2017年成都市一诊测验考试数学试题及答案word理科

理科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合U =R ，{}220A x x x =-->，则UA =（A ）()()12,,-∞-+∞（B ）[]12,-（C ）(][)12,,-∞-+∞（D ）()12,-（2）命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是 （A ）若a b >，则a c +≤b c + （B ）若a c +≤b c +，则a ≤b （C ）若a c b c +>+，则a b > （D ）若a ≤b ，则a c +≤b c +（3）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x 为（A ）19（B ） -1或1（C ） 1 （D ） -1（4）已知双曲线2222100x y a >b >a b-=（,）的左，右焦点分别为12F ,F ，曲线上一点P 满足2PF x ⊥轴，若122125F F PF ==，，则该双曲线的离心率为 （A ）1312（B ）32（C ）125（D ）3（5）已知α为第二象限角，且24sin225α=-，则cos sin αα-的值为 （A ）75（B ）75-（C ）15（D ）15- （6）()()512x x +-的展开式中2x 的系数为（A ）25 （B ）5（C ）15-（D ）20-（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为 （A ）136π（B ）34π（C ）25π（D ）18π（8）将函数()sin 23cos2f x x x =+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则该图象的一条对称轴方程是（A ）6x π=-（B ）6x π=（C ）524x π=（D ）3x π=（9）在直三棱柱111ABC A B C -中，平面α与棱1111,,,AB AC A C A B 分别交于点,,,E F G H ，且直线1//AA 平面α，有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面11BCC B ；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有（A ） ①②（B ） ②③（C ）①③（D ）①②③（10）已知,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，=2AB ，5233=-OC OA OB .若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为 （A ）3 （B ）3C ）2 （D ）3- （11）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x --=-，当[]1,0∈-x 时，()3=-f x x ，则关于x 的方程()|cos |f x x =π在51[,]22-上的所有实数解之和为（A ）-7（B ）-6（C ）-3（D ）-1（12）已知曲线()210C y tx t =>：在点42M ,t ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与曲线12e 1x C y +=-：也相切，则24e ln t t的值为（A ）24e （B ）8e （C ）2（D ）8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）若复数i1ia z =+（其中a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为1-，则a = .（14）我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[]03,上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 .（15）若实数x,y 满足约束条件24022010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则1-y x 的最小值为 .（16）已知ABC ∆中，26AC ,BC ==，ABC ∆的面积为32，若线段BA 的延长线上存在点D ，使4BDC π∠=，则CD = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11224n n a,a a +=-=+.（I ）证明数列{}4n a +是等比数列；（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .（18）（本小题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[70,85)内，记为B 等；分数在[60,70)内，记为C 等；60分以下，记为D 等.同时认定A,B,C 为合格，D 为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的情况，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，作出乙校的样本中等级为C,D 的所有数据的茎叶图如图2所示. （I ）求图中x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （II ）在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中甲校的学生 人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.（19）（本小题满分12分）如图1，正方形ABCD 中，点E ,F 分别是AB ,BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 中点，点R 在线段BH 上，且0BRRHλλ=>（），现将AED,CFD,DEF ∆∆∆分别沿DE,DF,EF 折起，使点A ,C 重合于点B （该点记为P ），如图2所示. （I ）若2=λ，求证：GR ⊥平面PEF ；（II ）是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分12分）已知椭圆22154x y +=的右焦点为F ，记直线5l x =：与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A,B 两点，点M 为线段EF 的中点.（I ）若直线1l 的倾斜角为4π，求ABM ∆的面积S 的值； （II ）过点B 作直线BN l ⊥于点N ，证明：A ,M ,N 三点共线.（21）（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1()22f x x x a x a,a =++-+-∈R .（I ）当0x >时，求函数()()()1ln 12g x f x x x =+++的单调区间； （II ）当a ∈Z 时，若存在x ≥0，使()0f x <成立，求a 的最小值.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2ααπ≠（）的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P （1,0），点M 直线l 经过点M 且与曲线C 相交于,A B两点，设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值． （23）（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲1-.（Ⅰ）求不等式()f x ≤6的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为n ，正数,a b 满足22nab a b =+，求2a b +的最小值．文科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合U =R ，()(){}120A x |x x =+-<，则UA =（A ）()()12,,-∞-+∞（B ）[]12,-（C ）(][)12,,-∞-+∞ （D ）()12,-（2） 命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆命题是（A ）若a b >，则a c +≤b c +（B ）若a c +≤b c +，则a ≤b （C ）若a c b c +>+，则a b >（D ）若a ≤b ，则a c +≤b c +（3）双曲线22145x y -=的离心率为（A ）4（B ）355（C 5（D ）32（4）已知α为锐角，且4sin 5α=，则()cos απ+= （A ）35-（B ）35（C ）45-（D ）45（5）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x 为（A ）19（B ） -1或1（C ）-1（D ）1（6）已知x x 1 2 3 4 y m 3.2 4.8 7.5若y 关于x 的线性回归方程为21125ˆy .x .=-，则m 的值为 （A ）1 （B ）0.85 （C ） 0.7 （D ） 0.5（7）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，当302,⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，()3f x x =-，则112f =⎛⎫⎪⎝⎭（A ）18-（B ）18（C ）1258-（D ）1258（8）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（A 41B 34C ）5（D ）32（9）将函数()sin 23cos2f x x x =+的图象上的所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则该图象的一个对称中心是（A ）,03π()（B ）,04π()（C ）(,0)12π-（D ）,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭（10）在直三棱柱111ABC A B C -中，平面α与棱1111,,,AB AC A C A B 分别交于点,,,E F G H ，且1//AA 平面α，有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面11BCC B ；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有（A ） ①②（B ） ②③（C ）①③（D ）①②③（11）已知,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，=2AB ，5233=-OC OA OB ，若点M 是AB 的中点，则OC OM ⋅的值为 （A ）3（B ）23C ）2（D ）3-（12）已知曲线()2100C y tx y ,t =>>：在点42M ,t ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与曲线12e 1x C y +=+：也相切，则t 的值为（A ）24e （B ）4e （C ）2e 4（D ）e 4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的虚部为 .（14）我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t 取[]04,上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 .（15）若实数x,y 满足约束条件2402010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则3x y -的最大值为 .（16）已知ABC ∆中，26AC ,BC ==，ABC ∆的面积为32，若线段BA 的延长线上存在点D ，使4BDC π∠=，则CD = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[70,85)内，记为B 等；分数在[60,70)内，记为C 等；60分以下，记为D 等.同时认定A,B,C 为合格，D 为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的情况，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，作出乙校的样本中等级为C,D 的所有数据的茎叶图如图2所示.（I ）求图中x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（II ）在乙校的样本中，从成绩等级为C,D 的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有一名学生成绩等级为D 的概率.（18）（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，418aa =，且1231a a a +，，成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求数列{}4n a -的前n 项和n S . （19）（本小题满分12分）如图1，正方形ABCD 中，点E ,F 分别是AB ,BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ,HB 上，且DG BRGH RH=，将AED,CFD,BEF ∆∆∆分别沿DE,DF,EF 折起，使点A ,B ,C 重合于点P ，如图2所示.（I ）求证：GR ⊥平面PEF ；（II ）若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P DEF -的内切球的半径.（20）（本小题满分12分）已知椭圆22154x y +=的右焦点为F ，记直线5l x =：与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A,B 两点，点M 为线段EF 的中点.（I ）若直线1l 的倾斜角为4π，求AB 的值； （II ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN l ⊥.（21）（本小题满分12分） 已知函数()ln (1)f x x x k x k =+-+，k ∈R .（I ）若1k =，求()f x 的单调区间；（II ）当1x >时，求使不等式()0f x >恒成立的最大整数k 的值.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2ααπ≠（）的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点P （1,0），点M 的极坐标为(1,)2π，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于,A B两点，设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值． （23）（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲1-.（Ⅰ）求不等式()f x ≤6的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为n ，正数,a b 满足22nab a b =+，求2a b +的最小值．参考答案 理科一、选择题1．B ； 2．D ；3．D ；4．B ；5．B ；6．C ；7．B ；8．D ；9．C ；10．A ；11．A ；12．D ． 二、填空题13. 2- 14. 92 15. 32-16. 三、解答题 17. （I ）12a =-，142a ∴+= ·1分124n n a a +=+，14282(4)n n n a a a +∴+=+=+·3分 1424n n a a ++∴=+·4分∴{4}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.·5分（II ）由（I ）可知 42nn a +=，24nn a ∴=-·7分 当1n =时，120a =-<，11||2S a ∴==；·8分 当2n ≥时，0n a ≥，12n n S a a a ∴=-+++·9分22(24)(24)n =+-++-22(22)4(1)n n =+++--14(12)24(1)12n n --=+---1242n n +=-+·11分又1n =时，上式也满足，n N *∴∈，1242n n S n +=-+·………………………………………··12分18.（I ）由题意可知，100.012100.056100.018100.010101x +⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.004x ∴=·2分∴甲学校的合格率为1100.96x -=·3分而乙学校的合格率为210.9650-=·4分 ∴甲、乙两校的合格率均为96%·5分（II ）样本中甲校C 等级的学生人数为0.01210506⨯⨯=人··6分 而乙校C 等级的学生人数为4人，∴随机抽取3人中，甲校学生人数X 的可能取值为0,1,2,3·7分343101(0)30C P X C ∴===，12643103(1)10C C P X C ===，21643101(2)2C C P X C ===，363101(3)6C P X C ===∴X 的分布列为X1 2 3 P130 310 12 16分数学期望311912310265EX =⨯+⨯+⨯=·………………··12分 19.（I ）由题意可知，,,PE PF PD 三条直线两两垂直··1分 PD ∴⊥平面PEF ，·2分 在图1中，//EF AC ，H 为EF 的中点，又G 为BD 的中点，2DG GH ∴=·4分所以在图2中，2BRRHλ==，且2=GH DG , ∴在PDH ∆中，//GR DP ·5分GR ∴⊥平面PEF ·6分（II ）由题意，分别以,,PF PE PD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Pxyz ， 设4PD =，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4)P F E D ，(1,1,0)H ∴·7分PR RH λ=，1PR PH λλ∴=+，(,,0)11R λλλλ∴++ 2=(2,,0)(,,0)1111RF λλλλλλλλ+∴--=-++++·8分又因为(2,2,0)(0,2,4)EF DE =-=-，， 设平面DEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，·9分。