放缩法解决不等式的经典8例
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。
不等式证明 之 放缩法
不等式证明 之 放缩法放缩法的定义所谓放缩法，即要证明不等式A<B 成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A<C ，后证C<B ，这种证法便称为放缩法。
使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
典例分析：例1、 设x>y>z ，n *N ∈，且z x n z y y x -≥-+-11恒成立，求n 的最大值.例2、 已知：x>0，y>0，z>0，求证：z y x z yz y y xy x ++>+++++2222.例3、 求证：n n n 21...31211112<++++<-+）（， n *N ∈.例4、 求证：21...31211222<++++n ，n *N ∈.变式：求证：471...31211222<++++n，n *N ∈.例5、 已知：)()1(...433221+∈+⨯++⨯+⨯+⨯=N n n n a n ，， 求证：2)2(2)1(+<<+n n a n n n .例6、{}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈ 迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111 (2222222)n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤a n n a )2111(⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。
放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳) 教师版
放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、放缩技巧(1)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1(2)1C1n+1C2n=2(n+1)n(n-1)=1n(n-1)-1n(n+1)(3)T r+1=C r n⋅1n r=n!r!(n-r)!⋅1n r<1r!<1r(r-1)=1r-1-1r(r≥2)(4)1+1 nn<1+1+12×1+13×2+⋯+1n(n-1)<3(5)12n(2n-1)=12n-1-12n(6)1n+2<n+2-n(7)2(n+1-n)<1n<2(n-n-1)(8)22n+1-12n+3⋅12n=1(2n+1)⋅2n-1-1(2n+3)⋅2n(9)1k(n+1-k)=1n+1-k+1k1n+1,1n(n+1+k)=1k+11n-1n+1+k(10)n(n+1)!=1n!-1(n+1)!(11)1n<2(2n+1-2n-1)=222n+1+2n-1=2n+12+n-12(11)2n(2n-1)2=2n(2n-1)(2n-1)<2n(2n-1)(2n-2)=2n-1(2n-1)(2n-1-1)=12n-1-1-12n-1(n≥2)(12)1n3=1n⋅n2<1n(n-1)(n+1)=1n(n-1)-1n(n+1)⋅1n+1-n-1=1n-1-1n+1⋅n+1+n-12n <1n-1-1n+1(13)2n +1=2⋅2n=(3-1)⋅2n>3⇒3(2n-1)>2n⇒2n-1>2n 3⇒12n -1<2n3(14)k +2k !+(k +1)!+(k +2)!=1(k +1)!-1(k +2)!(15)1n (n +1)<n -n -1(n ≥2)(16)i 2+1-j 2+1i -j =i 2-j 2(i -j )(i 2+1+j 2+1)=i +j i 2+1+j 2+1<1二、经典试题解析(一)、经典试题01、裂项放缩1.(1)求∑nk =124k 2-1的值；(2)求证:∑nk =11k2<53.【分析】(1)根据裂项相消求和即可；(2)根据1n 2<1n 2-14放缩再求和即可【详解】(1)因为24n 2-1=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1，所以∑nk =124k 2-1=11-13+13-15+...+12n -1-12n +1=2n2n +1(2)因为1n 2<1n 2-14=44n 2-1=212n -1-12n +1 ，所以∑nk =11k2≤1+213-15+⋯+12n -1-12n +1 <1+23=532.求证:1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2).【分析】根据1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)放缩后利用裂项相消求和即可【详解】因为1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，(n ≥2)故∑nk =11(2k -1)2>1+1213-15+...+12n -1-12n +1 =1+1213-12n +1 =76-122n -1，故1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2)3.求证:14+116+136+⋯+14n2<12-14n .【详解】由14+116+136+⋯+14n 2=141+122+⋯+1n 2<141+1-1n =12-14n 根据1n 2<1n ⋅n -1 得122+⋯+1n 2<1-12+12-13+⋯1n -1-1n =1-1n 所以141+122+⋯+1n2<141+1-1n =12-14n 4.求证:12+1⋅32⋅4+1⋅3⋅52⋅4⋅6+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<2n +1-1【分析】利用分式放缩法证明出1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，进而利用数学归纳法证明13+15+⋯+12n +1<2n +1-1即可.【详解】由1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n 2<12⋅23⋅34⋯2n -12n ⋅2n 2n +1=12n +1，得1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，所以12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <13+15+⋯+12n +1，要证12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <2n +1-1，只需证13+15+⋯+12n +1<2n +1-1，下面利用数学归纳法证明：当n =1时，左边=13，右边=3-1。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
放缩法妙解不等式问题(学生版)
放缩法妙解不等式问题【典型例题】例1.已知函数f(x)=1ae x-1+x，其中a∈R且a≠0．(1)设a>0，过点A-1,-12作曲线C:y=f(x)的切线(斜率存在)，求切线的斜率；(2)证明：当a=1或0<a≤2e时，f(x)≥12ax(x≥-1)．例2.已知函数f(x)=(x2-2x+2)e x-12ax2(a∈R)．(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当a≤-2时，f(x)≥2．例3.已知函数f(x)=2ln x+sin x+1，函数g(x)=ax-1-b ln x(a，b∈R，ab≠0)．(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：当a=b=1时，g(x)≥0．(3)证明：f(x)<(x2+1)e sin x．例4.已知函数f(x)=ae x(a∈R)，g(x)=ln xx+1．(1)当a=1e时，求函数y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥1e时，证明：f(x)-g(x)≥0．例5.已知函数f(x)=e x-ax3．(1)若x∈(0,+∞)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(2)证明：当a=23时，f(x)>0；(3)证明：当n∈N*时，1e +2e2+3e3+⋯+ne n<3．例6.已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(x-1)+1．(1)设G(x)=f(x)-g(x)，x=3是G(x)的极值点，求函数G(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e2时，f(x)≥g(x)．例7.已知函数f(x)=e x-1-x-ax2，其中e为自然对数的底数．(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若x>0，证明：(e x-1)ln(x+1)>x2．【同步练习】1.已知函数f(x)=ln(x-a)x．(1)若a≤-1．证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；(2)若x>0，证明：e x ln(x+1)>x2+ln(x+1)(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)2.已知函数f(x)=x2+x+e2x ln x，x∈(e,+∞)．(1)证明：当x∈(e,+∞)时，ln x>3x-ex+e；(2)若存在x0∈[n，n+1)(n∈N*)使得对任意的x∈(e,+∞)都有f(x)≥f(x0)成立．求n的值．(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)．3.已知函数f(x)=x ln x-ae x+a，其中a∈R．(1)若f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；(2)当a=1时，求证：对任意x∈(0,+∞)，恒有f(x)<cos x成立．4.已知函数f(x)=e-x13x3-2x+2sin x+1，g(x)=sin x+cos x+x2-2x．(1)求g(x)在点(0，g(0))处的切线方程；(2)证明：对任意的实数a≤1，g(x)≥af(x)在[0，+∞)上恒成立．5.已知函数f(x)=e x+cos x-2，f′(x)为f(x)的导数．(1)当x≥0时，求f′(x)的最小值；(2)当x>-π2时，xex+x cos x-ax2-2x≥0恒成立，求a的取值范围．6.已知函数f(x)=ae x-b ln x，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=1e -1x+1．(Ⅰ)求a，b；(Ⅱ)证明：f(x)>0．7.已知函数f(x)=ae x-b ln xx，在点(1，f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1．(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1．8.已知函数f(x)=me x-ln x-1．(Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)当m≥1时，证明：f(x)>1．-1，a∈R．9.已知函数f(x)=ln x+ax(1)若函数f(x)的最小值为0，求a的值．(2)证明：e x+(ln x-1)sin x>0．。
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)
1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n !求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1−+>++++n n n f f f ! 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nn n n ∈>⋅>++++−!.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++!2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>−++++n n ! 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+−++++=∗n N n a nn a n x f xx x x 给定!求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意∗∈N n 且2≥n 恒成立。
例7 已知112111,(1).2n nna a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n ∗+++>∈>L 。
2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=−−n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =−。
（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N ∗∈，有1().1nn k k ene =<−∑ 例9 设n n na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a na 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+−=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++na a a ii !. 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n . 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211!=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f −=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设∗+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I） 证明：对2≥n总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈−+<<∗n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22−>a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n｝满足：a 1＝32，且a n＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1∗≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥−+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++ma a a !.9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<−−+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,!满足12321=++++n p p p p !，求证：np p p p p p p p n n −≥++++222323222121log log log log !10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +−,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<−++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a −<<; （3）判断n a 与1()n a n N ∗+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎞−−⎜⎟++⎝⎠≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121−≤++++++n n x x x !例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k !=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ∵，)21(11∑∑==+<<∴nk n n k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
大学中常用不等式放缩技巧
大学中常用不等式,放缩技巧大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1) 3：柯西不等式(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
数列不等式的放缩法
显然 5 3
7 4
2，
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
那么变式 1 和变式 2 就显然成立.
对1 n2
的 3 种放缩方法体现了
n
三种不同“境界”，得到
1 的三个“上界”，其中 5 最接近
k2
k 1
3
1
k2
k 1
2
6
（欧拉常数）.
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
42
1
23
4n
1 2n`
7 24
(n N)
例3
求证： 1 3
2
32
1
22
33
1
23
3n
1 2n
3 2
(n N)
分析 左边不能直接求和，考虑将通项放缩为等比模型
后求和, 哪个等比数列的和接近 3 ? 2
思路 利用指数函数的单调性放缩为等比模型
∵ 3n 2n 3n[1 ( 2)n ] 3n[1 ( 2)1] 3n1
1 22
33
1
23
3n
1 2n
13 10
(n N)
∵3n
2n
3n[1
( 2)n 3
]
3n[1
( 2)2 ] 3
5
3n2
∴ 1 1 1 (n 2) 3n 2n 5 3n2
左边 1
1 5
1 30
1 31
1 3n2
1
3 10
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近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性。
“放缩法”它可以和很多知识容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.
4、放大或缩小“因式”；
5、逐项放大或缩小
6、固定一部分项，放缩另外的项；
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.
8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。
但放缩的围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。
因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。
希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.。