(北师大版)高中数学必修四:2.2《向量的加法和减法》例题讲解

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高中数学第二章平面向量222向量的减法课件北师大版必修4

高中数学第二章平面向量222向量的减法课件北师大版必修4
解析:∵△AOB 为直角三角形, ∴有|a-b|=|O→A-O→B|=|B→A|= 52+122=13.
三、解答题 6.如图所示,O 是四边形 ABCD 内任意一点,试根据图中给 出的向量,确定 a,b,c,d 的方向(用箭头表示),使 a+b=A→B, c-d=D→C,并画出 b-c 和 a+d.
【思路探究】 要证明四边形 ABCD 为平行四边形,只要 证明一组对边平行且相等即可,利用向量法证明时,只需证明A→B =D→C.
【证明】 证明:如图,设四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,根据题意,得A→O=O→C,D→O=O→B.
根据向量加法的三角形法则,得A→B=A→O+O→B,D→C=D→O+ → OC.
解法三:设 O 为平面内任意一点,则有(A→B-C→D)-(A→C-B→D)
=A→B-C→D-A→C+
→ BD

( O→B - O→A )
- ( O→D -O→C ) -
(O→C-O→A
)

(O→D-O→B)=O→B-O→A-O→D+O→C-O→C+O→A+O→D-O→B=0.
规律方法 解法一是将向量减法转化为向量加法进行化简 的.解法二是利用A→B-A→C=C→B,D→C-D→B=B→C进行化简的.解 法三是利用A→B=O→B-O→A的关系进行化简的.
则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线,因此, |A→M|=12|B→C|=2.
——易错警示—— 向量加减法的几何意义应用中的误区 【例 5】 已知 D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( A ) A.A→D+B→E+C→F=0 B.B→D-C→F+D→F=0 C.A→D+C→E-C→F=0 D.B→D-B→E-F→C=0 【错解】 选 B 或 C 或 D

北师大版高中数学必修4课件2§2.2向量的减法 课件

北师大版高中数学必修4课件2§2.2向量的减法 课件

【答案】
(1)C → (2)AB (3)作法: → → ①作OA=a,AB=b;
→ =c; ②作OC → ③连接 CB,则CB=a+b-c。
巩固练习: → 如图 224 所示, 已知 O 为平行四边形 ABCD 内的一点, OA=a, → → → OB=b,OC=c,则OD可以用 a,b,c 表示为 。
巩固练习:
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量。 ( → → → (2)BA=OA-OB。( ) ) )
(3)a-b 的相反向量是 b-a。( (4)|a-b|<|a+b|。( )
【解析】
(1)正确,两个向量的差仍然是一个既有大小又有方向的量,是向量。 → → → (2)正确。根据向量减法的几何意义可知BA=OA-OB。 (3)正确。(a-b)+(b-a)=0。 (4)错误。|a+b|与|a-b|的大小关系不确定。
巩固练习:
3.已知非零向量 a,b 满足|a|= 7+1,|b|= 7-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值。
→ → 【解】 如图,设OA=a,OB=b,
→ |=|a-b|,以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB,则|OC → |=|a+b| 则|BA
由于( 7+1)2+( 7-1)2=42, → |2+|OB → |2=|BA → |2 , 即|OA 所以△OAB 是以∠AOB 为直角的直角三角形, 从而 OA⊥OB, 所以▱OACB 是矩形。 → |=|BA → |=4, 根据矩形的对角线相等有|OC 即|a+b|=4。
作业:
→ → → 化简:(1)PB+OP-OB= → → → → (2)OB-OA-OC-CO= ; 。
→ +OP → -OB → =PB → +(OP → -OB → )=PB → +BP → =0 【解析】 (1)PB → -OA → -OC → -CO → =(OB → -OA → )-(OC → +CO →) (2)OB → -0=AB →。 =AB

北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.2.1向量的加法课件

北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.2.1向量的加法课件

-8-
2.1
1
向量的加法
3
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2
【做一做 1-3】 在边长为 1 的正方形 ABCD 中,| ������������ + ������������ + ������������| 等于( A.0 ) B.1 C. 2D. 3
解析:|������������ + ������������ + ������������ | = |������������ + ������������ | = |������������| = 1.
-7-
2.1
1
向量的加法
3
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2
【做一做 1-1】 ������������ + ������������ 等于( A. ������������ B. ������������C. ������������D. ������������
)
答案:C 【做一做1-2】 已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向 ( ) A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.与向量b的方向相反 答案:A
解(1)������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ . (2)������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ =0. (3)������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = 0.

北师大版数学高一-必修4学案 2.2向量的加法

北师大版数学高一-必修4学案 2.2向量的加法

§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法问题导学1.利用向量的加法法则作图活动与探究1如图所示,已知向量a ,b ,c ,试求作和向量a +b +c .迁移与应用如图中(1)(2)(3)所示,试作出向量a 与b 的和.(1)用三角形法则求和向量时,关键要抓住“首尾相接”,并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;(2)用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点”; (3)在求多个向量的加法作图时,常利用向量的三角形法则. 2.向量的加法运算活动与探究2如图,O 为正六边形ABCDEF 的中心,化简下列向量:(1)OA →+OC →; (2)BC →+FE →;(3) OA →+FE →.活动与探究3 化简下列各式:(1)PB →+OP →+OB →;(2)AB →+MB →+BO →+OM →.迁移与应用 化简或计算. (1)CD →+BC →+AB →;(2)AB →+DF →+CD →+BC →+FA →; (3)AO →+OB →+OC →+CA →+BO →.两类向量加法运算问题的解法:(1)图形中向量的加法运算,要注重三角形法则和平行四边形法则的运用,必要时借助图形的几何性质进行向量的平移转换.(2)向量加法的化简,要先利用向量加法的交换律使各向量首尾相接,再利用结合律调整顺序,根据三角形法则或多边形法则得出结论.3.向量加法的综合应用活动与探究4一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为 2 km/h ,求船实际航行的速度的大小与方向.迁移与应用如图(1),用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上,∠ACW =150°,∠BCW =120°,求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).用向量加法解应用问题的方法:(1)与大小、方向有关的一类应用题,如力的合成与分解,速度的合成等,可利用向量加法的知识来求解.(2)解决此类问题的基本思路是结合图形,利用平行四边形法则,转化为求向量的模或方向,然后利用三角形知识求解.当堂检测1.若向量a 表示向东走1 km ,向量b 表示向南走1 km ,则向量a +b 表示( ). A .向东南走 2 km B .向东南走2 km C .向东北走 2 km D .向东北走2 km2.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式中成立的是( ).A .AB →+BC →=CA →B .AB →+AC →=BC →C .AC →+BA →=AD →D .AC →+AD →=DC →3.化简OP →+PQ →+PS →+SP →的结果是__________.4.在矩形ABCD 中,若AB =3,BC =2,则|AB →+BC →|=__________.5.已知向量a ,b ,比较|a +b |与|a |+|b |的大小.答案:课前预习导学【预习导引】1.(1)a与b的和预习交流1提示:三角形法则适用于任意两个非零向量的求和;而平行四边形法则只适用于两个不共线向量的求和.→(3)终点起点起点到终点的向量A0A n预习交流202.①b+a②a+b b+c a预习交流3提示:不是.两个向量的和仍是向量,具有大小和方向,不但长度变化还有方向的变化.预习交流4 C课堂合作探究【问题导学】→=a,接着作向量活动与探究1解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA→=c,则得向量OB→=a+c.然后作向量BC→=b,则向量OC→=a+b+c为所求.AB→=a+b.迁移与应用解:如下图中(1)(2)(3)所示三个图中OB→+OC→=OB→;活动与探究2解:(1)OA→+FE→=AD→;(2)BC→+FE→=0.(3)OA→+OP→+OB→=(OP→+P B→)+OB→=OB→+OB→=2OB→;活动与探究3解:(1)PB→+M B→+BO→+OM→=(AB→+BO→)+(OM→+M B→)=AO→+OB→=AB→.(2)AB→+BC→+CD→=AD→;迁移与应用解:(1)原式=AB→+BC→+CD→+DF→+FA→=0;(2)原式=AB→+OC→)+CA→+(OB→+BO→)=AC→+CA→+0=0.(3)原式=(AO活动与探究4→表示船垂直于对岸的速度,AB→表示水流的速度,以AD,AB为邻边作解:如图,设AD平行四边形ABCD,则AC→就是船实际航行的速度.在Rt△ABC中,|AB→|=2,|BC→|=23,∴|AC→|=|AB→|2+|BC→|2=4.=3,∵tan∠CAB=232∴∠CAB=60°.→、CF→分别表示A、B所受的力,10 N的重力用CG→表迁移与应用解:如图(2),设CE示,则CE →+CF →=CG →.易得∠ECG =180°-150°=30°,∠FCG =180°-120°=60°. ∴∠CEG =∠CFG =90°, ∴|CE →|=|CG →|cos 30° =10×32=53, |CF →|=|CG →|cos 60°=10×12=5.∴A 处所受力的大小为5 3 N ,B 处所受力的大小为5 N. 【当堂检测】1.A 2.C 3.OQ →4.135.解:(1)当a ,b 至少有一个为零向量时,有|a +b |=|a |+|b |.(1)(2)①当a ,b 为非零向量,且a ,b 不共线时,如图(1),有|a +b |<|a |+|b |. ②当a ,b 为非零向量,且a ,b 同向共线时,如图(2),有|a +b |=|a |+|b |.(2)③当a,b为非零向量,且a,b异向共线时,如图(3),有|a+b|<|a|+|b|. 若|a|>|b|,如图(3).(3)若|a|<|b|,如图(4).(4)。

北师大版必修4高中数学第2章平面向量22.2向量的减法

北师大版必修4高中数学第2章平面向量22.2向量的减法

4.向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些? [提示] 在▱OACB 中,O→A=a,O→B=b,则:
(1)若|a|=|b|,则▱OACB 为菱形.
(2)若|a+b|=|a-b|,则▱OACB 为矩形. (3)若|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,则▱OACB 为正方形.
【例 3】 如图所示,在▱ABCD 中,A→B= a,A→D=b,用向量 a,b 表示A→C、D→B,并回答 下面几个问题.
a 的终点的向量
思考:向量减法的三角形法则是什么? [提示] (1)两个向量 a,b 的始点移到同一点; (2)连接两个向量(a 与 b)的终点; (3)差向量 a-b 的方向是指向被减向量的终点. 这种求差向量 a-b 的方法叫作向量减法的三角形法则.概括为 “移为共始点,连接两终点,方向指被减”.
1.向量减法是向量加法的逆运算.即减去一个向量等于加上这 个向量的相反向量.如 a-b=a+(-b).
2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量 的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,区分 a-b 与 b-a.
3.以向量A→B=a,A→D=b 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对 角线的向量为A→C=a+b,B→D=b-a.
=a+b,再作O→C=c,则C→B=a+b-c.
向量加减法的混合运算
【例 2】 化简下列各式: (1)(A→B+M→B)+(-O→B-M→O); (2)A→B-A→D-D→C. [解] (1)法一:原式=A→B+M→B+B→O+O→M=(A→B+B→O)+(O→M+ M→B)=A→O+O→B=A→B.
4.已知|a|=1,|b|=2,|a+b|= 5,则|a-b|=________. 5 [根据平行四边形法则,∵( 5)2=12+22,

高中数学 第二章 向量的加法和减法例题讲解素材 北师大版必修4

高中数学 第二章 向量的加法和减法例题讲解素材 北师大版必修4

例题讲解:向量的加法和减法本单元重点要求学生掌握向量的几何与加减运算和数乘运算,故要安排范例与足够的练习,使学生对向量的线性运算有相当的掌握.向量共线论证与平面向量分解是用向量证明几何命题基础,也应配备适当例题,提高学生这方面能力,开始还要给出一些辨识相等向量的图形和使用向量各种表示记号的训练.例1.如图5-4已知梯形ABCD 中,两底角∠A =∠B =60°,E 为AB 中点,且ED ∥BC ,适当添加箭头后,写出分别与向量、、相等的向量.由已知可断定(?)图中3个正三角形全等. 故与相等的向量有、. 与AD 相等的向量有EC . 与相等的向量有CB .例2.用五边形ABCDE ,作出下列向量: (1) ,BC ,CD ,; (2) +BC ; (3) +++; (4) --. 如图5-5(1)略(2)即(3)原式=+过B 作∥ 原式==+(4)原式=()AB -=+-=+=还可以写更复杂的已知向量的线性组合让学生练,但也要适可而止.例3.如图5-6,中E 、F 分别是BC 、CD 的中点,若记=,f =,试用、f 表示向量、、和 从图中可知由e 、f 可先求出DB =2FE =2e -2f 若记AB =x ,AD = y 则=21,=21 而有+21=,f =+21 联立以上二式,可得AB ==f 3234- 而f 3234-== ∴ =()f +=+32 例4.证明三角形中位线定理.已知:图5-7中D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,求证:DE ∥21BC 且DE =21BC . 证明:D、E 分别为AB 、AC 的中点21=,AC AE 21= ()AB AC AD AE DE -=-=21=21 ∴ D E ∥21BC 且D E=21BC . 例5.图5-8,△ABC 中,点C 分OA 边为1∶3,点D 分OB 边为2∶3,AD 与BC 交于点P ,延长OP 交AB 于E ,求E 点分AB 所成的比, 解:记=,=,则=41,52= ∵ 点P 在直线AD 上,存在t ∈R 使t ==()t -∴ ()t t +-=+=1P∴ =(1-t )+b t 52 ① 相仿由点P 在BC 上可得OP =(1-m )b +m 41② 比较①、② 求出t =65, ∴ =61+31 ③ 又由点E 在AB 上可有()S S -+=1 ④∵ 与共线,=λ=36λλ+ ⑤ 比较④、⑤可得S =31 ∴ b a OE 3231+= ∴ ()AB a b OA OE AE 3232=-=-= ∴ 32= 则 EB AE :=2∶1而点E 分AB 边的比为2∶1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

北师大版数学必修四:《向量的加法与减法》导学案(含解析)

北师大版数学必修四:《向量的加法与减法》导学案(含解析)

第2课时向量的加法与减法1.理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.3.经历向量的概念、法则的建构过程,通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用能力.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸出发,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1>v2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢?问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称);长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与互为相反向量,-(-a)= ;零向量的相反向量是;任一向量与它的相反向量的和是,a+(-a)= ;如果a、b互为相反向量,则a= ,b= ,a+b= ;向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的.问题2:向量加法法则.(1)三角形法则如图,在平面内任取一点A,作错误!未找到引用源。

=a,错误!未找到引用源。

=b,连接AC,则错误!未找到引用源。

=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段.(2)平行四边形法则如图,在平面内任取一点A,作错误!未找到引用源。

=a,错误!未找到引用源。

=b,以AB、AD为边作平行四边形ABCD,连接AC,则.这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则.问题3:实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足?(1)交换律:a+b= ;(2)结合律:(a+b)+c=a+ =a+b+c.问题4:向量减法法则.若向量a与b有相同的起点,则a-b可以表示为从向量b的向量a的终点的向量.(1)三角形法则如图,作错误!未找到引用源。

高一数学北师大版必修4课件2.2.2 向量的减法

高一数学北师大版必修4课件2.2.2 向量的减法

探究三
探究四
【典型例题 2】 化简 :( ������������ − ������������ )-(������������ − ������������). 思路分析:解答本题可先去掉括号,再利用相反向量及加法交换律、结 合律化简. 解:方法一 :( ������������ − ������������ )-(������������ − ������������) =(������������ + ������������ )+(������������ + ������������)=������������ + ������������=0. 方法二 :( ������������ − ������������ )-(������������ − ������������ ) =������������ − ������������ − ������������ + ������������ =(������������ − ������������ )+(������������ − ������������ )=������������ + ������������ =0. 方法三 :设 O 为平面内任意一点,则有 (������������ − ������������ )-(������������ − ������������ ) =������������ − ������������ − ������������ + ������������ =(������������ − ������������)-(������������ − ������������ )-(������������ − ������������)+(������������ − ������������) =������������ − ������������ − ������������ + ������������ − ������������ + ������������ + ������������ − ������������ =0.
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例题讲解:向量的加法和减法
本单元重点要求学生掌握向量的几何与加减运算和数乘运算,故要安排范例与足够的练习,使学生对向量的线性运算有相当的掌握.向量共线论证与平面向量分解是用向量证明几何命题基础,也应配备适当例题,提高学生这方面能力,开始还要给出一些辨识相等向量的图形和使用向量各种表示记号的训练.
例1.如图5-4已知梯形ABCD 中,两底角∠A =∠B =60°,E 为AB 中点,且
ED ∥BC ,适当添加箭头后,写出分别与向量、、
相等的向量.
由已知可断定(?)图中3个正三角形全等. 故与相等的向量有、. 与相等的向量有. 与DE 相等的向量有CB .
例2.用五边形ABCDE ,作出下列向量: (1) AB ,BC ,CD ,DE ; (2) AB +BC ; (3) AB +CD +DB +BE ; (4) BC AB AE --. 如图5-5
(1)略
(2)即AC
(3)原式=+
过B 作∥ 原式==+
(4)原式=()
AC AE BC AB AE -=+-=AE +CA =CE
还可以写更复杂的已知向量的线性组合让学生练,但也要适可而止.
例3.如图5-6ABCD 中E 、F 分别是BC 、CD 的中点,若记e AE =,f AF =,
试用、f 表示向量、、和 从图中可知由e 、f 可先求出DB =2FE =2e -2f 若记AB =x ,AD = y 则=
21,=2
1 而有+21=,f =+21 联立以上二式,可得AB ==f 3
234-
而f 3234-== ∴ =()
f +=
+32 例4.证明三角形中位线定理.
已知:图5-7中D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,
求证:DE ∥21BC 且DE =2
1BC . 证明:D、E 分别为AB 、AC 的中点
21=,AC AE 21= ()
-=-=21=21 ∴ D E ∥
21BC 且D E=2
1BC . 例5.图5-8,△ABC 中,点C 分OA 边为1∶3,点D 分OB 边为2∶3,AD 与BC 交于点P ,延长OP 交AB 于E ,求E 点分AB 所成的比, 解:记=,=,则=41,52= ∵ 点P 在直线AD 上,存在t ∈R 使
t ==()
t -
∴ ()t t +-=+=1
P
∴ =(1-t )+b t 52 ① 相仿由点P 在BC 上可得OP =(1-m )b +m 41② 比较①、② 求出t =6
5, ∴ =61+3
1 ③ 又由点E 在AB 上可有()S S -+=1 ④ ∵ 与共线,=λ=
36λλ+ ⑤
比较④、⑤可得S =31 ∴ b a OE 3231+=
∴ ()
AB a b OA OE AE 3232=-=
-= ∴ 32= 则 EB AE :=2∶1
而点E 分AB 边的比为2∶1。

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