高中数学必做100题
高中数学必做100题必修1
001.试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数22y x x =-+的函数值的集合；（2）3y x =-与35y x =-+的图象的交点集合.解：（1）2217224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭74y ∴≥，故所求集合为7|4y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2）联立335y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，故所求集合为(){}2,1-.002.已知集合{|37}A x x =≤<，{|510}B x x =<<，求()R C A B 、()R C A B 、()R C A B 、()R A C B .解：{}()|310R C A B x x x =<≥ 或，{}()|57R C A B x x x =≤≥ 或，{}()|710R C A B x x =≤< ，{}()|710R A C B x x x =<≥ 或.003.设全集*{|9}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =.（1）求A B ，A B ，()U C A B ，()U C A B ；解：{}1,2,3,4,5,6A B = ，{}3A B = ，{}()7,8U C A B = ，{}()1,2,4,5,6,7,8U C A B = .（2）求U C A ，U C B ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B ；解：{}4,5,6,7,8U C A =，{}1,2,7,8U C B =，{}()()1,2,4,5,6,7,8U U C A C B = ，{}()()7,8U U C A C B = .（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn 图进行分析.解：()()()U U U C A B C A C B = ，()()()U U U C A B C A C B = .004.设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=.（1）求A B ，A B ；解：①当4a =时，{}4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B = ，{}4A B = ；②当1a =时，{}1,4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B = ，{}1,4A B = ；③当4a ≠且1a ≠时，{},4A a =，{}1,4B =，故{}1,,4A B a = ，{}4A B = .（2）若A B ⊆，求实数a 的值；解：由（1）知，若A B ⊆，则1a =或4.（3）若5a =，则A B 的真子集共有个,集合P 满足条件()()A B P A B 刎，写出所有可能的集合P .解：若5a =，则{}4,5A =，{}1,4B =，故{}1,4,5A B ⋃=，此时A B 的真子集有7个.又{}4A B ⋂= ，∴满足条件()()A B P A B 刎的所有集合P 有{}1,4、{}4,5.005.已知函数3()41x f x x -=+.（1）求()f x 的定义域与值域（用区间表示）（2）求证()f x 在1(,)4-+∞上递减.解：（1）要使函数有意义，则410x +≠，解得14x ≠-.所以原函数的定义域是1{|}4x x ≠-.()311241(41)1341441441113110444144x x x y x x x x ---++==⨯=+++=-+≠-+=-+，所以值域为1{|}4y y ≠-.（2）在区间1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上任取12,x x ，且12x x <，则()()121212334141x x f x f x x x ---=-++()()()2112134141x x x x -=++12x x < ，210x x ∴->又121,,4x x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，12410,410x x ∴+>+>，()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>，∴函数()f x 在1(,)4-+∞上递减.006.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f 、(3)f -、(1)f a +的值.（◎P 49B4）解：(1)5f =，()321f -=，()2265,1123,1a a a f a a a a ⎧++≥-⎪+=⎨--<-⎪⎩.007.已知函数2()2f x x x =-+.（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值.解：（1）证明：在区间[1,)+∞上任取12,x x ，且12x x <，则有……（1分）221211222112()()(2)(2)()(2)f x f x x x x x x x x x -=-+--+=-⋅+-，∵12,[1,)x x ∈+∞，12x x <，∴21120,x x x x ->0,+-2>即12()()0f x f x ->∴12()()f x f x >，所以()f x 在[1,)+∞上是减函数．（2）由（1）知()f x 在区间[]2,5上单调递减，所以max min ()(2)0,()(5)15f x f f x f ====-008.已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（◎P 844）（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.解：（1）()()log (1)log (1)a a f x g x x x +=++-.若要上式有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，即11x -<<.所以所求定义域为{}11x x -<<（2）设()()()F x f x g x =+，则()()()log (1)log(1)()a F x f x g x x x F x -=-+-=-+++=-所以()()f x g x +是偶函数.（3）()()0f x g x ->，即log (1)log (1)0a a x x +-->，log (1)log (1)a a x x +>-.当01a <<时，上述不等式等价于101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得10x -<<.当1a >时，原不等式等价于101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得01x <<.综上所述,当01a <<时，原不等式的解集为{10}x x -<<；当1a >时，原不等式的解集为{01}x x <<.009.已知函数2()(0,0)1bx f x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bx f x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由21043a b a b -+=⎧⎨-=⎩，解得a =1，b =1.010.对于函数2()()21x f x a a R =-∈+.（1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使得()f x 为奇函数.解:(1)()f x 的定义域为R ,设12x x <,则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++,……（3分）12x x < ,1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.（2）假设存在实数a 使()f x 为奇函数,()()f x f x ∴-=-即222121x x a a --=-+++,解得: 1.a =011.（1）已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2－1.5－1－0.500.51 1.52f (x )－3.51 1.02 2.37 1.56－0.38 1.23 2.77 3.45 4.89（2）已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围.解：（1）由(2)( 1.5)0f f -⋅-<，(0.5)(0)0f f -⋅<，(0)(0.5)0f f < ，得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点.（2）设()f x =2(2)31m x mx -++，则()f x =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以(1)(0)0(2)(0)0f f f f -⋅<⎧⎨⋅<⎩，即(21)10(107)10m m --⨯<⎧⎨-⨯<⎩，∴17210m -<<．012.某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x 元，则每个利润为（x －40）元，日均销量为[482(50)]x --个.由于400x ->，且482(50)0x -->，得4074x <<.则日均销售利润为2(40)[482(50)]22285920y x x x x =---=-+-，4074x <<.易知，当228572(2)x =-=⨯-，y 有最大值.所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.013.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层.臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式4000t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量.（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（☆P 449）解：（1）∵00Q >，0400t -<，1e >，∴4000t Q Q e -=为减函数.∴随时间的增加，臭氧的含量是减少.（2）设x 年以后将会有一半的臭氧消失，则4000012x Q e Q -=，即40012x e -=，两边去自然对数，1ln 4002x -=，解得400ln 2278x =≈.∴287年以后将会有一半的臭氧消失.014.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据.用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()x g x a b c =⋅+（其中,,a b c 为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.解：当选用二次函数2()f x px qx r =++的模型时，∵()()20f x px qx r p =++≠，由()()()12,2 1.2,3 1.3f f f ===，有142 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.05,0.35,0.7p q r =-==，∴()4 1.3f =.当选用指数型函数()x g x a b c =⋅+的模型时，∵(),x g x a b c =⋅+由()()()11,2 1.2,3 1.3,g g g ===有2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解得0.8,0.5, 1.4a b c =-==，∴()4 1.35g =.根据4月份的实际产量可知，选用()0.80.5 1.4xy =-⨯+作模拟函数较好.015.如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t .试求函数()f t 的解析式,并画出函数()y f t =的图象.解：（1）当01t <≤时，如图，设直线x t =与OAB ∆分别交于C 、D 两点，则OC t =，又31CDBE OCCE ===，CD ∴=，()2113222f t OC CD t ∴=⋅=⋅⋅=（2）当12t <≤时，如图，设直线x t =与OAB ∆分别交于M 、N 两点，则2AN t =-，又1MN BEAN AE ===，)2MN t ∴=-()()2211222222f t AN MN t t ∴=⋅-⋅⋅=--=-+-（3）当2t >时，()f t =()223,0123222t t f t t t t <≤⎪⎪⎪⎪∴=-+-<≤⎨>⎪⎩xy O B A x=t16.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；当t ≥1时，1(2t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上，∴114(,32a a -==，这时31()2t y -=.所以34(01)()1()(1)2t t t y f t t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩.（2）∵340.25()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即，解得1165t t ⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，∴1516t ≤≤.∴服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时.。
高中数学100道大题
1.求函数()2xf x x =-的定义域。
2.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值。
:学3.，4.B A =，a 的5.}10=，且,A B A A C C ==，求a6.设函数()f x 的定义域为R ，当0x >时，()1f x >，且对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=⋅，且(2)4f =。
（1）求(0),(1)f f 的值；（2）证明：()f x 在R 上为单调递增函数； （3）若有不等式1()(1)2f x f x⋅+<成立，求x 的取值范围。
7.设A＝｛x∈R｜2≤ x ≤π｝，定义在集合A上的函数y=log a x (a＞0，a≠1)的最大值比最小值大1，求a的值．8.9.(（1）若应纳税额为f(x)，试用分段函数表示1~3级纳税额f(x)的计算公式；（2）某人2004年10月份工资总收入为4000元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？10.某地区上年度电价为0.80元/k W· h，年用电量为a kW· h．本年度计划将电价降到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本为0.3元/kW·h．（1） 写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式． （2） 设k =0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ (注：收益=实际用电量×(实际电价－成本价))．11.已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减． Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．12.为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整（1）求出表中,,,m n M N所表示的数分别是多少？（2）画出频率分布直方图（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？13.14.15.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，MN分别是AB.PC的中点，求证：MN PAD//平面。
高中数学数列多选题专项训练100含解析
一、数列多选题1．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 答案：ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 2．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =答案：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确； 该数【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果. 4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 5．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 答案：AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误.令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.答案：BC 【分析】根据等差数列的前项和性质判断． 【详解】A 错：；B 对：对称轴为7；C 对：，又，；D 错：，但不能得出是否为负，因此不一定有． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列解析：BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 7．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <答案：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】 因为，所以 ， 因为，所以， 所以等差数列公差， 所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+答案：AC 【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差， 所以，. 故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ABCD 【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =答案：AD 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，，故D 正确.解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-，131131213+11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD【点睛】 考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。
高中数学必修1基础知识过关100题带答案
高中数学必修1基础知识过关100题带答案1.方程组3x=6，x+2y=6的解构成的集合是{2}。
2.不同于另外三个集合的是C.{x=1}。
3.若函数f(x)=ax^2-x-1有且仅有一个零点，则实数a的值为1/4.4.是空集的是C.{x|x^2<0}。
5.能使A⊇B成立的实数a的取值范围是B.{a|3<a<4}。
6.若B⊆A，则实数m=4.7.M∪N={3,5,6,7,8}。
8.A∩B={x|x>-1}。
9.M∩N={0}。
10.A∩B={x|-1<x≤3}。
11.A∩(∁B U)=C.{3}。
12.集合C={x|x≥1/2}。
则f(x)＝2x＋1，x＞2或x＜－427．若f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝3，则a＝()，b＝().28．已知函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2x－1，则f(g(x))＝()A．4x2－12xB．4x2－8x－1C．4x2－4x－1D．4x2－4x＋129．已知函数f(x)＝x2－x＋1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝() A．x2＋2xB．x2＋x＋1C．x2＋2x＋1D．x2－2x＋130．已知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝x－1，则f(g(x))＝()A．x3－x2＋xB．x3－3x2＋3xC．x3－3xD．x3－2x2＋x31．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝2x－1，则f(g(x))＝()A．2xB．2x＋1C．2x＋2D．2x－132．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．2x2－1B．2x4－1C．2x2－2D．2x4－2x＋133．已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝()A．x2＋2xB．x2＋2x＋1C．x2＋2x－1D．x2＋x34．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．x2＋xB．x2＋x＋1C．x2＋2xD．x2＋2x＋135．已知函数f(x)＝x2＋1，g(x)＝x＋1，则f(g(x))＝()A．x2＋2xB．x2＋2x＋1C．x2＋x＋2D．x2＋2x＋236．已知函数f(x)＝|x|，g(x)＝x2，则f(g(x))＝()A．|x2|B．x2C．x2＋1D．|x2|＋137．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝|x|，则f(g(x))＝()A．x4B．x2C．|x|2D．|x|27.已知函数f(x) = {2x。
高中数学数列100题整理(数列题库)
77．设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an＜bn，则s＜t.
37．若1和a的等差中项是2，则a的值为（）A．4 B．3 C．1 D．﹣4
38．在等比数列{an}中，若an＞0，且a3，a7是x2﹣32x+64=0的两根，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=（）A．27 B．36 C．18 D．9
39．已∈N*，则数列{an}的通项公式为（）A．an=（ ）n﹣1B．an=（ ）nC．an= D．an=
21．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对∀n∈N*恒成立，则整数λ的最大值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
22．已知数列{an}满足a1=10，且2an+1=2an﹣3，若ak•ak+1＜0，则正整数k=（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
已知数列 是等比数列，首项 ，公比 ，其前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列.
73．求数列 的通项公式；
74．若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，且 对任意 恒成立，求实数 的最大值.
75．（2018•北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 + +…+ .
已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
23．已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q="2," a1·a2·a3·…·a30=245,则a1·a4·a7·…·a28= ( ) A．25B．210C．215D．220
高中数学《数列》100题(问题+答案)
数列一、单选题1．在ABC 中，AB，45C =︒，O 是ABC 的外心，若OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-2．将等比数列{}n b 按原顺序分成1项，2项，4项，…，12n -项的各组，再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间，得到新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，3b ，2a ，4b ，5b ，6b ，7b ，3a ，…，新数列{}n c 的前n 项和为n S ．若11c =，22c =，3134S =，则S 200=（）A ．3841117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．3861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．3861117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．38411302⎛⎫- ⎪⎝⎭3．在ABC 中，AB =，45C =︒，O 是ABC 的外心，若21OC AC ⋅-的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）．A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-4．设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos 1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（）A ．60-B ．120-C ．180D ．2405．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（）A ．9B ．10C ．19D ．206．已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -7．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项8．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a使得14a =，则122n m n+++的最小值为（）A．118+B ．2615C ．74D ．28159．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，则下列说法正确的是（）A ．202120221a a ⋅<B ．202120221a a ⋅>C．2022a <-D．2022a >10．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++，则122015111a a a +++= （）A ．10071008B ．20151008C ．1007504D ．2015201611．在数列{}n a 中，12a =，22a =且21(1)(N )nn n a a n ++-=+-∈，100S =（）A ．0B ．1300C ．2600D ．265012．童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为:每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（）A ．96B ．144C ．192D ．23113．已知无穷等比数列{}n a 中12a =，22a <，它的前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n S 是递增数列B ．数列{}n S 是递减数列C ．数列{}n S 存在最小项D ．数列{}n S 存在最大项14．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（）A ．100B ．23C ．21D ．1715．已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（）A ．54-或54B ．54-C ．45D ．5416．在等比数列{}n a 中，已知对*n N ∈有1221n n a a a ++⋯+=-，那么22212n a a a ++⋯+=（）A ．2(21)n -B ．21(21)3n -C ．41n -D ．1(41)3n-17．设等比数列{}n a 的各项均为正数，已知237881a a a a =，则267a a a +的最小值为（）AB．C．D．18．已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=，10111224a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为（）A ．12B ．36C ．78D ．15619．设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a Ω=（）A ．21B ．20C ．41D ．4020．已知数列1，12-，14，18-，…．则该数列的第10项为（）A ．1512-B ．1512C ．11024-D ．1102421．有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式．某数学探究小组为了探究调和数列的性质，仿照“杨辉三角”．将1，12，13，14， (1)，…作为第一行，相邻两个数相减得到第二行，依次类推，得到如图所示的三角形差数列，则第2行的前100项和为（）A ．100101B ．99100C ．99200D ．5010122．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，2020a 满足12020OA a OB a OC =+，其中A 为OBC边BC 上任意一点，则2020S =（）．A ．2020B ．1010C ．1020D ．223．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（）A ．1B ．6C ．10D ．2024．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（）A ．121n -B ．121n +C ．131n -D ．131n +25．已知数列1，3-，5，7-，9，…，则该数列的第10项为（）A ．21-B ．19-C ．19D ．2126．在等差数列{}n a 中，若47101102a a a ++=，则311a a +=（）A ．2B ．4C ．6D ．827．等差数列{}n a 中，若14a =，公差2d =，则5a =（）A ．10B ．12C ．14D ．22二、多选题28．在平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是BCD △面积的2倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，设{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C ．{}n a 为等差数列D ．()152210n n S n +=--29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若10911S S S <<，则（）A ．0d >B ．10a >C ．200S <D ．210S >31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知342,14a S ==，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．18a =C ．523S a a =D ．n S 的最小值为332．已知数列{}n a 中，13a =，()1*11N n na n a +=∈-，下列选项中能使3n a =的n 有（）A ．22B ．24C ．26D ．2833．对任意数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等比数列B ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等比数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等差数列三、填空题34．在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，11a =，11b =．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2018项和为_________35．已知数列{}n a 的通项为21n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥且12b a =，则123...n b b b b ++++=________.36．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为{}n F .利用下图所揭示的{}n F 的性质，则在等式()222220221220212022m F F F F F F -++⋅⋅⋅+=⋅中，m =______.37．将公差不为零的等差数列1a ，2a ，3a 调整顺序后构成一个新的等比数列i a ，j a ，k a ，其中{,,}{1,2,3}i j k =，试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比：_____．（写出一个即可）．38．已知()f x 为R 上单调递增的奇函数，在数列{}n a 中，120a =，对任意正整数n ，()()130n n f a f a ++-=，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为___________.39．给定正整数n 和正数b ，对于满足条件211n a a b +-=的所有无穷等差数列{}n a ，当1n a +=________时，1221n n n y a a a +++=+++ 取得最大值．40．在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当n 依次取0、1、2、3、L 时()na b +展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ，例11a =，211a =+，312a =+，L ，设数列{}n a 的前n 项和为n S .若20243a m =+，则2022S =___________.41．已知数列{}n a 的前n 项和343n n nS -=，记n b =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.42．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的13，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的13，则第5天截取的长度是______米.43．已知数列{}n a 满足112,,n n a a a n +==-则求100a =___________44．已知等差数列的前n 项和为n S ，且13140,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为__________．45．在等差数列{}n a 中，710132a a =+，则该数列的前7项和为_________．46．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q >，且21a +为1a 与3a 的等差中项，314S =.若数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T ，则n T =_________.47．已知数列{}n a 是递增数列，且满足121n n a a +=+，且1a 的取值范围是___________.48．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则lim nn nS a →∞=__________．49．已知数列{}n a 的首项12a =，且对任意的*n N ∈，都有122nn n a a a +=+，则lim n n a →+∞=______．50．数列{}n a 满足12a =，2111a a =-，若对于大于2的正整数n ，111n n a a -=-，则102a =__________.51．若n a 为()1nx +的二项展开式中2x 项的系数，则2limnn a n →+∞=_________.52．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长.53．已知数列{}n a 满足11n nna a +=+，且46a =，则1a =___________.54．已知无穷数列{}n a 满足12a =，25a =，318a =，写出{}n a 的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）55．数列{}n a 的前几项和为n S ，且111,2n n a a a +==，则，4S =__________．56．若等差数列{}n a 满足202220221a a a =+=，则1a 的值为___________.57．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为__________．58．已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=-，则5S =_________四、解答题59．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足12311111n n S S S S n +++⋯+=+，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足22na nb =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，()x Ω表示x 除以3的余数，求()21n T +Ω．60．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．61．若有穷数列A ：1a ，2a ，…，()*,3n a n n ∈≥N ，满足()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++-≤-=- ，则称数列A 为M 数列．(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3②4，2，8，1(2)已知M 数列A ：1a ，2a ，…，9a ，其中14a =，27a =，求349a a a +++ 的最小值．(3)已知M 数列A 是1，2，…，n 的一个排列．若1112n k k k a a n -+=-=+∑，求n 的所有取值．62．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211122n S n n =++，*N n ∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-，*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．63．已知数列{}n a 满足12a =，{}n a 的前n 项和为n S ，()()121n n a S n n ++=++∈N ，令1n n b a =+．(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n nb 的前n 项和为n T ，求n T ；(3)求证：123111156n a a a a ++++<L ．64．对于有限数列()12:3n A a a a n ≥ ，，，，如果()12121ni a a a a i n n +++<=- ，，，，则称数列A 具有性质P .(1)判断数列1:2323A ，，，和2:3456A ，，，是否具有性质P ，并说明理由;(2)求证：若数列12:n A a a a ，，，具有性质P ，则对任意互不相等的{}12i j k n ∈ ，，，，，，有i j k a a a +>;(3)设数列122022:A a a a ，，，具有性质P ，每一项均为整数，()1122021i i a a i +≠= ，，，，求122022a a a +++ 的最小值.65．已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n n a n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)令2n n b a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .66．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列．(1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列；(3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k = 是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值67．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +-=+（N n *∈），且11a =.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)若()22log 1nn n b a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT 68．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n a a +=，且3431S S +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()311log 3n n n b a n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T．69．（1）已知数列{}n a 是正项数列，12a =，且2211122n n n n n n a a a a a a +++-+=+．求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式．70．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式：21n a n =-，2n n b =(1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．(2)求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．71．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．72．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()647n n n S a a =-+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1133nn nn n n a a b a a ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .73．已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==．数列{}n n a b +是公差为q 的等差数列，数列{}n n a b 是公比为q 的等比数列，,n n a b n *≥∈N ．(1)若1q =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若01q <<，证明：12231,1n n qa b a b a b n q*++++<∈-N ．74．已知数列{an }对任意的n ∈N *都满足312233333n n a a a a n ++++= ．(1)求数列{an }的通项公式；(2)令bn ＝3413431log log n n a a -+，求数列{bn }的前n 项和为Tn ．75．已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23333123123()n n a a a a a a a a ++++=++++ .(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；(2)是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20172016a =-？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；(3)记n a 的所有取值构成的集合为n A ，求集合n A 中所有元素之和．（结论不要求证明）76．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．77．设各项均不等于零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1114,42n n n a S a a a +=+=.(1)求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：1211121n nS S S a +++<- .78．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，516b =，112a b =，34a b =．(1)求{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．79．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =；数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=- ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记tan()n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和．80．已知数列{an }的前n 项和为n S ，*1(N )22n n a n S -∈=，数列{bn }满足b 1＝1，点P（bn ，bn +1）在直线x ﹣y +2＝0上．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和Tn ；(3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立的k 的取值范围．81．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且45656a a a ++=，54a +是4a ，6a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若()*21n n S n =-∈N ，求实数λ的值．82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++= ，求1a .83．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()221n n n S S S n N *++<∈；(3)对任意的正整数n ，设()21132,,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．84．在数列{}n a 中，()*112,21n n a a a n n +==-+∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S ．85．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有23n n S a n =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{(1)}n n a +⋅的前n 项和n T ．86．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，322b b =，441a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．87．甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．88．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.(1)求,n n a b ；(2)设22121n n n n n c b a a ++=+⋅，求{}n c 的前n 项和n S .89．治理垃圾是改善环境的重要举措．A 地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）.(1)写出A 地每年需要焚烧垃圾量与治理年数()*n n N∈的表达式；(2)设n A 为从2020年开始n 年内需要焚烧垃圾量的年平均值．．．．，证明数列{}n A 为递减数列．90．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列111a b ==，22a b =，3342a b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .91．已知{}n a 是递增的等差数列，13a =，且13a ，4a ，1a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：11156n T ≤<.92．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且126a =-，1215S S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2nn a -的前n 项和n T .93．设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S .(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求{}n a 的通项公式；①{}11,2n a S =-是等比数列；②233421,61S a S a =+=+.(2)在（1）的条件下，若31n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.94．已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．95．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围．96．设{}{}n n a b 、是两个数列，()()12122n n n n M A a B n n -⎛⎫⎪⎝⎭,,,,，为直角坐标平面上的点.对*N n n n M A B ∈，、、三点共线.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:1122212log n nn na b a b a b c a a a +++=+++ ，其中{}n c 是第三项为8，公比为4的等比数列.求证:点列()()()11221,2,,n n P b P b P n b 、、、在同一条直线上;(3)记数列{}{}n n a b 、的前m 项和分别为m A 和m B ，对任意自然数n ，是否总存在与n 相关的自然数m ，使得n m n m a B b A =若存在，求出m 与n 的关系，若不存在，请说明理由.97．已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．98．在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．五、双空题99．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ，取AB 的中点C ，以AC 为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为1S ，在图①中取CB 的中点1C ，以1CC 为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为2S ，以此类推，则3S =___________；1nii iS==∑___________.100．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.72-=-．在数列{}n a 中，[]lg n a n =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2022a =______；2022S =______．参考答案：1．A 【解析】【分析】先由正弦定理得到2sin b B =，02b <≤2211122a b =+-，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅= ，22122CB OC CB a ⋅=-=- ，进而计算出3m =，再使用构造法求解通项公式【详解】设BC a =，AC b =，AB c =，则在ABC 中，由正弦定理sin sin c bC B=及c 45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，∴0sin 1B <≤，∴02b <≤.在ABC 中，由余弦定理及2222cos c a b ab C =+-及c =45C =︒，2211122a b =+-.因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅=，22122CBOC CB a ⋅=-=- ，()OC AB CA CB OC AC CB CA CB OC AC OC CB CA CB⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅ 222222211111111222222b a b a a b b =-+=-++-=-.∵02b <≤，∴2113b -<-≤，所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3.即3m =.由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+.所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列.所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-.故选：A 【点睛】构造法求解数列的通项公式，是经常考查的知识点，要结合递推数列的结构特点，选择合适的方法进行构造，常见的构造类型有()11n n a pa q p +=+≠和()11nn n a pa q p +=+≠等.2．A 【解析】【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，运用分组求和的方法可求得答案.【详解】解：由已知得11b =，12a =，2331214b c S c c ==--=，等比数列{}n b 的公比14q =．令21122221nn n T -=++++=- ，则663T =，7127T =，8255T =所以数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，故()()20012181292S b b b a a a =+++++++ 1933841176112472172123214⎛⎫- ⎪⎡⎤⨯⎛⎫⎝⎭=++⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⨯．故选：A ．3．A 【解析】【分析】设AC b =，AB c =，由正余弦定理可得2sin b B =，结合三角形外心性质、向量数量积的几何意义求得21OC AC ⋅-的最大值为3，进而可得()1131n n a a ++=+，利用等比数列的定义写出通项公式.【详解】设AC b =，AB c =，在ABC 中，由sin sin c bC B=及c =45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，则0sin 1B <≤，∴02b <≤．因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得222111OC AC AC b ⋅-=-=- ，而2113b -<-≤，所以21OC AC ⋅-的最大值为3．即3m =．由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+．所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列．所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-．故选：A 4．D 【解析】【分析】分别取43n k =-，42k -，41k -和4k ，*k N ∈，可验证出43424148k k k k a a a a ---+++=，利用周期性可验算得到结果.【详解】当43n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，431k a -=；当42n k =-，*N k ∈时，1os 2c n π=-，()()4224211186k a k k -=⨯--⨯-+=-+⎡⎤⎣⎦；当41n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，411k a -=；当4n k =，*N k ∈时，cos12n π=，424118k a k k =⨯-+=.()4342414186188k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，12012082404S ∴=⨯=.故选：D 5．B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的前n 项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1191910191902a a S a +=⨯=>，有100a >，1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<，有11100a a <-<，显然数列{}n a 是递减的，且10110a a ⋅<，因10m m a a +⋅<，所以10m =.故选：B 6．C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a .【详解】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列.7．B 【解析】【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.8．B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =.14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m n m n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=，由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+，但,m n *∈N ，无解；又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B 9．A 【解析】【分析】根据()2*1n n na S n N a +=∈求出1a 的值，判断数列{}2n S 是等差数列，求出n S 的通项公式，再求出n a ，然后逐个分析判断即可【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，所以当1n =时，()211*112a S n N a +=∈，解得11a =或11a =-，当2n ≥时，()2111112n n n n n n n n n a S a S S a a S S --+==+=-+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2nS 是以1为公差的等差数列，当11a =±时，21(1)n S n n =+-=，所以=n S 或n S=所以1-=-=n n n a S S 11a =满足此式，或1n n n a S S -=-=11a =-满足此式，所以2022a =或2022a =，所以CD 错误，当=n a20212022a a ⋅=1<，当n a =20212022a a ⋅=1<，所以A 正确，B 错误，故选：A 10．B 【解析】【分析】先利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法去求122015111a a a +++ 的值.【详解】由11a =，11n n a a a n +=++，可得11n n a a n +-=+则2n ≥时，()()11232211()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ()1321(1)2nn n n =+-++++=+ 又11122a ==⨯，则数列{}n a 的通项公式为(1)2n n a n =+则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则122015111a a a +++ 1111111201522112232015201620161008⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣=⎭⎦ 故选：B 11．D 【解析】【分析】分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论，再利用分组求和法及等差数列前n 项和的公式，即可得出答案.【详解】解：当n 为奇数时，20n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项是以0为公差的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，所以2,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()10050210025024610010026502S +=⨯+++++=+=L .故选：D.12．C 【解析】【分析】由条件可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，由条件列方程求玲珑塔的顶层灯的盏数.【详解】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，设其首层为1a ，公比q ，顶层为n a ，前n 项和为n S 由已知可得13a =，2q =，381n S =，由等比数列的前n 项和公式可得132********n nn a a q a a q --==-=--，所以192n a =．故玲珑塔的顶层灯的盏数为192，故选：C.13．C 【解析】【分析】对AB ，举公比为负数的反例判断即可对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，分0q >和0q <两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB ，当公比为12-时，2311,,2a a =-=此时12332,1,2S S S ===，此时{}n S 既不是递增也不是递减数列；对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，当0q >时，因为22a <，故22q <，故01q <<，此时()2122111n nn q q S qq q-==----，易得n S 随n 的增大而增大，故{}n S 存在最小项1S ，不存在最大项；当0q <时，因为22a <，故22q -<，故10q -<<，2211nn q S q q =---，因为1q <，故当n 为偶数时，2211nn q S q q =---，随着n 的增大而增大，此时222111nn q S q q q =-<---无最大值，当2n =时有最小值222S q =+；当n 为奇数时，2211nn q S q q=+--，随着n 的增大而减小，故222111nn q S q q q=+>---无最小值，有最大值12S =.综上，当0q <时，因为22221q q +<<-，故当2n =时有最小值222S q =+，当1n =时有最大值12S =综上所述，数列{}n S 存在最小项，不一定有最大项，故C 正确；D 错误故选：C 14．A 【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+=.故选：A.15．D 【解析】【分析】由等差数列求和公式求出35a =，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出6714b b q ==，从而求出结果.【详解】由题意得：()155355252a a S a +===，解得：35a =，设等比数列{}n b 的公比是q ，因为1132,8b b ==，所以1228q =，解得：124q =，显然60q >，所以62q =，所以6714b b q ==，所以3754a b =故选：D 16．D 【解析】【分析】利用“1n =时，11a S =；当2n时，1n n n a S S -=-”即可得到n a ，进而得到数列2{}n a 是等比数列，求出公比和首项，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，1221n n n S a a a =++⋯+=- ，∴当2n 时，1112121n n n S a a a ---=++⋯+=-，111222n n n n n n a S S ---∴=-=-=．∴2122221(2)4(2)n n n n a a ---==，当1n =时，11211a =-=，21221a a +=-，解得22a =，22214a a =．也符合2214n n a a -=，∴数列2{}n a 是等比数列，首项为1，公比为4．∴22212411(41)413n n na a a -++⋯+==--．故选：D 17．C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，根据题意得到2673339q a a qa +=+，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为23784581a a a a a ==，所以53a =，又因为235553326739,a a a a a q a q q q q===⋅=，所以3267339q a a q a +=+≥=当且仅当3339q q =时，即613q =时，等号成立，所以267a a a +的最小值为.故选：C.18．C 【解析】【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差d 和首项1a ，由等差数列求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，13512a a a ++= ，10111224a a a ++=，()1011121352412a a a a a a d ∴++-++==，解得：12d =，135********a a a a d a ∴++=+=+=，解得：13a =，{}n a ∴的前13项的和为11312131213397824a d ⨯⨯+=+=.故选：C.19．C 【解析】【分析】设{}n a n -的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果.【详解】设{}n a n -的公比为q ，则2121123141a q a --===--，所以111(1)(41)33n n n n a n a q---=-⋅=-⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=.故选：C 20．A 【解析】【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为()1112n n n a +--=，所以()11109112512a -==-．故选：A 21．A 【解析】【分析】利用裂项相消法求和即可；【详解】解：由题可知，第2行的前100项和10011111261210012010S +++++⨯= 1111111100122334100101101=-+-+-++-= ．故选：A 22．B 【解析】【分析】根据三点共线可得120201a a +=，结合等差数列的前n 项和公式求解．∵,,A B C 三点共线且12020OA a OB a OC =+，则120201a a +=∴()120202020202010102a a S +==故选：B ．23．C 【解析】【分析】根据规律求得正确答案.【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C 24．C 【解析】【分析】根据规律可得结果.【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -；故选:C 25．B 【解析】【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：依题意可得该数列的通项公式可以为()()1121n n a n +=-⋅-，所以1019a =-.故选：B 26．D 【解析】根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为4710771110222a a a a a +=+=+，解得：74a =，所以311728a a a +==．故选：D ．27．B 【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知：51444212a a d =+=+⨯=；故选：B.28．BD 【解析】【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE = 1233BA BC +，结合()()1122n n n n BD a BA a BC --=-++ ，推出1122(2)n n n n a a --+=-，11222nn n n a a ---=-，求出232nn a n =-+，(23)2n n a n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断C ，根据数列的单调性可判断B ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E ，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t--=-++ ，()()1111231223n n n na t a t--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以当2n ≥时，恒有1122(2)n n n n a a --+=-，所以11222n n n n a a --=-，即11222n n n n a a ---=-，又12a =，所以112a =，所以12(1)232nn a n n =--=-+，所以(23)2n n a n =-+⋅，因为11(21)242(23)223n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为11(21)(23)2022n n n n a a n n ++-=-+--+=-<，即1122n n n n a a ++<，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，故B 正确；因为1n n a a +-=1(21)2(23)2n n n n +-+⋅--+⋅=(21)2n n --⋅不是常数，所以{}n a 不为等差数列，故C 不正确；因为12312(1)2(3)2(23)2nn S n =⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以2341212(1)2(3)2(23)2n n S n +=⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以12341122(2222)(23)2n n n S n +-=⨯-++++--+⋅ ，所以114(12)22(23)212n n n S n -+--=-⨯--+⋅-110(52)2n n +=--⋅，所以1(52)210n n S n +=-⋅-，故D 正确.故选：BD 29．BCD【解析】【分析】由题知121n n a a +=+，进而得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，再结合通项公式和裂项求和求解即可.【详解】由121n n n S S a +=++得1121n n n n a S S a ++=-=+，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；所以12nn a +=，即21n n a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，所以22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------，故D 正确.故选：BCD 30．AD 【解析】【分析】对AB ，根据通项n a 与n S 的关系可得100a <，110a >即可判断；对CD ，根据等差数列前n 项和的公式，结合等差数列的性质判断即可【详解】因为109S S <，1011S S <，所以109100S S a -=<，1110110a S S =>-，故等差数列首项为负，公差为正，所以0d >，10a <，故A 正确，B 错误；由911S S <，可知11910110S S a a -=+>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 错误；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 正确．故选：AD 31．BCD 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，再根据n S 与n a 的公式可得d ，进而求得n S 与n a 的通项公式，再逐个判定即可【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11224614a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得183a d =⎧⎨=-⎩，故311n a n =-+，()()311819232n n n S n n ==-+-.故{}n a 是递减数列，A 错误；18a =，B 正确；()535191250S -⨯==，235210a a =⨯=，故C 正确；()1932n n n S =-，当1,2,3...6n =时，()1932n n n S -=，因为函数()193y x x =-的对称轴为196x =，开口向下，故当6n =时，n S 取得最小值()66193632S -⨯==；当7,8,9...n =时，()3192n n n S -=，函数()319y x x =-的对称轴为196x =，开口向上，故当7n =时，nS 取得最小值()77371972S ⨯-==，综上有n S 的最小值为3，故D 正确；故选：BCD 32．AD 【解析】【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】解：因为13a =，()1*11N n na n a +=∈-，所以23412,,323a a a =-==，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以132(N )n a a n *-=∈，故122283a a a ===.故选：AD.33．AD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项.【详解】。
高中数学必做100题
必修1P(1)1.试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数的函数值的集合；（2）与的图象的交点集合.参考答案：（1）……（3分），……（5分）故所求集合为.……（6分）（2）联立，……（8分）解得，……（10分）故所求集合为.……（12分）2.已知集合，，求、、、.参考答案：，……（3分），……（6分），……（9分）.……（12分）3.设全集，，.（1）求，，，；参考答案：，……（1分），……（2分），……（3分）.……（4分）（2）求，，，；解：，……（5分），……（6分），……（7分）. ……（8分）（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析. 解：，……（9分）. ……（10分）Venn图略. ……（12分）4.设集合，.（1）求，；（2）若，求实数a的值；（3）若，则的真子集共有_____个, 集合P满足条件，写出所有可能的集合P. 参考答案：(1))①当时，，，故，；……（2分）②当时，，，故，；……（4分）③当且时，，，故，. ……（6分）(2)：由（1）知，若，则或4. ……（8分）(3)若，则，，故，此时的真子集有7个. ……（10分）又，满足条件的所有集合有、. ……（12分）5.已知函数.（1）求的定义域与值域（用区间表示）（2）求证在上递减. 参考答案：（1）要使函数有意义，则，解得. ……（2分）所以原函数的定义域是.……（3分），……（5分）所以值域为.……（6分）（2）在区间上任取，且，则……（8分），……（9分）又，，……（10分），……（11分）函数在上递减. ……（12分）6.已知函数，求、、的值.详解：，……（3分），……（6分）.……（12分）7.已知函数.（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.参考答案：（1）证明：在区间上任取，且，则有……（1分），……（3分）∵，，……（4分）∴即……（5分）∴，所以在上是减函数．……（6分）（2）由（1）知在区间上单调递减，所以……（12分）8.已知函数其中．（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合.参考答案：（1）.若要上式有意义，则，即. ……（3分）所以所求定义域为……（4分）（2）设，则.……（7分）所以是偶函数. ……（8分）（3），即，.当时，上述不等式等价于，解得.……（10分）当时，原不等式等价于，解得.……（12分）综上所述, 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.9.已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）若，求a，b的值.参考答案：（1）定义域为R，，故是奇函数. ……（6分）（2）由，则.……（8分）又log3 (4a-b)=1，即4a-b=3. ……（10分）由，解得a=1，b=1. ……（12分）10.对于函数. （1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数.参考答案：(1) 的定义域为R, 设,则=,……（3分）, ,……（5分）即,所以不论为何实数总为增函数. ……（6分）（2）假设存在实数a使为奇函数, ……（7分）即,……（9分）解得: ……（12分）11.（1）已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2f (x) －3.51 1.02 2.37 1.56 －0.381.232.773.454.89（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围.参考答案：（1）由，，，……（3分）得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. ……（6分）（2）设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以，……（8分）即，……（10分）∴．……（12分）12.某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50 51 52 53 54 55 56日均销售量/个48 46 44 42 40 38 36为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？参考答案：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为个. 由于，且，得.……（3分）则日均销售利润为，.……（8分）易知，当，y有最大值. ……（11分）所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. ……（12分）13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？参考答案：（1）∵，，，∴为减函数. ……（3分）∴随时间的增加，臭氧的含量是减少. ……（6分）（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即，……（8分）两边去自然对数，，……（10分）解得.……（11分）∴287年以后将会有一半的臭氧消失. ……（12分）14.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.参考答案：当选用二次函数的模型时，∵，由，有，解得，……（4分）∴.……（5分）当选用指数型函数的模型时，∵由有，解得，……（9分）∴.……（10分）根据4月份的实际产量可知，选用作模拟函数较好. ……（12分）15.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. 试求函数的解析式,并画出函数的图象.参考答案：（1）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，，……（4分）（2）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，……（8分）（3）当时，. ……（10分）……（12分）16.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？参考答案：（1）当0≤t≤1时，y=4t；……（2分）当t≥1时，，此时在曲线上，∴，这时. ……（5分）所以.……（6分）（2）∵，……（8分）解得，……（10分）∴.……（11分）∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. ……（12分）必修2P(1)1.圆锥底面半径为1 cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.参考答案：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示. …………………2分设正方体棱长为x，则CC1 =x，C1D1。
答案-高中数学必做100题--数学选修1-1
ax x2
6 b
的图象在点
M (1,
f
(1))
处的切线方程为
x
2y
5
0
.
（1）求函数 y f (x) 的解析式；（2）求函数 y f (x) 的单调区间. （☆P50 8）
解：（1）
f
(x)
ax x2
6 b
，
f
( x)
a(x2
b) 2x(ax (x2 b)2
6)
.……（2
分）
又 函数 f (x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 x+2y+5=0， ……（4 分）
由已知得抛物线的焦点为 F (1,0) ，斜率 k tan 1 ，所以直线 AB 方程为 y x 1 。……（6 分） 4
书山有路勤为径
1
高中数学必做 100 题◆选修 1-1
将 y x 1 代 入 方 程 y2 4x ， 得 (x 12 ) x 4， 化 简 得 x2 6x 1 0 。 由 求 根 公 式 得 x1 3 2 2, x2 3 2 2 ，……（9 分） 于是 AB x1 x2 2 8 。所以，线段 AB 的长是 8。……（12 分） 5. 当 从 0 到180 变化时，方程 x2 y2 cos 1表示的曲线的形状怎样变换？ 解：当 0 时， cos 0 1，方程 x2 y2 1 表示圆心在原点的单位圆。……（3 分） 当 90 0 时，1 cos 0 ，方程 x2 y2 cos 1表示圆心在原点的单位圆。……（5 分） 当 90 时， cos90 0 ，方程 x2 1，得 x 1 表示与 y 轴平行的两条直线。……（7 分） 当180 90 时， cos 0 ，方程 x2 y2 cos 1表示焦点在 x 轴上的双曲线。……（9 分） 当 180 时， cos180 1 ，方程 x2 y2 1 表示焦点在 x 轴上的等轴双曲线。……（12 分）
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必修1P(1)1.试选择适当的方法表示下列集合：(1）函数的函数值的集合; （2)与的图象的交点集合．参考答案:（1）……(3分)ﻫ，……（5分)故所求集合为．……（6分）(2）联立,……（８分）ﻫ解得，……（10分）ﻫ故所求集合为.……(12分）2.已知集合，,求、、、.参考答案：,……（3分）,……(6分），……（９分)ﻫ．……（１2分）３.设全集,,．ﻫ（1)求，,，;参考答案：,……（1分）ﻫ，……(2分),……(3分).……(4分）(２）求, , ,；ﻫ解:,……(5分）,……(6分)ﻫ，……（7分）ﻫ．……（８分）ﻫ（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.ﻫ解：，……(９分). ……（10分)Venｎ图略. ……(12分)4.设集合，.（１)求,；（２)若，求实数a的值；（3）若,则的真子集共有_____个, 集合P满足条件，写出所有可能的集合P.参考答案:(1）)①当时，,，故，；……(２分)②当时,，，故，;……（4分)③当且时，，，故，. ……(6分)(2)：由(１）知,若，则或4．……（8分)(3)若,则，,故，此时的真子集有7个. ……（１0分)又，满足条件的所有集合有、．……(1２分)5.已知函数．(１）求的定义域与值域(用区间表示）（2）求证在上递减. 参考答案：(1）要使函数有意义,则，解得.……（2分)ﻫ所以原函数的定义域是.……(3分）ﻫ，……(５分）ﻫ所以值域为．……（6分）(2）在区间上任取，且，则……(８分）,……(９分)ﻫ又，，……(1０分)ﻫ，……（11分）函数在上递减. ……（１2分）6．已知函数，求、、的值．详解:.……，……（３分)，……（6分）ﻫ（1２分）7.已知函数.ﻫ（１）证明在上是减函数;(２)当时，求的最大值和最小值．参考答案:(１）证明:在区间上任取，且，则有……(1分）,……（３分)ﻫ∵,,……（4分)ﻫ∴即……（5分）∴，所以在上是减函数．……(6分)ﻫ(２）由（1）知在区间上单调递减,所以……（１２分)8.已知函数其中.（1)求函数的定义域;（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3)求使成立的的集合.参考答案：(1).ﻫ若要上式有意义,则,即.……(3分）所以所求定义域为……（4分)ﻫ(2）设,则.……(7分)ﻫ所以是偶函数. ……(8分）ﻫ(３）,即,．ﻫ当时，上述不等式等价于,解得.……(10分）当时，原不等式等价于,解得.……（12分)综上所述, 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．9.已知函数. ﻫ（1)判断的奇偶性；(２）若,求a，b的值．参考答案:（1)定义域为R,，故是奇函数. ……(6分)(2）由,则.……(8分）又log3 (4ａ－ｂ)=1,即４a-ｂ=３.……（1０分)由,解得a=１,b＝1．……(１2分)1０．对于函数．（１）探索函数的单调性；(2）是否存在实数a使得为奇函数.参考答案：(1) 的定义域为Ｒ，设,则=，……(3分）, ,……（5分）ﻫﻫ即,所以不论为何实数总为增函数. ……（６分）（2)假设存在实数a使为奇函数,……（7分) 即,……(9分）解得：……(１2分）11．(１）已知函数图象是连续的，有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点．ｘ－2 －1.５－1 -0.5 0 0.5 １１.５ 2f (ｘ)－3.51１.02 2.３7 1.56 －0.381.23 2．７7 3.45 4.89（2）已知二次方程的两个根分别属于(－1,0)和（0，2),求的取值范围．参考答案：（1)由，，,……(３分）ﻫ得到函数在(－2，-1．5）、(-0.5，0)、(0，0.５)内有零点．……（6分)（2)设=，则=0的两个根分别属于(-１,0）和(１,2)．ﻫ所以，……(8分)即, ……（10分)∴．……(1２分)12．某商场经销一批进货单价为４０元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50 51 52 5３54 55 ５6日均销售量/个48 4６44 4２４０38 36ﻫ为了获取最大利润,售价定为多少时较为合理?参考答案:由题可知，销售单价增加１元,日均销售量就减少2个. ﻫ设销售单价定为ｘ元，则每个利润为（x－40)元，日均销量为个.ﻫ由于，且，得.……(3分）ﻫ则日均销售利润为，.……（8分）ﻫ易知,当，y有最大值．……(1１分)ﻫ所以,为了获取最大利润,售价定为5７元时较为合理. ……（12分）1３.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式，其中是臭氧的初始量. (1)随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少?(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？参考答案:(１）∵,,，∴为减函数．……（３分)∴随时间的增加,臭氧的含量是减少．……(6分)ﻫ(2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即,……(8分）ﻫ两边去自然对数，,……(１0分）解得.……（11分）∴287年以后将会有一半的臭氧消失.……(１2分）14.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、１.2万件、1.3万件,为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据.用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数,且）或指数型函数(其中为常数),已知4月份该产品的产量为1．37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.参考答案:当选用二次函数的模型时,ﻫ∵，由,有, 解得,……（4分)∴.……(5分）ﻫ当选用指数型函数的模型时，∵由有，解得，……(9分）∴.……（10分)ﻫ根据４月份的实际产量可知,选用作模拟函数较好. ……(1２分）１5.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式,并画出函数的图象.参考答案：（１）当时，ﻫ如图,设直线与分别交于、两点，则，ﻫ又,,……（4分）(2)当时,如图，设直线与分别交于、两点,则,又，ﻫ……(8分)ﻫ（3)当时,. ……(10分）……(１2分)16.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用，据监测:服药后每毫升血液中的含药量y（微克)与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．ﻫ(1）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝ｆ(ｔ）；ﻫ(2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.２5微克时,治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间? ﻫ参考答案:（1)当０≤t≤1时，y=4t;……（2分）当t≥1时，，此时在曲线上，ﻫ∴,这时．……(5分)所以.……（6分）ﻫ（2）∵，……（８分）解得，……(10分）∴．……(11分)∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时．……（12分)必修2P(1)1．圆锥底面半径为１cm,高为cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.参考答案:过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CＤ作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CＤD1C１,如图所示. …………………２分设正方体棱长为ｘ，则ＣC１=x,Ｃ1D1。
作SＯEF于O，则SO,ＯE=1，……………………………….5分ﻫ, ∴，即……….．1０分ﻫ∴,,即内接正方体棱长为cm……………………….12分2.如图（单位:cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.参考答案：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面. ………………………………………．3分ﻫS半球=８π ，S圆台侧=35π ,Ｓ圆台底=2５π.故所求几何体的表面积为68π ………………………………………．.7分由，………9分…………………………………………….1１分所以，旋转体的体积为……12分3．直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图,求出它们的表面积和体积.参考答案:以绕5cm边旋转为例，其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为:ﻫ其表面是两个扇形的表面,所以其表面积为；--－-－---－---－---－3分ﻫ体积为。
………………………………………………….４分ﻫ同理可求得当绕3ｃm边旋转时，。
……………………．8分ﻫ得当绕4cm边旋转时，。
……………………………….12分4．已知空间四边形AＢCD中，Ｅ、H分别是AB、AＤ的中点，F、G分别是B Ｃ、CD上的点,且．ﻫﻫ求证:(１)E、Ｆ、G、H四点共面；(2）三条直线EF、ＧＨ、AＣ交于一点.参考答案:证明:(1) 在△ABD和△CＢＤ中，∵E、H分别是AB和CＤ的中点，∴EＨＢD…………….3分又∵, ∴FG BD．∴EH∥ＦG. 分ﻫ所以,E、F、G、H四点共面．------－-------－-------－---－-----－---------－-7分ﻫ(２）由（１）可知，EH∥FG ，且ＥH FG,即直线EＦ，GＨ是梯形的两腰,ﻫ所以它们的延长线必相交于一点P. ……………………………9分ﻫ∵AC是ＥF和GH分别所在平面ABC和平面ADＣ的交线，而点P是上述两平面的公共点,ﻫ∴由公理３知P AC．………………………1１分ﻫ所以，三条直线EF、GH、AＣ交于一点……..1２分5.如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，求证：.ﻫ参考答案：证明:连结，交于，连…………3分ﻫ则由得……………………7分由得 (10)所以………………………．.12分6.如图，在正方体ＡBCD-A1B1C1Ｄ1中．（◎P79B2）求证:(1）Ｂ1Ｄ⊥平面A１C１Ｂ；（2）B1D与平面A1C１Ｂ的交点设为H，C1B的垂心.则点H是△A１参考答案:（1）连,，又面，ﻫ所以,面,因此。
同理可证，所以B１D⊥平面A1Ｃ1B。
……６分ﻫ（2)连，由，得ﻫ，因此点为的外心。
又为正三角形，所以是的中心,ﻫ也是的重心。
………….………………….1２分７．（06年北京卷）如图,在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且,点是的中点.（1）求证:; (2）求证：平面；（3)求二面角的大小. ﻫ（2)参考答案:（1)∵PA⊥平面ABCD，ﻫ∴AB是PＢ在平面ＡBCD上的射影．ﻫ又∵AB⊥ＡC,AＣ平面ABCD，∴AＣ⊥ＰB. ……4分（２)连接ＢD，与AC相交于Ｏ，连接ＥＯ.∵ABCD是平行四边形, ∴Ｏ是BＤ的中点ﻫ又E是ＰD的中点，∴EＯ∥PB.又PB平面AEC,ＥＯ平面AEC,ﻫ∴PB∥平面AEC……………………………..8分ﻫ(3)取AD的中点F,的中点,连,则所以是所求二面角的平面角,且与对应相等。
ﻫ易知由图可知，为所求。
(2)8.已知,,，求点D的坐标,使直线CD⊥AB,且ＣB∥AD．参考答案:设点D的坐标为（x,y)，由已知得,直线AB的斜率K AＢ＝３,……………２分.直线CＤ的斜率K CD =，直线ＣB的斜率ＫＣB＝-２,直线AD的斜率K AD ＝。