2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷

2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（）A．[1，2） B．（1，2） C．（﹣2，1）D．（﹣2，1]2．（4分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=i，则|z|=（）A．B．C．D．3．（4分）如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．4．（4分）已知a∈R，则“a=0”是“f（x）=x2+ax是偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）若x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为（）A．04 B．3 C．D．26．（4分）在△ABC中，内角C为钝角，，AC=5，，则BC=（）A．2 B．3 C．5 D．107．（4分）如图，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A为虚轴的一端点．若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且（t ∈R），则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（4分）已知a∈R，函数f（x）满足：存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．则f（x）可以为（）A．f（x）=lgx B．f（x）=﹣x2+2x C．f（x）=2x D．f（x）=sinx9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=θ，M为AB的中点．将△ACM 沿着CM翻折至△A'CM，使得A'M⊥MB，则θ的取值不可能为（）A．B．C．D．10．（4分）已知x∈（0，），y∈（0，），且xtany=2（1﹣cosx），则（）A．y＜B．＜y＜C．＜y＜x D．y＞x二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和．利用这一性质，=，=．（用数字作答）12．（6分）若离散型随机变量X的分布列为则常数a=，X的数学期望E（X）=．13．（6分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2=S6，，则a1=，公差d=．14．（6分）已知正数x，y满足2x+y=2，则当x=时，取得最小值为．15．（4分）某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有种不同值班方案．（用数字作答）16．（4分）已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC上的动点，且∠AOB=，则的最大值为．17．（4分）已知a＞0，函数f（x）=|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则a=．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求f（2x0）的值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=CA=2，，．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．20．已知函数f（x）=4ax3+3|a﹣1|x2+2ax﹣a（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，恒有|f（x）|≤f（1），求a的取值范围．21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，A，B分别为M的右顶点和上顶点，且．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若C，D分别是x轴负半轴，y轴负半轴上的点，且四边形ABCD的面积为2，设直线BC和AD的交点为P，求点P到直线AB的距离的最大值．22．已知数列{a n}满足：，（n∈N*）．（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设b n=1﹣a n，是否存在实数M＞0，使得b1+b2+…+b n≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（）A．[1，2） B．（1，2） C．（﹣2，1）D．（﹣2，1]【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．（4分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=i，则|z|=（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：由（1+i）z=i，得z=，则|z|=||=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3．（4分）如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．【分析】判断几何体的形状，利用圆柱与球的体积计算公式即可得出．【解答】解：该几何体左侧是半球，右侧是圆柱，几何体的体积V=π×13+π×12×2=．故选：B．【点评】本题考查了圆柱与球的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）已知a∈R，则“a=0”是“f（x）=x2+ax是偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由偶函数的定义和性质分析可得：“a=0”是“f（x）=x2+ax是偶函数”的充分条件，且“a=0”是“f（x）=x2+ax是偶函数”的必要条件，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，当a=0时，f（x）=x2，为偶函数，则“a=0”是“f（x）=x2+ax 是偶函数”的充分条件，若“f（x）=x2+ax是偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），即x2﹣ax=x2+ax，解可得a=0，则“a=0”是“f（x）=x2+ax是偶函数”的必要条件，则“a=0”是“f（x）=x2+ax是偶函数”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及充分必要条件的判定，注意掌握充分必要条件的定义．5．（4分）若x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为（）A．04 B．3 C．D．2【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，2）时，z最大．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域：将目标函数变形为y=﹣3x+z，作出目标函数对应的直线，当直线过（1，0）时，直线的纵截距最小，z最大最大值为3+0=3，故选：B．【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．6．（4分）在△ABC中，内角C为钝角，，AC=5，，则BC=（）A．2 B．3 C．5 D．10【分析】由同角的平方关系可得cosC，再由余弦定理，解方程可得BC．【解答】解：内角C为钝角，，可得cosC=﹣=﹣，在△ABC中，AC=5，，由余弦定理可得，AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，即45=25+BC2﹣10•BC•（﹣），即BC2+8BC﹣20=0，解得BC=2（﹣10舍去），故选：A．【点评】本题考查三角形的余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7．（4分）如图，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A为虚轴的一端点．若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且（t ∈R），则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【分析】由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵（t∈R），由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，∵k BF=﹣，∴﹣•=﹣1，∴b2﹣ac=0，∴c2﹣a2﹣ac=0，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定BF垂直于双曲线的渐近线y=x是关键．8．（4分）已知a∈R，函数f（x）满足：存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．则f（x）可以为（）A．f（x）=lgx B．f（x）=﹣x2+2x C．f（x）=2x D．f（x）=sinx【分析】若存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．即函数f（x）在（0，+∞）上存在最大值，进而得到答案．【解答】解：若存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．即函数f（x）在（0，+∞）上存在最大值，分析给定的四个函数，A，B，C均不满足条件，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的最值，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质，是解答的关键．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=θ，M为AB的中点．将△ACM 沿着CM翻折至△A'CM，使得A'M⊥MB，则θ的取值不可能为（）A．B．C．D．【分析】把△A′CM继续旋转一直旋转到平面ABC里面，这时A′在A“位置，由此能推导出θ的取值不可能为．【解答】解：如图所示，把△A′CM继续旋转，一直旋转到平面ABC里面，这时A′在A“位置，这时∠AMN==∠A“MN，，此时，∠A“MB是直线A′M和BM所成的最小角，∵＞不成立，∴θ的取值不可能为．故选：A．【点评】本题难点在于思维问题的方法，本题考查到△ACM沿着CM翻折到△A′CM时的一种极端情况，即把△A′CM继续旋转一直旋转到平面ABC里面，从而找到分析揄的依据，是难题．10．（4分）已知x∈（0，），y∈（0，），且xtany=2（1﹣cosx），则（）A．y＜B．＜y＜C．＜y＜x D．y＞x【分析】运用二倍角的余弦公式和不等式sinx＜x＜tanx（x∈（0，）），结合不等式的性质，即可得到大小关系．【解答】解：x∈（0，），y∈（0，），且xtany=2（1﹣cosx），可得xtany=4sin2＜4•=x2，即tany＜x，又x＜tanx，可得tany＜tanx，即y＜x；由xtany=4sin2＞xtan⇔2sinxsin＞xsin⇔2sinx＞x，由y=2sinx﹣x的导数为y′=2cosx﹣1，x∈（0，），cosx∈（，1），则2cosx﹣1＞0，即函数y=2sinx﹣x在x∈（0，）递增，可得2sinx＞x，即有y＞，可得＜y＜x，故选：C．【点评】本题考查三角函数的恒等变换公式和函数的单调性的运用，考查化简变形能力和推理能力，属于难题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和．利用这一性质，=20，=35．（用数字作答）【分析】由上表可知，第7行的数为1，6，15，20，15，6，1，第8行的数为1，7，21，35，35，21，7，1，问题得以解决．【解答】解：由上表可知，第7行的数为1，6，15，20，15，6，1，第8行的数为1，7，21，35，35，21，7，1，故=20，=35故答案为：20，35【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题12．（6分）若离散型随机变量X的分布列为则常数a=，X的数学期望E（X）=．【分析】由离散型随机变量X的分布列，得2a+a=1，由此能求出常数a和E（X）．【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得：2a+a=1，解得a=，E（X）==．故答案为：，【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查对立事件概率计算公式运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．（6分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2=S6，，则a1=﹣14，公差d=4．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S2=S6，，可得2a1+d=6a1+d，a1+2d﹣（a1+d）=2，联立解得a1，d．即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S2=S6，，∴2a1+d=6a1+d，a1+2d﹣（a1+d）=2，联立解得a1=﹣14，d=4．故答案为：﹣14，4．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（6分）已知正数x，y满足2x+y=2，则当x=时，取得最小值为．【分析】根据题意，将2x+y=2变形可得y=2﹣2x，则=+2x﹣2，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，正数x，y满足2x+y=2，则y=2﹣2x，则=+2x﹣2≥2﹣2=2﹣2，当且仅当2x2=1，即x=时，等号成立，则当x=时，取得最小值2﹣2，故答案为：，．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对2x+y=2的变形．15．（4分）某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有1800种不同值班方案．（用数字作答）【分析】根据题意，分2步分析：①，在5人中任选1人，在6天中任选2天值班，②，将剩下的4人全排列，安排到剩下的4天中，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，5个人中必须有1人值2天班，据此分2步分析：①，在5人中任选1人，在6天中任选2天值班，有C51C62=75种安排方法，②，将剩下的4人全排列，安排到剩下的4天中，有A44=24种情况，则一共有75×24=1800种不同值班方案；故答案为：1800．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析5个人中必须有1人值2天班．16．（4分）已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC上的动点，且∠AOB=，则的最大值为．【分析】以△ABC的外心为坐标原点建立坐标系，求出外接圆的半径，得出O 点的轨迹为优弧，建立坐标系，【解答】解：设△ABC的外接圆为⊙O′，则⊙O′的直径2R==，∴R=．以O′为圆心，以O′C为y轴建立平面坐标系如图所示：则=（4，0）．∵∠AOB=∠ACB=，∴O的轨迹为优弧．设=（a，b），显然当O为圆O′与x轴负半轴的交点时，a取得最大值，∴=4a≤．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．17．（4分）已知a＞0，函数f（x）=|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则a=3或．【分析】由题意可得f（0）≤2，求得a的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算可得a的值，检验可得a的值．【解答】解：a＞0，函数f（x）=|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，可得f（0）≤2，即|a﹣3|≤2，解得1≤a≤5，即有f（x）=|x2﹣x+a﹣3|，﹣1≤x≤1，由f（x）的最大值在顶点或端点处取得，即f（﹣1）=2，即|a﹣1|=2，解得a=3或﹣1（舍去）；f（1）=2，即|a﹣3|=2，解得a=5或a=1；f（）=2，即|a﹣|=2，解得a=或（舍去）．当a=1时，f（x）=|x2﹣x﹣2|，当x=时，f（x）=＞2，不符题意；当a=5时，f（x）=|x2﹣x+2|，显然当x=﹣1时，取得最大值4，不符题意；当a=3时，f（x）=|x2﹣x|，显然当x=﹣1时，取得最大值2，符合题意；当a=时，f（x）=|x2﹣x﹣|，f（1）=，f（﹣1）=，f（）=2，符合题意．故答案为：3或．【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求f（2x0）的值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式化简即可求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据，，利用和与差的公式即可求解f（2x0）的值．【解答】解：（Ⅰ）=．即．所以f（x）的最小正周期T=π．（Ⅱ）由，得，又因为=，所以，即．所以==．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=CA=2，，．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AC的中点O，连结PO，BO推导出AC⊥BO，AC⊥PO，从而AC ⊥平面BOP．由此能证明AC⊥PB．（Ⅱ）法一：过点P作BO的垂线，垂足为H，连结AH．推导出平面BOP⊥平面ABC，PH⊥平面ABC，直线PA与平面ABC所成角为∠PAH，由此能求出直线PA 与平面ABC所成角的正弦值．法二：以O原点，以OA，OB为x，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面ABC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AC的中点O，连结PO，BO．因为△ABC为正三角形，所以AC⊥BO；因为PA=PC，所以AC⊥PO．又PO∩BO=O，PO，BO⊂平面BOP，所以AC⊥平面BOP．因为PB⊂平面BOP，所以AC⊥PB．解：（Ⅱ）解法一：过点P作BO的垂线，垂足为H，连结AH．因为AC⊥平面BOP，AC⊂平面ABC，所以平面BOP⊥平面ABC，又平面BOP∩平面ABC=BO，PH⊂平面BOP，故PH⊥平面ABC．所以直线PA与平面ABC所成角为∠PAH．在△BOP中，PO=1，，，由余弦定理得=，所以∠POB=150°．所以∠POH=30°，．又，故=，即直线PA与平面ABC所成角的正弦值为．解法二：如图，以O原点，以OA，OB为x，y轴建立空间直角坐标系．可求得∠BOP=150°，则A（1，0，0），，C（﹣1，0，0），．平面ABC的一个法向量为，．设直线PA与平面ABC所成角为θ，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知函数f（x）=4ax3+3|a﹣1|x2+2ax﹣a（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，恒有|f（x）|≤f（1），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=12x2+2＞0，从而f（x）在R上单调递增．（Ⅱ）由于|f（0）|≤f（1），解得a≥﹣1．根据a≥0，，，，利用分类讨论思想和导数性质，能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=4x3+2x﹣1，f'（x）=12x2+2＞0．故f（x）在R上单调递增．（Ⅱ）由于|f（0）|≤f（1），即|a|≤5a+3|a﹣1|，解得a≥﹣1．①当a≥0时，f'（x）=12ax2+6|a﹣1|x+2a，当x∈[0，1]时，f'（x）≥0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，符合题意．②当时，f'（0）=2a＜0，f'（1）=8a+6＞0，存在x0∈（0，1），使得f'（x0）=0，故f（x）在（0，x0）单调递减，f（x）在（x0，1）单调递增．因为+6（1﹣a）x0+2a=0，所以，+2ax0﹣a==．由单调性知|f（x0）|=f（x0）＜f（1）．符合题意．③当时，，，f（x）在上递减，在上递增，且．符合题意．④当时，f'（x）=12ax2+6（1﹣a）x+2a，△=﹣60a2﹣72a+36＞0，f'（0）＜0，f'（1）＜0，对称轴．故f'（x）=0在（0，1）内有两个不同的实根x1，x2，设x1＜x2，则f（x）在（0，x1）单调递减，f（x）在（x1，x2）单调递增，f（x）在（x2，1）单调递减．必有f（x2）＞f（1），不符合题意．综合①②③④，所以a的取值范围是．【点评】本题考查利用导数研究函数的性质及实数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，A，B分别为M的右顶点和上顶点，且．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若C，D分别是x轴负半轴，y轴负半轴上的点，且四边形ABCD的面积为2，设直线BC和AD的交点为P，求点P到直线AB的距离的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得e=，即a=2b，又由，分析可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；（Ⅱ）设P（x0，y0），C（s，0），D（0，t），结合题意分析可得，整理可得，设与AB平行的直线（m＜0）与椭圆M相切，联立直线与椭圆的方程，分析可得点P到直线AB的距离的最大值为，计算即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的离心率为，则e=，即a=2b．又，所以b=1，a=2．所以椭圆M的方程为．（Ⅱ）设P（x0，y0），C（s，0），D（0，t），其中s＜0，t＜0．因为A（2，0），B（0，1），所以，，得，．又四边形ABCD的面积为2，得（2﹣s）（1﹣t）=4，代入得，即=4（x0﹣2）（y0﹣1），整理得．可知点P在第三象限的椭圆弧上．设与AB平行的直线（m＜0）与椭圆M相切．由消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2=0，△=8﹣4m2=0，．所以点P到直线AB的距离的最大值为=．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．22．已知数列{a n}满足：，（n∈N*）．（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设b n=1﹣a n，是否存在实数M＞0，使得b1+b2+…+b n≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设f（x）=e x﹣x﹣1，令f'（x）=e x﹣1=0，得到x=0．利用导数性质推导出e x≥x+1，由此能证明a n+1＞a n．（Ⅱ）先用数学归纳法证明，对n∈N*都有，．取n=2t﹣1（t∈N*），得b1+b2+…+b n．从而b1+b2+…+b n＞M．由此得到不存在满足条件的实数M．【解答】证明：（Ⅰ）设f（x）=e x﹣x﹣1，令f'（x）=e x﹣1=0，得到x=0．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．故f（x）≥f（0）=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．故，所以a n+1＞a n．解：（Ⅱ）先用数学归纳法证明．①当n=1时，．②假设当n=k时，不等式成立，那么当n=k+1时，=，也成立．故对n∈N*都有．所以．取n=2t﹣1（t∈N*），b1+b2+…+b n=．即b1+b2+…+b n．所以，对任意实数M＞0，取t＞2M，且t∈N*，n=2t﹣1，则b1+b2+…+b n＞M．故不存在满足条件的实数M．【点评】本题考查数列不等式的证明，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．。