超静定结构计算位移法(1)
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
位移法求超静定结构支座反力
位移法求超静定结构支座反力首先，让我们先来了解一下超静定结构和位移法的基本概念。
超静定结构是指具有多余支撑或节点的结构，这些结构在外力作用下可以保持稳定，但是支座反力并不唯一确定。
在超静定结构中，我们需要通过一定的方法来求解支座反力以及结构的内力分布。
位移法是一种结构分析方法，其基本思想是假设结构在受力作用下产生微小位移，通过计算位移的变化来求解结构的受力状态。
位移法的优点是简单易用，适用于各种结构形式，并且可以较为准确地求解结构的支座反力和内力分布。
接下来，我们将以一个简单的超静定结构为例，通过位移法来求解支座反力。
假设我们有一个悬臂梁结构，如下图所示：（图）该悬臂梁结构为超静定结构，假设其长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。
现在我们需要求解支座A处的水平和竖直支座反力。
首先，我们需要对结构进行简化，假设结构在受力作用下产生微小位移ε，如下图所示：（图）根据悬臂梁结构的几何关系和位移法的基本原理，我们可以列出以下方程：$\frac{d}{dx}(EA\frac{d^2u}{dx^2}) = 0$其中，u为结构在x方向的位移。
根据以上方程可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = C_1$其中，C1为积分常数。
根据结构的边界条件，我们可以得到u(0) = 0，u'(0) = 0。
即支座A处的位移为0，支座处的应变为0。
根据以上条件，我们可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = -\frac{F}{L^2}x$解上述方程可以得到结构的位移表达式为：$u(x) = \frac{F}{2EA}(x^2 - Lx)$根据结构的边界条件，我们可以得到支座A处的水平反力为0，即$R_A = 0$。
而支座A 处的竖直支座反力为支持力，即$R_V = F$。
通过以上分析，我们成功求解了超静定悬臂梁结构的支座反力。
通过位移法这一经典的结构分析方法，我们可以对各种结构进行分析，并且可以比较准确地求解结构的支座反力和内力分布。
船舶结构力学-第四章位移法
隔离出来的节点2处于平衡状态，必须满足弯
矩和剪力平衡方程：
M21 M23 0
N21
N23
0
(b)
将（a）式代入到（b）中得到：
M21M2 1M23M2 30
N21N2 1N2 3N2 30
(4-1)
§4-1 位移法
应该指出，若在节点2上作用有集中外力或外 力矩，则式（4-1）中还应把他们包括进去。
(4-4)
6lE 1221I26E l2232I3v24E l121I24E l232I32q112l22P82l30
这就是以基本未知量（v2，θ 2）和外载荷表示得节
点2的静力平衡方程，即位移法方程。解之，即得出
基本未知量。
§4-1 位移法
1、基本概念
所谓位移法就是以杆系结构节点处的位移作为基
本未知量的方法。求出这些位移后，再求结构的内力。
q
P
x
1
I12
2
I23
3
l12
l23
y
图4.1
对于图示阶梯变截面梁。采用力法求解时，将其拆
开为两根单跨梁处理，这是力法和位移法研究的出发
点。
1
22
3
§4-1 位移法
力法的简化：
图4.2(a) 力法是去掉多余联系，并以未知
Mji jx
Nij
Nji
y
图4.4
§4-1 位移法
必须指出，若y轴向上，x轴仍然自左向右，则转 角和弯矩逆时针方向为正，即在右手坐标系oxyz中， 转角矢量和弯矩矢量与z轴方向一致时为正。
图4.3中的杆端弯矩和剪力就是依据上述符号规定 按正向做出的。
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
位移法的基本体系.
3I0
4m
5m
q=20kN/m
4m Δ2
C 3I0 F 4I0 4m
2m
Δ3
D
A
i AB
4I0 B Δ 5I0 1 3I0 E
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
3 1 , iCF 4 2
8
iBC 1 , iCD 1 , iBE
4m
2019/2/28
5m
4m
2m
3
i=1 3B i=3/4
k22=4+3+2=9
k13=k31=?
2 D
i=1
k23=k32=?
A 4 Δ 2=1
i=1 B i=3/4
A
Δ 1=1
i=1
D
C
i=1/2
4m
E
2m
1.5 F 5m
E
F
i=1/2
4
2
i=1 2 C
3
i=1
1
9
4m
2019/2/28
4m
A
9/8
i=1 B i=3/4 i=1
(1/12) × 20×52=41.7 D i=1 C
i=1/2
F1P=40–41.7= –1.7 F2P=41.7
4m
F3P=0
E
F
4m
2019/2/28
5m
4m
10
2m
（6）建立位移法基本方程：
9 101 2 2 3 1.7 0 8 1 21 9 2 3 41.7 0 2 9 1 35 1 2 3 0 8 2 48
13.62
A
5.69 M(kN· m)
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
位移法求解超静定结构
位移法求解超静定结构一、引言超静定结构是指在静力学条件下，其内力和位移无法通过平衡方程和变形方程求解的结构。
由于超静定结构的内力和位移无法直接求解，因此需要采用特殊的方法进行计算。
其中，位移法是一种经典的求解超静定结构的方法。
二、位移法基本原理位移法是一种基于能量原理的方法，其基本思想是将结构中各个部分的变形看作独立自由度，然后通过能量平衡原理得到各个自由度之间的关系，最终求解出整个结构的内力和位移。
具体来说，位移法包括以下几个步骤：1. 将超静定结构中每一个部分看作一个独立自由度，并为每个自由度引入一个未知位移；2. 根据平衡条件列出各部分之间相互制约的方程组；3. 根据能量平衡原理列出总势能和总应变能之间的关系式，并将其转化为未知位移之间的关系式；4. 将各个方程组联立起来，得到未知位移之间的关系式；5. 利用已知边界条件解出未知位移，并进而求解出整个结构的内力和位移。
三、位移法的应用范围位移法适用于各种类型的超静定结构，包括梁、柱、框架等。
此外，位移法还可以用于求解复杂的结构体系，如悬索桥、拱桥等。
四、位移法的优点和缺点1. 优点：（1）能够求解各种类型的超静定结构；（2）计算精度高，适用于复杂结构；（3）计算过程简单明了，易于理解和掌握。
2. 缺点：（1）只能求解超静定结构，不能求解不静定和半静定结构；（2）需要将每个部分看作独立自由度，因此对于复杂结构需要引入大量自由度，计算量较大；（3）需要具备一定的数学基础和结构力学知识。
五、位移法的实例以一根简支梁为例进行说明。
假设梁长为L，截面为矩形截面，宽度为b，高度为h。
在中间加一集中荷载F，则该梁为超静定结构。
采用位移法进行求解：1. 将梁分成两段，并引入两个未知位移u1和u2；2. 根据平衡条件，得到以下方程组：（1）在x=0处：F = R1 + R2（2）在x=L处：R1u1 + R2u2 = FL/43. 根据能量平衡原理，得到以下关系式：（1）总势能：V = (R1u1 + R2u2)hL/2（2）总应变能：T = F^2L^3/48EI4. 将以上方程组和关系式联立起来，得到：（1）F = (3EI/h^3L^3)(u1 - u2)（2）R1 = F/2 - EI/h^3L^3(u1 + u2)（3）R2 = F/2 + EI/h^3L^3(u1 + u2)5. 利用已知边界条件，即梁两端的位移为0，解出未知位移：（1）u1 = FL^3/(48EIh)；（2）u2 = -FL^3/(48EIh)；6. 最终求解出内力和位移：（1）R1 = F/4；（2）R2 = F/4；（3）Mmax = FL/8；（4）umax = FL^3/(48EIh)。
超静定结构-位移法(平衡方程法)
例１：用位移法求解图示刚架
15kN/m 1 8kN
基本体系
原结构位移 =Δ1引起的位移 +荷载引起的位移 原结构内力 =Δ1引起的内力 +荷载引起的内力
基本方程:（外因和未知位移共同作用时,附加约束没有反力 ——实质为平衡方程。）
F1 F11 F1P 0
例１：用位移法求解图示刚架 基本方程:
FP
D
2FPL
A
B
E
L
L
L C
L
作业： 1、当考虑一个未知数时，分别用两种方法分析计算； 2、当考虑两个未知数时，如何计算？
MDB iB 4
(5)作内力图 :
53 67.5
29
21 12
8
4
M图(kN.m)
用平衡方程法求解超静定结构的步骤：
1. 确定基本未知量； 2. 建立各杆转角位移方程
用基本未知量和荷载表示杆端力； 3. 利用弯矩平衡或剪力平衡建立位移法方程； 4. 解方程求位移；
5. 回代求杆端弯矩； 6. 做内力图。
利用“载常数”可作 图示荷载弯矩图
利用“形常数”可作 图示单位弯矩图
第 七 章 位移法
§7-5 位移法求解无侧移刚架
详见教学视频“7.7 荷载作用下的无侧移刚架计算”
例１：用位移法求解图示刚架
设：
i
6EI 6
A
则 iBA iBC i iBD 0.5i 6m
方法一：平衡方程法
基本未知量为 B
优点:很规范。 但:对于杆件很多的结构,容易出错或发生遗漏。
例１：用位移法求解图示刚架
方法二：典型方程法
15kN/m 1 8kN
A 6m
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M A B 2 iZ 1 6 4 iZ 2 1 1 2 2 4 4 2 2 iZ 1 2 3 iZ 2 3 2
以 M B A 4 iZ 1 6 4 iZ 2 1 1 2 2 4 4 2 4 iZ 1 3 2 iZ 2 3 2
AB
6 1 2 1
33
例 梁 F Q A B 4 iZ 1 4 2 iZ 2 2 2 4 4 2 iZ 1 4 iZ 2 4 8
M FP
q
FP
A
B
A
B
编辑ppt
6
单跨超静定梁内力？ 力法
上图所示两端固定的等截面梁
，两端支座发生了位移，且受
荷载作用。我们这里先计算位
移情况下的内力，图a。
取基本结构如图b。
X3对梁的弯矩无影响，可不 考虑，只需求解X1、X2。
力法典型方程为
11X112X2Δ1ΔA
X 编辑ppt 21 1
第六章 超静定结构的解法—位移法
第六章
➢§6-1 基本概念 ➢§6-2 位移法举例 ➢§6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法 ➢§6-4 计算有侧移结构的反弯点法
编辑ppt
2
问题：如何求解超静定结构？ li coasi
杆长为li，Ai=A ， Ei=E
BD
C
li
FNili EA
1 32
aa
FNi
EAcosai
l
MAB=X1，MBA=X2，可得
MA
B
4iA
2iB
6i l
ΔA
B
MB
A
4iB
2iA
6i l
ΔA
B
固端弯矩 MAFB、MBFA ：单跨梁在荷载作用及温度变化时 产生的杆端弯矩。
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时 ，其杆端弯矩为
MAB
4iA
2iB
6i l
ΔABMAFB
MBA4iB
2iA
6i l
MBC 3iZ1
MCBMCD0
3 MDC 4 iZ2
位移法（平衡方程法思想）步骤:
1.确定基本未知量
4.利用平衡方程，求解基本未知量
2.拆分杆件
5.计算杆编端辑p弯pt 矩，区段叠加画弯矩图 22
3.列转角位移方程，计算杆端内力;
将原结构分解为等截面单跨超静定梁
对AB、BC、CD分别使用转角位移方程得：
形=形常数
载=载常数
形
形
表示要熟记！！！ 编辑ppt
载
11
超静定单跨梁的力法结果(2) 载 载 载
编辑ppt
12
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
编辑ppt
载 载
13
超静定单跨梁的力法结果(4) 载
1
形 形
载
编辑ppt
14
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载
编辑ppt
载
15
超静定单跨梁的力法结果(6) 载
编辑ppt
载 载 载
16
超静定单跨梁的力法结果(7) 载
形 载
载
编辑ppt
17
超静定单跨梁的力法结果(8) 载
载
载
编辑ppt
载
18
超静定单跨梁的力法结果(9) 载
2
载
载
编辑ppt
载
19
超静定单跨梁的力法结果(10) 载 载
编辑ppt
载
20
例1: 求图示刚架的弯矩图 1.确定基本未知量
3 F Pl 56 1
为 F Q B A 6 4 iZ 1 1 4 2 2 iZ 2 1 2 2 4 4 2 3 编i 辑Z 1 pp t 4 3 iZ 2 4 8
返 回 23
33 FQAB2iZ14iZ248
FQBA32iZ134iZ248
3 FQBC 4 iZ1
FQCB
3 4
iZ1
FQCD
3 16 iZ2
3.列转角位移方程，计算杆端内力;
例2: 求图示刚架的弯矩图
解：基本未知量分别为刚结点B点
的角位移Z1和横梁BC的水平位移 Z2，如图所示。
用转角位移方程写出个杆端内力如 下：（其中 i E I ）
M A B 2 iZ 1 6 4 iZ 2 1 1 2 42 4 4 2 2 iZ 1 2 3 iZ 2 3 2 M B A 4 iZ 1 6 4 iZ 2 1 1 2 2 4 4 2 4 iZ 1 3 2 iZ 2 3 2
编辑ppt
4
位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
Z11 Z1
FP 2
EI=常数
3
l
l
2
2
哪些位移为基本未知量？
1
Z1
Z1
Z1 FP
1
2
3 如何确定基本未知量？
假定：不考虑轴向变形
编辑ppt
5
位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
33 FQDC42iZ2 16iZ2
从原结构中取出图c、d两个隔离体。
由图c的平衡条件： MB 0
MBAMBC0
由图d的平衡条件： FX 0
22X2Δ2Δ
B
7
作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。
解典型方程得
11
EI
12
21
l 6EI
由图e可得
Δ1ΔΔ2ΔABΔlAB
X1
4El IA
2El IB
6EI l2 ΔAB
X2 编4辑ElppItB 2El IA 6lE2 IΔAB
8
令 i EI —杆件的线刚度
ΔABMBFA
编辑ppt
转角位移方程
9
MAB4iA
2iB
6i l
ΔABMAFB
MBA4iB
2iA
6i l
ΔABMBFA
MAB3iA3ilABMA FB
M BA 0
符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正；
A、B均以顺时针方向为正；
△AB 以使整个杆件编顺辑p时pt 针方向转动为正。
10
超静定单跨梁的力法结果(1)
Z1
FP
Z1
2
F Pl EI=常7数
9 FPl
2.拆分杆件
5 6 3.列转角位移方程，计算杆端内力
4.利用平衡方程，求解基本未知量
5.将求得基本未知量带回杆端弯
3
l
l
2
2
矩表达式，求出各杆端弯矩， 利用区段叠加画弯矩图
1
Z1
Z1
Z1 1
FP
2
M12
4iZ1
FPl 8
M13 3iZ1
M12M13 0 位12..移确拆法定分（基杆3平本件衡未方知程量法思想M）1 1步453..骤利计:M用算1平杆2编衡端辑p方弯pt 程矩，，Z 1求区解段5F基叠6P li 本加未画知弯量矩图 21
li
A
Δ FP
Fy 0
FNicoasi FP
几何条件 物理 平衡
编辑ppt
3
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知内力-位移(转角-位 移)关系的单根杆件集合 分析各单根杆件在外因和结点位移共同作用 下的受力 将杆件拼装成整体 用平衡条件建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨杆件内力和外因 及结点位移关系可得原结构受力