韶关学院高数期末考试复习题
高数期末考试题及答案解析
高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \sin x + 2x^2 \) 在区间 \( [0,\frac{\pi}{2}] \) 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 \( f'(x) = \cos x + 4x \)。
在区间\( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上，\( \cos x \) 始终大于等于0，而\( 4x \) 也是非负的，因此 \( f'(x) \geq 0 \)，说明函数 \( f(x) \) 在该区间上单调递增。
所以答案是 A。
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)D. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)答案解析：根据极限的性质，如果 \( \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则 \( g(x) \) 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。
同时，\( f(x) \) 趋向于0。
因此，选项 A 是正确的。
3. 曲线 \( y = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 \( y' = 3x^2 - 3 \)，将 \( x = 1 \) 代入得到 \( y' = 0 \)。
因此，曲线在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率为 0，答案是 A。
4. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)答案解析：根据积分的基本公式，\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，所以 \( \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \)。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
高数期末考试题大题及答案
高数期末考试题大题及答案一、极限题目1：求函数 \( f(x) = \frac{3x^2 - x}{x^2 + 2} \) 在 \( x \to \infty \) 时的极限。
解答：首先，我们可以通过分子分母同时除以 \( x^2 \) 来简化函数：\[ f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} \]当 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x} \) 和\( \frac{2}{x^2} \) 都趋向于 0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 \]二、导数与微分题目2：求函数 \( g(x) = x^3 - 2x^2 + x \) 的导数。
解答：使用幂函数的导数规则，我们有：\[ g'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]三、积分题目3：计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。
解答：首先，我们需要找到 \( x^2 \) 的原函数，即：\[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]然后，我们可以计算定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]四、无穷级数题目4：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性。
解答：该级数可以重写为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) \]这是一个交错级数，我们可以通过比较测试来判断其收敛性。
由于每一项都是正的且递减，我们可以得出结论，该级数是收敛的。
2022-2023学年广东省韶关市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{1，2，4，5，7，8}，集合A ＝{1，2，5}，集合B ＝{2，7，8}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．4 B ．（1，2，5，7，8）C ．{4}D ．{2}2．在复平面内，复数1﹣2i 与﹣1+3i 分别对应向量ON →和OM →，其中O 为坐标原点，则|NM →|=（ ） A ．1B ．5C ．√2D ．√293．已知a =log 1213，b =(13)12，c ＝cos π，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β5．f(x)=(1−e x1+e x )⋅cos(32π+x)部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量a →=(√3，1)，b →=(1，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．(√3+12，1) B ．(√3+12，√3+12) C ．(√3−12，√3−12) D ．(1，√3−12)7．已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点，点P 是双曲线C 右支上一点，过点F 2向∠F 1PF 2的角平分线作垂线，垂足为点Q ，则点A(−√3，1)和点Q 距离的最大值为（ ） A ．2B ．√7C ．3D ．48．已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，若f （x ）有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．(1e ，1)C ．（1，e ）D ．(1e ，e)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．事件A 与事件B 为互斥事件，则事件A 与事件B 为对立事件 B ．事件A 与事件B 为对立事件，则事件A 与事件B 为互斥事件C ．若X ～N （1，σ2），P （X ＞2）＝0.2，则P （0＜X ＜1）＝0.3D ．一组成对样本数据线性相关程度越强，则这组数据的样本相关系数的绝对值就越接近于1 10．将函数f （x ）＝sin x 的图象每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移π6个单位，向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）的最大值是2B ．[−5π12，π12]是g （x ）一个增区间C ．(5π6，1)是g （x ）图象的一个对称中心 D ．x =−π6是g （x ）图象的一条对称轴 11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1+a n ＝4n ，则（ ） A ．a 2023＝4045B ．S n 是{a n }的前n 项和，则S 100＝20000C ．当n 为偶数时a n ＝2n +1D ．{a n }的通项公式是a n ＝2n ﹣112．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，以线段AB 为直径的圆P 交y 轴于M ，N 两点，过P 且与y 轴垂直的直线交抛物线于点H ，则（ ） A ．圆P 与抛物线的准线相切B ．存在一条直线l 使|AF |•|BF |＝3C ．对任意一条直线l 有|HP |＝|HF |D ．∠MPN 有最大值，且最大值为2π3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(x 12√x )8展开式中第三项系数为 （用具体数字作答）．14．已知tan α＝2，则1sin2α+cos 2α= ．15．三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，∠BAC =π3，BC =√3，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积是 ．16．某次考试准备了A 、B 、C 三份试题，开考前从中随机选择一份作为当场考试试题，试题A 和试题B 被选上的概率都是0.3，如果试题是A 或C ，考生甲通过的概率都是0.8．如果试题是B ，考生甲通过的概率是0.6，则该场考试考生甲能通过的概率是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，√3bsinA =a(2+cosB)．（1）求角B ；（2）延长BC 至D 点，若BC ＝2，△ACD 的面积为3√32，∠ACD =56π，求AD 的长．18．（12分）已知数列{a n }为等比数列，a 2+a 5＝14，a 2•a 5＝﹣32，且a 1＞0． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =1log 2|a n+1|⋅log 2|a n+3|，设{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34．19．（12分）“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为19，第二轮检测不通过的概率为110，两轮检测是否通过相互独立．（1）求一个批次杨梅不能销售的概率；（2）如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利﹣800元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利X 元，求X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图①所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的点，DE ∥BC 且DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图②． （1）若点N 在线段A 1B 上，且2BN ＝NA 1，求证：EN ∥平面A 1CD ； （2）若M 是A 1D 的中点，求平面MEB 与平面DEBC 夹角的余弦值．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x ，ℎ(x)=ae xx+1，a ∈R ． （1）求曲线y ＝f （x ）过坐标原点的切线方程；（2）若f （x ）+h （x ）≥0在[1，+∞）恒成立，求a 的取值范围． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率是12，且过点M(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，且P ，Q 为椭圆C 上异于A 1，A 2的点，若直线PQ 过点(12，0)，是否存在实数λ，使得k A 1P =λk A 2Q 恒成立．若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由．2022-2023学年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{1，2，4，5，7，8}，集合A ＝{1，2，5}，集合B ＝{2，7，8}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．4 B ．（1，2，5，7，8）C ．{4}D ．{2}解：由题设有A ∪B ＝{1，2，5，7，8}，∁U （A ∪B ）＝{4}． 故选：C ．2．在复平面内，复数1﹣2i 与﹣1+3i 分别对应向量ON →和OM →，其中O 为坐标原点，则|NM →|=（ ） A ．1B ．5C ．√2D ．√29解：由复数的几何意义知：ON →=(1，−2)，OM →=(−1，3)， NM →=OM →−ON →=(−2，−5)， ∴|NM →|=√(−2)2+(−5)2=√29． 故选：D ．3．已知a =log 1213，b =(13)12，c ＝cos π，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解：因为a =log 1213＞log 1212=1， b =(13)12=√33∈(0，1)， c ＝cos π＝﹣1， 所以a ＞b ＞c ． 故选：A ．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β解：对于A ，当m ∥α，n ∥α时，直线m ，n 相交，异面，平行都有可能； 对于B ，还少了条件m ∩n ＝P ，m ⊂α，n ⊂α才能得到相应的结论； 对于C ，当α⊥β，m ⊂α时，m ∥β，m 与β相交但不垂直都有可能；对于D ，设直线m ，n 的方向向量分别为a →，b →，若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则平面α，β的一个法向量分别为a →，b →，且a →⊥b →， 所以α⊥β，所以D 正确． 故选：D ．5．f(x)=(1−e x1+e x )⋅cos(32π+x)部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数f(x)=(1−e x 1+e x )⋅cos(32π+x)的定义域为R ，定义域关于原点对称，又f(x)=(1−e x1+e x )⋅cos(32π+x)，可化为f(x)=(1−e x1+e x )⋅sinx ， 所以f(−x)=1−e −x 1+e −x sin(−x)=e x −1e x +1(−sinx)=f(x)， 故f （x ）为偶函数，图形关于y 轴对称，排除B ，D 选项， 令f （x ）＝0可得，sin x ＝0或e x ＝1， 由sin x ＝0，解得x ＝k π，k ∈Z ， 由e x ＝1，解得x ＝0， 所以函数最小的正零点为π， 当0＜x ＜π时，1−e x 1+ex＜0，sin x ＞0，f(x)=(1−e x1+e x )sinx ＜0，排除A ． 故选：C ．6．已知向量a →=(√3，1)，b →=(1，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．(√3+12，1)B ．(√3+12，√3+12)C ．(√3−12，√3−12)D ．(1，√3−12)解：a →=(√3，1)，b →=(1，1)，故所求投影向量为a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=√3+1√2⋅√2=(√3+12，√3+12)．故选：B ．7．已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点，点P 是双曲线C 右支上一点，过点F 2向∠F 1PF 2的角平分线作垂线，垂足为点Q ，则点A(−√3，1)和点Q 距离的最大值为（ ） A ．2B ．√7C ．3D ．4解：如图所示，延长F 2Q ，交PF 1于点T ，∵PQ 平分∠F 1PF 2，PQ ⊥F 2Q ，∴|PT |＝|PF 2|，|TQ |＝|F 2Q |，∵P 在双曲线x 2−y 23=1上，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2，得|F 1T |＝2，连接OQ ，则|OQ|=12|F 1T|=1，∵|AO|=√3+1=2，∴|QA |≤|OQ |+|AO |＝2+1＝3，当A ，O ，Q 三点共线时取等号， 即点A(−√3，1)和点Q 距离的最大值为3． 故选：C ．8．已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，若f （x ）有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．(1e ，1)C ．（1，e ）D ．(1e ，e)解：已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，函数f （x ）的定义域为（0，+∞） f ′(x)=2ax +a −2−1x =(ax−1)(2x+1)x， 当a ≤0时，f ′（x ）＜0恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （x ）至多有一个零点，不符合题意；当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x =1a，当x ∈(0，1a)时，f ′（x ）＜0，f （x ）上单调递减； 当x ∈(1a ，+∞)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增． 此时最小值为f(1a )=1−1a +lna ，①当a ＝1时，由于f(1a )=0，故f （x ）只有一个零点；②当a ＞1时，1−1a +lna ＞0即f(1a)＞0，故f （x ）没有零点； ③当0＜a ＜1时，1−1a +lna ＜0即f(1a )＜0， 又f(1e )=a(1e )2+(a −2)(1e )−ln 1e =a e 2+a e +1−2e ＞0； f(3a )=a(3a )2+(a −2)(3a )−ln 3a =3+3a −ln 3a ＞4＞0，由零点存在定理知f （x ）在(0，1a )上有一个零点；在(1a ，+∞)有一个零点． 所以f （x ）有两个零点，a 的取值范围为（0，1）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．事件A 与事件B 为互斥事件，则事件A 与事件B 为对立事件 B ．事件A 与事件B 为对立事件，则事件A 与事件B 为互斥事件C ．若X ～N （1，σ2），P （X ＞2）＝0.2，则P （0＜X ＜1）＝0.3D ．一组成对样本数据线性相关程度越强，则这组数据的样本相关系数的绝对值就越接近于1 解：对于选项A ，事件A 与事件B 为互斥事件，但事件A 与事件B 不一定是对立事件，故A 错误； 对于选项B ，事件A 与事件B 为对立事件，则事件A 与事件B 为互斥事件，故B 正确；对于选项C ，因为X ～N （1，σ2），P （X ＞2）＝0.2，所以P(0＜X ＜1)=12(1−2P(X ＞2))=0.3，故C 正确；对于选项D ，如一组成对样本数据线性相关程度越强，则这组数据的样本相关系数的绝对值就越接近于1，故D 正确． 故选：BCD ．10．将函数f （x ）＝sin x 的图象每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移π6个单位，向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）的最大值是2B ．[−5π12，π12]是g （x ）一个增区间C ．(5π6，1)是g （x ）图象的一个对称中心 D ．x =−π6是g （x ）图象的一条对称轴解：函数f （x ）＝sin x 的图象每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数y ＝sin2x ， 再将所得图象向左平移π6个单位，向上平移1个单位，得到g(x)=sin(2x +π3)+1．对于A ，当sin(2x +π3)=1时，g （x ）取最大值，最大值是2，故A 正确； 对于B ，由x ∈[−5π12，π12]，得2x +π3∈[−π2，π2]，所以[−5π12，π12]是g （x ）一个增区间，故B 正确； 对于C ，当x =5π6时，sin(2x +π3)=sin(2×5π6+π3)=sin2π=0，g(5π6)=1， 所以(5π6，1)是g （x ）图象的一个对称中心，故C 正确；对于D ，g(−π6)=sin[2×(−π6)+π3]+1=1≠±2，故(−π6，1)是对称中心， 则x =−π6不是g （x ）图象的一条对称轴，故D 错误． 故选：ABC ．11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1+a n ＝4n ，则（ ） A ．a 2023＝4045B ．S n 是{a n }的前n 项和，则S 100＝20000C ．当n 为偶数时a n ＝2n +1D ．{a n }的通项公式是a n ＝2n ﹣1 解：依题意，由a 1＝1，a n +1+a n ＝4n ， 可得S 100＝a 1+a 2+…+a 100＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+⋯+（a 99+a 100） ＝4×1+4×3+⋯+4×99 ＝4×（1+3+5+⋯+99） =4×(1+99)×502＝10000，故选项B 错误； 又由a n +1+a n ＝4n ，① 可得a n +2+a n +1＝4（n +1），② ②﹣①，可得a n +2﹣a n ＝4， ∵a 1＝1，a 1+a 2＝4，∴a 2＝3，∴数列{a n }的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列， 偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，（i ）当n 为奇数时，令n ＝2k ﹣1，k ∈N *，则k =n+12， 此时a n ＝1+4•（k ﹣1）＝4k ﹣3＝4•n+12−3＝2n ﹣1，（ii ）当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则k =n，此时a n ＝3+4（k ﹣1）＝4k ﹣1＝4•n2−1＝2n ﹣1，综上所述，对任意的n ∈N *，a n ＝2n ﹣1， 故选项C 错误，选项D 正确；∴a 2023＝2×2023﹣1＝4045，故选项A 正确． 故选：AD ．12．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，以线段AB 为直径的圆P 交y 轴于M ，N 两点，过P 且与y 轴垂直的直线交抛物线于点H ，则（ ） A ．圆P 与抛物线的准线相切B ．存在一条直线l 使|AF |•|BF |＝3C ．对任意一条直线l 有|HP |＝|HF |D ．∠MPN 有最大值，且最大值为2π3解：若直线l ⊥y 轴，则直线l 与抛物线y 2＝4x 有且只有一个交点，不合乎题意． 设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为x ＝my +1，联立{y 2=4x x =my +1，整理可得y 2﹣4my ﹣4＝0，Δ＝16（m 2+Δ＝16（m 2+1）＞0，∵y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴P （2m 2+1，2m ），从而P （2m 2+1，2m ）到准线的距离为d ＝2m 2+2，而圆P 的直径为|AB |＝|AF |+|BF |＝x 1+1+x 2+1＝4m 2+2，∴d =2m 2+2=|AB|2=r ， 故圆P 与抛物线的准线相切，故A 正确； 由韦达定理可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1x 2=y 124⋅y 224=2416=1，|AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=(my 1+2)(my 2+2)=m 2y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4 ＝﹣4m 2+2m 2×4+4＝4（m 2+1）≥4，∴不存在一条直线l 使|AF |•|BF |＝3，故B 不正确；∵y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴P （2m 2+1，2m ），从而H （m 2，2m ），∴|PH |＝m 2+1， 由抛物线的定义可得|HF |＝m 2+1，从而|HF |＝|PH |，故C 正确；∵y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2，∴圆P 的直径为2r ＝|AB |=2r =|AB|=x 1+x 2+2=4m 2+4，则r ＝2m 2+2， 点P 到y 轴的距离为d =x 1+x 22=2m 2+1， ∴sin ∠PMN =d r =sin ∠PMN =d r =2m 2+12m 2+2=2m 2+2−12m 2+2=1−12m 2+2，∴当m ＝0时，∠PMN 最小，最小值为π6，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(x 12√x)8展开式中第三项系数为 7 （用具体数字作答）． 解：由题意可知，展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅x 8−r (12√x )r ， 令r ＝2，则第三项为C 82x 6(2√x )2，所以系数为C 82(12)2=7．故答案为：7 14．已知tan α＝2，则1sin2α+cos 2α= 1 ．解：因为tan α＝2， 所以1sin2α+cos 2α=sin 2α+cos 2α2sinαcosα+cos 2α=tan 2α+12tanα+1=1．故答案为：1．15．三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，∠BAC =π3，BC =√3，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积是203√5π．解：如图，将三棱锥还原成直三棱柱，设三棱柱的外接球球心为O ，D 1，D 分别为上下底面的外心， 则O 为DD 1的中点，AD 为底面外接圆的半径，所以球心O 到面ABC 的距离为0D =12PA =2， 由正弦定理有：2AD =BCsin∠BAC =332=2⇒AD =1，所以OA =R =√OD 2+AD 2=√5， V =43π(√5)3=203√5π． 故答案为：203√5π．16．某次考试准备了A 、B 、C 三份试题，开考前从中随机选择一份作为当场考试试题，试题A 和试题B 被选上的概率都是0.3，如果试题是A 或C ，考生甲通过的概率都是0.8．如果试题是B ，考生甲通过的概率是0.6，则该场考试考生甲能通过的概率是 0.74 ．解：设事件考生甲考试卷A 为事件A ，考试卷B 为事件B ，考试卷C 为事件C ，考生甲能通过考生为事件D ，由题知：P （A ）＝P （B ）＝0.3，P （C ）＝0.4，P （D |B ）＝0.6， P （D |A ）＝P （D |C ）＝0.8，P （D ）＝P （AD ）+P （BD ）+P （CD ）＝P （A ）P （D |A ）+P （B ）P （D |B ）+P （C ）P （D |C ） ＝0.3×0.8+0.3×0.6+0.4×0.8＝0.74． 故答案为：0.74．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，√3bsinA =a(2+cosB)． （1）求角B ；（2）延长BC 至D 点，若BC ＝2，△ACD 的面积为3√32，∠ACD =56π，求AD 的长．解：（1）由正弦定理可将已知条件转化为：√3sinBsinA =sinA(2+cosB)， 因为A ∈（0，π）， 所以sin A ＞0，所以√3sinB −cosB =2，可得sin(B −π6)=1，因为B ∈（0，π）， 所以B −π6=π2， 可得B =2π3；（2）因为∠ACD =5π6， 所以∠ACB =π6，所以∠BAC =π−∠ACB −∠B =π6，在△ABC 中，由正弦定理得：ACsinB=BC sin∠BAC，所以AC =BC⋅sinBsin∠BAC =2√3，在△ACD 中，S △ACD =12AC ⋅CD ⋅sin∠ACD ， 即12×2√3×CD ×12=3√32，所以CD ＝3，由余弦定理得：AD 2＝AC 2+CD 2﹣2AC •AD •cos ∠ACD ， 即：AD 2=12+9−2×2√3×3×(−√32)=39，所以AD =√39．18．（12分）已知数列{a n }为等比数列，a 2+a 5＝14，a 2•a 5＝﹣32，且a 1＞0． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =1log 2|a n+1|⋅log 2|a n+3|，设{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34．（1）解：由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， 则由{a 2+a 5=14a 2⋅a 5=−32，可得{a 1q +a 1q 4=14a 12q 5=−32，解得{a 1=−32q =−12，或{a 1=1q =−2，∵a 1＞0，∴a 1＝1，q ＝﹣2，∴a n ＝1•（﹣2）n ﹣1＝（﹣2）n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）可得， b n =1log 2|a n+1|⋅log 2|a n+3|=1log 22n⋅log 22n+2 =1n(n+2)=12•（1n−1n+2），∴S n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ﹣1+b n=12•（1−13）+12•（12−14）+12•（13−15）+⋯+12•（1n−1−1n+1）+12•（1n −1n+2）=12⋅(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2) =12⋅(1+12−1n+1−1n+2) =34−2n+32(n+1)(n+2)， ∵2n+32(n+1)(n+2)＞0，∴S n =34−2n+32(n+1)(n+2)＜34， 故不等式S n ＜34对任意n ∈N *恒成立．19．（12分）“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”东魁杨梅是夏天的甜蜜馈赠．每批次的东魁杨梅进入市场前都必须进行两轮检测，只有两轮检测都通过才能进行销售，否则不能销售，已知第一轮检测不通过的概率为19，第二轮检测不通过的概率为110，两轮检测是否通过相互独立．（1）求一个批次杨梅不能销售的概率；（2）如果杨梅可以销售，则该批次杨梅可获利400元；如果杨梅不能销售，则该批次杨梅亏损800元（即获利﹣800元）．已知现有4个批次的杨梅，记4批次的杨梅（各批次杨梅销售互相独立）获利X 元，求X 的分布列和数学期望．解：（1）记“一个批次杨梅不能销售”为事件A ， 则P(A)=1−(1−19)×(1−110)=15， 所以一个批次杨梅不能销售的概率为15．（2）依据题意，X 的取值为﹣3200，﹣2000，﹣800，400，1600， P(X =−3200)=(15)4=1625， P(X =−2000)=C 41(15)3(45)=16625， P(X =−800)=C 42(15)2(45)2=96625， P(X =400)=C 43(15)1(45)3=256625，P(X =1600)=(45)4=256625， 所以X 的分布列为：E(X)=−3200×1625−2000×16625−800×96625+400×256625+1600×256625=640．20．（12分）如图①所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的点，DE ∥BC 且DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图②． （1）若点N 在线段A 1B 上，且2BN ＝NA 1，求证：EN ∥平面A 1CD ； （2）若M 是A 1D 的中点，求平面MEB 与平面DEBC 夹角的余弦值．（1）证明：在△A 1CB 中，过N 作NF ∥CB 交A 1C 于点F ． 因为A 1N A 1B=23，所以FN =23BC ，在三角形ABC 中，DE =23BC ，DE ∥BC ， 所以FN ∥DE ，FN ＝DE ， 所以四边形DENF 为平行四边形，所以DF ∥NE ．又DF ⊂平面A 1CD ，EN ⊄平面A 1CD ， 所以EN ∥平面A 1CD（2）解：因为DE ∥BC ，∠C ＝90°，所以DE ⊥AC ，所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ． 因为A 1D ∩CD ＝D ，A 1D ，CD ⊂平面A 1CD ，所以DE ⊥平面A 1CD ，所以BC ⊥平面A 1CD ．又由A 1C ⊥CD ，可建立如图所示直角坐标系，则A 1(0，0，2√3)，D （2，0，0），C （0，0，0），E （2，2，0），B （0，3，0），M(1，0，√3)，则：EM →=(−1，−2，√3)，EB →=(−2，1，0)， 设平面MEB 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)，则 {n 1→⋅EM →=0n 1→⋅EB →=0，即{−x −2y +√3z =0−2x +y =0， 令x =√3得，n 1→=(√3，2√3，5)可取平面DEBC 的法向量n 2→=(0，0，1)， 设平面MEB 与平面DEBC 所成角为θ，则 cosθ=|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=51×40=√104，所以平面MEB 与平面DEBC 所成夹角的余弦值为√104． 21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x ，ℎ(x)=ae xx+1，a ∈R ． （1）求曲线y ＝f （x ）过坐标原点的切线方程；（2）若f （x ）+h （x ）≥0在[1，+∞）恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝lnx ﹣x 定义域为（0，+∞），f ′(x)=1x−1， 设所求切线的切点为（x 0，lnx 0﹣x 0），则f ′(x 0)=1x 0−1， 则所求切线方程为y −(lnx 0−x 0)=(1x 0−1)(x −x 0)，将（0，0）代入可得：x 0﹣lnx 0＝x 0﹣1，故x 0＝e ， 故所求切线方程为y =1−ee x ． （2）依题意ae x x+1+lnx −x ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ≥x 2−x−xlnxe x在[1，+∞）上恒成立．令g(x)=x 2−x−xlnxe x，x ∈[1，+∞）， 则g ′(x)=(x−1)(lnx−x+2)e x，令h （x ）＝lnx ﹣x +2（x ≥1）， 则ℎ′(x)=1x −1=1−xx ≤0， 则h （x ）在[1，+∞）上单调递减， ∵h （3）＝ln 3﹣1＞0，h （4）＝ln 4﹣2＜0， ∴存在x 0∈（3，4），使得h （x 0）＝0， 即lnx 0﹣x 0+2＝0，∴x 0lnx 0−x 02+2x 0=0，当x ∈（1，x 0）时，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增； 当x ∈（x 0，+∞）时，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减． ∴g(x)max=g(x 0)=x 02−x 0−x 0lnx 0e x 0=x0e x 0，又lnx 0﹣x 0+2＝0， ∴lnx 0=x 0−2=lne x 0−2，则x 0=ex 0−2=e x 0e 2，即x 0e x 0=1e2． ∴g(x)max =1e 2． ∴a ≥1e 2， 即实数a 的取值范围为[1e 2，+∞)． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率是12，且过点M(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，且P ，Q 为椭圆C 上异于A 1，A 2的点，若直线PQ 过点(12，0)，是否存在实数λ，使得k A 1P =λk A 2Q 恒成立．若存在，求实数λ的值；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意，e =c a =12，a 2+b 2＝c 2，解得：b 2=34a 2①． ∵点M(1，32)在椭圆C 上， ∴1a 2+94b 2=1②，联立①、②，解得a 2＝4，b 2＝3， 故所求椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1；（2）解法一：由（1）知A 1（﹣2，0），A 2（2，0）． 当直线PQ 斜率不存在时，l PQ ：x =12． 与椭圆联立可得P(12，3√54)，Q(12，−3√54)， 则k A 1P =3√510，k A 2Q =√52， 故而k A 1P =35k A 2Q ，可得λ=35；得当直线PQ 斜率存在且不为0时，设l PQ ：y =k(x −12)， 令P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则k A 1P =y 1x 1+2，k A 2Q =y2x 2−2．联立{3x 2+4y 2−12=0y =k(x −12)， 消去y 并整理，得（4k 2+3）x 2﹣4k 2x +k 2﹣12＝0， 则由韦达定理得，{ x 1+x 2=4k24k 2+3x 1x 2=k 2−124k 2+3， 假设存在实数λ，使得k A 1P =λk A 2Q ，则y 1x 1+2=λy 2x 2−2，即(x 1−12)(x 2−2)=λ(x 2−12)(x 1+2)，整理得(1−λ)x 1x 2+(λ2−2)x 1−(12+2λ)x 2+1+λ=0，变形为(1−λ)x 1x 2+(λ2−2)((x 1+x 2)−x 2)−(12+2λ)x 2+1+λ=0，则(1−λ)k 2−124k 2+3+(λ2−2)(4k 24k 2+3−x 2)−(12+2λ)x 2+1+λ=0，即(3−5λ2)x 2−(3−5λ)(k 2+3)4k 2+3=0， 即(3−5λ2)[x 2−2(k 2+3)4k 2+3]=0， 即3−5λ2=0或x 2−2(k 2+3)4k 2+3=0，得λ=35或x 2=2(k 2+3)4k 2+3． 当x 2=2(k 2+3)4k 2+3时，x 1=(x 1+x 2)−x 2=4k24k 2+3−2k 2+64k 2+3=2k 2−64k 2+3．此时，x 1x 2=(2k 2+6)(2k 2−6)(4k 2+3)2=k 2−124k 2+3，整理得45k 2＝0，解得k ＝0与题设矛盾， 所以x 2≠2(k 2+3)4k 2+3，所以λ=35．解法二：由（1）知，A 1（﹣2，0），A 2（2，0）． 可设PQ ：x =my +12，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．联立{3x 2+4y 2−12=0x =my +12，得(3m 2+4)y 2+3my −454=0， 由韦达定理得：y 1+y 2=−3m 3m 2+4，y 1y 2=−454(3m 2+4)， 所以my 1y 2=154(y 1+y 2)， 所以k A 1Pk A 2Q=y 1x 1+2y 2x 2−2=y 1(x 2−2)y 2(x 1+2)=my 1y 2−32y 1my 1y 2+52y 2=154(y 1+y 2)−32y 1154(y 1+y 2)+52y 2=35，故存在实数λ=35，满足题设条件．。
2019-2020学年广东省韶关市数学高二第二学期期末复习检测试题含解析
2019-2020学年广东省韶关市数学高二第二学期期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．621(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为（） A ．30 B ．15C ．0D ．-15【答案】C 【解析】 【分析】根据6(1)x +的展开式的通项公式找出6(1)x +中函数含2x 项的系数和4x 项的系数做差即可． 【详解】6(1)x +的展开式的通项公式为16r r r T C x +=⋅ ，故6(1)x +中函数含2x 项的系数是26C 和4x 项的系数是46C 所以621(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为26C -46C =0 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键． 2．函数()sin ln sin x x f x x x -⎛⎫⎪+⎝⎭＝的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为sin sin ()ln()ln()()sin sin x x x xf x f x x x x x-+--===--+ ，所以舍去B,D;当(0,)2x π∈时，sin sin 0sin sin 01,ln()0sin sin x x x xx x x x x x x x--<-<+∴<<∴<++所以舍C ，选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．3．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e -∞ B ．39[,)e +∞ C ．28[,)e +∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意可构造函数()2xae g x x x=-，由()0g x '≤在[]1,3x ∈上恒成立，分离参数并构造新的函数()h x ，利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出a 的取值范围. 【详解】 由[]1,3x ∈，()()12122f x f x x x -<-得()()112212022f x x f x x x x ---⎡⎤⎦-<⎣恒成立， 令()()2g x f x x =-，即()2xae g x x x=-，[]1,3x ∈，则()g x 在[]1,3x ∈上单调递减，所以()21()20x ae x g x x-'=-≤在[]1,3x ∈上恒成立， 当1x =时，(1)20g '=-≤成立，当13x <≤时，()2120x ae x x --≤等价于()221xx a e x ≤-， 令()()(]22,1,31xx h x x e x =∈-， 则()()()2221101x x x h x e x ⎡⎤---⎣⎦'=<-， 所以()h x 在(]1,3x ∈上单调递减， ()()()233min 239331h x h e e⨯===⨯-，即39a e≤故选：D 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查导数和构造函数的应用，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.4．设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．设a R ∈，若函数3ax y e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >-D ．13a <-【答案】B 【解析】试题分析：设3axy e x =+，则()3axf x ae =+'，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点．即()30axf x ae =+='有正根，当有()30ax f x ae =+='成立时，显然有0a <，此时13ln()x a a=-．由0x >，得参数a 的范围为3a <-．故选B ． 考点：利用导数研究函数的极值．6．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ） A ．8种 B ．15种C ．53种D ．35种【答案】C 【解析】由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把5封电子邮件投入3个不同的邮箱，共有5333333⨯⨯⨯⨯=种不同的方法，故选C. 7． “ln ln x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】ln ln 0x y x y >⇔>>，0x y x y >>⇒>，x y >⇒0x y >>，∴ “ln ln x y >”是“x y >”的充分不必要条件． 故选：B ．8．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B【解析】解：计算K 2≈8.815>6.869，对照表中数据得出有1.114的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的， 即有1−1.114=8.4%的把握说明两个变量之间有关系， 本题选择B 选项.9．已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =RR ，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．{}2a a ≤ B ．{}1a a < C ．{}2a a ≥ D ．{}2a a >【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求得{}12RB x x x =≤≥或，再由()RAB R =，即可求得a 的范围，得到答案．【详解】由题意，集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，可得{}12RB x x x =≤≥或，又由()RAB R =，所以2a ≥．故选C ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2 B ．-4C ．2或-4D ．4【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( )A ．1x y z a b c ++=B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c++=，故选A . 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .12．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24 B ．0.26C ．0.288D ．0.292【答案】C 【解析】 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.二、填空题：本题共4小题13．已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
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高等数学期末复习题及答案一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1、.11)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan 2222C xD C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则设答(A ) 2、[) ） 答（ 和、 依赖于 ，不依赖于 依赖于 和 依赖于 ，不依赖于 依赖于 的值则， 上连续，且，在设函数t x s D s t C s t B t s A I t s dx sxt f s I x f st )()()()()00()(10)(0>>+=∞+⎰ 答( C ) 3、cx x x x D cx x x x C c x x x x B cx x x x A I xdx I +⋅-+-+⋅-++⋅-++⋅++==⎰sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21tan sec ln )(sec tan 21|tan sec |ln 21)(,sec 3 则设答( A ) 4、 答（ ） 等于是同阶无穷小，则与时，且当，，，有连续的导数，设4)(3)(2)(1)()(0)()()(0)0(0)0()(022D C B A k x x F x dt t f t x x F f f x f k x'→-=≠'=⎰答( C ) 5、） 答（ 是等价无穷小，则的导数与时，若已知21)( 1)(21)( 1)()0(d )()()(02022--=''''-=→⎰D C B A f x t t f t x x F x x答( B ) 6、)()()()()()()()()(0, 2cos 1)(lim,0)0(,0)(0 答 的驻点但不是极值点 是的驻点 不是的极小值点 是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x xx f f x x f x ==-==→ 答( Ｂ ) 7、（ ） 答 是单调的 不为极植 取极大值 取极小值 处必在函数)()()()(3)3cos cos 2()(0D C B A x dt t t x f xπ=+=⎰答( B ) 8、.)1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 11c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=+-=⎰ 则设 答(C ) 9、 ） 答（ 不为常数 恒为零 为负常数 为正常数 则设)()()()()(,sin )(2sin D C B A x F tdt e x F x xtdt⎰+⎰=π答( C )10、 设函数在点处可导则它在处关于自变量改变量的微分等于 答 y f x x x x dy A f x x f x B f x f x x C f x x D f x =+--+''(),()()()()()()()()()()()∆∆∆∆答()C11、极限的值为．；． ． ．． 答（ ）limtan sin x x xx A B b C D →-∞030112答( C ) 12、设 则点 是的极大值点 是的极小值点 是的驻点但不是极值点 不是的驻点 答 lim()()(),()()()()()(),,()()()x af x f a x a x aA f xB f xC f xD f x →--=-=21答( A ) 13、[] 答（ ） 无穷多 内零点的个数必为，在则函数，上连续，且，在设函数)( 2)(1)( 0)()()(1)()(0)()(D C B A b a dt t f dt t f x F x f b a x f x b x a ⎰⎰+=> 答( B ) 14、[] ） 答（ 要条件 既不是充分也不是必 充分必要条件 充分条件 必要条件 的为奇函数是积分上连续，则，在设)( )()( )(0)()()(D C B A dx x f x f a a x f aa=-⎰-答( B )15、)()()()( )())((0)(,0)()(0000 答 必不取得极值能不取得极大值 可能取得极大值也可 必有极小值 必有极大值 处则在的某邻域有定义且在函数D C B A x f x x x f x f x x x f ==''='=答()C 16、cx D c x x x C c x x B c xA I x x I ++-++==⎰2)(ln 21)(ln )(ln )(;1)( d ln 则设答( C ) 17、答（ ） 确定定积分4)(2)(1)(0)(cos 0D C B A dx x ⎰π=答( C )二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分 ）1、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x xe e xf xx 处连续则 在， ，设 填: 12、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在 ，当，当 填 : 1-3、已知是的一个原函数cos (),x xf x =⋅⎰x x xx f d cos )(则___________. ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⎰⎰)cos d(cos d cos )(x x x x x x x x f 填c x +2)cos (1 4、⎰='x x f x xxx f d )(,sin )(则的一个原函数为设______________。
期末高数试题及答案
期末高数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的导数是：A. 3x^2 - 4x + 3B. 3x^2 - 4x + 4C. 3x^2 + 4x - 3D. 3x^2 + 4x + 3答案：A3. 曲线y = x^2在x = 2处的切线斜率是：A. 0B. 4C. -4D. 2答案：B4. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 1答案：B5. 无穷级数∑(1/n^2)的和是：A. π^2/6B. eC. ln(2)D. 1答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x) = 2x - 3，则f'(1) = 。
答案：-17. 函数y = ln(x)的原函数是：。
答案：xln(x) - x + C8. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6与x轴的交点个数是：。
答案：39. 若级数∑(-1)^n/n从n=1到无穷收敛，则其和S满足：S = 。
答案：ln(2)10. 函数y = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：y = 1 + x + 。
答案：x^2/2三、简答题（每题5分，共20分）11. 证明函数f(x) = x^3 + 2x - 5在实数范围内单调递增。
答案：首先求导f'(x) = 3x^2 + 2，由于3x^2 + 2 > 0对所有实数x成立，因此函数f(x)在实数范围内单调递增。
12. 计算定积分∫(1到2) (2x + 1) dx。
答案：首先求不定积分，得到F(x) = x^2 + x + C。
然后计算F(2) - F(1) = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) = 4 + 2 - 1 - 1 = 4。
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2、看十遍不如做一遍，三遍以上才算过关
一、填空题
1、向量(
1,1,1),(1,1,1)==-a b 的夹角为__________. 2、直线112327
x y z +-+==-与平面51x y z ++=之间的关系是_______. 3、（1）极限
01_____.x y →→= （2）极限()222222001cos()lim _____.x y x y x y x y e +→→-+=+
4、在空间直角坐标系中，指出下列方程表示的图形：
（1）222240;x y z x y ++-+=
（2）229180;+-=x y y
（3）21;x y -=
（4）()
2224;z x y =+ （5）2224936 1.x y z ++=
5、设221:1;L x y +=222:2;L x y +=223:22;L x y +=224:2 2.L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线,记
33
()(2)(1,2,3,4)63
i i L y x I y dx x dy i =++-=⎰, 则{}1234max ,,,I I I I =( )
(A)1;I (B) 2;I (C) 3;I (D) 4.I
6、直线2360,42390.
-+-=⎧⎨-++=⎩x y z x y z 的方向向量为_______________.
7、（1）微积分方程 2(1)arctan '+=x y x 的通解是________________；
（2）微分方程 322(1)1
-=++dy y x dx x 的通解是________________. 8、过点(
1,1,0)-P 且和平面21+-=x y z 平行的平面方程为____________. 9、设sin xy z e =，则=dz .
10、设{(,)|12,03}D x y x y =≤≤≤≤，则二重积分
=⎰⎰D
dxdy __________. 二、解答下列各题 11、已知()
22(,)ln arctan()=++f x y x y xy ，求(1,0)xy f ''； 12、（1）求微分方程540''++=y y y 的通解；
（2）求微分方程4450''++=y y y 的通解.
13、（1）求曲面()2
c o s 0x x y y z x +++=在(0,1,1)-处的切平面方程及法线方程；
（2）求曲线2,3,.=⎧⎪=⎨⎪=⎩
x t y t z t 在(1,1,1)处的切线及法平面方程。
14、设2sin ,u v z e +=，而u xy =，v x y =+，求
x z ∂∂，y z ∂∂； 15、求曲线3
31(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距
离． 16、求函数3
(,)()3
x y x f x y y e +=+的极值． 17、求由曲面226=--z x y
曲面=z .
18、计算曲线积分 3222(2cos )(12sin 3),L xy y x dx y x x y dy -+-+⎰其中L
为抛物线22x y π=上由点)0,0(O 到点(,1)2
A π
的一段弧. 19、设函数(,)z z x y =由方程20xyz x y z e ++-=确定，求(0,0)
.z x ∂∂ 20、验证表达式: 2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++
在整个xoy 面内是某个二元函数),(y x u 的全微分，并求出一个这样的函数),(y x u ．。