1.2.2带有约束条件的排列组合问题

（3） 4只鞋子只有一双。
C C 2 672
注意区别“恰好”与“至少”
例2 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有 一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种
1 2 1 1 解：C6 C5 C2 C2 240
C （ C 5）
课堂练习：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 解：可以分为两类情况：
① 若取出6，则有 2( A2 C1C1C1 ) 种方法； 8 2 7 7 ②若不取6，则有
CA
1 7
2 7
种方法，
1 2 C7 A7
解法2:
2 1 1 C10 C8 C7 2520
4 2 2 C10 C4 A2 2520
4 2 1 1 C10 C4 C2 C1 2520
插空法
马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节 约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但 不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都 不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？
C6 C4 C2
2
2
2
二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件 下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组两本. (2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.

三、基本的分配的问题
(一)定向分配问题 例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下 列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲两本、乙两本、丙两本. (2)甲一本、乙两本、丙三本. (3)甲四本、乙一本、丙一本.
9
C C C C C C C C C C C 2174
3 3 3 9 2 1 3 3 5 8 1 2 3 3 5 7 0 3 3 3 5 6
组对问题
例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双；
(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
特殊元素（或位置）优先安排
例3 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在 第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停 放方法有（ C） （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
4 1 1 3 A A A A 解： 4 3 3 3 78




(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下 列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每人两本. (2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本.




在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用 文秘人员二名、农业企业管理人员和农业法制管 理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有10 人，则可能出现的录用情况有____种. 解法1:
2 1 1 1 C2 C7C7 ) + 一共有 2( A8
＝602种方法
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线 上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确 定多少条直线？可以作多少个三角形？
2 2 C52 4 5 1或C9 C4 1
C C 5 C 4 或C C
隔板法 例4.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 6 共有 ___________ 种分法。 C9 m份（ 将n个相同的元素分成 n，m为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 m 1 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n 1
5 4 3 A5 2 A4 A3 78
练习3 从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前， 其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_____种 不同的摆放方法。
1 4 A6 1800 解： A5
“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例4 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、 乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种 960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 3 1 4 次测试是次品。故有： C C A 576 种可能。
4 6 4
次
1正 3次
混合问题，先“组”后“排” 练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1 名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不 同参赛方法______种. 解：采用先组后排方法:
C C C C 1440
1 10 2 9 1 2 1 2
C (C 9) 1440
1 10 2 18
8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出 4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
（1）4只鞋子恰有两双；
C 28
2 8
（2） 4只鞋子没有成双的；
C 2 1120
4 8 4 1 8 2 7 2
分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个 人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情 况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C 中有2人；④C中有3人。 第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选3人， 有 C3 种 ,以下类同
例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （3） 4只鞋子只有一双。
3 (3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C10 种 1 C 取法,3双鞋中取出1双有 3种方法,另2双鞋中各取1只 1 1 3 1 1 1 C C C C 2 2 有 种方法故共有 10 3C2C2 1440 种取法.
1 3 2 6 1 2 2 4
(C C ) (C C ) 1 540
混合问题，先“组”后“排”
例3: 4名男生5名女生，一共9名实习生分配到 高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有 男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少 种？
解：由题意可知，有且仅有2名女生要分在同 一个班，
CAA
2 5
2 4 2 A A A 解： 2 4 5 960
2 5 1 A5 A4 960 另解： A2
小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为 一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相 邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同 时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.
3 1 2 3 C5 C3 C4 A3 1080
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每
校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
C C A
6 4
2
2
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.
C 45
2 10
例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （2） 4只鞋子没有成双的； (2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C 种 10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 4 1 1 1 1 1 有 C2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 3360 种取法.
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间 的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数 为
C 20
3 6
种方法
插空法
某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用 电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯， 但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯， A 可以熄灭的方法共有（ ） 3 种（B） 3 种 （C） 3 种 （D） 3 种 （A） C8 A8 C9 C11
1 6 2 10
小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。 “至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可 用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面， 故可用“排除法”。
练习: 从6双不同颜色的手套中 任取4只，其中至少有一双同色 手套的不同取法共有____种
解：
4 4 1 4 C12 C6 (C2 ) 255
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；
一题多变 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训， 在下列条件下，有多少种不同的选法？
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．
排列组合中的分组分配问题 一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念



n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象， 称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题； 将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问 题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均 分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的， 前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而 后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然 是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
5 9
隔板法 例7、 从6个学校中选出30名学生参加数学 竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: C5 4095
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混合问题，先“组”后“排”