F 为PC 的中点,所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF ,所以AP ∥平面BEF . ----------------------6分 (2)由题意知,ED ∥BC ,ED=BC , 所以四边形BCDE 为平行四边形, 所以BE ∥CD.又AP ⊥平面PCD ,所以AP ⊥CD ,所以AP ⊥BE. 因为四边形ABCE 为菱形,所以BE ⊥AC. 又AP ∩AC=A ,AP ,AC ⊂平面P AC ,所以BE ⊥平面P AC. ----------------------12分20.解：(1)设圆C 的方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,{-D2-E +1=0,4-2E +F =0,10+3D +E +F =0,则有{D =-6,E =4,F =4.故圆C 的方程为x 2+y 2-6x+4y+4=0. ----------------------6分 (2)设符合条件的实数a 存在,因为l 垂直平分弦AB ,故圆心C (3,-2)必在l 上,所以l的斜率k PC=-2.,k AB=a=-1k PC. ----------------------8分所以a=12把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,则Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).∉(-∞,0),由于12故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB. ----------------------12分21.(1)证明：设AC,BD相交于点F,连接EF,∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,∴F为AC的中点,又∵E为P A的中点,∴EF∥PC.又∵EF⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,∴PC∥平面EBD. ----------------------4分(2)解：∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD是边长为2的正三角形,又∵P A⊥底面ABCD,铜陵市一中期中考试第7页,共9页∴P A为三棱锥P-ACD的高,∴V C-P AD=V P-ACD=13S△ACD·P A=13×√34×22×2=2√33. ----------------------8分(3)解：在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵P A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥P A.∵AC∩P A=A,∴BD⊥平面P AC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2√2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2√2-x)2,解得x=3√22<2√2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为3√22. ----------------------12分22.(1)证明：∵圆C过原点O,∴OC2=t2+4t2.设圆C的方程是(x-t)2+(y-2t )2=t2+4t2,令x=0,得y1=0,y2=4t;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=12OA·OB=12×|4t|×|2t|=4,即△OAB的面积为定值. ----------------------6分铜陵市一中期中考试第8页,共9页(2)解：∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=12.∴2t =12t,解得t=2或t=-2. ----------------------8分当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=√5,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=√5<√5,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=√,此时C到直线y=-2x+4的距离d=√5>√5.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ----------------------12分铜陵市一中期中考试第9页,共9页。
江苏省大丰市新丰中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
15.函数 y 3x 2 m 的图象不经过第二象限，则实数 m 的取值范围是（用区间表示）
__________
【答案】 , 2
【解析】
【分析】
作出函数 y 3x 2 的图象，结合图象可知实数 m 的取值范围
y 3x 2
【详解】作出函数
的图象：
y 3x 2 m
y 3x 2
由图可知，若函数
,
故选：A
【点睛】本题考查集合的列举法表示,考查交集的定义,属于基础题
f (x) x
2.函数
x 2 的定义域为（ ）
A. [2, )
B. (2, )
C. [0, 2) (2, )
D. [2, )
【答案】C
【解析】
【分析】
利用偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义
以及 x 0 , x 0 , x , x 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的
选项一一排除.
10.设 2a
5b
m ，且
1 a
1 b
2 ，则 m
（
）
A. 10
B. 10
C. 10 或 10
D. 10
【答案】A
【解析】
由题意可得，由等式 2a m, 5b m （ m 0 ）两边取对数，可得
, 1 1,0 1,
；综上
解集为：
，
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性、单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性以及单
调性解不等式的问题，除了可以按部就班的分析还可以通过函数的大致图象来分析问题，也
就是数形结合.
9.函数 y 2 x 的图象为(
)
江苏省大丰区新丰中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题 数学 含答案
江苏省大丰区新丰中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题数学一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)1. 若向量(1,0,z )与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则z=( )A.0B.1C.-1D.22.设a R ∈，则 1a > 是11a< 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．274.下列函数中，最小值为4的是 （ ） A.4y x x =+B.4sin sin y x x=+ (0)x π<< C.e 4e x x y -=+D.3log 4log 3x y x =+5.以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.=1B.=1 C.=1D.=16.点F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b 的左、右焦点，点B 为该双曲线虚轴的一个端点，若∠F 1BF 2＝120°，则双曲线的离心率为 （ ） A.62 B. 3 C. 233D. 327.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项8．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A ．11×(1.15－1)a 亿元 B ．10×(1.15－1)a 亿元 C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元9. 已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－3210.设x ，y ∈R，a ＞1，b ＞1.若a x＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.1211.直线l 的方程为y=x+3,P 为l 上任意一点,过点P 且以双曲线12x 2-4y 2=3的焦点为焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=112．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( )A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0C ．∃m ∈A ，使得f (m ＋3)＝0D ．∃m ∈A ，使得f (m ＋3)<0二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横线上)13.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为________．14. 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________． 15. 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．16.若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b.其中正确的不等式的序号为______．三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分10分)⑴已知不等式210ax bx +->解集为{|34}x x <<，解关于x 的不等式101bx ax -≥-； ⑵已知函数16(),22f x x x x =+≠-，求()f x 的值域.18．(本小题满分12分)已知p ：函数f (x )为(0，＋∞)上的单调递减函数，实数m 满足不等式f (m ＋1)<f (3－2m )；q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，m ＝sin 2x －2sin x ＋1＋a .若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. (本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.20. (本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.21．(本小题满分12分)在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD . (1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A VD B 的平面角的余弦值.22．(本小题满分12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交6于点D.若△APD的面积为2，求直线AP的方程．一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)AABCD ABABC AA二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横线上) 13. 120 14. (－∞，－2) 15. 32 16. ①④⑥三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 解（1）127,121=-=b a ⎥⎦⎤ ⎝⎛-712,12（2）(][)∞+∞，，106--18．[解] 设p ，q 所对应的m 的取值集合分别为A ，B .对于p ，由函数f (x )为(0，＋∞)上的单调递减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞03－2m ＞0m ＋1＞3－2m，解得23＜m ＜32，即A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.对于q ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得sin x ∈[0,1]，m ＝sin 2x －2sin x ＋a ＋1＝(sin x －1)2＋a ，则当sin x ＝1时，m min ＝a ；当sin x ＝0时，m max ＝a ＋1，即B ＝[a ，a ＋1]． 由p 是q 的充分条件，可得A B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23，32≤a ＋1，解得12≤a ≤23.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23.19. 【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负. ∴数列前6项和最大.20.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立. ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1].(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a ).21．[解] 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)． (1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)． ∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， ∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连接EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32.∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0， ∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角， ∴cos〈EA →，EB →〉＝EA →·EB→|EA →||EB →|＝217.故所求二面角的平面角的余弦值为217.22．[解] (1)设点F 的坐标为(－c,0)．依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2＝34.所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m .将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2. 又因为△APD 的面积为62， 故12·6m 23m 2＋2·2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0， 解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。
江苏省大丰市高二数学上学期期中试题 理 苏教版
高二数学（理）一、填空题：(每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上．)1. 设集合{}{}1,3A x x B x x =>-=≤,则A B ⋂=____________.2．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤, 则p ⌝为 .3．已知,a ∈R 则“2a >”是“22a a >”的 条件.4．.若b a >，则b a 22>”的否命题为 ． 5．若3x >-，则23x x ++的最小值为 6.已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集为{}23x x <<，则不等式210bx ax --<的解集为_______________________7. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则7S = 。
8.在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q =9.在等比数列{}n a 中，若12435460,225a a a a a a a >++=，则35a a += 。
10.数列{a n }中，a n ＝1n n ＋1，其前n 项和n S 为 11.已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，且有n n S n +=2，则数列}{n a 的通项n a =__________12.在ABC ∆中,若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是13．函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图象上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 14、已知命题p ：()13x f x a =-⋅在(]0,∞-∈x 上有意义，命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6题，共90分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且5,3,sin 2sin a b C A ===．（1）求边c 的值； （2）求sin(2)3A π-的值．16. （本小题满分14分） 在△ABC 中，∠A= 60，b 、c 是方程0322=+-m x x 的两个实数根，△ABC 的面积为23。
2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析(I).doc
2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析(I)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是__________．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为__________命题．（填“真”、“假”）3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于__________．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的__________条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__________．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为__________．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是__________．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为__________．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c （c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是__________．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=__________．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为__________．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下__________滴．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为__________．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．17．（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题．（填“真”、“假”）【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑；推理和证明．【分析】写出原命题的逆命题，再由不等式的基本性质，判断真假，可得答案．【解答】解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜bam2＜bm2，则am2＜bm2”，当m=0时，显然不成立，故为假命题；故答案为：假【点评】本题考查的知识点是四种命题，不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于4．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程即可求出m的值．【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），可得，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的必要不充分条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2＜1⇔﹣1＜x＜1推不出0＜x＜1，由0＜x＜1⇒x2＜1，∴“x2＜1”是“x＜1”的必要不充分，故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是l∥A1C1．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1．【解答】解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】由于与双曲线有共同的渐近线，故方程可假设为，再利用过点（2，2）即可求【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】对于四个选项利用线面平行与垂直以及面面平行与垂直的定理，公理逐个进行判断即可．【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②【点评】本题主要考查空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系．是对课本定理，公理以及推论的考查，是基础题．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离．【分析】通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意把|AF|用含有a，b的代数式表示，结合|AF|=c列式得到关于a，c的方程，转化为关于e的方程得答案．【解答】解：如图，由+=1（a＞b＞0），得，∴，取x=c，可得，∵|AF|=c，∴|AF|2=，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，即e4﹣3e2+1=0，解得（舍）或，∴．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆通径的应用，是基础的计算题．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程求出焦距，利用双曲线的定义和余弦定理能求出∠F1PF2．【解答】解：由，得a2=9，b2=16，∴c=5，∴|F1F2|=2c=10，设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=6，∴，∵|PF1||PF2|=64，∴，∴cos∠F1PF2==，∴∠F1PF2=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线是几何性质，考查双曲线的定义，注意余弦定理的合理运用，是中档题．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为3．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆方程设出x=3cosθ，y=sinθ，表示出S利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得S的最大值．【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinx∴x+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）≤3．∴最大值为3．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下75滴．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；方程思想；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．【解答】解：设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积=156πcm3，k滴球状液体的体积=mm3=cm3，∴156π=×156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．故答案为：75．【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e 的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，可得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）若p为真命题，根据根式成立的条件进行求解即可求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，得到p与q一真一假，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，故p为真命题时a的取值范围为[0，3]．（2）故q为真命题时a的取值范围为由题意得，p与q一真一假，从而当p真q假时有a无解；当p假q真时有∴．∴实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用，求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AB ∥CD ，利用直线与平面平行的判定定理证明AB ∥平面CDE ． （2）证明CD ⊥平面ADE ，CD ⊥DE ．通过体积转化V D ﹣ACE =V A ﹣CDE ．求解即可． 【解答】证明：（1）正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以AB ∥平面CDE ．（2）因为AE ⊥平面CDE ，AD 与平面CDE 所成角为30°∴∠ADE=30°∴AE=1 因为AE ⊥平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，所以AE ⊥CD ，又正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AE ∩AD=A ，AE ，AD ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥平面ADE ，又DE ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥DE ． ∵． ∴．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．17．（14分）已知命题p ：点M （1，3）不在圆（x+m ）2+（y ﹣m ）2=16的内部，命题q ：“曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题s ：“曲线表示双曲线”．（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围；（2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假． 【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑． 【分析】（1）分别求出p ，q 为真时的m 的范围，根据“p 且q ”是真命题，得到关于m 的不等式组，解出即可；（2）先求出s 为真时的m 的范围，结合q 是s 的必要不充分条件，得到关于t 的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若p 为真：（1+m ）2+（3﹣m ）2≥16 解得m ≤﹣1或m ≥3， 若q 为真：则解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4 若“p 且q ”是真命题， 则，解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4； （2）若s 为真，则（m ﹣t ）（m ﹣t ﹣1）＜0， 即t ＜m ＜t+1，由q 是s 的必要不充分条件， 则可得{m|t ＜m ＜t+1}{m|﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4}，即或t≥4，解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，∴，进而求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则根据题意可得：x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，再联立椭圆的方程可得：A（0，﹣1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，…∴，∴，…所以椭圆C的标准方程是．…（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…设A（x0，y0），则，∵，∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，…代入，得：或，即A（0，﹣1）或．…当A为（0，﹣1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；…当A为时，k BF=﹣1，k AF=1，所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分）综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CE∥DF，即可证明CE∥平面ADP；（2）证明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可证明平面PAD⊥平面PAB；（3）存在，．取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ⊥平面ABCD，即可得出结论．【解答】（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且∵CD∥AB，且，∴EF∥CD，且EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF∵DF⊂平面ADP，CE⊂平面ADP，∴CE∥平面ADP（2）证明：由（1）可得CE∥DF∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD∴AB⊥平面PBC又∵CE⊂平面PBC，∴AB⊥CE又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PBC，∴CE⊥平面PAB∵CN∥DF，∴DF⊥平面PAB又∵DF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB；（3）解：存在，．证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由平几得，∴∥OP．∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，∵PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，∵NQ⊂平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．【点评】本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a，b；（2）求出椭圆方程，求得A，B的坐标，①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4），联立直线方程求出M，N的坐标，可得直线MN的斜率；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N的坐标，可得直线MN的斜率．【解答】解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2﹣b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；，所以k CB=﹣；同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；∴，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；∴，即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．。
江苏省盐城市新丰中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷
数学试题一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)1. 若向量(1,0,z )与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则z=( )A.0B.1C.-1D.22.设a R ∈，则 1a > 是11a< 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．274.下列函数中，最小值为4的是 （ ） A.4y x x =+B.4sin sin y x x=+ (0)x π<< C.e 4e x x y -=+D.3log 4log 3x y x =+5.以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=16.点F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点B 为该双曲线虚轴的一个端点，若∠F 1BF 2＝120°，则双曲线的离心率为 （ ） A.623233D. 327.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项8．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( ) A ．11×(1.15－1)a 亿元B ．10×(1.15－1)a 亿元C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元9. 已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－3210.设x ，y ∈R，a ＞1，b ＞1.若a x＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.1211.直线l 的方程为y=x+3,P 为l 上任意一点,过点P 且以双曲线12x 2-4y 2=3的焦点为焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=112．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( )A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0C ．∃m ∈A ，使得f (m ＋3)＝0D ．∃m ∈A ，使得f (m ＋3)<0二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横线上)13.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为________． 14. 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________．15. 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．16.若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分10分)⑴已知不等式210ax bx +->解集为{|34}x x <<，解关于x 的不等式101bx ax -≥-； ⑵已知函数16(),22f x x x x =+≠-，求()f x 的值域.18．(本小题满分12分)已知p ：函数f (x )为(0，＋∞)上的单调递减函数，实数m 满足不等式f (m ＋1)<f (3－2m )；q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，m ＝sin 2x －2sinx ＋1＋a .若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. (本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.20. (本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.21．(本小题满分12分)在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD . (1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A VD B 的平面角的余弦值.22．(本小题满分12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．高二数学试题答案一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选择后填在答题卡上)AABCD ABABC AA二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题号的横线上)13. 120 14. (－∞，－2) 15. 32 16. ①④⑥三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 解（1）127,121=-=b a ⎥⎦⎤ ⎝⎛-712,12（2）(][)∞+∞，，106--Y18．[解] 设p ，q 所对应的m 的取值集合分别为A ，B .对于p ，由函数f (x )为(0，＋∞)上的单调递减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞03－2m ＞0m ＋1＞3－2m，解得23＜m ＜32，即A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.对于q ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得sin x ∈[0,1]，m ＝sin 2x －2sin x ＋a ＋1＝(sin x －1)2＋a ，则当sin x ＝1时，m min ＝a ；当sin x ＝0时，m max ＝a ＋1，即B ＝[a ，a ＋1]． 由p 是q 的充分条件，可得A B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23，32≤a ＋1，解得12≤a ≤23.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23.19. 【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负. ∴数列前6项和最大.20.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立. ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1].(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a ).21．[解] 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)． (1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)． ∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， ∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连接EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32. ∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0， ∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角， ∴cos〈EA →，EB →〉＝EA →·EB→|EA →||EB →|＝217.故所求二面角的平面角的余弦值为217.22．[解] (1)设点F 的坐标为(－c,0)．依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2＝34.所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m .将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2. 又因为△APD 的面积为62， 故12·6m 23m 2＋2·2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0， 解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。
江苏省盐城市大丰区新丰中学2019年高二第二学期期中考试数学试题及解析
大丰区新丰中学2019-2020学年第二学期期中考试高二数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列求导结果正确的是( ) A.()2112x x '-=-B.3(3x x '=C.()sin 60cos60︒︒'=-D.()33ln xx'= 【参考答案】D 【试题解答】根据导数的求导法则求解即可.()212x x '-=-;33232x x x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭;()3sin 600︒''==⎝⎭;()()33313ln x x x x ''== 故选:D本题主要考查了求函数的导数,属于基础题.2.已知复数z 满足(3443i z i -=+）,则z 的虚部为( ) A.-4 B.45- C . 4D.45【参考答案】D 【试题解答】试题解析:设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-2243435i +=+=∴345{340a b b a +=-=,解得45b = 考点:本题考查复数运算及复数的概念点评:解决本题的关键是正确计算复数,要掌握复数的相关概念3.曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程为( )A.34y x =-B.45y x =-C.43y x =-+D.32y x =-+【参考答案】D 【试题解答】试题分析:由曲线y ＝x 3－3x 2＋1,所以,曲线在点处的切线的斜率为:,此处的切线方程为:,即.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.点评:本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率,正确利用直线的点斜式方程,考查计算能力.4.7(1)x +的展开式中2x 的系数是( ) A.42B.35C.28D.21【参考答案】D 【试题解答】试题分析:2x 的系数为2721C =.故选D.考点:二项式定理的应用.5.三位老师和三位学生站成一排,要求任何两位学生都不相邻,则不同的排法种数为( ) A.72B.144C.36D.12【参考答案】B 【试题解答】根据题意利用插空法进行排列,先排三位老师,再将三位学生插进老师形成的四个空中,即可求解.解:因为要求任何两位学生不站在一起, 所以可以采用插空法,先排3位老师,有33A 种结果,再使三位学生在教师形成的4个空上排列,有34A 种结果,根据分步计数原理知共有3334144A A ⋅=种结果.故选:B.本题考查排列组合的综合运用:利用插空法求解不相邻问题,不相邻问题插空处理的策略: 先排其他元素,再将不相邻元素插入到其他元素形成的空档中.6.抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则(4)P ξ≤等于( ) A.19B.536C.16D.14【参考答案】C 【试题解答】分别计算出(2),(3),(4)P P P ξξξ===,即可得出答案.(4)(2)(3)(4)P P P P ξξξξ≤==+=+=12361363636366=++== 故选:C本题主要考查了古典概型求概率问题,属于基础题.7.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰好有6个白球的概率为( )A.46801010100C C C ⋅ B.64208001010C C C ⋅ C.46208001010C C C ⋅ D.64801010100C C C ⋅ 【参考答案】C 【试题解答】根据古典概型的概率公式求解即可.从袋中任取10个球,共有10100C 种,其中恰好有6个白球的有468020C C ⋅种即其中恰好有6个白球的概率为46208001010C C C ⋅故选:C本题主要考查了计算古典概型的概率,属于中档题.8.某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A 层班级,生物在B 层班级,该校周一上午课程安排如表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有( )A.8种B.10种C.12种D.14种【参考答案】B 【试题解答】由课程表可知:物理课可以上任意一节,生物课只能上第2、3节,政治课只能上第1、3节,而自习课可以上任意一节.故以生物课(或政治课)进行分类,再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法.由课程表可知:物理课可以上任意一节,生物课只能上第2、3节,政治课只能上第1、3、4节,而自习课可以上任意一节.若生物课排第2节,则其他课可以任意排,共有336A =种不同的选课方法.若生物课排第3节,则政治课有12C 种排法,其他课可以任意排,有22A 种排法,共有12224C A =种不同的选课方法.所以共有6410+=种不同的选课方法. 故选:B .本题考查两个计数原理,考查排列组合,属于基础题.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.下面是关于复数21iz =-+(i 为虚数单位)的命题,其中真命题为( ) A.||2z =B.22z i =C.z 的共轭复数为1i +D.z 的虚部为1-【参考答案】BD 【试题解答】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --,整理为复数的一般形式,由复数的基本知识进行判断即可. 解:22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--, ||z ∴=错误;22i z =,B 正确;z 的共轭复数为1i -+,C 错误; z 的虚部为1-,D 正确.故选:BD.本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念,属于基础题.10.关于32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式,下列结论正确的是( ) A.所有项的二项式系数和为32 B.所有项的系数和为0C.常数项为20-D.二项式系数最大的项为第3项【参考答案】BC 【试题解答】首先将二项式变形为61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再根据二项式展开式的相关性质计算可得;解:因为3223261112x x x x x x ⎡⎤=-=-⎢⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎝⎝⎣⎦⎭⎥⎥所以二项式系数和为6264=,令1x =代入得0,即所有项的系数和为0;因为61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()66216611rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令620r -=得3r =,所以常数项为()336120C -=-,二项式系数最大为36C ,为第4项;综上可知,正确的有BC 故选:BC.本题考查二项式展开式的系数和、二项式系数和及二项式系数最大项,属于中档题. 11.有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N ,则下列等式能成为N 的算式是( ).A.5141376C C C -;B.23324157676767C C C C C C C +++;C.514513766C C C C --;D.23711C C ;【参考答案】BC 【试题解答】利用直接法、间接法,即可得出结论. 解:13名医生,其中女医生6人,男医生7人.利用直接法,2男3女:2376C C ;3男2女:3276C C ;4男1女:4176C C ;5男:57C ,所以23324157676767N C C C C C C C =+++;利用间接法:13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即514513766N C C C C =--;所以能成为N 的算式是BC. 故选:BC.本题考查利用数学知识解决实际问题,考查组合知识的运用,属于中档题. 12.关于函数()2ln f x x x=+,下列判断正确的是( ) A.2x =是()f x 的极大值点 B.函数yf xx 有且只有1个零点C.存在正实数k ,使得()f x kx >成立D.对任意两个正实数1x ,2x ,且12x x >,若()()12f x f x =,则124x x +>.【参考答案】BD 【试题解答】A .求函数的导数,结合函数极值的定义进行判断B .求函数的导数,结合函数的单调性,结合函数单调性和零点个数进行判断即可C .利用参数分离法,构造函数g (x )22lnx x x=+,求函数的导数,研究函数的单调性和极值进行判断即可D .令g (t )＝f (2+t )﹣f (2﹣t ),求函数的导数,研究函数的单调性进行证明即可 A .函数的 的定义域为(0,+∞),函数的导数f ′(x )22212x x x x-=-+=,∴(0,2)上,f ′(x )＜0,函数单调递减,(2,+∞)上,f ′(x )＞0,函数单调递增, ∴x ＝2是f (x )的极小值点,即A 错误;B .y ＝f (x )﹣x 2x =+lnx ﹣x ,∴y ′221x x =-+-1222x x x -+-=＜0,函数在(0,+∞)上单调递减,且f (1)﹣12=+ln 1﹣1＝1>0,f (2)﹣21=+ln 2﹣2＝ ln 2﹣1<0,∴函数y ＝f (x )﹣x 有且只有1个零点,即B 正确;C .若f (x )＞kx ,可得k 22lnx x x +＜,令g (x )22lnx x x =+,则g ′(x )34x xlnxx -+-=, 令h (x )＝﹣4+x ﹣xlnx ,则h ′(x )＝﹣lnx ,∴在x ∈(0,1)上,函数h (x )单调递增,x ∈(1,+∞)上函数h (x )单调递减, ∴h (x )⩽h (1)＜0,∴g ′(x )＜0, ∴g (x )22lnxx x=+在(0,+∞)上函数单调递减,函数无最小值, ∴不存正实数k ,使得f (x )＞kx 恒成立,即C 不正确;D .令t ∈(0,2),则2﹣t ∈(0,2),2+t ＞2,令g (t )＝f (2+t )﹣f (2﹣t )22t =++ln (2+t )22t ---ln (2﹣t )244t t =+-ln 22tt+-, 则g ′(t )()22222222222244822241648(4)2(2)(4)4(4)t t t t t t t t t t t t t ----++---=+⋅=+=-+----＜0, ∴g (t )在(0,2)上单调递减,则g (t )＜g (0)＝0, 令x 1＝2﹣t ,由f (x 1)＝f (x 2),得x 2＞2+t , 则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4, 当x 2≥4时,x 1+x 2＞4显然成立,∴对任意两个正实数x 1,x 2,且x 2＞x 1,若f (x 1)＝f (x 2),则x 1+x 2＞4,故D 正确 故正确的是BD , 故选:BD .本题主要考查命题的真假判断,涉及函数的单调性和极值,函数零点个数的判断,以及构造法证明不等式,综合性较强,运算量较大,有一定的难度. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()()100111x a a x +=+-()()21021011a x a x +-+⋅⋅⋅+-,则8a =__________. 【参考答案】180 【试题解答】()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦,()()100111x a a x +=+-()()2102101...1a x a x +-++-,()288102180a C ∴=⋅-=,故答案为180.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.14.4位学生和1位老师站成一排照相,若老师站中间,男生甲不站最左端,男生乙不站最右端,则不同排法的种数是_____. 【参考答案】14 【试题解答】需要分两类,第一类,男生甲在最右端,第二类,男生甲不在最右端,根据分类计数原理可得出结论.解:第一类,男生甲在最右端,其他人全排,故有336A =种,第二类,男生甲不在最右端,男生甲有两种选择,男生乙也有两种选择,其余2人任意排,故有1122228A A A =种,根据分类计数原理可得,共有6814+=种. 故答案为:14.本题考查分类计数原理,关键是分类,属于基础题.15.设函数32()f x x ax =+,若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0x y +=,则实数a =_______. 【参考答案】2- 【试题解答】根据切点在切线上,得出(1)1f =-,根据解析式即可得出答案. 因为点(1,(1))P f 在该切线上,所以(1)1f =- 则(1)11f a =+=-,解得2a =-. 故答案为:2-本题主要考查了根据切线方程求参数,属于基础题.16.若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值范围______.【参考答案】【试题解答】因为函数在定义域的子区间()1,1k k -+上不是单调函数,所以根据题意可知函数的极值点在区间内,列出不等式,即可求解.因为f(x)定义域为(0,+∞),又f′(x)＝4x-1x, 由f'(x)＝0,得x ＝1/2.当x∈(0,1/2)时,f'(x)＜0,当x∈(1/2,+∞)时,f'(x)＞0 据题意,k-1＜1/2＜k+1,又k-1≥0, 解得1≤k＜3/2.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知复数1z mi =+(i 是虚数单位,m R ∈),且(3)z i ⋅+为纯虚数(z 是z 的共轭复数). (1)设复数121m iz i+=-,求1z ; (2)设复数20172a i z z-=,且复数2z 所对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)1z =;(2)13a >【试题解答】(1)先根据条件得到13z i =-,进而得到15122z i =--,由复数的模的求法得到结果;(2)由第一问得到2(3)(31)10a a iz ++-=,根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩,进而求解.∵1z mi =+,∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数,∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩,解得3m =-.∴13z i =-.(1)13251122i z i i -+==---,∴12z =; (2)∵13z i =-,∴2(3)(31)1310a i a a iz i -++-==-, 又∵复数2z 所对应的点在第一象限,∴30310a a +>⎧⎨->⎩,解得:13a >.如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点,则①当0a >,0b >时,点Z 位于第一象限;当0a <,0b >时,点Z 位于第二象限;当0a <,0b <时,点Z 位于第三象限;当0a >,0b <时,点Z 位于第四象限;②当0b >时,点Z 位于实轴上方的半平面内;当0b <时,点Z 位于实轴下方的半平面内.18.已知n(其中15n <,*n ∈N )的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. (1)求n 的值;(2)写出展开式中的所有有理项. 【参考答案】(1)14n =. (2)077114T C x x ==,66714T C x =,1255131491T C x x ==.【试题解答】分析:(1)利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数,利用等差数列的定义列出方程可得结果;(2)先求得展开式的通项公式,在通项公式中令x 的幂指数为有理数,求得r 的值,即可求得展开式中有理项.详解:(1)因为n(其中15n <,*n N∈)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为8n C ,9n C ,10n C .依题意得81092n n n C C C +=.可化为()()()!!!=28!810!109!9n n n n n n +⋅---！！！,化简得2373220n n -+=,解得14n =或23n =, ∵15n <,∴14n =. (2)展开式的通项1432114r r r r TC xx -+=,所以展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数, 又014r ≤≤,*r N ∈,∴0r =或6r =或12r =,∴展开式中的有理项共3项是077114T C x x ==,66714T C x =,1255131491T C x x ==.点睛:本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.. 19.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数？ ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ ④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ 【参考答案】①100800;②14400;③5760;④28800 【试题解答】①分步完成:第一步计算在4个偶数中取3个的情况数目,第二步计算在5个奇数中取4个的情况数目,第三步将取出的7个数进行全排列,计算可得答案;②由①的第一、二步,将3个偶数排在一起,有33A 种情况,与4个奇数共5个元素全排列,计算可得答案;③由①的第一、二步,将3个偶数排在一起,有33A 种情况,4个奇数也排在一起有44A 种情况,将奇数与偶数进行全排列计算可得答案;④由①的第一、二步,可先把4个奇数取出并排好有4454C A 种情况,再将3个偶数分别插入5个空档,有3345C A 种情况,进而由乘法原理,计算可得答案. 解:①分步完成:第一步在4个偶数中取3个,可有34C 种情况; 第二步在5个奇数中取4个,可有45C 种情况; 第三步3个偶数,4个奇数进行排列,可有77A 种情况,所以符合题意的七位数有347457100800C C A =个.②上述七位数中,三个偶数排在一起的有3453455314400C C A A =个.③上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有34342453425760C C A A A =个.④上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空档,共有4454C A 334528800C A =个. 对于有限制条件的排列问题,常见方法是分步进行,先组合再排列,这是乘法原理的典型应用. 20.现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答) (1)若2位男生相邻且3位女生相邻,则共有多少种不同的排法？ (2)若男女相间,则共有多少种不同的排法？(3)若男生甲不站两端,女生乙不站最中间,则共有多少种不同的排法？【参考答案】(1)24(2)12(3)60 【试题解答】(1)相邻问题利用捆绑法; (2)若男女相间,则用插空法;(3)若男生甲不站两端,女生乙不站最中间,则利用间接法.解:(1)利用捆绑法,可得共有22322324A A A =种不同的排法;(2)利用插空法,可得共有232312A A =种不同的排法;(3)利用间接法,可得共有54135423360A A C A -+=种不同的排法.本题考查排列组合及简单的计数问题,涉及间接法和捆绑,插空等方法的应用,属于中档题. 21.把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x ,容积为(x)V . (1)写出函数(x)V 的解析式,并求出函数的定义域;(2)求当x 为多少时,容器的容积最大？并求出最大容积.【参考答案】(Ⅰ)23()23)V x a x x =-,定义域为3).(Ⅱ)3时,容器的容积最大为3154a . 【试题解答】试题分析:(Ⅰ)根据容器的高为x,求得做成的正三棱柱形容器的底边长,从而可得函数V(x)的解析式,函数的定义域;(Ⅱ)实际问题归结为求函数V(x)在区间30,6a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上的最大值点,先求V(x)的极值点,再确定极大值就是最大值即可试题解析:(Ⅰ)因为容器的高为x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为(3)a x -则23()23)V x a x x =-.函数的定义域为).(Ⅱ)实际问题归结为求函数(x)V 在区间(0,)6a 上的最大值点. 先求(x)V 的极值点.在开区间(0,)6a 内,22'()64V x ax a =-+令'()0V x =,即令22604ax a -+=,解得12,?()186x a x ==舍去.因为1x =在区间(0,)6内,1x 可能是极值点.当10x x <<时,'()0V x >;当1x x <<时,'()0V x <.因此1x 是极大值点,且在区间)内,1x 是唯一的极值点,所以118x x ==是(x)V 的最大值点,并且最大值31()1854f a =时,容器的容积最大为3154a .考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数模型的选择与应用 22.已知函数21()ln (1),2f x a x x a x a R =+-+∈. (1)当1a =时,求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程; (2)讨论函数()f x 的单调性;(3)若对任意的(,)x e ∈+∞都有()0f x >成立,求a 的取值范围.【参考答案】(1)32y =-(2)答案见解析;(3)222(1)e e a e -≤-.【试题解答】试题分析:()1当1a =时,求出函数的导数,利用导数的几何意义即可求出曲线()y f x =在1x =处的切线方程;()2求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调性; ()3根据函数的单调性求出函数的最小值,即实数a 的取值范围.解析:(1)()221'x x f x x -+=()()3'10,12f f ==-,所求切线方程为32y =-.(2)()()()()211'x a x ax x a f x xx-++--==当1a =时,()f x 在()0,+∞递增当0a ≤时,()f x 在()0,1递减,()1,+∞递增当01a <<时,()f x 在()0,a 递增,(),1a 递减,()1,+∞递增 当1a >时,()f x 在()0,1递增,()1,a 递减,(),a +∞递增. (3)由()0f x >得()21ln 2x x a x x -<- 注意到1ln ,'x y x x y x-=-=,于是ln y x x =-在()0,1递减,()1,+∞递增,最小值为0 所以(),x e ∀∈+∞,ln 0x x ->于是只要考虑(),x e ∀∈+∞,212ln x xa x x-<- 设()212ln x xg x x x-=-,()()()()21122ln 2'ln x x x g x x x -+-=- 注意到()()222ln ,'x h x x x h x x-=+-=,于是()22ln h x x x =+-在(),e +∞递增 ()()0h x h e e >=>所以()g x 在(),e +∞递增于是()()2221e ea g e e -≤=-.。
江苏省大丰市新丰中学2019-2020学年高二化学上学期期中试题(必修,含解析)
A. 苯 【答案】A
B. 氯水
C. CCl4
D. KI 溶液
【解析】
【详解】A、苯与溴水混合并振荡，静置后分成两层，上层为苯层呈橙红色，下层为水层近
乎无色，故 A 正确；
B、氯水与溴水混合，不分层，故 B 错误；
C、CCl4 与溴水混合并振荡，静置后分成两层，上层为水层近乎无色，下层 CCl4 层呈橙红色， 故 C 错误；
B、碳酸氢钠受热容易分解，碳酸钠受热不分解，碳酸钠较稳定，故 B 错误；
C、过氧化钠能够和二氧化碳、水蒸气反应生成氧气，可用作呼吸面具的供氧剂，故 C 正确；
D、玻璃中含有二氧化硅，能够和氢氧化钠溶液反应，但反应很慢，可以用玻璃瓶盛放，为
了防止生成的硅酸钠把瓶口和瓶塞粘结，瓶口不能用玻璃塞，故 D 错误；
答案选 C。
【点晴】要准确解答好这类题目，一是要掌握好以物质的量为中心的各化学量与阿伏加德罗
常数的关系；二是要准确弄清分子、原子、原子核内质子中子及核外电子的构成关系。选项
C 是易错点，注意稀有气体是由一个原子组成的。
11.将下列各种液体分别与溴水混合并振荡，静置后混合液分成两层，下层几乎呈无色的是
19.下列关于钠及其化合物的叙述正确的是
A. 金属钠可以保存在无水酒精中
B. 受热时碳酸氢钠比碳酸钠稳定
C. 过氧化钠可用作呼吸面具的供氧剂
D. 不能用玻璃瓶盛放稀氢氧化钠溶液
乙醇能够反应生成乙醇钠和氢气，金属钠不可以保存在无水酒精中，应保
存在煤油中，故 A 错误；
A. 单质
B. 氧化物
C. 化合物
D. 有机物
【答案】A
【解析】
【详解】液氧（O2）是同种元素组成的纯净物，属单质，故答案为 A。 2.“摩尔庄园”是一款专门为 7﹣12 岁儿童设计的安全健康益智网页游戏，它和我们高中化
2019-2020学年江苏省大丰市新丰中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省大丰市新丰中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1,4A =，{}2,3,4B =，则A B =（ ）A ．{}4B ．{}3C ．{}1,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】由交集定义即可得到结果 【详解】根据交集的定义可得{}4A B ⋂=, 故选：A 【点睛】本题考查集合的列举法表示,考查交集的定义,属于基础题2．函数()f x = ） A ．[2,)+∞ B ．(2,)+∞C ．[0,2)(2,)⋃+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】利用偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】函数的定义域满足020x x ≥⎧⎨-≠⎩，即为[0,2)(2,)x ∈⋃+∞．故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3．已知函数()()2221f x x x x x Z =+-≤≤∈且，则()f x 的值域是（ ）A ．[]0,3B ．{}1,0,3-C ．{}0,1,3D ．[]1,3-【答案】B【解析】试题分析：求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．函数()()2221f x x x x x Z =+-≤≤∈且，所以2101x =--，，，；对应的函数值分别为：0103-，，，；所以函数的值域为：{}1,0,3-故答案为B ．【考点】函数值域 4．已知函数f(x)＝221,1{?1log ,1x x x x -≤+>，则函数f(x)的零点为( )A ．12，0 B ．－2,0C ．12D ．0【答案】D【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0，故选D. 5．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．21y x =-+C ．1y x =+D ．1y x=【答案】C【解析】对四个选项逐一分析奇偶性和在(0,)+∞上的单调性，由此确定正确选项. 【详解】对于选项A ，33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数是奇函数，不符合题意； 选项B 是偶函数，但由于二次函数的开口向下，在(0,)+∞上单调递减.不符合题意； 选项C 是偶函数，且在(0,)+∞上是单调递增，符合题意； 选项D 是奇函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意． 故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 6．已知1335a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1453b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，3513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先将指数均整理为正数的形式,即1435b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,根据函数35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减可得b a >；再借助中间值1313⎛⎫ ⎪⎝⎭,由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减可得1313c ⎛⎫< ⎪⎝⎭；由函数13y x =单调递增,可得1313a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,进而c a <,故可得到a 、b 、c 的大小关系【详解】 由题,11445335b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则当35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭时,函数单调递减,11433355b a ⎛⎫⎛⎫∴=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭时,函数单调递减,31531133c ⎛⎫⎛⎫∴=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当13y x =时,函数单调递增,11331335a ⎛⎫⎛⎫∴<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即c a <c a b ∴<<故选：A 【点睛】本题考查比较指数的大小关系,需灵活利用指数函数的单调性及幂函数的单调性,比较大小时可借助中间值来处理.7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f (x )＝x 2－3x+1，则f (1)+f (0)等于（ ） A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－6【答案】C【解析】根据0x <的函数解析式以及奇函数计算()1f 的值，注意()0f 的特殊性. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()()()21113115f f ⎡⎤=--=----+=-⎣⎦且()00f =，所以()()105f f +=-.故选：C. 【点睛】本题考查根据函数奇偶性求值，难度较易.当奇函数在0x =处有定义时，一定要注意：()00f =.8．设奇函数f (x )满足：①f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②f (1)＝0，则不等式(x +1)f (x )>0的解集为（ ）A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】由于()()110f f =-=，故可分四段：()()()(),11,00,11,-∞--+∞、、、去考虑. 【详解】因为()f x 在()0,∞+递增且()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f <=，所以()()10x f x +<，当()1,x ∈+∞时，()()10f x f >=，所以()()10x f x +>；又因为()f x 是奇函数，所以()f x 在(),0-∞递增且()10f -=，所以当(),1x ∈-∞-时，()()10f x f <-=，所以()()10x f x +>，当()1,0x ∈-时，()()10f x f >-=，所以()()10x f x +>；综上()()10x f x +>解集为：()()(),11,01,-∞--+∞，故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性、单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性以及单调性解不等式的问题，除了可以按部就班的分析还可以通过函数的大致图象来分析问题，也就是数形结合. 9．函数2xy -=的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数过点()0,1,可排除选项A ；由当0x >时，1222xx x y --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，可排除选项,B D ，从而可得结果. 【详解】由函数的解析式得，该函数的定义域为R ，当0x =时，021y ==，即函数过点()0,1,可排除选项A ； 当0x >时，1222x xxy --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即函数在()0,∞+的图象是12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+的图象，可排除选项,B D ，故选C. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 10．设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）A ．B ．C 或D ．10【答案】A【解析】由题意可得，由等式2,5abm m ==（0m >）两边取对数，可得2511log ,log ,log 2,log 5,m m a m b m a b====，所以11log 2log 5log 102,m m m a b+=+==可得m = A. 【点睛】指数式的等式常与对数式互化把指数表示出，再进行合理运算。
江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
大丰区新丰中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试题（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020．05一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A ，B ，C ，D 四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑． 1.310x y -+= 倾斜角的大小是（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解. 310x y -+=化成斜截式为31y x =+， 因为tan 3k α==，所以3πα=.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题. 2.点(1,2)到直线3410x y +-=的距离为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】00221025Ax By C d A B ++===+ ，答案为B 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题. 3.已知α满足1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A. 12-B.12C. 2D. 2-【答案】A【解析】 【分析】由已知利用两角和与差的正切公式计算即可．【详解】1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则11tan()1134tan =tan()14421+tan()1+43παππααπα-+-+-===-+， 故选A【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.已知直线1:310l ax y ++=与直线2:2(1)10l x a y +++=互相平行，则实数a 的值为（ ） A. ﹣3 B.35C. 2D. ﹣3或2【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行列等式，解得结果.【详解】因为直线1:310l ax y ++=与直线()2:2110l x a y +++=互相平行， 所以313211a a a =≠∴=-+，选A. 【点睛】本题考查两直线平行，考查基本求解能力，属基础题. 5.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．6.已知αβ、均为锐角，满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=（ ）A.6π B.4π C.3π D.34π 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值．【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==cos ,sin 510αβ∴==，又cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β＝2， ∵0＜α+β＜π， ∴α+β＝4π． 故选B ．【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．7.若圆心坐标为(2,1)-的圆,被直线10x y --=截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ） A. 22(2)(1)2x y -++= B. 22(2)(1)4x y -++= C. 22(2)(1)8x y -++= D. 22(2)(1)16x y -++=【答案】B 【解析】 【分析】设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案． 【详解】由题意，设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=，则圆心到直线10x y --=的距离为d ==又由被直线10x y --=截得的弦长为，则2224r =+=， 所以所求圆的方程为22(2)(1)4x y -++=， 故选B ．【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8.如果1tan 23=α，那么cos α的值是（ ） A.35B. 45C.35D. 45-【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件求出cos2α，利用二倍角公式即可求得cos α.【详解】22sin 12tan =23cos 2sin cos 122ααααα⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，2c s 10o α=±∴，则221212104cos 2cos 5αα⎛⎫-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭=. 故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的关系、二倍角公式，属于基础题.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题所给的A ．B ．C ．D ．四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑． 9.下列各式中，值为2的是（ ）A. 15 15sin cos ︒︒B. 22cossin 66ππ-C. 2tan 301tan 30︒︒- D. 1cos602︒+【答案】CD 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦、正切公式计算可得结果. 【详解】因为1111sin15cos15sin 302224==⨯=，所以A 不正确； 因为22cossin 66ππ-1cos32π==，所以B 不正确； 因2tan 301tan 30︒︒-212tan 3013tan 6021tan 302=⨯==-，所以C 正确； 因为1cos602︒+11322+==，所以D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用，属于基础题.10.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D －中，E ，F 分别是11AB BC ，的中点．有下列结论，其中正确的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF 与平面11BCC B 垂直C. EF 与1C D 所成的角为45°D. //EF 平面1111D C B A【答案】AD 【解析】 【分析】过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，可得//EF MN ，所以直线EF 可转化为直线MN 来求解平行，垂直及所成角问题. 【详解】如图：正方体1111ABCD A B C D －过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ， 由题意可得//EF MN ， 因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1⊥BB MN 即1BB EF ⊥，A 选项正确；由题意可得MN 不垂直BC ，所以MN 不垂直平面11BCC B ， 即EF 不垂直平面11BCC B ，B 选项不正确； 因为11//AB C D ，连接1C B 和C A ， 所以1B AC ∠为EF 与1C D 所成的角， 因为11AC B C B A ==所以160B AC ∠=，C 选项不正确；因为//EF MN ，MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD 所以//EF 平面ABCD ，又平面1111D C B A ∥平面ABCD ， 所以//EF 平面1111D C B A ，D 选项正确； 故选：AD【点睛】本题考查了判断线线垂直，线面垂直，线面平行及线线角的求法，属于较易题. 11.已知αβ，是平面，m ，n 是直线．下列命题中正确的是（ ）A. 若//,m n m α⊥，则n α⊥B. 若//,m n ααβ=，则//m nC. 若m m αβ⊥⊥，，则//αβD. 若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．【详解】对于A 选项，若m α⊥，则取α内任意两条直线,a b ，,a b α∃⊂且ab P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 正确； 对于B 选项，若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α， 设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==， 则m n ⊥，故B 错误；对于C 选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 正确； 对于D 选项，由线面垂直的定义可得D 选项正确； 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于基础题． 12.若圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线4325=0x y -+的距离等于1，则r 可以取值（ ） A.92B. 5C.112D. 6【答案】ABC【解析】 【分析】首先求得圆心(0,0)到直线4325=0x y -+的距离为5，从而得到若圆上恰有一个点到直线4325=0x y -+的距离等于1，则4r =或6r =，分析题意，得到结果.【详解】圆心(0,0)到直线4325=0x y -+的距离5d ==，半径为r ，若圆上恰有一个点到直线4325=0x y -+的距离等于1， 则4r =或6r =， 故当圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线4325=0x y -+的距离等于1，所以(4,6)r ∈， 故选：ABC.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，圆上点到直线距离与半径比较，属于简单题目.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13.求值：sin15sin 75+=________【解析】 【分析】15、75分别记为4530︒︒-、4530︒︒+，再利用两角和与差的正弦公式展开计算即可.【详解】原式()()sin 4530sin 4530︒︒︒︒=-++sin 45cos30cos 45sin30sin 45cos30cos 45sin30︒︒︒︒︒︒︒︒=-++2sin 45cos30︒︒==.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、特殊角的三角函数值，属于基础题.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱1,AD D D 的中点，则异面直线MN 与AC所成的角大小为______． 【答案】60︒ 【解析】 【分析】由题意连接AD 1，得MN ∥AD 1，可得∠D 1AC 即为异面直线MN 与AC 所成的角，再由△AD 1C 为等边三角形得答案． 【详解】如图，连接AD 1，由M ，N 分别为棱AD ，D 1D 的中点，得MN ∥AD 1， ∴∠D 1AC 即为异面直线MN 与AC 所成的角，连接D 1C ，则△AD 1C 为等边三角形，可得∠D 1AC ＝60°． ∴异面直线MN 与AC 所成的角大小为60°． 故答案为60°．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是基础题．15.设函数()Asin()f x x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数且A ＞0，ω＞0，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，若6()5f α=（02πα<<），则()6f πα+的值为___．433+【解析】 【分析】由函数()f x 的图象求出A 、T 、ω和ϕ的值，写出()f x 的解析式，再由()f α的值，利用三角恒等变换求出6f πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【详解】由函数()f x 的图知，2A =，由22233T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得21T πω==， ∴()()2f x sin x ϕ=+， 又222sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且22ππϕ-<<，∴6πϕ=-，∴()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()62sin 65f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴365sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又02πα<<，∴663πππα-<-<，∴4cos 65πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，∴2sin 2sin 666f πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 2cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 34122552=⨯⨯⨯ =． 【点睛】本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征求解析式以及两角和的正弦公式的应用， A 为振幅，由其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T,φ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.，16.在平面直角坐标系xOy 中，点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆22(1)(1)4x y -++=引两条切线,PC PD ，切点分别为,C D ，则直线CD 过定点，定点坐标为________． 【答案】11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】设00(,)P x y ，则004y x =+，求出CD 所在的直线方程，可得CD 所在的直线方程含有0x ，且0x 在直线AB 上，分别取任意的两个0x 的值，联立方程组，即可求得定点的坐标，得到答案.【详解】如图所示，直线AB 的方程为40x y -+=，设00(,)P x y ，则004y x =+，①又由圆22(1)(1)4x y -++=，可得圆心(1,1)-，②则圆心到点P 的中点坐标为0011(,)22x y ++，圆心到点P 的距离为d =， 则以0011(,)22x y ++为圆心，以d 为直径的圆的方程为2220011()()()222x y d x y ++-+-=，③将d 代入③得2220011()()22x y x y ++-+-=， 由②-③可得CD 的直线方程：0000(1)(1)20x x y y x y -++-+-=，因为0x R ∈，当01x =时，则05y =，代入上式，可得13y =-， 令05x =-时，则01y =-，代入上式，可得13x =， 则两直线13x =和13y =-的交点即为CD 经过的定点，定点坐标为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了圆的切线方程，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知点A(4,1),B(6,3),C(3,0)-．（1）求ABC ∆中BC 边上的高所在直线的方程；（2）求过,,A B C 三点的圆的方程．【答案】（1）3110x y --=；（2）229120x y x y ++--=【解析】【分析】（1）BC 边上的高所在直线方程斜率与BC 边所在直线的方程斜率之积为-1，可求出高所在直线的斜率，代入A(4,1)即可求出高所在直线的方程．（2）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入A(4,1),B(6,3),C(3,0)-即可求得圆的方程． 【详解】（1）因为BC 所在直线的斜率为301633BC k -==---， 所以BC 边上的高所在直线的斜率为3k = 所以BC 边上的高所在直线的方程为13(4)y x -=-，即3110x y --=（2）设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=因为,,A B C 在所求的圆上，故有1614369630930D E FD F++⎧⎪+-++=⎨⎪++=⎩1912DEF=⎧⎪⇒=-⎨⎪=-⎩所以所求圆的方程为229120x y x y++--=【点睛】（1）求直线方程一般通过直线点斜式方程求解，即知道点和斜率．（2）圆的一般方程为220x y Dx Ey F++++=，三个未知数三个点代入即可．18.如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．(Ⅰ)求证：FG//平面PBD；(Ⅱ)求证：BD FG⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：（1）先证明FG//PE，再证明FG//平面PBD. （2）先证明BD⊥平面PAC，再证明BD⊥FG．详解：证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，FG//PE,FG PBD PE PBD∴⊄⊂∴平面，平面，FG||PE，又FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，所以FG||平面PBD（II）因为菱形ABCD，所以BD AC⊥，又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD PA⊥，因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA AC A⋂=，BD∴⊥平面PAC，FG ⊂平面PAC ，∴BD⊥FG .点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.19.已知α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin 2α ＋cos 2α ＝2. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35 ，β∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求cos β的值．【答案】（1）cos α=（2）cos β= 【解析】试题分析：(1)把已知条件平方可得sin α＝12,再由已知α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得cos α的值. (2)由条件可得－2π<α－β<2π, cos(α－β)＝45,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.试题解析： (1)已知sin 2α＋cos 2α＝2，两边同时平方， 得1＋2sin 2αcos 2α＝32 ，则sin α＝12.又2π<α<π，所以cos α＝－2. (2)因为2π<α<π，2π <β<π，所以－2π<α－β<2π. 又sin(α－β)＝－35 ，所以cos(α－β)＝45 . 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－2 ×45 ＋12 ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝－310. 点睛: 本题考查的是三角函数式化简中的给值求值问题，看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分β=[α－(α－β)，从而正确使用公式；由条件可得－2π<α－β<2π, cos(α－β)＝45,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.20.如图，在三棱锥P ABC -中，平面ABC ⊥平面PAC ，,,AB BC E F =分别是,PA AC 的中点．求证（1）//EF 平面PBC（2）平面BEF ⊥平面PAC ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得//EF PC ，再由线面平行的判定即可得证；（2）由题意结合平面几何知识可得BF AC ⊥，由面面垂直的性质可得BF ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定即可得证.【详解】证明：（1）在APC △中，因为E ，F 分别是PA ，AC 的中点，所以//EF PC ，又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以//EF 平面PBC ；（2）因为AB BC =，且点F 是AC 的中点，所以BF AC ⊥，又平面ABC ⊥平面PAC ，平面ABC平面PAC AC =，BF ⊂平面ABC ，所以BF ⊥平面PAC ，又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC ．【点睛】本题考查了线面平行的判定与面面垂直的性质、判定，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，关键是对于空间位置关系的判定、性质的熟练应用，属于基础题.21.如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，点A 在弧PQ 上（异于点P ，Q ），过点A 作,AB OP AC OQ ⊥⊥，垂足分别为B ，C ，记AOB θ∠=，四边形ACOB 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）2sin 2sin 2,033S ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当θ为6π时，面积S 有最大值，3【解析】【分析】(1) 根据题意,利用直角三角形的边角关系和三角形的面积公式，计算△OA B 和△OAC 的面积，求和即可;(2)化函数S 为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出s 的最大值以及对应θ的值.【详解】（1）因为AB OP ⊥，所以在Rt OAB 中，sin 2sin ,cos 2cos AB OA OB OA θθθθ====，12sin cos sin 22ABO S OB AB θθθ=⨯==， 因为,3AC OQ POQ π⊥∠=，所以3AOC πθ∠=-； 同理：22sin cos sin 2333ACO S πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 从而S 关于θ的解析式为2sin 2sin 2,033ABO ACO S S S ππθθθ∆⎛⎫⎛⎫=+=+-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）化简函数2sin 2sin 23S πθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭ 22sin 2sincos 2cos sin 233ππθθθ=+- 33sin 2cos 222θθ=+ 313sin 2cos 222θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎭3sin 2cos cos 2sin 66ππθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3sin 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为π0θ3，所以52666πππθ<+<， 故当262ππθ+=，即6πθ=时S 有最大值，最大值为3．答：当θ为6π时，面积S 有最大值，最大值为3． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题.22.已知圆C 经过(2,0),(1,3)A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）已知过点(1,2)P 的直线2l 与圆C 相交截得的弦长为32l 的方程；（3）已知点(1,1)M ，在平面内是否存在异于点M 的定点N ，对于圆C 上的任意动点Q ，都有QN QM为定值?若存在求出定点N 的坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1）224x y +=；（2）1x =或3450x y -+=；（3）见解析【解析】分析】(1)设出圆的一般方程，代入三个条件解得答案.(2)将弦长转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式得到答案. (3)设出点,Q N 利用两点间距离公式得到比值关系，设为λ，最后利用方程与N 无关得到关系式计算得到答案.【详解】（1）因为圆C 经过(2,0),A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上 设圆C ：220x y Dx EyF ++++=所以2(2)20D F --+=，2210D E F ++++=，22D E -=- 所以0D E ==，4F =-所以圆22:4C x y +=（2）当斜率不存在的时候，1x =，弦长为当斜率存在的时候，设2:2(1)l y k x -=-，即20kx y k -+-=1,43k == 所以直线2l 的方程为：1x =或3450x y -+=（3）设()00,,(,)Q x y N m n ，且22004x y +=QN QM ==因为QN QM 为定值，设220000(2)(2)4(2)(2)6m x n y m n x y λ-+-+++=-+-+ 化简得：2200(22)(22)460m x n y m n λλλ-+-+++-=，与Q 点位置无关，所以22220220460m n m n λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪++-=⎩解得：1m n ==或2m n ==所以定点为(2,2)【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查阿斯圆内容.考查了多项式恒成立问题.考查学生的分析能力、数据分析能力.。