七年级上册数学第五章知识点参考：一元一次方程
7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》分节知识点
浙教版-7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》分节知识点一、方程及等式1、定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：（1）判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：（1）判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解，否则不是．3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.5、建立方程：把所要求的量用字母x（或y，…）表示，根据问题中的等量关系列出方程，这一过程叫做建立方程。
要点二、一元一次方程的有关概念1、定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①是一个方程；②必须只含有一个未知数；③含有未知数的项的最高次数是1；④分母中不含有未知数．（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是常数).（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是常数）.要点三、等式的性质1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2、等式的性质：（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），所得结果仍是等式.即：如果，那么(c为一个数或一个式子).（2）等式的性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（或式子），（除数或除式不能为0），所得结果仍是等式.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；（2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;（3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．二、一元一次方程的解法要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（1）不要漏乘不含分母的项（2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号（1）不要漏乘括号里的项（2）不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)（2）移项要变号（2）不要丢项合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变两边同除以未知数的系数（系数化成1）在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）移项的定义：把方程中的项改变符合后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.（2）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．（3）去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（4）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1、含绝对值的一元一次方程（1）解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，然后分类讨论：（1）当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.2、含字母的一元一次方程：此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．三、实际问题与一元一次方程（一）知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤1、列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型1、和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2、行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ、基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间；Ⅱ、寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ、基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间；Ⅱ、寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ、基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ、寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3、工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1。
XXX版初一上册第五章一元一次方程知识点总结和例题讲解
XXX版初一上册第五章一元一次方程知识点总结和例题讲解1.方程是含有未知数的等式。
2.一元一次方程是只含有一个未知数的方程，未知数的指数都是1.例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5都是一元一次方程。
3.方程的解是使方程中等号左右两边相等的未知数的值。
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。
等式的性质：1)等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。
2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
去括号法则：1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变。
解方程的一般步骤：1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)。
2.去括号(按去括号法则和分配律)。
3.移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)。
4.合并(把方程化成ax=b (a≠0)形式)。
5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= b/a)。
一元一次方程解应用题的一般步骤：1)审题：弄清题意。
2)找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系。
3)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程。
4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值。
5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。
一元一次方程的实际应用：1.和、差、倍、分问题：增长量=原有量×增长率，现在量=原有量+增长量。
倍数关系：通过关键词“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来表示两个数之间的倍数关系。
北师大版七年级上册(新版)-第五章《一元一次方程》各知识点复习导学
第五章《一元一次方程》期末复习基础知识梳理一、主要概念1．方程的概念：含有未知数的等式叫方程.2．一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.5．同类项：如果两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么这样的两项叫做同类项.二、主要性质1．等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.2．合并同类项法则同类项相加（减），把它们的系数相加（减）作为结果的系数，字母部分不变.3．去括号法则（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.三、解一元一次方程的注意事项1．分母是小数时，根据分数的基本性质，分子、分母都扩大相同的倍数，把分母转化成整数，此时和不含分母的项无关，不要和去分母相混淆.2．去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号.3．去括号时，不要漏乘括号内的项，要依据法则，不要弄错符号.4．移项时切记要变号，不要丢项，另外合并同类项和移项要灵活运用，如：有时去括号后等号的某一边或两边有同类项，可先合并，再移项，以免丢项.5．系数化为1时，不要弄错符号，分子、分母不要颠倒.6．不要生搬硬套解方程的步骤，要根据具体题目灵活运用，以便找到一个最简便的解法.四、列一元一次方程解决实际问题的步骤1．审：审题，多读几次，理清题中各量之间的关系.2．设：把题中某个未知数用字母代替，有时直接设元，有时间接设元.为了比较容易列方程或列出的方程比较简单易解，不直接把题目的问题设成未知数，而间接地把和题目中要求的问题有关的量设成未知数，即间接设元.3．找：把已知数和未知数放在一起找出一个相等的关系，有时可借助图形来找相等关系.4．列：根据等量关系列出方程.5．解：求出方程的解.6．验：检验方程的解是否符合问题的实际意义.7．答：写出答案（包括单位）巩固练习一、选择题：1. 下列各题中正确的是（ ）A. 由347-=x x 移项得347=-x xB.由231312-+=-x x 去分母得)3(31)12(2-+=-x x C.由1)3(3)12(2=---x x 去括号得19324=---x xD.由7)1(2+=+x x 移项、合并同类项得x =52．方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得（ ）。
七年级数学 第五章 一元一次方程 4 应用一元一次方程打折销售
②利润率=
利 进
价润×100%=
售×价1进00价%进.价
③利润=进价×利润率.
④总利润=单价利润×总数量.
⑤售价=(1+利润率)×进价=标价×折扣.
⑥销12售/11/额202=1 售价×销售量.
3.折扣:商家为了促销,在标价的基础上所打的折扣.商品打几折则售价
即为标价的十分之几或百分之几十.例如,打9折就是售价为标价的十分
12/11/2021
3.某商场计划购进甲、乙两种空气净化机共500台,这两种空气净化机
的进价、售价如下表:
进价(元/台)
售价(元/台)
甲种空气净化机
3 000
3 500
乙种空气净化机
8 500
10 000
解答下列问题:
(1)按售价售出一台甲种空气净化机的利润是
元;
(2)若两种空气净化机都能按售价卖出,问如何进货能使利润恰好为450
10 10
答:用贵宾卡在打8折的基础上还能享受9折优惠. (2)设用贵宾卡在原价的基础上能享受y折优惠.
根据题意,得10
000×
1
=y2
10
800,
解得y=7.2.
答:用贵宾卡在原价的基础上能享受7.2折优惠. 12/11/2021
3.某织布厂有150名工人,每名工人每天能织布30 m,或制衣4件,已知制
12/11/2021
解析 (1)设该商品的成本价为x元,则根据题意可得 (1+8%)x=1 800×0.9, 解得x=1 500. 答:该商品的成本价为1 500元. (2)设降价后一周内的销售数量应该比降价前一周内的销售数量增加m 件,则根据题意,可得 (97 200÷1 800+m)×1 800×0.9=97 200, 解得m=6. 答:降价后一周内的销售数量应该比降价前一周内的销售数量增加6件.
新浙教版七年级上册数学第五章《一元一次方程》知识点及典型例题
新浙教版七年级上册数学第五章《一元一次方程》知识点及典型例题知识框图朱国林关于一元一次方程概念的拓展教材中的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的指数是一次的方程是一元一次方程，那么 x+2=x+3是一元一次方程吗？从概念上来看，是一元一次方程，但稍作变形，就是2=3，是不是觉得很可笑？因此，一元一次方程的概念应该是：方程两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的指数是一次，并且能变形为ax=b （a ≠0，a 、b 均为常数）的方程是一元一次方程，也就是说，一元一次方程一定只有一个解。
关于用方程解应用题的秘诀：相关条件设未知数，剩余条件列方程考点一、判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用 考点二、关于在解方程过程中的某些变形问题，只能以选择题的形式出现 考点三、解一元一次方程考点四、列一元一次方程解与实际生活无关的题目（可以是选择题、填空题、解答题） 考点五、列一元一次方程解与实际生活有关的题目（可以是选择题、填空题、解答题）将考点与相应习题联系起来考点一、判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用 1、下列等式中是一元一次方程的是（ ）A ．3x=y-1B ．2(1)21x x -=+C ．3(x-1)= -2x-3D ．3x 2-2=3E ．11x x=+ 2、在方程23=-y x ，021=-+x x ，2121=x ，0322=--x x 中一元一次方程的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、如果06312=+--a x是一元一次方程，那么=a ，方程的解为 。
（特别注意）考点二、关于在解方程过程中的某些变形问题，只能以选择题的形式出现 1、已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定．．．成立的是（ ） （A ）;253b a =- （B ）;6213+=+b a （C ）;523+=bc ac （D ）.3532+=b a 2、解方程2631xx =+-，去分母，得（ ） （A ）133x x --= （B ）633x x --= （C ）633x x -+= （D ）133x x -+=3、下列方程变形中，正确的是（ ）（A ）方程1223+=-x x ，移项，得;2123+-=-x x （B ）方程()1523--=-x x ，去括号，得;1523--=-x x （C ）方程2332=t ，未知数系数化为1，得;1=t （D ）方程110.20.5x x --=化成101010125x x --= 考点三、解一元一次方程（1）x x 3.15.67.05.0-=-； （2）；（3）1676352212--=+--x x x ； （4）4.06.0-x 3.011.0+x .考点四、列一元一次方程，解与实际生活无关的题目（可以是选择题、填空题、解答题） 1、方程432-=+x m x 与方程6)16(21-=-x 的解相同，则m 的值为__________. 2、已知5x+3=8x －3和65a x +=37这两个方程的解是互为相反数，则a= . 3、某数的4倍减去3比这个数的一半大4，则这个数为__________.4、若与互为相反数，则的值是 .5、一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是 .6、写出一个以x=－21为解的一元一次方程7、小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：11222y y -=- 怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是53y =-，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ） A.1 B.2 C.3 D.48、已知21=x 是方程32142m x m x -=--的根，求代数式()⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-121824412m m m 的值.★★★已知关于x 的一元一次方程b x x +=+2301121的解为2=x ，那么关于y 的一元一次方程b y y ++=++）（）（123101121的解为 ． 考点五、列一元一次方程解与实际生活有关的题目（可以是选择题、填空题、解答题） 1、日历上竖列相邻的三个数，它们的和是39，则第一个数是（ ）A.6B.12C.13D.142、有m 辆客车及n 个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则还有1人不能上车．有下列四个等式：①4010431m m +=-；②1014043n n ++=；③1014043n n --=；④4010431m m +=+．其中正确的是（ ） A.①② B.②④ C.②③ D.③④ 3、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是 （ ） A.不赚不亏 B.赚8元 C.亏8元 D. 赚15元4、一件商品提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则应降价（ ） A.40% B.20% C.25% D.15%5、小强比他叔叔小30岁，而两年前，小强的年龄是他叔叔的41，则小强的叔叔今年____________岁. 6、一项工程甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合做了2天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为 ( )(A)．1 天 (B)2 天 (C)3 天 (D)4天 7、小明存入100元人民币，存期一年，年利率为2％，到期应缴纳所获利息的20％的利息税，那么小明存款到期交利息税后共得款 （ ）A.106元B.102元C.111.6元D.101.6元8、银行教育储蓄的年利率如右下表：小明现正读七年级，今年7月他父母为他在银行存款30000元，以供3年后上高中使用. 要使3年后的收益最大，则小明的父母应该采用（ ） （A ）直接存一个3年期；（B ）先存一个1年期的，1年后将利息和自动转存一个2年期； （C ）先存一个1年期的，1年后将利息和自动转存两个1年期； （D ）先存一个2年期的，2年后将利息和自动转存一个1年期.9、某酒店为招揽生意，对消费者实施如下优惠：凡订餐5桌以上，多于5桌的部分按定价的7折收费.小叶集团公司组织工会活动，预定了10桌，缴纳现金2550元，那么每桌定价是 元.10、某商店将彩电按成本价提高50%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利270元，那么每台彩电成本价是___________。
北师大数学七年级上册第五章解一元一次方程总结
第02讲_解一元一次方程知识图谱解一元一次方程知识精讲步骤 具体做法依据注意事项去分母 在方程两边同乘以各分母的最小公倍数等式性质2①不含分母的项不要漏乘 ②注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号去括号由内向外去括号，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律，去括号法则①运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项②如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号 移项 把含未知数的项都移到方程的一边（通常是左边），不含未知数的项都移到方程的另一边 等式性质1①移项必须变号②一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边 合并同类项把方程两边同类项分别合并，把方程化为()0ax b a =≠的形式合并同类项法则合并同类项是同类项的系数相加，字母及其指数不变未知数系数化1在方程两边同除以未知数系数a ，得到方程的解b x a =看不清楚解，不会调整等式性质2 应注意系数a 不能等于0注意：这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能需重复用，使用时不一定严格按从（1）到（5）的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．例：解方程121123x x +--= 去分母：3(1)2(21)6x x +--=去括号：33426x x +-+= 移项：34632x x -=-- 合并同类项：1x -= 未知数系数化1：1x =-三点剖析一．考点：解一元一次方程．二．重难点：解一元一次方程三．易错点：1．在解方程的过程中，移项不变号；2．去括号时容易漏乘括号内的项或弄错符号．一元一次方程的解法例题1、 在解方程123123x x -+-=时，去分母正确的是（ ） A.134)1(3=+--x x B.63413=+--x xC.13413=+--x xD.6)32(2)1(3=+--x x 【答案】 D【解析】 暂无解析 例题2、 解下列方程：（1）76163x x +=-； （2）1111122x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（3）()()5310679x x x x --=-- （4）x 1x 3100.20.1++-=-【答案】 （1）1x =；（2）10x =；（3）335x =；（4）-3x =【解析】 去括号时，要注意考虑两个因素：一是系数，二是符号． 例题3、 解下列方程： （1）4﹣3（2﹣x ）=5x ；（2）2x 0.250.1x=0.10.030.02-+ ． 【答案】 （1）﹣1 （2）﹣186925【解析】 （1）去括号得：4﹣6+3x=5x ， 移项合并得：2x=﹣2， 解得：x=﹣1； （2）方程变形得：200x 3+2510x2-=0.1， 去分母得：400x+75﹣30x=0.6，移项合并得：370x=﹣74.4， 解得：x=﹣186925． 例题4、 仔细观察下面的解法，请回答为问题．解方程：52x 421x 3+=-﹣1 解：15x ﹣5=8x+4﹣1，15x ﹣8x=4﹣1+5， 7x=8， x=87． （1）上面的解法错误有_______处．（2）若关于x 的方程52x 421x 3+=-+a ，按上面的解法和正确的解法的得到的解分别为x 1，x 2，且x 21x 1-为非零整数，求|a|的最小值． 【答案】 （1）2（2）97【解析】 （1）上面的解法错误有2处； （2）52x 421x 3+=-+a ， 错误解法为：15x ﹣5=8x+4+a ，移项合并得：7x=9+a ， 解得：x=a 97+，即x 1=a97+； 正确解法为：去分母得：15x ﹣5=8x+4+10a ， 移项合并得：7x=9+10a ，解得：x=7a 109+，即x 2=7a109+， 根据题意得：x 2﹣1x 1=7a 109+﹣7a 9+=7a9，由7a 9为非零整数，得到|a|最小值为97．随练1、 将方程212134x x -+=-去分母，得（ ） A.4（2x ﹣1）=1﹣3（x+2） B.4（2x ﹣1）=12﹣（x+2） C.（2x ﹣1）=6﹣3（x+2） D.4（2x ﹣1）=12﹣3（x+2） 【答案】 D【解析】 去分母得：4（2x ﹣1）=12﹣3（x+2）随练2、 已知x=3是关于x 的方程x+m=2x ﹣1的解，求（m+1）2的值为__________． 【答案】 9【解析】 将x=3代入方程求出m 的值，即可求出所求式子的值． 解：将x=3代入方程得：3+m=6﹣1， 解得：m=2， 则（m+1）2=32=9 随练3、 解方程（1）4﹣x=2﹣3（2﹣x ）（2）2x 13-﹣10x 16+=2x 14+﹣1． 【答案】 （1）x=2 （2）x=16【解析】 （1）4﹣x=2﹣3（2﹣x ） 4﹣x=2﹣6+3x ，﹣x ﹣3x=2﹣6﹣4， ﹣4x=﹣8， x=2；（2）去分母得：4（2x ﹣1）﹣2（10x+1）=3（2x+1）﹣12， 8x ﹣4﹣20x ﹣2=6x+3﹣12， 8x ﹣20x ﹣6x=3﹣12+4+2， ﹣18x=﹣3， x=16． 随练4、 解方程：（1）31223x x --=+；（2）321123x x x --+=-．【答案】 （1）1118-（2）5【解析】 （1）去分母，得－12x －9＝6x ＋2 移项，得－12x －6x ＝2＋9 合并同类项，得－18x ＝11系数化为1，得1118x =-；（2）去分母，得3（x －3）＋2（2x －1）＝6（x －1）， 去括号，得3x －9＋4x －2＝6x －6， 移项，得3x ＋4x －6x ＝－6＋2＋9 合并同类项，得x ＝5．拓展1、 解方程（1）()9316x x --=（2）131125x x +--=． 【答案】 （1）12；（2）3-． 【解析】 （1）()9316x x --= 9336x x -+= 63x = 12x =． （2）131125x x +--=，()()5110231x x +-=-，551062x x +-=-，3x =-． 2、 ()212511254326x x x +-⎛⎫--=- ⎪⎝⎭．【答案】 23x =-【解析】 ()212511254326x x x +-⎛⎫--=- ⎪⎝⎭去分母（两边同乘以12）：()()2532412252x x x -⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭，去括号：364410410x x x +-+-=-，移项：344461010x x x +-=-+-，合并同类项：32x =-，系数化为1：23x =-，∴23x =-是原方程的解．3、 解下列方程：（1）0.040.090.30.250.050.32x x x ++--=； （2）0.210.010.0310.30.04x x ---=；（3）21101211364x x x -++-=-．【答案】 （1）10921x =；（2）435x =；（3）16x =【解析】 （1）原方程等价于49325532x x x ++--=； ()()()6491032155x x x +-+=-；245430201575x x x +--=-；243015755420x x x --=--+；21109x -=-，10921x =． （2）原方程等价于2103134x x ---=．去分母，得()()42103312x x ---= 去括号，得8403912x x --+=，移项，得8312409x x -=+-，合并同类项，得543x =系数化为1，得435x =．（3）21101211364x x x -++-=-，()842026312x x x --+=+-82066312x x x --=+-，183x -=-，16x =．4、 解下列方程：（1）111246819753x ⎧⎫⎡+⎤⎛⎫+++=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭（2）111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案】 （1）1x =，（2）229x =-【解析】 根据一元一次方程的解题步骤即可解得．。
七年级数学第五章一元一次方程知识点
新赢数学 七年级数学★第五章 一元一次方程精熟掌握，考场无敌 I win ！翻转学习 有效学习 注重过程赢取中考！ 1 姓名第五章 一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。
方程的两个条件：①含有未知数，未知数可以是一个也可以是几个，一般用x,y,z 等字母表示;②必须是等式。
2、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是1的整式方程叫做一元一次方程。
3、方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
判断一个数是不是方程的解，可以将这个数代入方程验证，只要左、右两边方程的值相等就是该方程的解。
4、解方程求方程的解的过程。
5、等式的性质（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
6、移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。
7、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将未知数的系数化为1 。
最终把一个一元一次方程“转化”为a x 的形式。
8、一元一次方程的应用：水箱变高了（形积变化问题：体积不变、面积不变、周长不变）；打折销售（常用公式：利润率=利润进价×100%，售价=标价×商品销售折扣=进价×（1+利润率），利润=售价—进价=进价×利润率）；“希望工程”义演（表格信息问题、多余与不足问题）；追赶小明（相遇问题、追击问题、航行问题及环形问题）。
9、用一元一次方程解决实际问题的过程：实际问题→数学问题（列一元一次方程）→解一元一次方程→数学问题的解（一元一次方程的解）→实际问题的解具体步骤：①审题：弄清题意及题中的数量关系；②设元：用字母设出未知数；③列方程：根据题意，找到等量关系，列方程；④解方程：求方程的解；⑤检验：检验所求方程的解是否符合题意；⑥作答。
七年级上册第五章-第二讲 求解一元一次方程
第一讲 认识一元一次方程一、用合并同类项法解一元一次方程1.合并同类项：将一元一次方程中含未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为ax ＝b (a ≠0)的形式. 要点精析：(1)要把不同的同类项分别进行合并；(2)解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项一样，它们的根据都是乘法分配律，实质都是系数的合并． 例1 解下列方程：总结：(1)合并同类项的目的是将原方程转化成ax ＝b (a ≠0)的形式，依据是合并同类项的法则；(2)系数化为1的依据是等式的性质2：将方程ax ＝b (a ≠0)的两边同时除以a ，当a 为分数时，可将方程两边同时乘a 的倒数． 例2 下面解方程的结果正确的是( )A ．方程4＝3x －4x 的解为x ＝4B ．方程 x ＝ 的解为x ＝2C ．方程32＝8x 的解为x ＝D ．方程1－4＝ x 的解为x ＝－9例3 有一列数，按一定规律排列成1,－3, 9, －27, 81，－243, …，其中某三个相邻数的和是－1701， 这三个数各是多少？例4 某中学的学生自己动手整修操场，如果让八年级学生单独工作，需要6小时完成；如果让九年级学生单独工作，需要4小时完成.现在由八、九年级学生一起工作，需多少小时才能完成任务？例5 如果x ＝m 是方程 x －m ＝1的解，那么m 的值是( )A ．0B ．2C ．－2D ．－6 二、列方程解“总量＝各部分量的和”的问题1.系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程ax ＝b (a ≠0)变形为x ＝ (a ≠0)的形式，变形的依据是等式的性质2.()51268;2x x -=-()27 2.53 1.51546 3.x x x x -+-=-⨯-⨯32131413ba122.易错警示：系数化为1时，常出现以下几种错误： (1)颠倒除数与被除数的位置； (2)忽略未知数系数的符号；(3)当未知数的系数含有字母时，不考虑系数是不是等于0的情况．例6 某校三年共购买计算机140台，去年 购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的 2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？例7 解下列一元一次方程：(1)－x ＝3； (2)2x ＝－4； (3) x ＝－3.例8 把方程－ x ＝3的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是( )A ．给方程两边同时乘－3B ．给方程两边同时除以－C ．给方程两边同时乘－D ．给方程两边同时除以3 三、移项比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于即把原方程中的－2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项 . 1.定义：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项．2.方法：把方程右边含有未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边不含未知数的项改变符号后移到方程右边；即：“常数右边凑热闹，未知左边来报到．”用移项法解一元一次方程的一般步骤： 移项→合并同类项→系数化为1. 移项的原则： 未知项左边来报到，常数项右边凑热闹．移项的方法： 把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，即移项要变号． 例9 将方程5x ＋1＝2x －3移项后，可得( ) A ．5x －2x ＝－3＋1 B ．5x －2x ＝－3－1 C ．5x ＋2x ＝－3－1 D ．5x ＋2x ＝1－3 例10解方程时，移项法则的依据是( )A ．加法交换律B ．加法结合律C ．等式的性质1D ．等式的性质212233232例2 解下列方程：(1)2x ＋6 = 1； (2) 3x ＋3 = 2x ＋7. （3）例3 已知关于x 的方程3a －x ＝ ＋3的解为2，则式子a 2－2a ＋1的值是________． 四、去括号法 去括号法则：1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 去括号的目的是能利用移项法解方程；其实质是乘法的分配律．3.去括号必须做到“两注意”：(1)如果括号外的因数是负数时，去括号后，原括号内各项都要改变符号． (2)乘数与括号内多项式相乘时，乘数应乘以括号内每一项，不要漏乘． 4.用去括号法解一元一次方程步骤：第一步：去括号(按照去括号法则去括号)；第二步：用移项法解这个一元一次方程：移项→合并同类项→系数化为1. 例1 方程1－(2x ＋3)＝6，去括号的结果是( )A ．1＋2x －3＝6B ．1－2x －3＝6C ．1－2x ＋3＝6D ．2x －1－3＝6 例2 解方程：（1）－2(x －1) = 4. （2）4x ＋2(4x －3)＝2－3(x ＋1)．例5 解方程：2(x ＋1)－ (x －1)＝2(x －1)＋ (x ＋1)．例6 解下列方程：(1)5(x －1) = 1; (2)2－(1－x ) = －2; (3)11x ＋1 = 5(2x ＋1)； (4)4x －3(20－x ) = 3； (5)5(x ＋8)－5 = 0; (6)2(3－x ) = 9； (7)－3(x ＋3) = 24； (8)－2 (x －2) = 12. 11 3.42x x －＋2x1212五、去分母去分母的方法：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数； 去分母的依据：等式的性质2；去分母的目的：将分数系数转化为整数系数；去分母的步骤：先找各个分母的最小公倍数,再依据等式的性质2，将方程两边同时乘这个最小公倍数． 例1 把方程3x ＋去分母，正确的是( )A ．18x ＋2(2x －1)＝18－3(x ＋1)B ．3x ＋2(2x －1)＝3－3(x ＋1)C ．18x ＋(2x －1)＝18－(x ＋1)D ．18x ＋4x －1＝18－3x ＋1例2 在解方程 时，去分母正确的是( )A ．7(1－2x )＝3(3x ＋1)－3B ．1－2x ＝(3x ＋1)－3C ．1－2x ＝(3x ＋1)－63D ．7(1－2x )＝3(3x ＋1)－63 例3 解方程：（1） （2）例4 解下列方程：课堂小结211332x x1231337x x －＋＝－111(15)(7).523x x 0.10.010.011.0.20.063x x x －－＝－34(1);23x x 11(2)1)(23);37x x （2(3);54x x11(4)(1)(1);43x x 212(5)1;34x x 11(6)(1)2(2).25x x一、合并同类项1．下列解方程的过程中，错误的是( )A ．由－4x ＋5x ＝2，得x ＝－2B ．由y ＋2y ＝2，得3y ＝2，故y ＝C ．由－2x ＋x ＝4－2，得－x ＝2，故x ＝－2D ．由0.25a －0.75a ＝0，得－0.5a ＝0，故a ＝0 2．解方程11＝x ＋6x ＋4x 的正确结果是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 3．若关于x 的方程a －3ax ＝14的解是x ＝－2，则a 的值为( )A ．－14B ．－2C ．2D ．144．对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，定义新运算： .已知 ＝18，则x 的值为( )A ．－1B ．2C ．3D ．45．关于x 的方程3－x ＝2a 与方程x ＋3x ＝28的解相同，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．5D ．－5 6．解方程： (1)2x －4x ＋3x ＝5； (2) a ＋ a － a ＝－12.7．已知关于x 的方程 ＋x ＝3a －3的解为x ＝2，求(－a )2－2a ＋1的值．8．如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按3:4 : 7出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工3x 人、4x 人、7x 人，依题意，得3x ＋4x ＋7x ＝84；②设甲村出工x 人，依题意，得x ＋4x ＋7x ＝84； ③设乙村出工x 人，依题意，得x ＋x ＋x ＝84； ④设丙村出工x 人，依题意，得3x ＋4x ＋x ＝84. 上面所列方程中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．某中学的学生自己动手整修操场，如果让八年级学生单独工作，需要6 h 完成；如果让九年级学生单独工作，需要4 h 完成．现在由八、九年级学生一起工作，需多少小时才能完成任务？10．我国明代数学家程大位曾提出一个有趣的问题．有一个人赶着一群羊在前面走，另一个人牵着一只羊跟在后面，后面的人问赶羊的人说：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我再得这么一群羊，再得这群羊的一半，再得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只羊．”问这群羊有多少只． 1213162x二、移项1．下列变形属于移项变形的是( )A ．由 ＝3，得x －2＝12B ．由2x ＝3，得x ＝C ．由4x ＝2x －1，得4x －2x ＝－1D ．由3y －(y －2)＝3，得3y －y ＋2＝3 2．解方程3x ＋5＝8x －10的一般步骤是：(1)移项，得________________； (2)合并同类项，得____________； (3)系数化为1，得____________．3．关于x 的方程3x ＋2＝x －4b 的解是x ＝5，则b 等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．－34．某县由种玉米改为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高了20%，今年农民人均收入比去年的1.5倍少1 200元．问这个县去年农民人均收入多少元？若设这个县去年农民人均收入为x 元，则今年农民人均收入既可以表示为__________________，又可以表示为__________________，因此可列方程______________________________．5．(中考•荆州)为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？( )A ．140元B ．150元C ．160元D ．200元 6．(中考•聊城)在如图所示的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是( )A ．27B ．51C ．69D ．72 7．解方程：(1)0.4x － ＝8－ x ； (2) x －3＝5x ＋ .8．如果5m ＋4与m －2互为相反数，求m 的值．9．已知|3x －6|＋(2y －8)2＝0，求2x －y 的值． 24x 321415141210．若－2x 2m ＋1y 6与 x 3m －1y 10＋4n是同类项，求m ，n 的值．11．(中考·安徽)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？ 请解答上述问题．12．有一群鸽子和一些鸽笼，若每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住，若每个鸽笼住7只鸽子，则有一个鸽笼少1只鸽子．有多少只鸽子和多少个鸽笼？三、去括号1．下列解方程过程中，变形正确的是( )A ．由2x －1＝3得2x ＝3－1B ．由2x －3(x ＋4)＝5得2x －3x －4＝5C ．由－75x ＝76得x ＝D ．由2x －(x －1)＝1得2x －x ＝0 2．解方程2(x －3)－3(x －5)＝7(x －1)的步骤：(1)去括号，得____________________； (2)移项，得_______________________； (3)合并同类项，得____________； (4)系数化为1，得__________． 3．下列四组变形中，属于去括号的是( )A ．5x ＋4＝0，则5x ＝－4 B. ＝2，则x ＝6 C ．3x －(2－4x )＝5，则3x ＋4x －2＝5 D ．5x ＝2＋1，则5x ＝3 4．(中考·包头)若2(a ＋3)的值与4互为相反数，则a 的值为( )A ．1B ．C ．－5D. 5．若方程3(2x －2)＝2－3x 的解与关于x 的方程6－2k ＝2(x ＋3)的解相同，则k 的值为( )A.B ．C.D ． 7576-3x72-125989-5353-（2） （3）7．解方程： 278(x －3)－463(6－2x )－888(7x －21)＝0.8．(中考•福建)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程解应用题的方法求出问题的解．9．(中考·遵义)明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图)，其大意为有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有________两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)．10．当m 取什么整数时，关于x 的方程 的解是正整数？四、去分母1．解方程 ，为了去分母应给方程两边同乘的最合适的数是( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．242．(中考·株洲)在解方程 时，方程两边同时乘6，去分母后，正确的是( )A ．2x －1＋6x ＝3(3x ＋1)B ．2(x －1)＋6x ＝3(3x ＋1)C ．2(x －1)＋x ＝3(3x ＋1)D ．(x －1)＋x ＝3(x ＋1)3．若 与 互为相反数，则x 的值为( ) A ．1B ．－1C ．D ．－24．如果方程 的解也是方程 的解，那么a 的值是( ) ()()11211.223x x x ⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦43126 1.345x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3127146y y -+-=13132x x x -++=23516x -53-17236x x ++-=203a x--=5．解方程：（1） （2）（3） （4）6．在解方程3(x ＋1)－ (x －1)＝2(x －1)－ (x ＋1)时，我们可以将x ＋1，x －1各看成一个整体进行移项、合并同类项，得到 (x ＋1)＝ (x －1)，再去分母，得3(x ＋1)＝2(x －1)，进而求得x ＝－5，这种方法叫整体求解法．请用这种方法解方程：5(2x ＋3)－ (x －2)＝2(x －2)－ (2x ＋3)．7．小明在解方程 去分母时，方程右边的－1项没有乘3，因而求得的解是x ＝2，试求a 的值，并求出方程正确的解．8．已知(a ＋b )y 2－ ＋5＝0是关于y 的一元一次方程． (1)求a ，b 的值；(2)若x ＝a 是关于x 的方程 的解，求|a －b |－|b －m |的值．131.42x x x ---=-40.20.30.02.20.50.01x x x --+=()11115789.864x ⎧⎫⎡⎤-+++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭1312727334121612121.156518x x x x ---+-=-+21133x x a-+=-123a y +2123626x x x mx +---+=-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
七年级上册数学第五章知识点参考：一元一
次方程
朱熹曾说过：不勤于始，将毁与中。
换句话就是：勤于始、精于始，才能成于始。
初中在孩子求学的生涯是一个重要的承上启下阶段。
详细内容请看七年级上册数学第五章知识点。
1.等式：用=号连接而成的式子叫等式.
2.等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式;
等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.
3.方程：含未知数的等式，叫方程.
4.方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意：方程的解就能代入!
5.移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
6.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a0).
8.一元一次方程解法的一般步骤：
化简方程----------分数基本性质
去分母----------同乘(不漏乘)最简公分母
去括号----------注意符号变化
移项----------变号(留下靠前)
合并同类项--------合并后符号
系数化为1---------除前面
10.列一元一次方程解应用题：
(1)读题分析法:多用于和，差，倍，分问题
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文
水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因
就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
(2)画图分析法:多用于行程问题
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学
习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，
而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
希望为大家提供的七年级上册数学第五章知识点的内容，能够对大家有用，更多相关内容，请及时关注!。