原问题对偶问题一对对偶问题
《运筹学》线性规划的对偶问题
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用摘要线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationoftheDualProblemandApplicationsAbstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandw ideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,itisoneofthescientificmanagementofa uxiliarypeoplemathematicalmethod.Canfromdifferentanglestolinearprogrammingdualproble mforpolicymakerstoprovidemorescientifictheorybasis.Thisarticlemainlyprobesintothelinearp rogrammingproblemandtherelationshipbetweenthedualproblem,linearprogrammingproblem andthetransformationofthedualproblem,theapplicationoflinearprogrammingdualproblem.Thi sarticleisthecomplexoftheoriginalproblemintoitsdualproblemtobesolved,simplifiesthelinearp rogrammingproblem,enablesustorapidlyfindtheoptimalsolutionoflinearprogrammingproble m.Keywords:linearprogramming;theoriginalproblem;thedualproblem;conversion目录4.4非对称型原问题转化为对偶问题 (10)1引言线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息.2文献综述2.1国内外研究现状在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性.崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中探讨了对偶理论的证明过程，并用常见的例子来说明对偶理论的基本思想和解题方法.曾波，叶宗文在[13]中主要从经济管理的实际问题中阐述了线性规划的基本概念，基本原理，对偶理论，灵敏度分析等.2.2国内外研究现状评价文献[1-15]分别探讨了线性规划问题中原问题转化为对偶问题的理论依据以及如何利用对偶理论去解决实际生产问题.文献中主要探讨了对称型的原问题转化为对偶问题的方法.没有全面介绍非对称型的原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，而且文献中对原问题转化为对偶问题的步骤提及甚少，大都一带而过，对应用中存在的问题也未给出详细深入的说明.2.3提出问题在线性规划问题中,根据实际生产中具体情况的需要,我们常常要把原问题与它的对偶问题进行转换,以解决一些复杂的线性规划问题,因而对偶问题的应用较为广泛.但大部分书籍都只介绍了线性规划问题的基础知识，并没有给出原问题与对偶问题转换的具体步骤.因此本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，体会不同类型原问题的转化过程.3预备知识首先我先简单的介绍一些关于线性规划问题中的原问题和对偶问题的一些基本的知识.3.1对称形式的原问题我们将满足下列条件的线性规划问题称之为具有对称形式的线性规划问题.这类问题的变量都具有非负约束，当目标函数求极大值时，它的约束条件都取“≤”号，当目标函数求极小值时它的约束条件均取“≥”号.因而，这类数学模型的特点是：（1）所有的决策变量都是非负的；（2）所有的约束条件都是“≤”型；（3）目标函数是最大化类型.一般形式为：线性规划原问题的对称形式的]1[⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++),,2,1(0.22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n ΛΛMΛΛ(3.1) 3.2非对称形式的原问题不是所有的线性规划问题都具有对称的形式，我们将没有对称形式的线性规划问题称之为非对称形式的线性规划问题.非对称形式的线性规划问题指的是一般情况下的线性规划问题，即是目标函数值求极小或者求极大；约束条件；，或是无限制的随意的组合.例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++=++≤++无约束321333323213123232221211313212111,0,0.x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s (3.2) 3.3对偶问题的定义在运筹学中，关于对线性规划的对偶规划给出的]2[定义如下.设给定的线性规划为：⎩⎨⎧≥≤0.X b AX t s (3.2) 其中()T n x x x X ,,,21Λ=，()nm ij a A ⨯=，()T m b b b b ,,,21Λ=，()n c c c C ,,,21Λ= 因此，定义它的对偶问题为：⎩⎨⎧≥≥0.Y C YA t s (3.4) 其中()m y y y Y ,,,21Λ=是行向量.(3.4)是对偶问题，(3.3)是原问题，(3.3)与(3.4)合在一起我们就称为是一对对称形式的对偶规划问题.3.4原问题转化为对偶问题的理论依据表所示：我们根据线性规划问题中约束条件和变量的对应关系，统一归纳为下]3[1表14原问题与对偶问题的转化一对对偶的线性规划问题表示了同一个问题的两个侧面，是从两个角度对同一个研究对象提出的极值问题，两类极值的问题都具有相同的目标函数值.我们发现在很多时候求解对偶问题比原问题更加容易，为决策者提供更多的科学理论依据，因此我们常常需要把原问题转化为对偶问题.4.1原问题与对偶问题的关系一对对偶的线性规划问题具有相互对应的关系：（1）原问题中的目标函数值是max，约束条件是“≤”的形式；对偶问题的约束条件是“≥的形式.min目标函数值为，”（2）原问题的价值系数和对偶问题的右端项对应，原始问题的右端项和对偶问题的价值系数对应.（3）原问题的变量和对偶问题的约束条件对应，即，原问题中有个n变量，那么对偶问题就有个m变量.m约束条件，那么对偶问题就有个n约束条件；原问题有个（4）对偶问题的系数矩阵就是原问题的系数矩阵的转置.用矩阵表示，原问题为：则对偶问题为：需要注意的是，我们所讨论的对偶问题一定是指一对问题，而原问题和对偶问题是相对的，它们互为对偶问题，一个问题可以是原问题也可以是对偶问题.4.2对称型原问题转化为对偶问题当线性规划问题为一般形式（3.1）时，我们将根据下面的四条规则转换为它的对偶问题：（1）原问题和它的对偶问题之间的系数矩阵互为转置.（2）原问题中变量的个数等于它的对偶问题的约束条件的个数.（3）原问题的右端常数就是对偶问题的目标函数的系数.（4）原问题的目标函数求极大时，约束条件是“≤”类型，而它的对偶问题的目标函数求极小，约束条件则为“≥”类型.形式：因此，它的对偶问题可以转变为如下的]4[例1生产计划问题云南一公司加工生产甲，乙两种产品，它的市场前景非常的好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表2所示.问题：云南的这家公司应该怎样制定每天的生产计划，才能使它的产量得到最大？表2分析：为了建立此问题的数学模型，第一，要选定决策变量.第二，要确定问题的目标，即用来评价不同方案优劣的标准，这种目标总是决策变量的函数，称为目标函数.第三，我们把要确定达到目标时所受的限制条件，称之为约束条件.这里要决策的问题是，在现有人力、设备、矿石的限制下，如何确定产量使得产值自大？设1x 和2x 分别表示该公司A ，B 产品的数量，用z 表示产值，则每天的产值表示为2115090x x z +=，使其最大化，即2115090m ax x x z +=，称为目标函数.将制约因素表达出来，即有：人力不超过320工时，为3206821≤+x x ；设备不超过260台时有，2608621≤+x x ；原材料不超过300公斤有，30010421≤+x x 。
原问题与对偶问题
对偶问题(原问题)
目标函数min
n个 约 束 条 件
约束条件右端项
m个 0 变量 0 无约束
约束条件右端项
目标函数中变量的系数
• 例:
max z 5 x1 3x 2 2 x 3 4 x 4 5 x1 x 2 x 3 8 x 4 8 s.t 2 x1 4 x 2 3x 3 2 x 4 10 x1,x 2 0 x 3 ,x 4无约束
§2 原问题与对偶问题
• 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。
情形一： 原问题
对偶问题
max s.t.
z CX AX b X0
min w Yb s.t. YA C Y0
情形二：
1 2
2 3 1 2 3 1 2 3
厂 家
3
对 偶 问 题
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
原问题 的变量
原问题松弛变量
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
原问题松弛变量
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表 对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
《运筹学》第四章对偶问题
设X,Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解，则当
CX = Yb
时， X, Y分别是(P1)与(D1)的最优解。
性质4无界性 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题的解无界， 则另一个问题无可行解。
性质5 对偶定理 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题有最优解，
资源 产品
Ⅰ
Ⅱ
拥有量
设备 A
2
2
12
设备 B
1
2
8
原材料 A
4
/
16
原材料 B
/
4
12
2.资源最低售价模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z 2x1 3x2
设第i种资源价格为yi,( i=1, 2, 3) 则有
2x1 2x2 12
y1
x1 2x2 8
4 x1
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T
( D1):min w=8y1+12y2+36y3 ( Ds):min w=8y1+12y2+36y3
y1
+3y3 ≥ 3
y1 +3y3 -y4 = 3
s.t.
2y2+4y3 ≥ 5
y1 , y2, y3 ≥ 0
s.t.
2y2+4y3 -y5 = 5
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
大连海事大学交通运输管理学院
2.4.1 对偶问题的提出 2.4.2 原问题与对偶问题 2.4.3 对偶问题的性质 2.4.4 对偶变量的经济含义 2.4.5 对偶单纯形法
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
第二章对偶理论
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 7 x3 3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单
纯型表中只保证 而j 不0 保证
=（1.1），分别是
（P_）_ 和__（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有
C X ＜ Y b ，弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最
小值不能小于10，Z 的最大值不能超过40。
例二、已知
p : max Z x1 2x2
D : minW 2 y1 y2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
n
j 1
aij
yi
cj
（对偶问题）
yi 0
目标函数 约束条件
原问题
对偶问题
max
min
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2
2
≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
原问题 问题无界
无可 行解
对偶问题 无可 行解
问题无界
（对）
y1 y1
y1
y2 y2 0, y2
2 1 0
无可 行解
推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可 行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的 问题无界。
第三章线性规划的对偶定理
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模型
❖ 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b max w (Y 1,Y 2 ) -b
(Y
1,Y
2
)
A A
C
Y1 0 ,Y2 0
max w (Y 1 Y 2 ) b
(Y
1
Y
2
)
A
C
Y 1 0, Y 2 0
令 Y Y，1 Y得2对偶问题为：
max w Yb
❖ （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
❖ （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
❖ （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
❖ （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6 x1 2 x2 24
第二章 线性规划的对偶理论1-对偶问题
矩阵表达形式：
min w Y b AY C Y 0
对偶的经济解释
1、原问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1 x1 c2 x2 cnx n b1 s.t. a11 x1 a12 x2 a1n xn xn 1 xn 2 b2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn m bm am1 x1 am 2 x2 amn xn x1 x2 xn xn 1 xn 2 xn m ≥ 0 消耗的资源（吨）
第二章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出
一个问题的解的时候，同时也给出了另一问题的解。
例：某公司计划生产甲、乙两种产品，已知各生产一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间和调试工序每天可用于 这两种产品的能力、各销售一件时的获利情况，如下表所示。 问该公司应生产两种产品各多少件，使获取的利润为最大。
A
b
约束系数矩阵
约束条件右端项向量
约束系数矩阵的转置
目标函数中价格系数向量
C
目标函数
目标函数中价格系数向量
max z
约束条件右端项向量
min w
c
j 1
n
j
xj
b
i 1
m
i
yi
变量 xj (j=1,·,n) · ·
约束条件有n个
xj ≥0
xj ≤0 xj 无约束 约束条件有m个 ≤bi ≥bi =bi
min z 2 x1 3x 2 5 x3 x 4
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
对偶理论(第三章线性规划3)
max f 5x1 4x2
x1 3x2 90
s .t
2x1x1x
x2 80 2 45
x1 , x2 0
其对偶问题的数学模型
设 y1, y2 , y3 分别表示设备甲、乙、丙每台时的价格（或 租金）,则
min g 90y1 80y2 45y3
y1 2 y2 y3 5
4.对偶定理 若原问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也有最优
解，且两者的最优目标函数值相等。
5.若原问题和对偶问题同时有可行解，则他们必都有最优解。
6.若原问题的最优解为 X B B 1b ,则对偶问题的最优解为 Y CB B 1 。
7.根据原问题最优单纯形表中的检验数可以读出对偶问题的最优解。
x1+ x2 + x3 = 5 2x2 + x3 5 4x2 +6x3 9
x1 , x2 , x3 0
max f =2x1 +x2
x1+ x2 + x3
=5
2x2 + x3 +x4 = 5
-4x2 –6x3 +x5 =-9
x1 … x5 0
xj 2 x1 0 x4 0 x5
-f
2 x1 0 x4 1 x2
-f
21 00 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b 1110 0 5 0211 0 5 0 -4 -6 0 1 -9 0 -1 -2 0 0 -10 1 0 -1/2 0 1/4 11/4 0 0 -2 1 -1/2 1/2 0 1 3/2 0 -1/4 9/4 0 0 -1/2 0 -1/4 -31/4
-f
0 0 0 -1 -3 -215
原问题与对偶问题
x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
（c j z）j 0 0 0 1/ 4 1/ 2
化为极小问题
y4 y5 y1 y2
y3
对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表
对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
y1 y2 y3 y4
y5
y2 1/ 4 5 / 4 1 0 1/ 4 1/ 4
m个
0 0
变量
无约束
约束条件右端项
目标函数中变量的系数
• 例:
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
5x1 x2 x3 8x4 8
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
x1,x2 0
x3,x 4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 5
（c j z）j 0 0 0 1/ 4 1/ 2
化为极小问题
y4 y5 y1 y2
y3
对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问题 的变量
原问题松弛变量
x1 x2 x3 x4
x5
x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y2 4
y1
0,
y2无约束
• 例:
n
max z c j x j j1
n
aij x j bi (i 1, , m1 m)
j1
s.t.
n j 1
aij x j
bi
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
S 0 CBB1 0
4
令 Y CB B1 , 则由(4)有
表示线性 规划问题已得 到最优解.
Y 0 由(2)和(3),有
C CB B1 A 0, 故有 YA C
因为Z CB B1b Yb, 而Y的上限无限大,所以只存在最
小值.
由上讨论,可得另一个线性规划问题:
minW Yb
YA C
yBБайду номын сангаас
48 y1
120 y2
48
y1
11M
48-4M
5
3
6
1
180+1/2M 18-9/4M
1/2
9/4
3/2
1/4
184
0
2/9
1
13/9
0
120
0
0
y2
y3
y4
120-7M M M
3
-1 0
4
0 -1
0
M 30-3/4M
0
-1 3/4
1
0 -1/4
0
8
24
0 -4/9 1/3
1 1/9 -1/3
M
§2 对偶问题的基本性质
• 对称性 • 弱对偶性 • 无界性 • 最优性 • 强对偶性 • 互补松弛性 • 解的对应性
产品A，B产量X1，X2，Z为利润
例1、
maxZ= 5X1 +6X2
机器台时 3X1 +X2 48 劳动工时 3X1 +4X2 120
X1 , X2 0
3X1 +X2 +X3=48 3X1 +4X2 +X4=120
6 X2 24 0 1 -1/3 1/3
X=(8,24)T Z =184
minW=48y1+120y2
3y1+3y2 5 y1 +4y2 6
minW=48y1+120y2 +My5 +My6 3y1+3y2 -y3+y5 =5 y1 +4y2 -y4+y6= 6
yB M y5 M y6
yB M y5 120 y2
为什么研究对偶理论？
– 对偶问题可能比原问题容易求解 – 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义
§1 对偶问题的一般概念 §2 对偶问题的基本性质 §3 对偶问题的解 §4 对偶问题的经济解释——影子价格 §5 对偶单纯形法 §6 原始——对偶单纯形法
§1 对偶问题的一般概念
1. 对偶问题的提出 2. 对偶问题的形式
minW 32y1 23y2
32yy11
4 y2 5 y2
10 20
max Z 10x1 20x2
2 4
x1 x1
3x2 5x2
32 23
minW 32y1 23y2
2 3
y1 y1
4 y2 5 y2
10 20
1.2 对偶问题的形式
1. 对称型对偶问题 2. 非对称型对偶问题 3. 混合型对偶问题
X1 … X40
560 0
X1 X2 X3 X4
XB 0 5 6 0
0
0 X3 48 3 1 1
0
0 X4 120 3 (4) 0
1
180 1/2 0 0 -3/2
0 X3 18 (9/4) 0 1 -1/4 6 X2 30 3/4 1 0 1/4
184 0 0 -2/9 -13/9
5 X1 8
1 0 4/9 -1/9
设原问题：
max Z CX
AX b
1
XXB
0
XN
XS
B CB
N CN
I 0
b 0
可用另一形式：
max Z CX
AX IX X,XS
S
0
b
XB XN
I
B1 N
0 C N CB B1 N
XS
B 1
B1b
CB B1 CB B1b
B CB CBB1B 0 2
N CN CBB1N 0 3
工时
4
5
23
利润（元/ 10
20
件）
max Z 10x1 20x2
2 4
x1 x1
3x2 5x2
32 23
问题
• 假设不是安排生产，而是出售材料，出 租工时，问如何定价，可使工厂获利不 低于安排生产所获得的利益，且又能使 这些定价具有竞争力
解决
• 设出售材料的定价为每单位y1元 • 出租工时的定价为每工时y2元
3. 混合型对偶问题
对偶约束
• 另外，我们把约束条件分为行约束（变 量的线性组合的等式或不等式约束）和 变量的符号约束两部分，而以原问题的 行约束与对偶问题的变量一一对应，原 问题的变量与对偶问题的行约束一一对 应，并且将对应的一对约束称为一对对 偶约束．
例5
例3
用矩阵理论讨论对偶问题
第三章 线性规划的对偶理论
• 线性规划问题具有对偶性，即任何一个求极大 值的线性规划问题，都有一个求极小值的线性 规划问题与之对应，反之亦然．
• 原问题、对偶问题、一对对偶问题
• 对偶理论（Duality Theory）
– [ dju(:)’æliti ] – 研究对偶问题之间的关系及其解的性质
• 根据对偶理论，在解原问题的同时，也可以得 到对偶问题的解，并且还可以提供影子价格等 有价值的信息，在经济管理中有着广泛的应 用．
M
y5
y6
0
0
1
0
0
1
0 -30+7/4M
1 -3/4
0 1/4
M-8 M-24
5
Y 0
称为原线性规划问题
max Z CX AX b, X 0
的对偶规划问题。
原问题 Prime Problem 对偶问题 Dual Problem
原问题与对偶问题的对应关系
原问题求极小------ min Z MAX Z
原问题约束方程有“≥”------两边同乘（-1），“≤” 原问题约束方程有“=”------对偶问题？
对偶问题约束条件的系数矩阵； 5. 改变约束条件不等号的方向，即将“=<”改为
“>=”； 6. 原问题“max”型，对偶问题为“min”型．
例3
2. 非对称型对偶问题
例4
对偶规则
原问题第k个约束为等式，对偶问题第k个 变量是自由变量。
原问题第k个变量是自由变量，则对偶问题 第k个约束为等式约束。
1. 对称型对偶问题
• 定义1
• 原问题
矩阵形式
• 对偶问题
增加内容
对偶规则
1. 给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量 yi(i=1,2,…,m);
2. 使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约 束条件的右端常数；
3. 使 问原 题问 目题 标约 函束数条的件系的数右；端常数bi变为其对偶 4. 将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其
1.1 对偶问题的提出
• 资源的合理利用问题，即充分利用资源生产两 种产品
• 大规模定制生产时代，充分利用资源生成所需 的产品
• 对外提供加工服务，收取加工费 • 存在一个矛盾
– 自己要赚钱，定价越高越好 – 定价太高，别人不找你
• 折中——保证不亏的前提下，对方的支出最少
例1
甲
乙
限额
材料
2
3
32