自由落体与上抛的相遇问题的典型例题(8个)
自由落体运动与竖直上抛运动解题方法及其解题技巧
自由落体运动与竖直上抛运动解题方法及其解题技巧一．自由落体运动1.知识清单：一、自由落体运动。
1、什么是自由落体运动。
任何一个物体在重力作用下下落时都会受到空气阻力的作用，从而使运动情况变的复杂。
若想办法排除空气阻力的影响（如：改变物体形状和大小，也可以把下落的物体置于真空的环境之中），让物体下落时之受重力的作用，那么物体的下落运动就是自由落体运动。
物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动叫做自由落体运动。
2、自由落体运动的特点。
从自由落体运动的定义出发，显然自由落体运动是初速度为零的直线运动；因为下落物体只受重力的作用，而对于每一个物体它所受的重力在地面附近是恒定不变的，因此它在下落过程中的加速度也是保持恒定的。
而且，对不同的物体在同一个地点下落时的加速度也是相同的。
关于这一点各种实验都可以证明，如课本上介绍的“牛顿管实验”以及同学们会做的打点计时器的实验等。
综上所述，自由落体运动是初速度为零的竖直向下的匀加速直线运动。
二、自由落体加速度。
1、在同一地点，一切物体在自由落体运动中加速度都相同。
这个加速度叫自由落体加速度。
因为这个加速度是在重力作用下产生的，所以自由落体加速度也叫做重力加速度。
通常不用“a”表示，而用符号“g”来表示自由落体加速度。
2、重力加速度的大小和方向。
同学们可以参看课本或其他读物就会发现在不同的地点自由落体加速度一般是不一样的。
如：广州的自由落体加速度是9.788m/s2，杭州是9.793m/s2，上海是9.794m/s2，华盛顿是9.801m/s2，北京是9.80122m/s2，巴黎是9.809m/s2，莫斯科是9.816m/s2。
即使在同一位置在不同的高度加速度的值也是不一样的。
如在北京海拔4km时自由落体加速度是9.789m/s2，海拔8km时是9.777m/s2，海拔12km时是9.765m/s2，海拔16km时是9.752m/s2，海拔20km时是9.740m/s2。
自由落体和抛物线运动的相遇问题
自由落体和抛物线运动的相遇问题自由落体和抛物线运动是物理学中常见的力学问题。
当两种运动轨迹相交时，我们可以探讨它们之间的相遇问题。
本文将讨论自由落体和抛物线运动相遇的基本原理和求解方法。
自由落体运动自由落体是指物体受到重力作用下沿直线运动的运动方式。
在自由落体运动中，物体从静止开始，只受到重力的作用，没有其他外力的干扰。
根据物体运动的时间、位移和速度之间的关系，可以推导出自由落体的运动规律。
自由落体运动的基本方程为：$$y = \frac{1}{2}gt^2$$其中，$y$表示物体所处的高度，$g$表示重力加速度，$t$表示时间。
抛物线运动抛物线运动是指物体在竖直方向上受到重力的作用，同时在水平方向上受到初速度的作用。
在抛物线运动中，物体在竖直方向上呈自由落体运动，在水平方向上匀速运动。
抛物线运动的基本方程为：$$x = v_0 t$$$$y = \frac{1}{2}gt^2$$其中，$x$表示物体在水平方向上的位移，$v_0$表示物体的初速度，$g$表示重力加速度，$y$表示物体在竖直方向上的位移，$t$表示时间。
自由落体和抛物线运动的相遇问题当自由落体和抛物线运动的轨迹相交时，我们可以求解它们的相遇点。
为了求解相遇问题，我们需要将自由落体运动和抛物线运动的方程联立解方程组。
假设自由落体和抛物线运动的方程分别为：$$y = \frac{1}{2}gt^2$$$$x = v_0 t$$如果自由落体和抛物线的运动轨迹在某一时刻相交，说明它们在竖直方向上的位移和在水平方向上的位移相等，即$y = x$。
通过联立解方程组，我们可以求解出相交的时间$t$和相遇点$(x, y)$。
案例分析假设一个物体从高度为$h$的地方自由落体，在水平方向上以初速度$v_0$做抛物线运动。
我们希望求解自由落体和抛物线运动的相遇点。
根据自由落体运动的方程$y = \frac{1}{2}gt^2$，可以求解出自由落体的时间$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$。
追击相遇,自由落体和竖直上抛
追击相遇、自由落体和竖直上抛专题一、追及相遇问题是两个物体运动相关联的问题，分析时应注意： 1．分析物体的运动形式，做出草图2．抓住相遇的特点：同时出现在同一位置，寻找位移的几何关系和时间关系 3．注意速度相等时距离有临界值例1．A 、B 两物体相距s=7m 时，A 在水平拉力和摩擦力作用下，正以V A =4m/s 的速度向右匀速运动，而物体B 此时在摩擦力作用下以初速度V B =10m/s 向右匀减速运动，加速度a=－2m/s 2，则经过多长时间A 追上B ？追上前两者最大距离是多大？例2． 甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。
为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。
在某次练习中，甲在接力区前S 0＝13.5m 处作了标记，并以V ＝9m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。
乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棱。
已知接力区的长度为L ＝20m 。
求： （1）此次练习中乙在接棒前的加速度a 。
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
练习1.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s 后警车发动起来，并以2.5m/s 2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h 以内．问：（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ （2）警车发动后要多长时间才能追上货车？练习2.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中行驶距离S ，在上述过程中要使两车不相撞，则两车在匀速运动时，保持的距离至少应为：A. SB. 2SC. 3SD. 4S练习3.甲、乙两物体在同一水平轨道上，一前一后相距S ，乙在前，甲在后，某时刻两者同时开始运动，甲做初速度为v 0，加速度为a 1的匀加速运动，乙做初速度为零，加速度为a 2的匀加速运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是 ( ) A ．a 1=a 2，可能相遇一次B ．a 1<a 2，可能相遇二次C ．a 1>a 2，可能相遇二次D ．a 1<a 2，可能相遇一次或不相遇练习4．甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v t -图像如图所示，图中OPQ ∆和OQT ∆的面积分别为1s 和2s ()21s s >.初始时，甲车在乙车前方0s 处。
高中物理破题致胜微方法(运动学规律的灵活应用)含有竖直上抛运动的相遇问题(含解析)
含有竖直上抛运动的相遇问题一、经典例题：1．在高为h处，小球A由静止开始自由落下，与此同时，在A的正下方地面上以初速度v竖直向上抛出另一小球B，求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B 0相遇的条件(不计空气阻力作用，重力加速度为g)．2．临界法是以原理、定理或者定律为依据，直接从临界状态或者相应的临界的量入手，求出所研究问题的特殊规律或者特殊解，然后以此对于一般情况进行分析、讨论、推理，即采用从特殊到一般的方法！3．求解追及和相遇问题的基本思路(1)分别对两物体研究．(2)画出运动过程示意图．(3)列出位移方程．(4)找出时间关系、速度关系、位移关系．(5)解出结果，必要时进行讨论．4．竖直上抛运动的处理方法：一是分段法：把竖直上抛分成末速度为零的向上的匀减速直线运动和初速度为零的向下的匀加速直线运动，两个过程的加速度均为g.二是整体法：竖直上抛运动是初速度为v0、加速度为g的匀减速直线运动，匀变速直线运动的一切规律都适用于整个过程．三是逆向思维法：上升和下落这两个阶段的加速度不变，因此上升与下落两个阶段互逆，在解题上可把上升阶段的问题化为自由落体运动来解．二、练习题1．在竖直的井底，将一物块以11 m/s的速度竖直向上抛出，物体冲过井口时被人接住，在被人接住前1 s内物体的位移是4 m，方向向上，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：(1)物体从抛出到被人接住所经历的时间；(2)此竖直井的深度．2．如图所示是一个网球沿竖直方向运动时的频闪照片，由照片可知( )图A ．网球正在上升B ．网球正在下降C ．网球的加速度向上D ．网球的加速度向下3．.【江西省赣中南五校2020届高三下学期第二次段考】自高为H 的塔顶自由落下A 物体的同时B 物体自塔底以初速度v 0竖直上抛，且A 、B 两物体在同一直线上运动．重力加速度为g ，下面说法正确的是（ ）A ．若gH ＞v 0，两物体相遇时，B 正在下降途中B ．gH v 0=，两物体在地面相遇 C ．若gH v 2gH 0<<，两物体相遇时B 物正在空中下落 D ．若2gH v =0，则两物体在地面相遇 三、练习题答案1．答案：(1)1.2 s (2)6 m(2)竖直井的深度H ＝v 0t －12gt 2＝11×1.2 m －12×10×1.22 m ＝6 m. 说明：自由落体的物体第1 s 内的位移h 1＝12gt 2＝5 m ，被人接住前1 s 内位移小于5 m ，可知物体是在通过最高点后返回的过程中被接住．2．答案：D解析：自由落体运动和竖直上抛运动互为逆运动，两者的运动具有对称性，所以网球可能向上做竖直上抛运动也可能向下做自由落体运动，无法判断运动方向，但是无论两者哪种运动，都只受重力作用，加速度向下，故D 正确．]3．【答案】CD 解析：假设两物体在上升到最高点相遇，则0v t g =，220122v H gt g=+，0v gH =当0v gH >B 上升途中相遇，选项A 错误；当0v gH =上升到最高点相遇，所以B 错；若两物体在B 下落到地面相遇，则02v t g =，212H gt =，02gH v =gH v 2gH 0<<，两物体相遇时B 物正在空中下落，C 正确；同理D 正确。
自由落体和竖直上抛压轴题(含答案解析)
自由落体和竖直上抛压轴题一、单选题1．热气球运动爱好者从某高处由静止释放一个质量为0.5kg 的物体，地面测量人员测量发现物体在落地前1s 内下落的高度是40m ，不考虑空气阻力，重力加速度取210m/s g =。
下列说法正确的是（ ）A ．物体从释放到落地经历的时间为4.5sB ．物体落地时的动能为400JC ．从释放到落地物体运动的平均速度大小为20m/sD ．物体下落的高度为80m 【答案】A 【详解】A ．设物体下落时间为t ，由题意可求物体落地前1s 内的平均速度为40m/s ，即最后1s 中间时刻的速度，根据自由落体运动规律有40(0.5)g t =-代入数据解得4.5s t =A 正确；B ．落地速度为45m/s v gt ==所以落地动能为2k 1506.25J 2E mv == B 错误。
C ．从释放到落地物体运动的平均速度为22.5m/s 2vv == C 错误。
D ．物体下落的高度为21101.25m 2h gt == D 错误。
故选A 。
2．杂技演员每隔相等的时间竖直向上抛出一个小球（不计一切阻力，小球间互不影响），若每个小球上升的最大高度都是1.8米，他一共有5个小球，要想使节目连续不断地表演下去，根据该表演者的实际情况，在他的手中总要有一个小球停留，则每个小球在手中停留的时间应为（g 取102m /s ）（ ） A ．0.36秒 B ．0.24秒C ．0.2秒D ．0.3秒【答案】D 【详解】每个小球上升的最大高度都是1.8米，根据212h gt =解得0.6s t == 根据竖直上抛的对称性可知，空中有四个小球，一个刚上升，一个在顶端，另外两个在上升和下降且处于同一高度，共4个时间间隔t ∆，所以球在手中的停留的时间为在空中总时间的四分之一20.3s 4tt ∆== 故选D 。
3．下雨时，某同学在家发现屋檐上有雨滴落下，相邻两水滴滴下的时间间隔相等。
当第1个水滴刚好落到地面上时，第3个水滴刚好离开屋檐。
自由落体和竖直上抛运动相遇类型题
自由落体和竖直上抛运动相遇类型题1. 引子：天上掉下来的苹果你有没有想过，苹果为什么会从树上掉下来？当然，这只是个开场白，实际上我们今天要聊的是一个更有意思的话题——自由落体和竖直上抛运动的相遇。
说到这儿，或许你会想：“这不是物理课上才有的东西吗？”没错，但别急，让我们用一个轻松的故事来捋顺这道物理题。
1.1 自由落体：下落的快感想象一下，一个小球从高高的楼顶上掉下来。
咔嚓，咔嚓，落地的声音响起，瞬间吸引了路人的目光。
小球就像个调皮的小孩，任性地向下坠落。
根据物理学的说法，这种现象叫自由落体。
球体在重力的影响下，速度越来越快，听起来是不是有点像“向下的滑梯”？那么，这个小球从某个高度掉下去需要多长时间呢？这就得用到公式了：( s =frac{1{2gt^2 )。
别担心，我不是要给你上课，只是想让你知道，这个公式里的 ( g ) 是重力加速度，大约是 ( 9.8 , m/s^2 )。
简单说，就是每秒钟下落的速度都在增加，像极了个热爱冒险的年轻人，越往下越有劲儿。
1.2 竖直上抛：向上飞翔的梦现在我们换个场景，想象一下，一个小朋友兴奋地把一个气球向上抛去。
他的脸上挂着灿烂的笑容，仿佛在做梦。
这个时候，气球在向上飞，但很快也会被重力拖回地面。
竖直上抛运动就像这气球一样，开始的速度很快，但随着时间的推移，速度逐渐减小，最后停住，继而开始下落。
这里也有个公式可以帮我们理解：( h = v_0t frac{1{2gt^2 )。
别紧张，这个 ( v_0 ) 就是小朋友一开始抛气球的速度。
想象一下，气球在空中飞的那一刻，仿佛在向蓝天呼喊：“看，我能飞！”可是，梦总是会醒的，气球终究要回到地面。
2. 相遇的时刻：命中注定好戏来了，这两个运动之间的相遇就像是两个故事的交汇点。
我们来设想一下，某一天，那个从楼顶掉下的小球和小朋友抛出去的气球在空中碰面了。
这就成了一道经典的物理题：他们到底在什么时候、什么地方相遇呢？2.1 碰撞的时间假设小球从某个高度 ( h_0 ) 自由落体，气球以初速度 ( v_0 ) 向上抛。
自由落体运动及竖直上抛运动练习题
自由落体运动与竖直上抛运动练习题
1、一个物体从高度 h处自由着落,测得物体落地前最后1秒内着落了25米,求：
物体着落的高度h.(g取10m/s2)
2、一铁链其上端悬挂于某一点，将悬点松开让铁链自由着落，不计空气阻力，
已知铁链经过悬点下的一点所经历的时间为，试求铁链的长度L. (g取
10m/s2)
3、某人在高层楼房的露台外侧以20m/s的速度竖直上抛一个石块，石块运动到离抛出点15
米地方经历的时间的可能值？（不计阻力，g取10m/s2)
4、一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过最高点
点的时间间隔为TA，两次经过最高点下方一个比较高的试求AB之间的距离。
C点下方一个比较低的
B点的时间间隔为TB
A
，
5、一个小球在倾角为30°的圆滑斜面底端遇到一个冲击后,沿斜面向上做匀减速运动，它两次经过一个较低点A的时间间隔为tA，两次经过一个较高点B的时间间隔为tB，试求A、B之间
的距离。
(在斜面上运动时加快度a=gsin300)
6、在地面上以初速度3v0竖直上抛一物体A后，又以初速度v0在同一地址竖直上抛另一物体B，若要使两物在空中相遇，则抛出两个物体的时间间隔一定知足什么条件？（不计空气阻力）
C
B
A
7、在离地20m高处有一小球A做自由落体运动，A球由静止开释的同时，在其正下方地面上
有另一个小球B以初速度v0竖直上抛，（不计空气阻力，g=10m/s2）
（1）若要使两球在空中相遇，则B球上抛的初速度2）若要使B球在上涨阶段与A球相遇，则初速度
3）若要使B球在着落阶段与A球相遇，则初速度
v0一定知足什么条件？v0一定知足什么条件？
v0一定知足什么条件？。
高中物理专题练习自由落体和竖直上抛追及相遇问题.docx
题组一自由落体和竖直上抛运动1．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经 2 s 听到石头落底声。
由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g 取10 m/s2)()A． 10 m B． 20 m C．30 m D．40 m解析从井口由静止释放，石头做自由落体运动，由运动学公式12h＝2gt可得h＝12× 10×22m＝ 20 m。
答案 B2．A、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地， A 球下落的时间为 t ，B 球下落的时间为t，当 B 球开始下落的瞬间， A、 B 两球的高度差为 () 22323212A． gt B.8gt C.4gt D.4gt121t2 1 2解析 A 球下落高度为h A＝2gt ，B 球下落高度为h B＝2g2＝8gt，当 B 球开始1t 212下落的瞬间， A、B 两球的高度差为 h＝h A－2g 2－h B＝4gt ，所以 D 项正确。
答案D．多选)在某一高度以v0＝20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，3 (当小球速度大小为 10 m/s 时，以下判断正确的是 (g 取 10 m/s2)()A．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s，方向向上B．小球在这段时间内的平均速度大小可能为 5 m/s，方向向下C．小球在这段时间内的平均速度大小可能为 5 m/s，方向向上D．小球的位移大小一定是 15 m解析小球被竖直向上抛出，做的是匀变速直线运动，平均速度可以用匀变速直v ＝v0＋ v线运动的平均速度公式 2求出，规定竖直向上为正方向，当小球的末速度大小为 10 m/s、方向竖直向上时， v＝10 m/s，用公式求得平均速度为 15 m/s，方向竖直向上， A 正确；当小球的末速度大小为 10 m/s、方向竖直向下时， v＝－ 10 m/s，用公式求得平均速度大小为 5 m/s，方向竖直向上， C 正确；由于末速v02－v2度大小为 10 m/s 时，球的位置一定，距起点的位移h＝2g＝15 m， D 正确。
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自由落体与上抛的相遇问题的典型例题（8个）
8-1、一小球被以30m/s的初速度竖直上抛，以后每隔1s抛出一球，空气阻力可以忽略不计，空中各球不会相碰。
问：
（1）最多能有几个小球同时在空中？
（2）设在t=0时第一个小球被抛出，那么它应在哪些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而过？（）
解：，小球在空中运动的时间为
时，将第一个小球抛出，它在第末回到原处，同时第七个小球即将被抛出。
在第六个小球抛出后第一个小球尚未返回原处时，空中只有6个小球，第七个小球抛出时，第一个小球已经落地，所以空中最多只有6个球。
第一个球时抛出，而第个球在后抛出，则在某一时刻这两个球的位移分别为（1）
（2）
两小球在空中相遇的条件是其位移相等，即
整理得
其中表示第一个小球和后抛出的小球在空中相遇而过的那个时刻。
当时，，这是与第二个小球相遇而过的时刻；
当时，，这是与第三个小球相遇而过的时刻；
当时，，这是与第四个小球相遇而过的时刻；
当时，，这是与第五个小球相遇而过的时刻；
当时，，这是与第六个小球相遇而过的时刻。
除上述分析计算法之外，还可用图像法解决本题。
根据题意，定性画出图像，如图所
示，根据各球图像的交点及相应的坐标，可以看出：每一个小球在空中能与5个小球相遇，时间依次是，，，，。
当然第一问同样可以迎刀而解。
8-2. 一矿井深125m，在井口每隔一段时间落下一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则：
（1）相邻两个小球下落的时间间隔是s；
（2）这时第3个小球与第5个小球相距（g取10 m／s2）（答案0.5；35 m ）
8-3. A球自距地面高h处开始自由下落，同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛，空气阻力不计。
问：
（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？
（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？
解析：两球相遇时位移之和等于h。
即：gt2+（v0t－gt2）=h 所以：t=
而B球上升的时间：t1=，B球在空中运动的总时间：t2=
（1）欲使两球在B球上升过程中相遇，则有t＜t1，即＜，所以v0＞
（2）欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：t1＜t＜t2
即＜＜所以：＜v0＜
8-4. 如图所示，长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总
质量为4kg现对筒施加一竖直向下，大小为21N的恒力，使筒竖直向下运动，
经t=0.5s时间，小球恰好跃出筒口。
求：小球的质量。
（g=10m/s2）
解：筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动，且加速度大于重
力加速度；而小球则是在筒内做自由落体运动，小球跃出筒口时，筒的位移
比小球的位移多一个筒的长度。
设筒与小球的总质量为M，小球的质量为m，筒在重力及恒力的共同作用下竖直向下做初速为零的匀加速运动，设加速度为a；小球做自由落体运动设在时间t内，筒与小球的位移分别为h1、h2（球可视为质点），如图所示。
由运动学公式得
又有：，代入数据解得
又因为筒受到重力（M－m）g和向下作用力F，据牛顿第二定律
得
8-5. 如图所示，升降机以匀加速度a上升，当上升速度为v时，有一螺帽自升降机天花板上松落，已知天花板距升降机底面为hm，求落至底面的时间。
解：选升降机为参考系，螺帽受重力作用，相对加速度大小为g+a，竖直向下，相对运动可
视为以g+a为加速度的自由落体，有
所以为所求。
8-6、杂技演员把三只球依次竖直向上抛出，形成连续的循环，在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有3个球，有时空中有两个球，而演员手中则有一半时间内有球，有
一半时间内没有球。
设每个球上升的高度为1.25m，取，求每个球每次在手中停留的时间是多少？
解：设一个球每次在手中停留的时间为，则手中连续抛出两球之间的时间间隔为，而对于同一个球，它连续两次自手中抛出的时间间隔则为。
在这段时间内，此球有的时间停留在手中，则有的时间停留在空中，根据竖直上抛运动的规律得：
代入数值得：
∴球一次竖直上抛运动的时间，则它每次在手中停留时间为0.2S。
8-7. 某升降机以1.6m/s的速度匀速上升，机内一人自离升降机地板6.5m高处将一小球释放，球与底板间的碰撞无任何损失，则第一次反弹的最高点比释放点高（或低）了多少？
解：设从放球到球与底板相碰需要时间t，放球时，球与底板的距离为h，升降机速度为，在此期间球下降距离，升降机上升距离为，如图所示，因此有
代入数据得
解之得（负根舍去）
这时球相对于地面的速度为
而球相对于底板的速度
由题意知，球与底板碰撞前后速度大小不变，即球被弹回时，球相对于底板的速度应为11.4m/s。
由于升降机质量较小球大得多，所以碰撞对升降机速度不影响，仍为向上，所以
碰撞后小球相对于地面向上的速度
由此可知球第一次上升的高度为
因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为
8-8. 将两小石块A、B同时竖直上抛，A上升的最大高度比B的高出35m，返回地面的时间比B迟2s。
问：
（1）A、B的初速度分别为多少？
（2）A、B分别达到的高度最大值各为多少？（）
解析：设A、B初速度分别为、，二者上升的最大高度分别为、，A、B上升到最高点所经历的时间依次为、。
在最高点，有
将两式代入得，
由题意知
所以。