(完整版)高中数学必修五全套教案(可编辑修改word版)

c a

；

[探索研究]

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 1．1-2，在 Rt ? ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义，有a = si n A ， b = si n B ，又si n C = 1 = c

c

c c

则 a = b = c =c b

si n A si n B si n C

从而在直角三角形 ABC 中，

a =

b =

c

C

B

si n A si n B si n C

(图 1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图 1．1-3，当? ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的

定义，有 CD=a si n B =b si n A ,则 a = b

， 同 理 可 得 c = b

， si n A si n B

si n C si n B 从 而 a = b =

c

A c

B

si n A si n B si n C

(图 1．1-3)

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a =

b = c

[理解定理] si n A si n B si n C （1） 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使a = k si n A ，b = k si n B ，c = k si n C ； （2）

a =

b =

c 等 价 于 a = b ， c = b ， a = c si n A si n B si n C si n A si n B si n C si n B si n A si n C 从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a = b si n A

si n B ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如si n A = a

。

si n B b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]

例 1．在?ABC 中，已知 A =32.00 ， B =81.80 ， a =42.9 cm ，解三角形。解：根据三角形内角和定理，

C =1800 -(A + B )

=1800 -(32.00 +81.80 )

=66.20 ；

根据正弦定理，

C

b a

,

= = a + b - 2a ?b

c b = a sin B = sin A 根据正弦定理， c = a sin C = sin A 42.9sin81.80 sin32.00

42.9sin66.20

sin32.00

≈80.1(cm ) ；

≈74.1(cm ).

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例 2．在?ABC 中，已知 a =20 cm ， b =28 cm ， A =400 ，解三角形（角度精确到10 ，边

长精确到 1cm ）。

解：根据正弦定理，

sin B = b sin A = a 28sin400

20

≈0.8999. 因为00 ＜ B ＜1800 ，所以 B ≈640 ，或 B ≈1160.

⑴ 当 B ≈640 时，

C =1800 -(A + B )≈1800 -(400 +640 )=760 ，

c = a sin C = sin A 20sin760 sin400

≈30(cm ).

⑵ 当 B ≈1160 时，

C =1800 -(A + B )≈1800 -(400 +1160 )=240 ，

c = a sin C = sin A 20sin240 sin400

≈13(cm ).

[补充练习]已知? ABC 中， si n A : si n B : si n C = 1: 2: 3 ，求a : b : c （答案：1：2：3） （2） 正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A 、B 均未知，所以较难求边 c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图 1．1-5，设C B = a ，C A =b ，A B =c ，那么c = a -b ，则

2

c ?c = (a -b )(a -b )

a ?a +

b ?b - 2a ?b

C = 2 2 从而 c 2 = a 2 +b 2 - 2a b cos C

(图 1．1-5)

同理可证

于是得到以下定理

a 2 =

b 2 +

c 2 - 2b c cos A b 2 = a 2 +c 2 - 2a c cos B

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即

a 2 =

b 2 +

c 2

- 2b c cos A

(2 2)2 +( 6 + 2 )2 -(2 3)2

2?2 2 ?( 6 + 2)

b 2 = a 2 +

c 2 - 2a c cos B c 2 = a 2 +b 2 - 2a b cos C

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由

三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b 2 +

c 2 - a 2

[理解定理]

cos A =

cos B =

cos C =

2bc a 2 + c 2 -b 2

2ac b 2 + a 2 -c 2

2ba

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若? ABC 中，C= 900 ，则cos C =0 ，这时c 2 = a 2 +b 2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析]

例 1．在? ABC 中，已知 a =2 ⑴解：∵ b 2 = a 2 + c 2 -2ac cos B

， c = 6 + ， B =600 ，求 b 及 A = (2 3)2 +( 6 +

2)2 -2?2 3?( 6 + 2) cos 450

=12+( 6 + = 8 ∴ b =2 2.

2)2 -4 3( 3 +1)

求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b 2 +

c 2 - a 2 1 ⑵解法一：∵cos A = ∴ A =600.

2bc

=

= 2

, 例 2．在? ABC 中，已知 a =134.6cm ， b =87.8cm ， c =161.7cm ，解三角形解：由余弦定理的推论得：

b 2 +

c 2 - a 2

cos A =

2bc

=

87.82 +161.72 -134.62 2?87.8?161.7 ≈0.5543, A ≈56020' ；

3 2

2 cos B =

c 2 + a 2 -b 2

2ca

=

134.62 +161.72 -87.82 2?134.6?161.7 ≈0.8398, B ≈32053' ；

C =1800 -(A + B )≈1800 -(56020'+32053')

[补充练习]在? ABC 中，若a 2 =b 2 +c 2 +b c ，求角 A （答案：A=120

0 ） Ⅳ.课时小结

（1） 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2） 余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 [随堂练习 1]

（1） 在? ABC 中，已知a = 80 ，b = 100 ， ∠A = 450

，试判断此三角形的解的情况。 （2） 在? ABC 中，若a = 1，c = 1

， ∠C = 400 ，则符合题意的 b 的值有 个。

2

（3） 在? ABC 中，a = x c m ，b = 2c m ， ∠B = 450

，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x

的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3） 2 < x < 2 ）

2．在? ABC 中，已知a = 7 ，b = 5 ，c = 3 ，判断? ABC 的类型。分析：由余弦定理可知

a 2 =

b 2 +

c 2 ? A 是直角? ?A B C 是直角三角形 a 2 >b 2 +c 2

? A 是钝角? ?A B C 是钝角三角形 a 2

? A 是锐角??A B C 是锐角三角形

（注意：A 是锐角? ?A B C 是锐角三角形）

解： 72 > 52 + 32 ，即a 2 >b 2 +c 2

，

∴ ?ABC 是钝角三角形 。

[随堂练习 2] （1） 在? ABC 中，已知si n A : si n B : si n C = 1: 2: 3 ，判断? ABC 的类型。 （2） 已知? ABC 满足条件a cos A =b cos B ，判断? ABC 的类型。 （答案：（1） ?A B C 是钝角三角形 ；（2） ? ABC 是等腰或直角三角形）

2.在 ? ABC 中，A = 600 ，b = 1，面积为 3 ，求 a +b +c

的值

2 si n A + si n B + si n C

分析：可利用三角形面积定理S = 1 = 1 = 1 以及正弦定理

a b si n C a c si n B b c si n A 2 2 2

a =

b =

c = a +b +c

si n A si n B si n C si n A + si n B + si n C

3

3 解：由S = 1

= 得c = 2 ，

bc si n A 2

2

则a 2 =b 2 +c 2 - 2b c cos A =3，即a =

，

从而

a +

b +

c = a = 2

si n A + si n B + si n C si n A

Ⅲ.课堂练习

（1） 在? ABC 中，若a = 55 ，b = 16 ，且此三角形的面积S = 220

，求角 C

（2） 在? ABC 中，其三边分别为 a 、b 、c ，且三角形的面积S =

（答案：（1） 600 或1200 ；（2） 450 ）

a 2 +

b 2 -

c 2

4

，求角 C

Ⅳ.课时小结

（1） 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2） 三角形各种类型的判定方法； （3） 三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业

（1） 在? ABC 中，已知b = 4 ，c = 10 ，B = 300

，试判断此三角形的解的情况。

（2） 设 x 、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。

（3） 在? ABC 中，A = 600

，a = 1，b +c = 2 ，判断? ABC 的形状。

（4） 三角形的两边分别为 3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x 2

- 7x - 6 = 0 的根，

求这个三角形的面积。

例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后

从B 出发,沿北偏东 32

? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发

到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1

? ,距离精确到

0.01n mile)

解：在? ABC 中， ∠ ABC=180

? - 75 ? + 32 ? =137 ? ，根据余弦定理， 3

∠

AC=

= ≈113.15 根据正弦定理,

BC = AC sin ∠CAB sin ∠ CAB =

=

sin ∠ABC

BC sin ∠ABC

AC

54.0 sin137?

113.15

≈0.3255,

所以

∠ CAB =19.0

? ,

75

? - ∠ CAB =56.0 ?

答:此船应该沿北偏东 56.1

? 的方向航行,需要航行 113.15n mile

补充例 2、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45

? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75

? 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线

方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10x,

AB=14x,AC=9,

∠ ACB= 75? + 45? =120?

∴(14x) 2 = 9 2 + (10x) 2 -2 ? 9 ? 10xcos 120? ∴化简得 32x 2 -30x-27=0，即 x= 3 ,或 x=- 9

(舍去)

2 16 所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,

BC sin120? 15 又因为 sin BAC =

= ? AB 21 = 2 14

∴ ∠ BAC =38

?13' ,或∠ BAC =141 ? 47' （钝角不合题意，舍去）， AB 2 + BC 2 - 2 A B ? BC ? cos ∠ABC

67.52 + 54.02 - 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137? 3 5 3

1 - cos

2 B 1 - 0.76972 ∴38 ?13' + 45? =8

3 ?13'

答：巡逻艇应该沿北偏东 83 ?

13' 方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

Ⅳ.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形， 这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

例 7、在? ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S （精确到 0.1cm

2 ）

（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5

? ;

（2）已知 B=62.7

? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm;

（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

解：（1）应用 S= 1

acsinB ，得

2 S= 1 ? 14.8 ? 23.5 ? sin148.5 ? ≈90.9(cm 2 ) 2

(2) 根据正弦定理，

b =

sin B

c

sin C c = b sin C

sin B

S = 1

bcsinA = 1 b

2 sin C sin A 2 2 sin B

A = 180

? -(B + C)= 180 ? -(62.7 ? + 65.8 ? )=51.5 ?

S = 1 2 sin 65.8? sin 51.5? ? 3.16 2 ? sin 62.7

≈4.0(cm 2 ) (3) 根据余弦定理的推论，得

c 2 + a 2 - b 2 cosB =

=

2ca

38.72 + 41.42 - 27.32 2 ? 38.7 ? 41.4 ≈0.7697

sinB = ≈ ≈0.6384

应用 S= 1

acsinB ，得

2

?

3 3 3

S ≈ 1 ? 41.4 ? 38.7 ? 0.6384≈511.4(cm 2

)

2

例 3、在? ABC 中，求证：

（1） a 2 + b 2

c 2 sin 2 A + sin 2 B

; sin 2 C

（2） a 2 + b 2 + c 2 =2（bccosA+cacosB+abcosC ）

证明：（1）根据正弦定理，可设

a = sin A

b sin B =

c = k

sin C

显然 k ≠ 0，所以

a 2 +

b 2 左边=

c 2

= k 2 sin 2 A + k 2 sin 2 B k 2 sin 2 C

sin 2 A + sin 2 B = =右边 sin 2

C

（2）根据余弦定理的推论，

b 2 +

c 2 - a 2

c 2

+ a 2 - b 2

a 2 +

b 2 -

c 2 右边=2(bc +ca +ab )

2bc 2ca 2ab

=(b

2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 )

=a

2 +b 2 +c 2 =左边

变式练习 1：已知在? ABC 中， ∠ B=30 ? ,b=6,c=6 ,求 a 及? ABC 的面积 S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9 ;a=12,S=18 Ⅳ.课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

=

⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，….

例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第 1 项（或首项），“9”是

这个数列中的第 6 项.

⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为{a n }，其中a n是数列的第 n 项

1

结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ ”

3

是这个数列的第“3”项，等等

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关

系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 1 1 1 1 1

2 3 4 5

↓↓↓↓↓

序号 1 2 3 4 5

1

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：a n =

n

来表示其对应关系即：只要依次用 1，2，3…代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项

结合上述其他例子，练习找其对应关系

⒋ 数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式

1 + (-1)n+1n +1

可以是a n =

2，也可以是a n =| cos | .

2

⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

5.数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数a n= f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6.数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6…是无穷数列

2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

2 4 6 8 10

(1) 3, 5, 9, 17, 33,……；(2) , , , , , ……；

3 15 35 63 99

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；

解：(1) a n ＝2n＋1；(2) a ＝2n

； (3)

n(2n -1)(2n +1) a

n

＝

1 + (-1)n

；

2

(4) 将数列变形为 1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,

1 + (-1)n

∴a n ＝n＋

2

；

1、通项公式法

如果数列{a n }的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列的通项公式为；

的通项公式为；

的通项公式为；

2、图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

3、递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：

第 1 层钢管数为 4；即：1 ? 4＝1+3 第 2 层钢管数为 5；即：2 ? 5＝2+3 第 3 层钢管数为 6；即：3 ? 6＝3+3 第 4 层钢管数为 7；即：4 ? 7＝4+3 第 5 层钢管数为 8；即：5 ? 8＝5+3 第 6 层钢管数为 9；即：6 ? 9＝6+3 第 7 层钢管数为 10；即：7 ? 10＝7+3

若用 a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 a n = n + 3(1≤n

≤7）

运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。

即 a 1 = 4 ； a 2 = 5 = 4 + 1 = a 1 + 1； a 3 依此类推： a n = a n -1 + 1（2≤n≤7）

= 6 = 5 + 1 = a 2 + 1

对于上述所求关系，若知其第 1 项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 递推公式：如果已知数列{a n }的第 1 项（或前几项），且任一项 a n 与它的前一项 a n -1 （或

前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为： a 1 = 3, a 2 = 5, a n = a n -1 + a n -2 (3 ≤ n ≤ 8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法： 列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表 示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为 4、列表法

．简记为 ．

[范例讲解]

例 3 设数列{a ? }满足? a 1 = 1 1

写出这个数列的前五项。 n ?a = 1+ (n > 1). ?

? n a n -1

解：分析：题中已给出{a n }的第 1 项即 a 1 = 1 ，递推公式： a n = 1 + a

1 n -1

4 5 n n n n -1 2 3 n n 1 2 3 1 1 2 1 5 8

解：据题意可知： a 1 = 1, a 2 = 1 + 1

= 2, a 3 = 1 + 2 = 3 ，

a 4 = 1 + a = 3 , a 5 = 5

[补充例题]

例 4 已知 a 1 = 2 ， a n +1 = 2a n

写出前 5 项，并猜想 a n ．

法一： a 1 = 2

a = 2 ? 2 = 22 a = 2 ? 22 = 23 ，观察可得 a = 2n

法二：由 a

n +1 = 2a n

∴ a n = 2a

n -1

即

a n

= 2 a

∴

a n

? a n -1 ? a n -2 ? ? a

2 n -1

= 2n -1 a n -1 a n -2 a n -3 a 1

∴ [补充练习]

a n = a 1 ? 2n -1 = 2

n 1. 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

(1) a 1 ＝0, a n +1 ＝ a n ＋(2n －1)

(n∈N)；

(2)

a ＝1, a

＝ 2a n (n∈N)；

1

n +1

a n + 2

(3) a 1 ＝3, a n +1 ＝3 a n －2

(n∈N).

解：(1) a 1 ＝0, a 2 ＝1, a 3 ＝4, a 4 ＝9, a 5 ＝16, ∴ a ＝(n －1) 2

;

2

1 2 2 1 2 2 (2) a 1 ＝1, a 2 ＝ 3 , a 3 ＝ 2 = 4 , a 4 ＝ 5 , a 5 ＝ 3 = 6 , ∴ a n ＝ n + 1

;

(3) a ＝3＝1+2 ? 30 , a ＝7＝1+2 ? 31 , a ＝19＝1+2

? 32 ,

a ＝55＝1+2 ? 33 , a ＝163＝1+2 ? 34 , ∴ a ＝1＋2·3 n -1

;

1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，

这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 ⑴．公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{ a },若 a －

a =d (与 n 无关的数或字母)，n≥2，n∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差。

2. 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n - 1)d 【或 a n = a m + (n - m )d 】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{a n }的首项是 a 1 ，公

差是 d ，则据其定义可得：

a a 3

a 2 -a

1

=d 即：a

2

=a

1

+d

a 3 -a

2

=d 即：a

3

=a

2

+d =a

1

+ 2d

a 4 -a

3

=d 即：a

4

=a

3

+d =a

1

+ 3d

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：a n =a1 + (n - 1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1 和公差 d，便可求得其通项a n 。由上述关系还可得：a m =a1 + (m - 1)d

即：a1=a m - (m - 1)d

则：a n =a1 + (n - 1)d = a m - (m - 1)d + (n - 1)d =a m + (n -m)d

即等差数列的第二通项公式[范例讲解]a

n

=a

m

+(n -m)d ∴ d=

a

m

-a

n

m -n

例 1 ⑴求等差数列 8，5，2…的第 20 项

⑵ -401 是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a1= 8, d = 5 - 8 = 2 - 5 =-3 ⑵由 a1=-5, d =-9 - (-5) =-4 n=20，得a20 = 8 + (20 - 1) ? (-3) =-49 得数列通项公式为：a n =-5 - 4(n - 1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得- 401 =-5 - 4(n -1) 成立解之得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项

例 3 已知数列{ a n }的通项公式a n =pn +q ，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定

是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n-a n-1（n≥2）是不

是一个与 n 无关的常数。

解：当n≥2时, （取数列{a n }中的任意相邻两项a n-1与a n（n≥2））

a n -a

n-1

= ( pn +q) -[ p(n -1) +q] =pn +q - ( pn -p +q) =p 为常数

∴{ a n }是等差数列，首项a1 =p +q ，公差为 p。

注：①若 p=0，则{ a n }是公差为 0 的等差数列，即为常数列 q，q，q，…

②若p≠0, 则{ a n }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数

y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q.

③数列{ a n }为等差数列的充要条件是其通项 a n =pn+q (p 、q 是常数)，称其为第

3

通项公式。 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个。

[补充练习]

1.（1）求等差数列 3，7，11，……的第 4 项与第 10 项.

分析：根据所给数列的前 3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求 项.

解：根据题意可知： a 1 =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为： a n =3+（n －1）×4,即 a n

=4n －1（n ≥1,n ∈N *）∴ a 4 =4×4－1=15, a 10 =4×10－1=39.

评述：关键是求出通项公式.

（2）求等差数列 10，8，6，……的第 20 项. 解：根据题意可知： a 1 =10,d =8－10=－2.

∴该数列的通项公式为： a n =10+（n －1）×（－2）,即： a n =－2n +12,∴ a 20 =－2× 20+12=－28.

评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100 是不是等差数列 2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数 n 值， 使得 a n 等于这一数.

解：根据题意可得： a 1 =2,d =9－2=7. ∴此数列通项公式为： a n =2+（n －1）×7=7n －5. 令 7n －5=100,解得：n =15,

∴100 是这个数列的第 15 项.

（4）－20 是不是等差数列 0，－3 1

，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，

2

说明理由.

解：由题意可知： a =0,d =－3 1 ∴此数列的通项公式为： a =－ 7 n + 7

,

1

2 n 2 2

令－ 7 n + 7 =－20,解得 n = 47 因为－ 7 n + 7 =－20 没有正整数解，所以－20 不是这

2 2 个数列的项.

7 2 2

3. 有几种方法可以计算公差 d

① d= a n

－ a n -1

② d =

a n - a 1

n - 1

③ d =

a n - a m

n - m

7 9

n +1

n +k 问题：如果在 a 与b 中间插入一个数 A ，使 a ，A ， b 成等差数列数列，那么 A 应满足什么条件？

由定义得 A- a = b -A

，即： A =

a + b

a + b

2

反之，若 A =

，则 A- a = b -A

2

a +

b 由此可可得： A = [补充例题]

? a , b , 成等差数列

2

例 在等差数列{ a n }中，若 a 1 + a 6 =9, a 4 =7, 求 a 3 , a 9 .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道

这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列

∴ a 1 + a 6 = a 4 + a 3 =9 ? a 3 =9－ a 4 =9－7=2

∴ d= a 4 － a 3 =7－2=5

∴ a 9 = a 4 +(9－4)d=7+5*5=32

∴ a 3 =2, a 9 =32

已知数列{ a n }是等差数列

（1） 2a 5 = a 3 + a 是否成立？ 2a 5 = a 1 + a 呢？为什么？

（2） 2a n = a n -1 + a (n > 1) 是否成立？据此你能得到什么结论？

（3） 2a n = a n -k + a (n > k > 0) 是否成立？？你又能得到什么结论？ 结论：（性质）在等差数列中，若 m+n=p+q ，则， a m + a n = a p + a q

即 m+n=p+q ? a m + a n = a p + a q

(m , n , p , q ∈N )

但通常 ①由 a m + a n = a p + a q 推不出 m+n=p+q ，② a m + a n = a m +n

Ⅲ.课堂练习

1. 在等差数列{a n }中，已知 a 5 = 10 ， a 12 = 31 ，求首项 a 1 与公差 d

2. 在等差数列

{a n }中, 若 a 5 = 6

a 8 = 15 求 a 14

?

n n 1. 等差数列的前 n 项和公式 1： S n =

n (a 1 + a n )

2

证明： S n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n -1 + a n

①

S n = a n + a n -1 + a n -2 + + a 2 + a 1 ②

①+②： 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n -1 ) + (a 3 + a n -2 ) + + (a n + a n )

∵ a 1 + a n = a 2 + a n -1 = a 3 + a n -2 =

∴ 2S = n (a + a )

由此得： S = n (a 1 + a n )

n

1

n

n

2

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性

n (n - 1)d

2. 等差数列的前 n 项和公式 2： S n = na 1 +

2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件： n , a 1 , a n

n (n - 1)d

但 a n = a 1 + (n - 1)d 代入公式 1 即得： S n = na 1 + 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件： n , a 1 , d （有时比较有用） 由例 3 得与 a n 之间的关系：

由 S n 的定义可知，当 n=1 时， S 1 = a 1 ；当 n≥2 时， a n = S n - S n -1 ，

?S 1 (n = 1)

即 a n = ?

n - S n -1 . (n ≥ 2) 1. 等差数列的前 n 项和公式 1： S n

=

n (a 1 + a n )

2

2. 等差数列的前 n 项和公式 2： S n = na 1 +

n (n - 1)d

2

结论：一般地，如果一个数列{a }, 的前 n 项和为 S = pn 2

+ qn + r ，其中 p 、q 、r 为常数，

且 p ≠ 0 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由 S = pn 2 + qn + r ，得 S = a = p + q + r

n

1

1

当 n ≥ 2 时 a n = S n - S n -1 = ( pn 2 + qn + r ) -[ p (n -1)2 + q (n -1) + r ] = 2 pn - ( p + q )

∴ d = a n - a n -1 = [2 pn - ( p + q )] -[2 p (n -1) - ( p + q )] =2p

S

n ?

对等差数列的前 n 项和公式2： S n = na 1 + n (n - 1)d 2

可化成式子：

S = d n 2 + (a n 2 1

- d

)n ，当 d≠0，是一个常数项为零的二次式 2

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用 a n :

当 a n >0，d<0，前n 项和有最大值 可由 a n ≥0，且 a n +1 ≤0，求得n 的值 当 a n <0，d>0，前n 项和有最小值 可由 a n ≤0，且 a n +1 ≥0，求得n 的值 （2） 利用 S n ：

由S n = d

n 2

+ (a

2 1

- d )n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 2

Ⅲ.课堂练习

1. 一个等差数列前 4 项的和是 24，前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27，求这个等差数列的通项公式。

2. 差数列{ a n }中, a 4 ＝－15, 公差 d ＝3, 求数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最小值。

Ⅳ.课时小结

1. 前 n 项和为 S = pn 2

+ qn + r ，其中 p 、q 、r 为常数，且 p ≠ 0 ，一定是等差数列，该

数列的

首项是 a 1 = p + q + r

公差是 d=2p

? S 1 = a 1 = p + q + r ,与

n = 1与 通项公式是 a n = ?S

n - S n -1 = 2 pn - ( p + q ),与 n ≥ 2 与 2. 差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1） 当 a n >0，d<0，前n 项和有最大值 可由 a n ≥0，且 a n +1 ≤0，求得n 的值。

当 a n <0，d>0，前n 项和有最小值 可由 a n ≤0，且 a n +1 ≥0，求得n 的值。

（2） 由S n

= d n 2 + (a 2 1

- d

)n 利用二次函数配方法求得最值时n 的值

2

1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q ≠

0），即：

a n

a n -1

=q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

｛ a n

｝成等比数列?

a n +1

=q （ n ∈ N + ,q ≠0） a

n

2? 隐含：任一项 a n ≠ 0且q ≠ 0

“ a n ≠0”是数列｛ a n ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q= 1 时，{a n }为常数。

2. 等比数列的通项公式 1:

由等比数列的定义，有：

a 2 = a 1q ；

a n = a 1 ? q n -1 (a ? q ≠ 0)

a = a q = (a q )q = a q 2 ；

3

2

1

1

a = a q = (a q 2 )q = a q 3 ；

4

3

1

1

… … … … … … …

a n = a

n -1 q = a 1 ? q n -1 (a ? q ≠ 0)

3. 等比数列的通项公式 2: a n = a m ? q m -1 (a ? q ≠ 0)

4.

既是等差又是等比数列的数列：非零常数列

探究：课本 P56 页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系：

等比数列｛ a n ｝的通项公式 a n = a 1 ? q

n -1

(a ? q ≠ 0) ,它的图象是分布在曲线 y = a 1 q x

q

（q>0）上的一些孤立的点。

当 a 1 > 0 ，q >1 时，等比数列｛ a n ｝是递增数列； 当 a 1 < 0 ， 0 < q < 1，等比数列｛ a n ｝是递增数列； 当 a 1 > 0 ， 0 < q < 1时，等比数列｛ a n ｝是递减数列； 当 a 1 < 0 ，q >1 时，等比数列｛ a n ｝是递减数列；

当 q < 0 时，等比数列｛ a n ｝是摆动数列；当 q = 1 时，等比数列｛ a n ｝是常数列。

1 1 1 1

ab ab a n +1

b n +1 a n b n

5 3 7 5 1 9 a = a a [补充练习]

2.（1） 一个等比数列的第 9 项是 4 ，公比是－ 1

，求它的第 1 项（答案： a

=2916）

9 3 1

（2） 一个等比数列的第 2 项是 10，第 3 项是 20，求它的第 1 项与第 4 项（答案： a 1 = a 2 q

=5,

a 4 = a 3 q =40）

1. 等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数 G

为 a 与 b 的等比中项. 即 G =± （a ,b 同号）

如 果 在 a 与 b 中 间 插 入 一 个 数 G ， 使 a ,G ， b 成 等 比 数 列 ， 则

G = b

a G

? G 2 = ab ? G = ± ， 反之，若 G 2 =ab ,则 G = b

，即 a ,G ,b 成等比数列。∴a ,G ,b 成等比数列? G 2 =ab （a ·b

a G

≠0）

例题 证明：设数列{a n }的首项是 a 1 ，公比为 q 1 ; {b n }的首项为b 1 ，公比为 q 2 ，那么数列{a n ? b n }的第 n 项与第 n+1 项分别为：

a ? q n -1 ?

b ? q n -1与a ? q n ? b ? q n 即为a b (q q )n -1与a b (q q )n

1

1

1

a ?

b 2

1

1

1

2

a b (q q )n 1 1

1 2

1 1

1 2

n +1 n +1 = 1 1 1 2

= q q

. a ? b a b (q q )n -1 1 2 n

n

1 1

1 2

它是一个与 n 无关的常数，所以{a n ? b n }是一个以 q 1q 2 为公比的等比数列

拓展探究：

对于例题中的等比数列{ a n

}与{ b n

}，数列{

a n

}也一定是等比数列吗？

b n

探究：设数列{ a }与{ b }的公比分别为 q 与 q ，令c =

a n

，则c

=

a n +1

n

n

1

2

n

n +1

b n +1

∴ c n +1 =

= ( a n +1 ) (b n +1 ) = q 1 ，所以，数列{ a n }也一定是等比数列。 c n a n b n q 2 b n

已知数列{ a n }是等比数列，（1） a 2 = a a 是否成立？ a 2

= a a 成立吗？为什么？

（2） a 2 = a a (n > 1) 是否成立？你据此能得到什么结论？

n

n -1 n +1

2 n n -k n +k (n > k > 0) 是否成立？你又能得到什么结论？

n

b

1

1 1 1 1 a 1 ? n 1 1 1 1 1 n p m 结论：2．等比数列的性质：若 m+n=p+k ，则 a m a n = a p a k

在等比数列中，m+n=p+q ， a m , a n , a p , a k 有什么关系呢？

由定义得： a m = a q m -1 a = a q n -1

a = a q p -1

a k = a 1 ? q k -1

a m ? a n = a 2 q

m +n -2

， a p ? a k = a 2

q p +k -2 则 a a = a p a k

1、 等比数列的前 n 项和公式：

a (1 - q n )

a - a q

当 q ≠ 1 时， S n = 1 1 - q ① 或 S n = 1

n ②

1 - q

当 q=1 时， S n = na 1

当已知 a 1 , q, n 时用公式①；当已知 a 1 , q, a n 时，用公式②.

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列 a 1 , a 2 + a 3 , a n 它的前 n 项和是

S n = a 1 + a 2 + a 3 + a n

?S n = a 1 + a 2 + a 3 + a n

由?

? = a q n -1

??S = a + a q + a q 2 + a q n -2 + a q n -1 得?

n 1 1 1 1 1

?qS = a q + a q 2 + a q 3 + a q n -1 + a q n

∴(1 - q )S n = a 1 - a q n

a (1 - q n ) a - a q

∴当 q ≠ 1 时， S n = 1 1 - q ① 或 S n = 1

n ②

1 - q

当 q=1 时， S n = na 1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，

a 2

a 1

=

a 3 a 2

= =

a

n = q a n -1

根据等比的性质，有

a 2 + a 3 + + a n a 1 + a 2 + + a n -1 = S n - a 1

= q

S n - a n

即 S n - a 1 = q ? (1 - q )S

= a - a q （结论同上） S n - a n

n 1 n

1

n n