空间中点线面位置关系
空间中点线面位置关系(经典)
第一讲：空间中的点线面一，生活中的问题？生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象．二，概念明确1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。
所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。
线与面的关系是_____________________，用符号______________。
点与面的关系是_____________________，用符号______________。
2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角）3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。
点，线，面都是抽象的几何概念。
不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。
4，平面的画法与表示描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来，如图b所示记法(1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α(2)用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面ABC或平面等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD检验检验：下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4三，点，线，面的位置关系和表示A是点，l，m是直线，α，β是平面.文字语言符号语言图形语言A在l上A在l外A在α内A在α外文字语言符号语言图形语言l在α内l与α平行l ，m 相交于Al ，m 都在平面α内且平行l ，m 异面（不同在任何一个平面内，且没有交点）α，β相交于lα，β平行（没有交点）熟悉熟悉：如图所示，平面ABEF 记作平面α，平面ABCD 记作平面β，根据图形填写： (1)A ∈α，B ________α，E ________α，C ________α，D ________α； (2)α∩β＝________；(3)A ∈β，B ________β，C ________β，D ________β，E ________β，F ________β； (4)AB ________α，AB ________β，CD ________α，CD ________β，BF ________α，BF ________β.四，立体几何的公理与定理1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
空间中点线面的位置关系
空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。
（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。
这时我们就说或。
作用：判断直线在平面内。
2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。
也可以简单地说成：的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。
3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。
这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。
2经过两条直线，有且只有个平面。
3经过两条直线，有且只有个平面。
（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有和两种。
异面直线：既又的直线叫异面直线。
判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。
（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。
直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。
平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。
基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。
例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。
例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。
空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算
空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算空间几何与向量运算是数学中的重要分支，研究点、线、面在空间中的位置关系以及进行相应的运算操作。
在实际应用中，空间几何与向量运算广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将详细讨论点、线、面在空间中的位置关系和对应的运算方式。
一、点在空间中的位置关系在空间几何中，点是空间的最基本元素，它没有长度、宽度和高度。
点与点之间的位置关系可以通过坐标系来描述。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，用三个坐标轴x、y、z相互垂直组成，固定在空间中的三个直线上。
点在直角坐标系中的位置可以用三个坐标(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置，z表示点在z轴上的投影位置。
2. 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系是常用的极坐标系。
在柱坐标系中，点的位置由径向距离、极角和高度来确定，记作(r, θ, z)，其中r表示点到极坐标原点的距离，θ表示点到正极轴的角度，z表示点在z轴上的投影位置。
在球坐标系中，点的位置由球半径、极角和方位角来确定，记作(r, θ, φ)，其中r表示点到球心的距离，θ表示点到正半轴的角度，φ表示点到正极面的角度。
二、线在空间中的位置关系与运算线是由无数个点连接而成的集合，线在空间中的位置关系有直线、平行线、相交线等。
对于线的运算操作，主要包括长度、夹角、平移、旋转等。
1. 长度线的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过计算两个点的坐标来求得。
对于直线则无法直接求得长度。
2. 夹角两条线之间的夹角是指这两条线在空间中交汇处的夹角。
可以通过计算两条线的方向向量来求得夹角。
3. 平移平移是指将一条线段按照指定的平移向量进行移动，其位置和形状保持不变。
平移操作可以通过向直线的每个点添加平移向量得到。
4. 旋转旋转是指将一条线段按照指定的旋转角度和旋转轴进行旋转，其位置和形状保持不变。
空间向量点线面的位置关系
空间向量点线面的位置关系在三维空间中，点、线和面是基本的几何要素。
它们的位置关系在数学和几何学中扮演着重要的角色。
本文将探讨空间向量中点、线和面之间的不同位置关系及其特点。
一、点和线的位置关系在三维空间中，点和线的位置关系主要有以下几种情况。
1. 点在线上：如果一个点位于一条直线上，那么这个点与直线上的任意两点构成的向量都是共线的。
换句话说，点和线的向量共线。
2. 点在线的延长线上：点也可以位于一条线的延长线上，这时点与线上的任意两点构成的向量也是共线的。
3. 点与线相交：在三维空间中，点还可以与一条直线相交。
这时，点与线上的任意两点构成的向量不再共线。
4. 点与线平行：若一点与直线平行，则该点与直线上的任意两点构成的向量平行。
但是，点与线平行并不意味着点在线的延长线上。
二、点和面的位置关系点和面的位置关系也有几种情况，如下所示。
1. 点在面上：如果一个点位于一个平面上，那么这个点与平面上的任意三个点构成的向量都在同一个平面内。
2. 点在面的延长线上：点也可以位于一个平面的延长线上，这时点与平面上的任意三个点构成的向量仍在同一个平面内。
3. 点在平面内但不在平面上：有时，一个点位于一个平面内部但不在平面上。
这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。
4. 点与平面相交：在三维空间中，点还可以与一个平面相交。
这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。
三、线和面的位置关系线和面的位置关系主要有以下几种情况。
1. 线在平面上：如果一条直线位于一个平面上，那么直线上的任意两点构成的向量都在同一个平面内。
2. 线与平面相交于一点：一个直线也可以与一个平面相交于一点。
这时，直线上的任意两点构成的向量不在同一个平面内。
3. 线与平面平行：若一条直线与一个平面平行，则直线上的任意两点构成的向量与平面内的向量平行。
但是，直线与平面平行并不意味着直线在平面上。
4. 线在平面的延长线上：一条直线还可以位于一个平面的延长线上，这时直线上的任意两点构成的向量仍在同一个平面内。
空间中点线面的位置关系教学反思
空间中点线面的位置关系教学反思
在初中数学的教学中，空间中点、线、面的位置关系是一个重要的内容。
在这个内容的教学中，我意识到了一些问题和反思，下面就来分享一下。
首先，我发现学生对于点、线、面的概念理解不够深入。
在教学中，我常常发现学生只是停留在了表面的记忆，而没有真正理解这些概念的本质。
因此，在教学中，我更多地注重了引导学生去思考这些概念的本质，并通过具体的例子来深入地理解这些概念。
其次，我发现学生对于点、线、面的位置关系理解不够清晰。
在教学中，我常常发现学生会混淆点、线、面之间的位置关系，例如把直线看成是平面、把点看成是直线等。
针对这个问题，我更多地使用了图示的方式来进行教学，并通过具体的例子来加深学生对于点、线、面之间的位置关系的理解。
最后，我发现学生对于实际应用不够重视。
在教学中，我常常发现学生在学完这个内容之后，缺乏对于实际应用的概念。
因此，在教学中，我更多地使用了生活中的实际例子来引导学生去思考这些概念在实际应用中的作用，从而更好地加深学生对于这个内容的理解。
总之，在教学中，我更多地注重了引导学生去思考、加深学生对于点、线、面之间的位置关系的理解，并通过实际例子来加深学生对于这些概念的理解和应用。
希望能够帮助学生更好地掌握这个内容。
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
课堂互动讲练
【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
点线面的关系
点线面的关系在几何学中，点、线和面是最基本的几何要素，它们之间有着密切的联系和关系。
点是几何学的基础，线由连接两个点而成，而面则是由多条线所围成的平面区域。
点、线和面的关系无处不在，它们相互作用、相互依存，在几何学以及其他学科中都有着重要的意义。
一、点与线的关系1. 线由点组成线是由两个或更多个点连接而成的。
在几何学中，我们通常用直线和曲线两个概念来描述线的形态。
直线是由无数个点连成的，而曲线则是由多个点相连接而成的线条。
无论是直线还是曲线，都需要点作为基本要素。
2. 点划定线除了构成线的要素外，点还可以划定线的特征。
在平面几何中，两点确定一条直线，通过连接两个点可以得到一条唯一的直线。
同样，在空间几何中，三维坐标系中的两点也可以唯一确定一条直线。
3. 线分割点线可以将空间分割成不同的部分，这些分割点的存在和位置是由线的性质决定的。
在线上的任意一点可以将线划分为两段，这些点被称为分割点。
二、点与面的关系1. 面由点组成面是由许多线相交或平行而形成的平面区域。
每一条线都可以看作是由无数个点连接而成的，因此，面也是由无数个点构成的。
这些点通过线的交叉或平行关系来形成不同的面。
2. 点确定面的特征在平面几何中，三个不共线的点可以确定一个平面。
这意味着，通过连接三个不在同一条直线上的点，可以得到一个唯一的平面。
同样，在空间几何中，通过连接不共线的四个点也可以唯一确定一个平面。
3. 面分割点面可以将三维空间分割成不同的区域。
这些区域的边界由线所组成，线的端点就是面的分割点。
这些分割点将面分割成不同的区域，使得每个区域都具有特定的性质。
三、线与面的关系1. 线与面相交线可以与面相交于一点或多点。
当一条线与平面相交时，它们的交点即是线与面的关系点。
这个交点可以是线在平面上的一个点，也可以是线与平面相交于一条线段。
2. 面与线的包围关系面可以包围线，也可以被线所包围。
当一条线完全位于一个平面内时，该线被称为完全位于平面内。
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高一升高二暑假衔接立体几何第一讲：空间中的点线面一，生活中的问题？生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象．二，概念明确1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。
所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。
线与面的关系是_____________________，用符号______________。
点与面的关系是_____________________，用符号______________。
2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角）3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。
点，线，面都是抽象的几何概念。
不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。
4，平面的画法与表示描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来，如图b所示记法(1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α(2)用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面ABC或平面等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD检验检验：下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4三，点，线，面的位置关系和表示A是点，l，m是直线，α，β是平面.文字语言符号语言图形语言A在l上A在l外A在α内A在α外文字语言符号语言图形语言l在α内l与α平行l ，m 相交于Al ，m 都在平面α内且平行l ，m 异面（不同在任何一个平面内，且没有交点）α，β相交于lα，β平行（没有交点）熟悉熟悉：如图所示，平面ABEF 记作平面α，平面ABCD 记作平面β，根据图形填写： (1)A ∈α，B ________α，E ________α，C ________α，D ________α； (2)α∩β＝________；(3)A ∈β，B ________β，C ________β，D ________β，E ________β，F ________β； (4)AB ________α，AB ________β，CD ________α，CD ________β，BF ________α，BF ________β.四，立体几何的公理与定理1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
若A ，B ，C 不共线，则A ，B ，C 确定平面α lBAα B AαC推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面 若A l ∉，则点A 和l 确定平面α推论2：过两条相交直线有且只有一个平面若mn A =，则,m n 确定平面α推论3：过两条平行直线有且只有一个平面若m n ，则,m n 确定平面α公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ⇒公理4作用：证明两直线平行。
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
,1212a a b b ''∠∠⇒∠∠且与方向相同＝,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒且与方向相反＝ 作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。
6，线面平行的定义与判定1）若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行。
2）线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭lαAlm αAm nαP· αL βa b b a b 'a '方向相反则∠1+∠2＝180°方向相同则∠1＝∠22121a 'b '五，典型例题【例1】下列命题正确的是（ ）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共线的三点确定一个平面 【练习】1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2.下列命题：⑴平面α与平面β相交，他们只有有限个公共点⑵经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. ⑶经过两条相交直线有且仅有一个平面.⑷如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 其中正确的个数为（ ）A.0 B ．1 C ．2 D ．3点金秘笈：此类题可以由公理和定理经过综合判断；也可以利用你手边的一切资源比划比划，不要忘记了变换一下空间位置，或是旋转一下下。
【例2】2如图所示，用符号语言可表达为（ ） A.α∩β=m ，n ⊂α，m∩n=A B.α∩β=m ，n∈α，m∩n=AC.α∩β=m ，n∈α，A ∈m，A∈nD.α∩β=m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂n【练习】1.下面推理过程，错误的是（ ） A.αα∉⇒∈A l A l ,//B ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,C. AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,D. βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,ABC DOO 1A 1B 1C 1D 1AEFD BG H C P2.如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 下列命题是否正确? 并说明理由. ①AC 1在平面CC 1B 1B 内;②若O 、O 1分别为面ABCD 、A 1B 1C 1D 1的中心, 则平面AA 1C 1C 与平面B 1BDD 1的交线为OO 1 .③由点A 、O 、C 可以确定平面;④由点A 、C 1、B 1确定的平面与由点A 、C 1、D 确定的平面是同一个平面.点金秘笈：类比集合的知识，通过类比来记忆。
【例3】已知E 、F 、G 、H 分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD 各边AB 、AD 、BC 、CD 上的点, 且直线EF 和GH 交于点P, 求证: B 、D 、P 在同一条直线上.思维点拔：证明多点共线，通常利用公理2，即两相交平面交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，必须证明这些点分别在两个平面内。
A BCD D 1C 1B 1A 1EF AB D Clα 【练习】如图, 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为AB,AA 1中点，求证CE,D 1F,DA 三条直线交于一点。
注意：证明题的逻辑要清晰而严密，书写要规范而有据。
不能凭想当然，不能混乱。
【例4】已知: 如图l D l C l B l A ∉∈∈∈,,,, 求证: 直线AD 、BD 、CD 共面.思维点拔：简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂【练习】如图, 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点, AC ∩BD=P , A 1C 1∩EF=Q , 求证:(1) D 、B 、F 、E 四点共面(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点, 则P 、Q 、R 三点共线 .点金秘笈：证明共点，共线，共面可以用落入法，也可以用同一法，还可以用反证法。
AB CD D 1 C 1B 1A 1六，课后作业1．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）（A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 2．以下命题正确的有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 3．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 4．以下命题中为真命题的个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 5．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）（A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条6．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。
7．在空间中，① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。
② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的序号填上）8.已知△ABC 在平面α外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，BC ∩α＝Q ，如图．求证：P 、Q 、R 三点共线．。