高斯曲率的计算公式解析
高斯曲率的一个计算公式的证明
高斯曲率是用于表示曲面的曲率的一种方法。
它可以用来表示曲面的弯曲程度，以及曲面的形状是凸的还是凹的。
高斯曲率可以用来衡量曲面的平滑程度，并且在很多应用中都非常重要。
关于高斯曲率的一个常用的计算公式是：K = (Lambda1 * Lambda2) / (Lambda1 + Lambda2)^2其中Lambda1 和Lambda2 是曲面的两个主曲率。
证明：首先，我们来看看曲面的主曲率是如何计算的。
对于某个曲面上的一个点，我们可以在该点处建立一个正交坐标系。
在这个坐标系中，我们可以定义一个函数z = f(x, y)，其中(x, y) 是平面坐标，z 是该点在曲面上的高度。
我们定义曲面的主曲率是曲面在某一点的沿着坐标轴的曲率。
这意味着我们可以对函数f(x, y) 求导，得到关于x 和y 的一阶偏导数，然后再求导，得到关于x 和y 的二阶偏导数。
设fx, fy, fxx, fxy, fyy 分别表示f(x, y) 的一阶偏导数和二阶偏导数，则f(x, y) 的主曲率Lambda1 和Lambda2 分别可以表示为：Lambda1 = (fxx * fy^2 - 2 * fxy * fx * fy + fyy * fx^2) / (fx^2 + fy^2)^(3/2) Lambda2 = (fxx * fx^2 - 2 * fxy * fx * fy + fyy * fy^2) / (fx^2 + fy^2)^(3/2) 注意，Lambda1 和Lambda2 之间的大小关系是未知的。
现在，我们来证明高斯曲率的计算公式：K = (Lambda1 * Lambda2) / (Lambda1 + Lambda2)^2首先，根据主曲率的定义，我们可以知道：Lambda1 = (fxx * fy^2 - 2 * fxy * fx * fy + fyy * fx^2) / (fx^2 + fy^2)^(3/2) Lambda2 = (fxx * fx^2 - 2 * fxy * fx * fy + fyy * fy^2) / (fx^2 + fy^2)^(3/2) 将这两个式子代入高斯曲率的计算公式中，得到：K = [(fxx * fy^2 - 2 * fxy * fx * fy + fyy * fx^2) / (fx^2 + fy^2)^(3/2)] * [(fxx * fx^2 - 2 * fxy * fx * fy + fyy * fy^2) / (fx^2 + fy^2)^(3/2)] / [(fxx * fy^2 - 2* fxy * fx * fy + fyy * fx^2) / (fx^2 + fy^2)^(3/2) + (fxx * fx^2 - 2 * fxy * fx * fy + fyy * fy^2) / (fx^2 + fy^2)^(3/2)]^2。
曲面曲率高斯定律
曲面曲率高斯定律
曲面曲率高斯定律，又称为高斯-博内定理，是微分几何学中的一条重要定律。
它揭示了曲面在局部的几何性质与其曲率之间的关系。
具体来说，曲面曲率高斯定律指出，在曲面的任意小区域内，高斯曲率的大小与该区域内最小曲率半径的平方成正比。
换句话说，曲率半径越小，高斯曲率就越大，这意味着曲面在该点处的弯曲程度越高。
这一定律的重要性在于它揭示了曲面曲率的基本性质。
通过曲面曲率高斯定律，我们可以更好地理解曲面在各个点处的弯曲情况，这对于解决实际问题至关重要。
例如，在工程设计中，曲面曲率高斯定律可以帮助我们预测结构的应力分布和稳定性；在生物学中，它可以用来描述细胞膜的形态变化；在气象学中，它可以用来研究气候变化对地形的影响。
此外，曲面曲率高斯定律在数学和物理学中也具有广泛的应用。
在数学领域，它可以作为研究曲面几何性质的出发点，进一步推导出其他重要的几何定理，如欧拉公式和格林公式等。
在物理学领域，它可以用来描述流体的流动规律和弹性力学的基本原理。
总之，曲面曲率高斯定律是一个重要的数学定理，它不仅在数学和物理学中有广泛的应用，还对工程学、生物学和气象学等领域产生了深远的影响。
通过深入研究和应用这一定律，我们可以更好地理解自然界的规律和现象，并解决实际生产和生活中的问题。
微分几何中的高斯曲率的推导 知乎
微分几何中的高斯曲率的推导1. 引言微分几何是数学中非常重要且深奥的一个领域，而高斯曲率作为微分几何中的重要概念之一，对于理解曲面的性质和特征具有非常重要的意义。
本文将深入探讨微分几何中的高斯曲率的推导，希望通过对这一概念的深入理解，为读者提供更加全面和深刻的视角。
2. 高斯曲率的定义在开始推导高斯曲率之前，我们首先需要了解高斯曲率的具体定义。
对于一个曲面上的点，我们可以通过曲面的局部参数方程来描述其周围的几何性质。
而高斯曲率就是描述曲面在该点处的局部几何形状的一个重要指标。
具体来说，我们可以通过参数方程得到曲面上某点的切平面，而高斯曲率则是该切平面上的曲率的乘积。
这里的曲率是指曲面曲线在该点处的弯曲程度，而高斯曲率则是描述了整个切平面的弯曲程度的综合指标。
3. 高斯曲率的推导在进行高斯曲率的推导时，我们首先需要明确如何描述曲率。
一般来说，我们可以通过曲面的第一和第二基本形式来描述曲面的曲率情况。
通过计算这两个基本形式的相关指标，我们可以推导出高斯曲率的具体表达式。
在此过程中，需要运用到微分几何中的一些重要定理和方法，如高斯-克鲁金公式、黎曼曲率张量等。
4. 高斯曲率的性质除了推导高斯曲率的具体表达式之外，我们还可以探讨一些高斯曲率的重要性质。
高斯曲率与曲面的拓扑性质之间的关系、高斯曲率与曲面的几何形状之间的联系等等。
这些性质的深入理解将有助于我们更加全面地把握高斯曲率的本质和意义。
5. 个人观点和理解在我看来，高斯曲率不仅仅是微分几何中的一个抽象概念，更是对曲面几何性质的深刻洞察。
通过对高斯曲率的推导和性质的探讨，我们可以更加全面地认识曲面的几何特征，从而为数学和物理学中的相关问题提供更为深刻的见解。
6. 总结通过本文的探讨，我们对微分几何中的高斯曲率的推导有了更加清晰和深入的理解。
高斯曲率作为微分几何中的重要概念，对于理解曲面的性质和特征具有非常重要的意义。
希望读者通过本文的阅读，能够对高斯曲率有更为全面、深刻和灵活的理解。
高斯曲率
曲率曲率说明
表示曲线弯曲程度的量.
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义K就是曲率。
曲率的倒数就是曲率半径。
圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。
曲率半径越大，圆弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡。
曲率半径的倒数就是曲率。
曲率k = (转过的角度/对应的弧长）。
当角度和弧长同时趋近于0时，就是关于任意形状的光滑曲线的曲率的标准定义。
而对于圆，曲率不随位置变化。
高斯曲率曲面论中最重要的内蕴几何量。
设曲面在P点处的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k＝k1·k2称为曲面于该点的总曲率或高斯曲率。
它反映了曲面的一股弯曲程度。
高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。
设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点的轨迹是以O为中心的单位球面S2上的一块区域Δб* 。
这个对应称为高斯映射。
曲面在P点邻近弯曲程度可用
Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻画。
曲面在P点的高斯曲率的绝对值正是这个比值当Δб收缩成P点时的极限。
高斯曲率与曲面在微分几何中的应用
高斯曲率与曲面在微分几何中的应用微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线和曲面的性质及其在空间中的变化规律。
在微分几何中，高斯曲率是一个重要的概念，它描述了曲面在点上的弯曲程度。
本文将介绍高斯曲率的定义、性质以及其在微分几何中的应用。
一、高斯曲率的定义高斯曲率是描述曲面弯曲程度的一个量。
在微分几何中，曲面可以用参数方程表示，即通过两个参数来确定曲面上的点的位置。
设曲面的参数方程为x(u,v)，其中u和v分别是曲面上的两个参数。
对于曲面上的一点P(x(u,v))，可以通过求取该点处的曲率来描述曲面的弯曲程度。
具体来说，设曲面上通过点P的曲线为C，该曲线在点P处的切线方向为T，曲线在该点的曲率为k。
则高斯曲率K定义为曲率k在曲面上变化的极限，即K = lim(ΔC→0) Δk/ΔA，其中ΔC表示曲线C在点P附近的一小段，ΔA表示该小段曲线围成的面积。
二、高斯曲率的性质高斯曲率具有一些重要的性质。
首先，高斯曲率是与曲面的参数方程无关的量，即不依赖于曲面的具体表示形式。
这意味着无论我们用什么参数方程来表示曲面，其高斯曲率都是相同的。
其次，高斯曲率可以用来判断曲面的形状。
对于一个平面而言，其高斯曲率为0；对于一个球面而言，其高斯曲率为正；而对于一个马鞍面而言，其高斯曲率为负。
因此，高斯曲率可以帮助我们判断曲面是平面、球面还是马鞍面等。
此外，高斯曲率还与曲面上的曲率圆有密切的关系。
曲率圆是曲线在曲面上的投影形成的圆，其半径与曲率k有关。
对于具有相同高斯曲率的曲面，其上的曲率圆半径是相等的。
三、高斯曲率在微分几何中的应用高斯曲率在微分几何中有广泛的应用。
首先，高斯曲率可以用来计算曲面的面积。
根据高斯曲率的定义，我们可以将曲面划分为许多小的面元，然后通过对这些面元的高斯曲率求和，最终得到整个曲面的高斯曲率。
而曲面的面积可以通过高斯曲率和欧拉示性数之间的关系来计算。
其次，高斯曲率还可以用来研究曲面的变形。
在实际应用中，我们常常需要对曲面进行变形，例如在计算机图形学中，对曲面进行形变可以用来模拟物体的变形。
高斯曲率的计算公式
高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN M K k k EG F -==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。
所以22LN M K EG F-=- 2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
3.4 常高斯曲率曲面
曳物线. 而把曳物线绕 z -轴旋转后所得的曲面称为伪球面.
【注 1】
我们之所以称曲线(4)为曳物线的原因如下: 过这条曲线上每点 P , 作切线与
轴交于 Q, 可以验证: 线段 P Q 的长度为 a. 这就相当于人 Q 用一根长为 a 的直绳拖曳着物 体沿 z -轴走动时, 物体 P 所走出的轨迹, 它正好就是曲线(4), 因而我们就称曲线(4)为曳物 线. 【注 2】
I ∗ = (du∗ )2 + (1 + u∗2 )(dv ∗ )2 . 再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程) 1 K = −√ EG √ ( E )v √ G √ ( G)u √ + E v ,
u
经过计算得出曲面 S 和 S ∗ 的高斯曲率分别为 K=− 1 , (1 + u2 )2 K∗ = − 1 . (1 + u∗2 )2
为高斯曲率为零的代表; 球面作为高斯曲率为正常数的代表. 换句话说, 高斯曲率为零的曲 面都可以与平面建立等距对应, 高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应. 那
1 么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表? 设 K = − a 2 , 我们可以在旋转曲
面中找出这个代表. 设旋转曲面的待定母线为 yOz 平面中的曲线 z = f (y ). 把它绕 z -轴旋转后形成了旋转 面 r (u, v ) = {v cos u, v sin u, f (v )}, 其高斯曲率 K= ff LN − M 2 LN = = , 2 EG − F EG v (1 + (f )2 )2
1 为了使这个曲面的高斯曲率 K = − a 2 , 所以待定函数 f 就必须满足下列方程:
1 ff = − 2, v (1 + (f )2 )2 a 将其改写成 f d(f ) 1 = − 2 v dv (1 + (f )2 )2 a 1 1 = 2 v 2 + C1 , 1 + (f )2 a √ f =± 再积分, 就得出 f =± 如令 v = a cos φ 后 f = ±a sin2 φ dφ = ±a[ln(sec φ + tan φ) − sin φ] + C2 cos φ √ a2 − v 2 , v
(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率
3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。
因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。
二 欧拉公式结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为1κ，沿v-线的主曲率为2κ,曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角为θ,则沿（d ）的法曲率n κ满足2212cos sin n κκθκθ=+ . 这个公式叫做欧拉公式。
证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上任意方向(d)=du:dv ,与其对应的法曲率2222n Ldu Ndv Edu Gdv κII +==I + . 沿u-线（0v δ=）的法曲率为主曲率1LEκ=,沿v-线（0u δ=）的法曲率为主曲率2N Gκ=. 因为(d)=du:dv 与u-线的夹角是θ,所以cos θ=,所以2222cos Edu Edu Gdv θ=+,2222sin Gdv Edu Gdvθ=+,所以 22222212222222cos sin n Ldu Ndv L Edu N Gdv Edu Gdv E Edu Gdv G Edu Gdvκκθκθ+==+=++++ 三 主曲率的性质命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。
证明 设12κκ< (如果12κκ>,可以交换坐标u 和v）由欧拉公式知：22212212cos sin ()cos n κκθκθκκκθ=+=+-,于是2221()cos 0n κκκκθ-=-≥,所以2n κκ≥,同样可得2121()sin n κκκκθ-=-，所以1n κκ≤,故12n κκκ≤≤, 这就是说，曲率21,κκ分别是法曲率n κ 中的最大值和最小值。
四 主曲率的计算公式结论 设(d)=du:dv 为曲面S: (,)r r u v =在 P 点处的主方向，沿主方向的主曲率为N k ，则N k 的计算公式是0N N N N L E M F M FN Gκκκκ--=-- 即222()(2)()0NN EG F LG MF NE LN M κκ---++-=。
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第二章 曲面论高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。
所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
）利用 u u r r E ⋅=r r ，u v r r F ⋅=r r，v v r r G ⋅=v v，可得12u uu u r r E ⋅=r r ，12u uv v r r E ⋅=r r，12v vu u r r G ⋅=v v ，12v vv v r r G ⋅=v v ，12v uu u v r r F E ⋅=-r r，12u vv v u r r F G ⋅=-r r。
由于()()uu vv uv uv uu vv u vvu u vvu uv uv r r r r r r r r r r r r ⋅-⋅=⋅+⋅-⋅+⋅r r r r r r r r r r r r()()u vv u u vu v r r r r =⋅-⋅r r r r11()()22v u u v v F G E =--1122vu uu vv F G E =-- ；或者uu vv uv uv r r r r ⋅-⋅r r r r()()uu v v v uv u r r r r =⋅-⋅r r r r11()()22u v v u u F E G =--1122uv vv uu F E G =-- ；于是得到221122111[]()22111111222222v u v v u u u vuv vv uu vu EF FG EF E K FG G F G G EG F E F E F E G E G -=----- (1)公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。
将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得2221[(2)4()v v u v u K E E G F G G EG F =-+-(242)u v v u v v u v u u F E G E G E F F F F G +--+- 2(2)u u u v v G E G E F E +-+22()(2)]vv uv uu EG F E F G ---+,(2)高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而K 事实上是曲面的一个内蕴不变量。
高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由 Brioschi 公式(1)给出。
存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。
球面片与平面片之间不存在等距对应。
u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r12211222221211221211121111022uv vv uuE F EF F GF G F E G ΓΓ=Γ-ΓΓΓΓΓ--，122112222212221122121112111[]()11022uv vv uuE FEF K F GF G EG F F E G ΓΓ=Γ-Γ-ΓΓΓΓ-- 。
特别地，当曲面∑：(,)r r u v =v v上的坐标曲线网是正交网时， 0F =， 此时2110022111[00]()22111111222222u v v u u v vv uu v u EG E E K G G G G EG E E E G E G -=----211111111111[()()]()2222222222vv uu v v u u u u vv E GE GG E G G E G E G G E G E EG =--++---211[()()]24()vv uu v v u u u u v v E G EE G E G G EG G E GE EG EG =-+-+++, 即得211[()()]24()vv uu v v u u u u v v K E G EE G E G G EG G E GE EG EG =-+-+++,(3) 经过观察，通过凑微分，得到211[()()]24()vv uu v v u u u u v v E G EE G E G G EG G E GE EG EG -+-+++)()()]uu vv u u u v v v G E G EG E G E EG E G =+-+++111)()()]uu vv u u v v G E G EG E EG =-+-+]uu u u vv v v G E E =-++++111))]u u v v E =-+]u v =-+ ，故有1]u v K =-+，(4)（验算这个量的散度的动因，是在用测地曲率的刘维尔公式，推导高斯-波涅公式时，出现求散度的运算，导致两者的表达方式是一致的。
）1[K u v ∂∂=+∂∂ 。
(Ku u v∂∂∂=+∂∂∂，21i i iKu=∂=∂∑。
如果曲面在参数坐标网(,)u v下的第一基本形式为222(,)[()()]u v du dvλI=+，则称此坐标网为等温参数网。
2,0E G Fλ===，]u vK=+21[()()]u vu vλλλλλ=-+21[(ln)(ln)]uu vvλλλ=-+21lnλλ=-∆，其中2222u v∂∂∆=+∂∂是关于变量,u v的Laplace算子.于是在曲面上取等温参数网(,)u v 时，222(,)[()()]u v du dv λI =+，2E G λ==，其中(,)0u v λλ=>. 此时 21ln K λλ=-∆。
例 求第一基本形式为222222()du dv ds u v c +=++的曲面高斯曲率 。
解 因为2221,0()E G F u v c ===++ ，所以]u v K =+()22222222222222()2()[]4()()v c u u c v u v c c u v c u v c -+--+-=-+++=++++。
例 求第一基本形式为22()(,)()du G u v dv I =+的曲面上的高斯曲率 。
由（3）式，得21124uu u u uu K G G G G G =-+= 。
半测地坐标网下， 高斯曲率的计算公式在2C 类曲面 ∑：(,)r r u v =v v上选一条测地线Γ为v --曲线：0u =；再取与Γ正交的测地线族为u --曲线，另取这测地线族的正交轨线为v --曲线，则得一半测地坐标网。
对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式 可以简化为22()(,)()du G u v dv I =+，其中(,)G u v 满足条件(0,)1,(0,)0u G v G v == 。
在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式2Ku∂=∂。
常高斯曲率的曲面现在设曲面∑的高斯曲率是常数，即K=常数，则得微分方程22u∂+=∂。
根据初始条件：(0,)1,(0,)0uG v G v==，我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。
（1）正常数高斯曲率的曲面，K>，((A vB v=+。
根据初始条件，可得()1,()0A vB v==，于是cos=，222()cos()du dv I =+。
实例：考虑球心在原点，半径为R 的球面。
取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。
设球面上点的经度为v ，纬度为u ， 则球面的参数表示是 (cos cos ,cos sin ,sin )r R u v u v u =v。
(sin cos ,sin sin ,cos )u r R u v u v u =--v， (cos sin ,cos cos ,0)v r R u v u v =-v，2,0,u u u v E r r R F r r =⋅==⋅=v v v v22cos v v G r r R u =⋅=v v，22222()cos ()R du R u dv I =+。
在球面上重新选择参数，命 ,u Ru v Rv == 于是222()cos ()u du dv RI =+， 高斯曲率22111(cos )cos u K u u R R R∂''=-=-=∂ ，因此得到222()cos)du dv I =+，所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。