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多元线性回归
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§5.4 回归方程的显著性检验
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§5.4 回归方程的显著性检验
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§5.2 多元回归参数的估计
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§5.2 多元回归参数的估计
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§5.4 回归方程的显著性检验
在一元线性回归中，回归系数显著性的t检验与回归方 程显著性的F检验是等价的，而在多元线性回归中，这 两种检验不同。
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§5.4 回归方程的显著性检验
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§5.3 参数估计量的性质
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§5.3 参数估计量的性质
性质4 Gauss-Markov定理
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多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法之青柳念文创作摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响.例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利钱等多种因素的影响，表示在线性回归模子中的诠释变量有多个.这样的模子被称为多元线性回归模子.多元线性回归的基来历根基理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当费事，一般在实际中应用时都要借助统计软件.这里只先容多元线性回归的一些基本问题.但由于各个自变量的单位能够纷歧样，比方说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教导程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是分歧的，因此自变量前系数的大小其实不克不及说明该因素的重要程度，更简单地来讲，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想法子将各个自变量化到统一的单位上来.前面学到的尺度分就有这个功能，详细到这里来讲，就是将所有变量包含因变量都先转化为尺度分，再停止线性回一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来诠释因变量的变更，在现实问题研究中，因变量的变更往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来诠释因变量的变更，这就是多元回归亦称多重回归.当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所停止的回归分析就是多元性回归. 设y为因变量X1,X2…Xk为自变量，而且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模子为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为X1,X2…Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模子描绘为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项，X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模子描绘为：y = b0 + b1x1 + b2x2 + e建立多元性回归模子时，为了包管回归模子具有优良的诠释才能和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈紧密亲密的线性相关；(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；(3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不该高于自变量与因变量之因的相关程度；(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定.多元性回归模子的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法求解参数.以二线性回归模子为例，求解回归参数的尺度方程组为解此方程可求得b0,b1,b2的数值.亦可用下列矩阵法求得即多元线性回归分析预测法多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模子停止预测的方法.当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析.多元线性回归模子的检验多元线性回归模子与一元线性回归模子一样，在计算出回归模子之后，要对模子停止各种检验.多元线性回归模子的检验方法有：断定系数检验（R 检验），回归系数显着性检验（T检验），回归方程显着性检验（F检验）.1、断定系数检验.多元线性回归模子断定系数的定义与一元线性回归分析近似.断定系数R的计算公式为： R = R接近于1标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度紧密亲密；R接近于0标明Y与X1， X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不紧密亲密.2、回归系数显着性检验.在多元回归分析中，回归系数显着性检验是检验模子中每一个自变量与因变量之间的线性关系是否显着.显着性检验是通过计算各回归系数的t检验值停止的.回归系数的t检验值的计算公式为：= （j = 1，2，…，k），式中是回归系数的尺度差.在多元回归模子中，某个变量回归系数的t检验没有通过，说明该变量与因变量之间不存在显着的线性相关关系，在回归分析时便可以将该变量删去，或者根据情况作适当的调整，而后用剩下的自变量再停止回归分析.3、回归方程的显着性检验.回归方程的显着性检验是检验所有自变量作为一个整体与因变量之间是否有显着的线性相关关系.显着性检验是通过F检验停止的.F检验值的计算公式是：F（k ，n－k－1）= 多元回归方程的显着性检验与一元回归方程近似，在此也不再赘述.回归方程的显着性检验未通过能够是选择自变量时遗漏了重要的影响因素，或者是自变量与因变量间的关系是非线性的，应重新建立预测模子.多元线性回归预测模子的公式多元线性回归预测模子一般公式为：多元线性回归模子中最简单的是只有两个自变量（n=2）的二元线性回归模子，其一般形式为：下面以二元线性回归分析预测法为例，说明多元线性回归分析预测法的应用.二元线性回归分析预测法，是根据两上自变量与一个因变量相关关系停止预测的方法.二元线性回归方程的公式为：式中：：因变量；x1，x2：两个分歧自变量，即与因变量有慎密接洽的影响因素.a，b1，b2：是线性回归方程的参数.a，b1，b2是通过解下列的方程组来得到.(2) 多元线性回归模子预测的精准度多元线性回归模子暗示一种地理现象与别的多种地理现象的依存关系，这时别的多种地理现象共同对一种地理现象发生影响，作为影响其分布与发展的重要因素.设变量Y与变量X1，X2，…，Xm存在着线性回归关系，它的n个样本观测值为Yj,Xj1,Xj2,…Xjm(j＝1，2，n).可采取最小二乘法对上式中的待估回归系数β0，β1，…，βm停止估计，求得β值后，即可操纵多元线性回归模子停止预测了.计算了多元线性回归方程之后，为了将它用于处理实际预测问题，还必须停止数学检验.多元线性回归分析的数学检验，包含回归方程和回归系数的显著性检验.多元线性回归模子的精度，可以操纵剩余尺度差来衡量.S越小，则用回归方程预测Y越切确；反之亦然.总结多元线性回归模子因为其操纵简单方便，预测能到达一定精准度，已经在我国的社会迷信、自然迷信的各个范畴发挥了宏大作用.该模子还可以应用于经济学、生物学、心理学、医疗卫生、体育、农业、林业、商业、金融等各个范畴.。
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
预测算法之多元线性回归
预测算法之多元线性回归多元线性回归是一种预测算法，用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
在这种回归模型中，因变量是通过多个自变量的线性组合进行预测的。
多元线性回归可以用于解决各种问题，例如房价预测、销售预测和风险评估等。
多元线性回归的数学表达式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是相应的回归系数，ε是误差项。
多元线性回归的主要目标是找到最佳的回归系数，以最小化预测误差。
这可以通过最小二乘法来实现，最小二乘法是一种优化方法，可以最小化实际值与预测值之间的误差平方和。
多元线性回归可以有多种评估指标，以衡量模型的拟合程度和预测效果。
其中，最常用的指标是R平方（R2），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R平方的取值范围在0和1之间，越接近1表示模型越好地解释了数据的变异。
多元线性回归的模型选择是一个关键问题，尤其是当面对大量自变量时。
一个常用的方法是通过逐步回归来选择最佳的自变量子集。
逐步回归是一种逐步加入或剔除自变量的方法，直到找到最佳的模型。
在应用多元线性回归进行预测时，需要注意以下几个方面。
首先，确保所有自变量和因变量之间存在线性关系。
否则，多元线性回归可能无法得到准确的预测结果。
其次，需要检查自变量之间是否存在多重共线性问题。
多重共线性会导致回归系数的估计不可靠。
最后，需要通过交叉验证等方法来评估模型的泛化能力。
这样可以确保模型对新数据具有较好的预测能力。
总结起来，多元线性回归是一种强大的预测算法，可以用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
通过合理选择自变量和优化回归系数，可以得到准确的预测结果，并帮助解决各种实际问题。
但是，在应用多元线性回归时需要注意问题，如线性关系的存在、多重共线性问题和模型的泛化能力等。
高级计量经济学 第二章 多元线性回归模型
用方程形式，残差平方和可以表示为
E S S u i 2 Y i Y ˆ i2 Y i ˆ 0 ˆjX ij2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
以包括两个解释变量的模型为例，对未知参数求一阶导数 得到：
如y果ˆ使xˆ12 , …x1,或 xk保持ˆ不1变 ，xyˆ1那么有
即每个估计的都反映出当其他因素不变时，该因
素产生的边际影响效果。
多元回归的拟合优度
多元回归方程的拟合优度同样可以用R2表示
R2RSS
TSS
Y Y ˆii Y Y2 21
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间 关系的联合假设。
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式 为：
对拟合优度的统计检验
检验拟合优度的虚假设是所有解释变量均不是真 正的解释变量，即：
H 0 : 12 .. .k 0
备择假设为至少有一个解释变量的参数不等于零 。相应的统计量为：
F k 1 ,N kE RSS K N S S 1 K 1 R R 22N K K 1
需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估计参数可以表达为 样本观察值和误差项的线性函数，并不要求回归方程中变量之间的关 系为线性的。
例：CD函数 Ye0X1 1X2 2eu
对该函数两边取对数得到：LnY=0+1LnX1+2LnX2+u
即比：较：YY *= 0e+0X 1X1 11 *X +2 2 2X 2*u +u
不同数学函数的性质
多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法 摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。
例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
这样的模型被称为多元线性回归模型。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同,但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件.这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平,而这些影响因素(自变量)的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说,同样工资收入,如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。
前面学到的标准分就有这个功能,具体到这里来说,就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归,此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度.这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。
多元线性回归模型的建立多元线性回归模型的一般形式为Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2，…,n其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1，2,…，k ）称为回归系数(regression coefficient).上式也被称为总体回归函数的随机表达式。
它的非随机表达式为E(Y∣X1i，X2i ，…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXkiβj 也被称为偏回归系数(partial regression coefficient)多元线性回归的计算模型一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化,在现实问题研究中,因变量的变化往往受几个重要因素的影响,此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
多元的线性回归
多元线性回归模型一、多元线性回归模型的一般形式设随机变量y 与一般变量p x x x ,,,21 的线性回归模型为：εββββ+++++=p p x x x y 22110写成矩阵形式为：εβ+=X y 其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y y 21 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X 212222********* ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p ββββ 10 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n εεεε 21 二、多元线性回归模型的基本假定1、解释变量p x x x ,,,21 是确定性变量，不是随机变量，且要求n p X r a n k <+=1)(。
这里的n p X rank <+=1)(表明设计矩阵X 中自变量列之间不相关，样本容量的个数应大于解释变量的个数，X 是一满秩矩阵。
2、随机误差项具有0均值和等方差，即：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=≠====),,2,1,(,,0,),cov(,,2,1,0)(2n j i j i j i n i E j i i σεεε 0)(=i E ε，即假设观测值没有系统误差，随机误差i ε的平均值为0，随机误差iε的协方差为0表明随机误差项在不同的样本点之间是不相关的（在正态假定下即为独立），不存在序列相关，并且具有相同的精度。
3、正态分布的假定条件为：⎩⎨⎧=相互独立n i ni N εεεσε ,,,,2,1),,0(~212，矩阵表示：),0(~2n I N σε,由该假定和多元正态分布的性质可知，随机变量y 服从n 维正态分布，回归模型的期望向量为：βX y E =)(；n I y 2)var(σ= 因此有),(~2n I X N y σβ 三、多元线性回归方程的解释对于一般情况含有p 个自变量的回归方程p p x x x y E ββββ++++= 22110)(的解释，每个回归系数i β表示在回归方程中其他自变量保持不变的情况下，自变量i x 每增加一个单位时因变量y 的平均增加程度。
regression analysis 公式
regression analysis 公式
回归分析（Regression Analysis）是一种统计方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
它的主要目标是通过建立一个数学模型，根据自变量的变化来预测因变量的值。
回归分析中最常用的公式是简单线性回归模型的形式：
Y = α + βX + ε
其中，Y代表因变量，X代表自变量，α和β分别是截距和斜率，ε是随机误差项。
回归分析的目标是找到最佳拟合线（最小化误差项），使得模型能够最准确地预测因变量的值。
除了简单线性回归，还存在多元线性回归模型，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归模型的公式可以表示为：
Y = α + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε
其中，X₁，X₂，...，Xₚ代表不同的自变量，β₁，β₂，...，βₚ代表各自变量的斜率。
通过回归分析，我们可以得到一些关键的统计指标，如回归系数的估计值、回归方程的显著性等。
这些指标可以帮助我们判断自变量对因变量的影响程度，评估模型的拟合优度。
回归分析在许多领域都有广泛的应用，如经济学、社会科学、市场研究等。
它能够揭示变量之间的关联性，为决策提供可靠的预测结果。
总之，回归分析是一种重要的统计方法，通过建立数学模型来研究变量之间的关系。
通过分析回归方程和统计指标，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
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二、多元线性回归模型
在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。
因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
（一）多元线性回归模型的建立
假设某一因变量 y 受 k 个自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的影响，其 n 组观测值为（
y a , x 1 a , x 2 a ,..., x ka ），
a 1,2,..., n 。
那么，多元线性回归模型的结构形式为：
y
a 0 1
x
1a 2
x
2 a
...
k
x
ka a
（）
式中：
0 , 1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。
如果 b 0 , b 1 ,..., b k 分别为 0 , 1 , 2 ..., k 的拟合值，则回归方程为
?=
b 0 b 1x 1 b 2 x 2 ... b k x k
（）
式中：
b 0 为常数；
b 1, b 2 ,..., b k 称为偏回归系数。
偏回归系数 b i （ i 1,2,..., k ）的意义是，当其他自变量 x j （ j
i ）都固定时，自变量 x i 每变
化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，
i （ i
0,1,2,..., k ）的估计值 b i （ i
0,1,2,..., k ）应该使
n
2
n
2
Q
y a y a
y a
b 0
b 1 x
1a
b 2 x
2a
...
b k x ka min （）
a 1
a 1
有求极值的必要条件得
Q
n
2
y a y a
b 0
a
1
（）
Q n
2
y a
y a x
ja
0( j
1,2,..., k)
b j
a 1
将方程组（）式展开整理后得：
n n n n
nb 0 (
x 1a )b 1 (
x 2a )b 2 ... ( x ka )b k
y a
a 1 a 1
a 1
a 1
n
n
n
n
n
( x 1a )b 0 ( x 12a )b 1 (
x 1a x 2a )b 2 ...
( x 1a x ka )b k
x 1a y a
a 1
a 1 a 1
a
1 a 1 n
n n
n
n
（）
(
x 2a )b 0 (
x 1a x 2a
)b
1
( x 22a )b 2 ...
(
x 2 a x ka
)b
k
x 2a y
a
a 1
a
1 a
1
a
1
a 1
...
n n
n
n
x ka 2 )b k n
(
x ka )b 0 ( x 1 a x ka )b 1
( x 2a x ka )b 2
... (
x ka y a
a
1
a
1
a
1
a
1
a 1
方程组（）式，被称为正规方程组。
如果引入一下向量和矩阵：
则正规方程组（）式可以进一步写成矩阵形式
Ab B （ 3.2.15 ’）
求解（ 3.2.15 ’）式可得：
b
A 1
B (X T X ) 1 X T Y （）
如果引入记号：
则正规方程组也可以写成：
L 11b 1 L 12b 2 ... L 1k b k L 1 y
L 21b 1
L 22
b
2
... L 2k
b k
L
2 y
............
（ 3.2.15 ’’）
L k 1
b 1
L k 2
b
2
...
L kk
b k
L
ky
b 0 y b 1 x 1 b 2 x 2 ... b k x k
（二）多元线性回归模型的显著性检验
与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。
与前
面的一元线性回归分析一样，因变量
y 的观测值 y 1, y 2 ,..., y n 之间的波动或差异，是由两个因
素引起的， 一是由于自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的取之不同， 另一是受其他随机因素的影响而引起的。
为了从 y 的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将的离差平方和 S T 或（ L yy ）分解成两个部分，即回归平方和 U 与剩余平方和 Q ：
y
在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有
k 个自变量对 y 的变差的总影响，它可
以按公式
计算，而剩余平方和为
以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。
它们所代表的意义也相似，即
回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。
不过，在多元线性回
归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U 的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于n k 1 ，所以F统计量为：
当统计量 F 计算出来之后，就可以查 F 分布表对模型进行显著性检验。