动态规划算法的一般模式
算法分析与设计教案
算法分析与设计课程教案课程编号：50c24037-01总学时：51 周学时：4适用年级专业（学科类）：2007级计科专业开课时间：2010－2011 学年第1 学期使用教材：王晓东编著计算机算法设计与分析第3版章节第1章1.1~ 1.2 第2 章2.1 课时 2教学目的理解程序与算法的概念、区别与联系；掌握算法在最坏情况、最好情况和平均情况下的计算复杂性概念；掌握算法复杂性的渐近性态的数学表述；理解递归的概念。
教学重点及突出方法重点：程序与算法的概念、算法的时间复杂性、算法复杂性的渐近性态的数学表述以及递归的概念。
通过讲解、举例方法。
教学难点及突破方法难点：算法复杂性与递归通过讲解、举例、提问与引导方法。
相关内容此部分内容基础知识可参考清华大学出版社出版严蔚敏编著的《数据结构》教学过程（教师授课思路、设问及讲解要点）回顾数据结构课程中的算法概念、排序算法等知识，从而引出本课程内容。
提问算法与程序的区别、联系以及算法具有的特性。
讲解算法的复杂性，主要包括时间复杂性与空间复杂性。
讲解最坏情况、最好情况与平均情况的时间复杂性。
讲解算法复杂性在渐近意义下的阶，主要包括O、Ω、θ与o，并通过具体例子说明。
通过具体例子说明递归技术。
主要包括阶乘函数、Fibonacci数列、Ackerman函数、排列问题、整数划分问题、Hanoi塔问题等。
第页章节第2 章2.2~2.5 课时 2 教学目的掌握设计有效算法的分治策略，并掌握范例的设计技巧，掌握计算算法复杂性方法。
教学重点及突出方法重点：分治法的基本思想及分治法的一般设计模式。
通过讲解、举例方法。
教学难点及突破方法难点：计算算法复杂性。
通过讲解、举例、提问与引导方法。
相关内容素材教（教师授课思路、设问及讲解要点）学过程通过生活中解决复杂问题的分解方法，引出分治方法。
讲解分治法的基本思想及其一般算法的设计模式，介绍分治法的计算效率。
通过具体例子采用分治思想来设计有效算法。
动态时间规整算法
动态时间规整算法动态时间规整算法2010-07-18 22：20动态时间规整DTW动态时间规整DTW(dynamic time warping)曾经是语音识别的一种主流方法。
其思想是：由于语音信号是一种具有相当大随机性的信号，即使相同说话者对相同的词，每一次发音的结果都是不同的，也不可能具有完全相同的时间长度。
因此在与已存储模型相匹配时，未知单词的时间轴要不均匀地扭曲或弯折，以使其特征与模板特征对正。
用时间规整手段对正是一种非常有力的措施，对提高系统的识别精度非常有效。
动态时间规整DTW是一个典型的优化问题，它用满足一定条件的的时间规整函数W(n)描述输入模板和参考模板的时间对应关系，求解两模板匹配时累计距离最小所对应的规整函数。
将时间规整与距离测度结合起来，采用动态规划技术，比较两个大小不同的模式，解决语音识别中语速多变的难题；一种非线性时间规整模式匹配算法；DTW(Dynamic Time Warping)，即「动态时间扭曲」或是「动态时间规整」。
这是一套根基于「动态规划」(DynamicProgramming，简称DP)的方法，可以有效地将搜寻比对的时间大幅降低。
DTW的目标就是要找出两个向量之间的最短距离。
一般而言，对于两个n维空间中的向量x和y，它们之间的距离可以定义为两点之间的直线距离，称为尤拉距离EuclideanDistance)。
dist(x,yx–y，但是如果向量的长度不同，那它们之间的距离，就无法使用上述的数学式来计算。
一般而言，假设这两个向量的元素位置都是代表时间，由于我们必须容忍在时间轴的偏差，因此我们并不知道两个向量的元素对应关系，因此我们必须靠着一套有效的运算方法，才可以找到最佳的对应关系。
DTW是用于与说话人有关SpeakerDependent)的语音识别，使用者自行录音然后再以自己的声音来比对之前录好的语音资料。
此方法比较适合同一位说话人的声音来进行比较，因此应用范围比较狭隘，譬如目前手机Name Dialing等等。
算法分析与设计(山东联盟)智慧树知到答案章节测试2023年泰山学院
绪论单元测试1.山东师范大学的管教授在哪个问题上给出了比较好的解决方法。
A:邮递员问题B:背包问题C:装载问题D:最大团问题答案:A第一章测试1.算法具备的四个基本性质是（）A:输入B:有限性C:确定性D:输出答案:ABCD2.算法就是程序A:错B:对答案:A3.描述渐进上界的符号是（）A:ΩB:ωC:OD:θ答案:C4.f(n)=3n2+n+1,下面不正确的是()A:f(n)=O(n3)B:f(n)=O(n2)C:f(n)=O(2n)D:f(n)=O(3n2)答案:C5.在算法分析中，我们希望找到更加高阶的上界函数A:错B:对答案:A第二章测试1.Strassen 矩阵乘法是利用（）实现的算法。
A:贪心法B:分治策略C:动态规划法D:回溯法答案:B2.使用分治法求解不需要满足的条件是（）A:子问题不能够重复B:子问题的解可以合并C:子问题必须是一样的D:原问题和子问题使用相同的方法解答案:C3.实现棋盘覆盖算法利用的算法是（）。
A:分治法B:回溯法C:动态规划法D:贪心法答案:A4.实现循环赛日程表利用的算法是（）。
A:贪心法B:回溯法C:分治策略D:动态规划法答案:C5.从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是递归算法A:对B:错答案:A第三章测试1.动态规划算法一般分成（）三个阶段。
A:求解B:分析C:分段D:汇总答案:ABC2.动态规划的基本要素有（）？A:备忘录方法B:最优子结构C:子问题的重叠性质答案:ABC3.用动态规划法求解的问题都可以分解为相互重叠的子问题。
A:对B:错答案:A4.动态规划法利用递推关系式（）计算，实现动态规划过程。
A:循环B:递归C:自底向上D:自顶向下答案:C5.最优子结构是问题可以用动态规划法求解的前提。
A:错B:对答案:B第四章测试1.贪心算法中每次做出的贪心选择都是全局最优选择。
A:对B:错答案:B2.下面问题不能使用贪心法解决的是A:N皇后问题B:最小花费生成树问题C:背包问题D:单源最短路径问题答案:A3.背包问题的贪心算法所需的计算时间为A:O（n2n）B:O（n）C:O（nlogn）D:O（2n）答案:C4.哈夫曼编码是自底向上构造的A:错B:对答案:B5.Kruskal算法的时间复杂度是A:O（eloge）B:O（n）C:O（nlogn）D:O（2n）答案:A第五章测试1.回溯法就是穷举法A:错B:对答案:A2.回溯法使用的是广度优先遍历A:对B:错答案:B3.回溯法必须寻找一个限界函数A:对B:错答案:B4.使用回溯法时可以考虑以下哪些方面()A:约束函数B:解空间结构C:解的向量形式D:解的最优子结构性质答案:ABC5.回溯法在处理n皇后问题时，必须把解空间组织成子集树。
计算机常用算法
练习： 假设有一堆小石子，二人轮流去取，谁拿走最后一颗石子便输。 先让甲规定石子总数N以及每次最多取多少颗数k（n>=2*k+1）， 甲每次取a颗, （N,k,a均为随机数），乙怎样取赢的可能性最大？ 设甲为计算机产生的随机数，乙为由你编的计算机程序。
贪心法是从问题的某一个初始解出发,向给定的目标推进.
数学函数式递归 例1、阶乘n!=1*2*3*…（n-1）*n
[算法分析]：要求n!,只需求出(n-1)!,因为n!=n*(n-1)!,要求出(n-1)!, 只需求出(n-2)!,因为(n-1)!=(n-1)*(n-2)!,所以可得到阶乘的递归定 义式：
n!=
{
n*(n-1)!,n>0; 1, n=0。
模拟法: 就是模拟某个过程,通过改变数学的各种参数,进而观察变更这 些参数所引起过程状态的变化.一般题目给定或者隐含某一概率.设 计者利用随机函数和取整函数设定某一范围的随机值,将符合概率 的随机值作为参数.然后根据这一模拟的数学模型展开算法. 模拟策略的关键: 是如何按照概率的要求确定随机值的范围.这个随机值设计得好, 模拟效果就好.
找零钱问题：一个小孩买了价值为33美分的糖，并将1 找零钱问题：一个小孩买了价值为33美分的糖，并将1美元 33美分的糖 的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。 的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。 假设提供了数目不限的面值为25美分、10美分 25美分 美分、 美分、 假设提供了数目不限的面值为25美分、10美分、5美分、及1 美分的硬币。 求解所用方法即为贪心算法） 美分的硬币。(求解所用方法即为贪心算法）
5 7 6
பைடு நூலகம்
本题目有9个格子，要求填数，如果不考虑问题给出的条件， 共有9！=362880种方案，在这些方案中符合条件的即为解。因 此可以用枚举法。
动态规划原理
动态规划原理
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。
它通过将问题分解成较小的子问题，并通过寻找子问题的最优解来解决整体问题。
动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。
这样一来，当我们需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解，避免重复计算，提高算法效率。
其中，动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。
首先，我们需要确定问题的状态。
状态可以理解为问题的属性，它描述了问题在不同阶段、不同状态下的特征。
在动态规划中，我们将问题的状态表示成一个或多个变量，用于描述问题的特征。
接着，我们需要设计状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的联系和转移规律。
它通过将问题的解与子问题的解联系起来，建立起子问题与整体问题的关系。
通过推导状态转移方程，我们可以由已知的子问题解计算出更大规模的问题解。
最后，我们需要确定边界条件。
边界条件表示问题的终止条件，它是最小规模子问题的解。
边界条件是问题求解的起点，也是递归求解过程的出口。
通过依次求解子问题，并利用已经计算过的子问题解，动态规
划可以高效地解决复杂问题，并得到全局最优解。
因此，它在解决优化问题、序列问题、最短路径问题等方面有着广泛的应用。
动态规划算法详解及经典例题
动态规划算法详解及经典例题⼀、基本概念（1）⼀种使⽤多阶段决策过程最优的通⽤⽅法。
（2）动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。
⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
假设问题是由交叠的⼦问题所构成，我们就能够⽤动态规划技术来解决它。
⼀般来说，这种⼦问题出⾃对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包括了同样问题的更⼩⼦问题的解。
动态规划法建议，与其对交叠⼦问题⼀次重新的求解，不如把每⼀个较⼩⼦问题仅仅求解⼀次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的）。
这样就能够从表中得到原始问题的解。
（3）动态规划经常常使⽤于解决最优化问题，这些问题多表现为多阶段决策。
关于多阶段决策：在实际中，⼈们经常遇到这样⼀类决策问题，即因为过程的特殊性，能够将决策的全过程根据时间或空间划分若⼲个联系的阶段。
⽽在各阶段中。
⼈们都须要作出⽅案的选择。
我们称之为决策。
⽽且当⼀个阶段的决策之后，经常影响到下⼀个阶段的决策，从⽽影响整个过程的活动。
这样，各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，常称之为策略。
因为各个阶段可供选择的决策往往不⽌⼀个。
因⽽就可能有很多决策以供选择，这些可供选择的策略构成⼀个集合，我们称之为同意策略集合（简称策略集合）。
每⼀个策略都对应地确定⼀种活动的效果。
我们假定这个效果能够⽤数量来衡量。
因为不同的策略经常导致不同的效果，因此，怎样在同意策略集合中选择⼀个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果。
经常是⼈们所关⼼的问题。
我们称这种策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。
（4）多阶段决策问题举例：机器负荷分配问题某种机器能够在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
在⾼负荷下⽣产时。
产品的年产量g和投⼊⽣产的机器数量x的关系为g=g(x)，这时的年完善率为a，即假设年初完善机器数为x，到年终时完善的机器数为a*x(0<a<1)；在低负荷下⽣产时，产品的年产量h和投⼊⽣产的机器数量y 的关系为h=h(y)。
算法设计分析期中试题
《算法设计与分析》期中试卷一、叙述分治算法的基本思想及一般算法设计模式；二、叙述动态规划算法的基本步骤及动态规划算法的基本要素；三、改进课本P74的Lcs算法，使改进算法不用数组b亦可在O（m+n）的时间内构造最长公共序列；四、求下列函数的渐近表达式(1). 3n2+10n(2).n2/10+2n(3)21+1/n(4)logn3(5)10log3n五、对于下列各组函数发f（n）和g（n），确定f（n）=O(（g(n)）)或者f（n）= (（g(n)）)或者f（n）=θ(（g(n)）)，并简述理由(1). f（n）=logn2 , g(n)=logn+5;(2). f（n）=logn2 , g(n)= √n;(3), f（n）=n, g(n)= logn2;(4). f（n）=nlogn+n,g(n)=logn;(5). f（n）=10.g(n)=log10;(6). f（n）=log2n g(n)=logn(7). f（n）=2n g(n)= 3n;(8). f（n）=2n g(n)= 100n2;六、设a[0:n-1]是已排好序的数组，请改写二分搜索算法，使得当搜索元素x不再数组中时，返回小于x的最大元素位置i和大于x 的最小元素位置j。
当搜索元素在数组中时，i和j相同，均为x 在数组中的位置七、设a[0:n-1]是有n个元素的数组，k（0<=k<=n-1）是非负整数。
试设计一个算法将子数组a[0:k]与a[k+1:n-1]换位。
要求算法在最坏的情况下耗时O(n),且只用到O(1)的辅助空间。
八、在一个由元素组成的表中出现次数最多的元素称为众数。
试写一个寻找众数的算法，并分析其计算复杂性。
九、设计一个O(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。
十、给定n中物品和一背包，物品i的重量是ω，体积是b i，其价值为v i ，背包的容量为C，容积为D。
问：应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包，不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。
五大常用算法
五大常用算法之一：分治算法分治算法一、基本概念在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n较大时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思想及策略分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
经典例题讲解
输入 第一行是一个整数N（不超过15），表示导弹数。 第二行包含N个整数，为导弹依次飞来的高度（雷达给出的高 度数据是不大于30000的正整数）。 输出 一个整数，表示最多能拦截的导弹数。 样例输入 8 389 207 155 300 299 170 158 65 样例输出 6
经典例题讲解
经典例题讲解
【问题分析】
【程序实现】
经典例题讲解
【例题3】最低通行费用（noi openjudge 7614） 问题描述： 一个商人穿过一个 N*N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动 。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1 个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每 个小方格时，都需要缴纳一定的费用。这个商人期望在规定时间内用最 少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？注意：不能对角穿越各个小 方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。 输入 第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1 <= N < 100)； 后面 N 行，每行 N 个不大于 100 的整数，为网格上每个小方格的费用。 输出 至少需要的费用.
经典例题讲解
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。 输入 程序的输入共有两行： 第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6） 第二行是一个长度为N的数字串。 输出 输出所求得的最大乘积（一个自然数）。（保证最终答案不超过int范围） 样例输入 42 1231 样例输出 62
经典例题讲解
【例题1】拦截导弹（noi openjudge 8780） 问题描述： 某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但 是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能 够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一 发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系 统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦 截所有的导弹。 输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于 30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹。
动态规划算法的一般模式
• （1）划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把 问题分为若干个阶段； • （2）确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶 段时所处的各种情况用不同状态表示出来； • （3）确定决策并写出状态转移方程：一般是根据 相邻两个阶段各状态之间的关系来确定决策； • （4）寻找边界条件：给出的状态转移方程是一个 递推式，必须有一个递推的边界条件； • （5）编写程序。
动态规划的基本概念
• （4）策略和最优策略：由所有阶段的决策 组成的决策序列称为全过程策略，简称策 略。 在实际问题中，从决策允许集合中找 出最优效果的策略称为最优策略。 • （5）状态转移方程：状态转移方程是确定 两个相邻阶段状态的演变过程。
运用动态规划的条件
• （1）最优化 子问题的局部最优将导致整个问题的全 局最优，即问题具有最优子结构的性质。 也就是说问题的一个最优解中包含着子问 题的一个最优解。 • （2）无后效性 当前阶段中的状态只能由上一个阶段中 的状态转移方程得来，与其他阶段的状态 没有关系，特别是与未发生的阶段状态没 有关系，这就是无后效性。
【例题4】装箱问题（noi openjudge 8785） 问题描述： 有一个箱子容量为V（正整数，0<=v<=20000），同时有n个物品（0< n<=30），每个物品有一个体积（正整数）。 要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。 输入 第一行是一个整数V，表示箱子容量。 第二行是一个整数n，表示物品数。 接下来n行，每行一个正整数（不超过10000），分别表示这n个物品的各自 体积。 输出 一个整数，表示箱子剩余空间。
经典例题讲解
样例输入 5 1 4 6 8 10 2 5 7 15 17 6 8 9 18 20 10 11 12 19 21 20 23 25 29 33 样例输出 109 提示 样例中，最小值为109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。
经典例题讲解
【问题分析】
【程序实现】
经典例题讲解
11
引例（数塔问题）
• 【问题分析】 （1）贪心法
引例（数塔问题）
• 【问题分析】 （2）搜索：
引例（数塔问题）
• 【问题分析】 （3）动态规划：
引例（数塔问题）
13 11 12 7 14 7 15 8 26 8 24
6 12
13
11
动态规划的基本概念
• （1）阶段：把所给问题的过程，恰当地分 为若干个相互联系的阶段，以便能按一定 的次序去求解。 • （2）状态：状态表示每个阶段开始所处的 自然状况和客观条件，它描述了研究问题 过程中的状况。 • （3）决策：决策表示当过程处于某一阶段 的某个状态时，可以作出不同的决定（或 选择），从而确定下一阶段的状态，这种 决定称为决策。
【问题分析】
【程序实现】
经典例题讲解
【例题2】乘积最大（noi openjudge 8782） 问题描述： 今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数 学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一 场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加 。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目： 设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找 出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。 同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子： 有一个数字串：312，当N=3，K=1时会有以下两种分法： 1) 3*12=36 2) 31*2=62 这时，符合题目要求的结果是：31*2=62