【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题六 配套课时作业 第三节
《三维设计》高考数学
解答題増分TT系列讲座〔六〕QJJ I EDATI ZENC I FEN XILIE IIANCIZUO“概率与统计〞类题目的审题技巧与解题标准［审题技巧］宙图表’明目标［技法概述］在高考的实际综合应用问题中，题目中的图表、数据包含着问题的根本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向，在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，为问题解决提供有助的方法.［适用题型］在高考中以下几种题型常用到此审题方法：(1) 概率与统计局部；(2) 回归分析与统计案例；(3) 算法与程序框图•［解题标准］［典例］(2021湖•南高考)(此题总分值12分)某人在如下图的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物•根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近〞作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近〞的概率;⑵从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.［解题步步标准1［解题流程］第一步由图表确定总株 数及内部株数， 边界株数. 第二步 计算事件根本数 及所求事件数.第三步解：1所种作物总株数N = 1 + 2+ 3 ? +4 + 5= 15,其中三角形地块内部的作 物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别 随机选取一株的不同结果有c 3C i2 = 36种, ?选取的两株作物恰好“相近〞的不同结 果有3 + 3 + 2 = 8种.［失分警示］ ——结合图形准 确计算“相近〞 的结果易无视某 一类导致结果计 算出错求円戶51)数晨m1的值h^J期卑第2问求概率.第四步故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株 作物，它们恰好“相近〞的概率为36=9.2先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量丫的分布列.因为 P Y = 51 = P X = 1 , P Y = 48 = PP Y = 45 = P X = 3 , P Y = 42 = P•转化变量间关系如 P Y = 51 = PX = 1 是关键.对Y 的每个取值相对 应的概率求法易失误量Y 取值：所以只需求出PX = k k = 1 , 2, 3, 4即可. 记九为其“相近〞作物恰有k 株的作物株数 k = 1, 2, 3, 4，那么 n 1 = 2,匕=4,出=6,加=3.得 PX = 1 = £4 6 2 31PX =2 = 15，PX = 3 = 15= 5，PX =4 = 15= 5. 9分的概率.■故所求的分布列为1 34+ 64+9°+ 化 46. 12分第五步井析泊FI 峙踪 论，佛紀所求-4#. M 相.程两•嗽值诵宜隧机戏啟用 所样町噩収慎・ 值的 戦抓条门弋KM ： 査醱.朮肾"bi 町能〔M 对川的W 〔卓话哉如辿韦I乏 H 伯廿斎列.利用 井布网豹性朋世订 检验是杳准射1. 〔2021武昌模拟〕某市准备从7名报名者〔其中男4人，女3人〕中选3人参加三个副局 长职务竞选.为女副局长的概率.解：〔1〕依题意，X 可取0,1,2,3 ,故X 的分布列为3X 5 1⑵记D = “A 局是男副局长〞，E = “B 局是女副局长〞，贝U P 〔E|D 〕 = 6X5 = 2-第五步写出Y 的分布列.？第六步 求期望.〔7分〕所求的数学期望为E Y = 51 X 15 + 48 X 15 + 45 X | +42 15 15 5•计算期望 法由于不细 心、易算错， 导致丢2分模板形成［解答题观范专练］ 概率与统计 第二加利用匚他和H<瓷进点、闔钿点〔1〕设所选3人中女副局长人数为 X , 求X 的分布列;〔2〕假设选派三个副局长依次到 A , B , C 三个局上任，求 A 局是男副局长的情况下,P (X =0)=C 7= 35, P (X = 1)=曲_ 18 C 7= 35，C® 12P (x =2) = CCT = 32, C 3丄 P (x =3)=C 7= 35，2•某单位举行一次全体职工的象棋比赛〔实行三局两胜制〕，甲、乙两人进入决赛.甲、乙两人平时进行过屡次对弈，其中记录了30局的对弈结果如右表:根据表中的信息，预测在以下条件下的比赛结果:〔1〕在比赛时由掷硬币的方式决定谁先，试求甲在第一局获胜的概率;⑵假设第一局由乙先，以后每局由负者先.①求甲以二比一获胜的概率；②假设胜一局得2分，负一局得0分，用E表示甲在这场比赛中所得的分数，试求布列与数学期望E〔8.解：根据题中表格的信息可知，假设甲先，那么甲获胜的概率是2 12，乙获胜的概率是1假设乙3 2先，那么甲获胜的概率是？乙获胜的概率是~.5 51 2 1 3 19〔1〕甲在第一局获胜的概率是P1 =尹3 +寸5 =五.⑵①假设甲以二比一获胜，那么甲胜第一局和第三局，或甲胜第二局和第三局.所以，甲以二比一获胜的概率是P2= 3x 2x 2+ 2x 2x 3=色P2 5 5 3^ 5 3 5 25.②由题意知，E的所有可能取值为0,2,4，那么2「2 P(E=0)=5X1= 15；P(三=2) = 2x 打-x-P(' 2) 5 5 3十5 3x5=玮；P&4) = 3X 3+血=立P(' 4) 5 5 25 25.所以E的分布列为2 14 17 232E(8=0 x-+2X 74+4x27=石.3 . 〔2021成都模拟〕某校高三〔1〕班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见局部如下：试根据图表中的信息解答以下问题:〔1〕求全班的学生人数及分数在［70,80〕之间的频数；〔2〕为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于［70,80〕，［80,90〕和［90,100］分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中成绩位于［70,80〕分数段的人数X的分布列和数学期望.解：〔1〕由茎叶图可知，分数在［50,60〕上的频数为4,频率为0.008X 10= 0.08，故全班的4学生人数为0-4〕8= 50.分数在［70,80〕之间的频数等于50 —〔4 + 14+ 8 + 4〕= 20.〔2〕按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.又［70,80〕, ［80,90〕和［90,100］分数段人数之比等于5 ：2 ：1，由此可得抽出的样本中分数在［70,80〕之间的有5人，分数在［80,90〕之间的有2人，分数在［90,100］之间的有1人.从中任取3人，共有C8= 56种不同的结果.被抽中的成绩位于［70,80〕分数段的学生人数X的所有取值为0,1,2,3.它们的概率分别是：C3 1 C s C3 15 c5c3 30 15 C3 10 5 P〔x =0〕=56= 56, P〔x=1〕=w=56，P〔x=2〕=石=辰=28, P〔X=3〕=56=56=云•••X的分布列为X0123P1r 1515:5 56562828卑叶=<3668~013334J5077889了L334454T1 15 15 5 105 15 •••x 的数学期望为E〔x〕= o x 56+仆15+2X云+3X28=105= 8。
2013届高考数学三维设计课后练习(人教A版)第九章第三节算法初步
一、选择题1．在如图示的算法流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x3，则h(2)的值为()A．9B．8C．6 D．4解析：当x＝2时，f(x)＝4，g(x)＝8，此时f(x)＜g(x)，于是h(x)＝g(x)＝g(2)＝8.答案：B2．(2012·南昌模拟)若如下框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A．k＝9? B．k≤8?C．k＜8? D．k＞8?解析：据程序框图可得当k＝9时，S＝11；k＝8时，S＝11＋9＝20.∴应填入k＞8.答案：D3．(2012·金华模拟)执行下面的程序框图，输出的S＝()A．25 B．9C．17 D．20解析：由结构框图中循环体执行了2次输出的结果为17.答案：C4.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是()A．(30,42]B．(42,56]C．(56,72]D．(30,72)解析：由题知，当输出结果k＝8时，S＝2(1＋2＋3＋…＋7)＝56；当输出结果k＝7时，S＝2(1＋2＋3＋…＋6)＝42，结合程序框图知．答案：B5.(2012·济南模拟)如右边程序框图所示，已知集合A＝{x|框图中输出的x值}，集合B＝{y|框图中输出的y值}，全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时(∁U A)∩B＝()A．{－3，－1,5} B．{－3，－1,5,7}C．{－3，－1,7} D．{－3，－1,7,9}解析：据程序框图可得A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，故(∁U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．答案：D二、填空题6．阅读如下图所示的程序框图，则运行后输出的结果是________．解析：依次执行的是S＝1，i＝2；S＝－1，i＝3；S＝2，i＝4；S＝－2，i＝5；S＝3，i＝6；S＝－3，i＝7，此时满足i＞6，故输出的结果是－3.答案：－37．(2012·上海十三校联考)根据上面的程序框图，要使得输出的结果在区间[－1,0]上，则输入的x的取值范围是________．解析：由程序框图可得输出值y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ＜0，4－2x ， x ≥0，若y ∈[－1,0]，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x 2≤0，x ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤4－2x ≤0，x ≥0，解得2≤x ≤52.答案：[2，52]三、解答题8．画出计算S ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋10·211的值的程序框图． 解：如图所示：9.已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )、…若程序运行中输出的一个数组是(x ，－8)，求x 的值．解：开始n ＝1，x 1＝1，y 1＝0→n ＝3，x 2＝3，y 2＝－2→n ＝5，x 3＝9，y 3＝－4→n ＝7，x 4＝27，y 4＝－6→n ＝9，x 5＝81，y 5＝－8，则x ＝81.10．(2012·佛山模拟)“世界睡眠日”定在每年的3月21日.2009年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识．为此某网站2009年3月13日到3月20日持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示．(1)画出频率分布直方图；(2)睡眠时间小于8的频率是多少？(3)为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算．分析中一部分计算见算法流程图，求输出的S的值，并说明S的统计意义．解：(1)频率分布直方图如图所示．(2)睡眠时间小于8小时的频率是p＝0.04＋0.26＋0.30＋0.28＝0.88.(3)首先要理解题中程序框图的含义，输入m1，f1的值后，由赋值语句：S＝S＋m i·f i可知，流程图进入一个求和状态．令a i＝m i·f i(i＝1,2，…，6)，数列{a i}的前i项和为T i，即T6＝4.5×0.04＋5.5×0.26＋6.5×0.30＋7.5×0.28＋8.5×0.10＋9.5×0.02＝6.70，则输出的S为6.70.S的统计意义即是指参加调查者的平均睡眠时间．高∷考﹥试∷题∴库。
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 配套课时作业 第一节 (带解析)
[配套课时作业]1．(2011·广东高考)已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且y ＝x}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2＝1，x ＝y 得2x2＝1，解得x ＝22或x ＝－22， 这时y ＝22或y ＝－22，即A ∩B 中有两个元素． 法二：由集合A 、集合B 表示的几何意义知，集合A 表示圆心为(0,0)的圆，集合B 表示过(0,0)的直线，故有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2.2．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以kl ＝－1kPQ ＝－14－21－3＝1，又直线l 经过PQ 的中点(2,3)， 所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.3．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3C. 3 D ．1解析：选B 圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB|＝222－12＝2 3.4．(2012·安徽高考) 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋ －1 2≤2，化简得|a ＋1|≤2， 解得－3≤a ≤1.5．若直线xc os θ＋ysin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( )A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 解析：选A 依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即有|cos θ＋sin2θ－1|＝14|cos θ－cos2θ|＝14，cos θ－cos2θ＝14或cos θ－cos2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32，故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33. 6．(2012·豫东、豫北名校阶段测试)圆心在曲线y ＝3x(x>0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －32)2＝9 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝⎝⎛⎭⎫165 2 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝⎝⎛⎭⎫185 2 D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9解析：选A 设所求圆的圆心坐标是⎝⎛⎭⎫a ，3a (a>0)，则点⎝⎛⎭⎫a ，3a (a>0)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝3a ＋12a ＋35≥2 3a ×12a ＋35＝3，当且仅当3a ＝12a，即a ＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是⎝⎛⎭⎫2，32，半径是3，即所求圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9.7．经过圆x2＋2x ＋y2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．解析：所求直线过圆：x2＋2x ＋y2＝0的圆心C(－1,0)，斜率为1，故方程为x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝08．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay －6＝0(a>0)的公共弦长为2 3 ，则a ＝________.解析：由题意得公共弦所在直线的方程为y ＝1a x2＋y2＝4的圆心到y ＝1a 的距离为1a，由22＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫1a 2，a>0，得a ＝1. 答案：19．(2012·海淀区期末练习)已知圆C ：(x －1)2＋y2＝2，过点A(－1,0)的直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，则直线l 的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，圆心C(1,0)到直线l 的距离为|k ＋k|k2＋1，∵直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，∴直线l 被圆所截得的弦所对的圆心角为π2，又圆C 的半径为2， ∴2×cos π4＝|k ＋k|k2＋1，解得，k ＝±33， ∴直线l 的方程为y ＝33(x ＋1)或y ＝－33(x ＋1)． 答案：y ＝33(x ＋1)或y ＝－33(x ＋1) 10．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l1：3x －y －1＝0和l2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1,2)．(1)若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB.而kAB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0；(2)若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1， 即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.11.如图所示，已知圆O ：x2＋y2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A ，B ，求△AOB 面积S 的最大值．解：(1)证明：直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ，故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x2＋y2＝4的内部，所以直线m 与圆O 恒有两个相异交点．(2)圆心O 到直线m 的距离为d ＝11＋k2，而圆O 的半径r ＝2，故弦AB 的长为|AB|＝2r2－d2＝24－d2，故△AOB 面积S ＝12|AB|×d ＝12×24－d2×d ＝4d2－d4＝－ d2－2 2＋4. 而d2＝11＋k2，因为1＋k2≥1，所以d2＝11＋k2∈(0,1]． 显然当d2∈(0,1]时，S 单调递增， 所以当d2＝1，即k ＝0时，S取得最大值3，此时直线m 的方程为y －1＝0.12．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆O 内的动点P 使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求 PA ·PB 的取值范围．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，故圆O 的方程为x2＋y2＝4.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1<x2.由x2＝4，即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x ，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得x ＋2 2＋y2· x －2 2＋y2＝x2＋y2， 即x2－y2＝2.PA ·PB ＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y) ＝x2－4＋y2＝2y2－2.由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2<4，x2－y2＝2，由此得y2<1，所以 PA ·PB 的取值范围为[－2,0)．。
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题二 三角函数与平面向量(带解析)
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习专题二三角函数与平面向量三角函数与平面向量主要包括三部分内容——三角函数、平面向量、解三角形，复习这三部分内容应牢牢把握三个点：“角”、“关系”与“运算”，这三个点串成了该部分知识复习的主线．线索一“角”，是三角函数复习线索的中心，该部分知识的复习要围绕“角”这个中心，抓住四个基本点：三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换．(1)任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值与坐标之间的关系，要明确三角函数各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三角函数定义是推导同角三角函数关系的基础；(2)同角三角函数的基本关系和诱导公式是求解三角函数值、对三角函数式进行化简求值的基础，注意角的范围对三角函数值符号的影响，诱导公式要准确记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，化简时要遵循“负变正，钝变锐”的原则，把角化归到锐角范围内进行研究；(3)三角函数的图像与性质是三角函数的重点，准确把握三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等是解决图像问题的关键，如处理三角函数图像平移问题可借助对应两个函数图像的关键点确定平移的单位和方向；根据函数图像写解析式时，要遵循“定最值求A，定周期求ω，定最值点求φ”的基本思路；(4)角的变化是三角恒等变换的关键，熟练记忆和角、差角、倍角的三角函数公式，这是三角函数化简求值的基础，三角函数综合问题的求解都需要先利用这些公式把三角函数解析式化成“一角一函数”的形式，进而研究三角函数的图像与性质，这些公式是联系三角函数各个部分的纽带．线索二三角形中的“边角关系”，这是解三角形问题的核心，主要涉及正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用问题．(1)正弦定理、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，应注意定理的灵活变形，如a ＝2Rsin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角；(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B)＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等；利用“大边对大角”可以排除解三角形中的增解问题等；(3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容，解决问题的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中，然后利用正、余弦定理求解相应的边角．线索三平面向量的“基本运算”，这是平面向量中的重点，主要包括线性运算、数量积运算以及坐标运算．(1)正确理解平面向量的基本概念和基本定理是实施平面向量基本运算的基础，如利用相反向量可把向量的减法转化为向量的加法；(2)平面向量的线性运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础，如“a ∥b ”的必要不充分条件是“存在实数t ，使得b ＝ta ”，因为若a ＝0，b ≠0，虽然有a ∥b ，但实数t 不存在； (3)数量积是平面向量中的一种重要运算，坐标运算是平面向量的核心知识，涉及夹角、距离等的基本运算，是历年高考命题的重点，要准确记忆相关公式；(4)平面向量多作为解决问题的工具或者通过运算作为条件出现，常与三角函数、解三角形以及平面解析几何等问题相结合，在复习中要重视向量在解决此类问题时的应用．第一节三角函数的图像与性质1．巧记六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．3．识破三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――→横坐标变为原来的1 ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．(2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0 平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．[考情分析] 高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等．[例1] 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4[思路点拨] 由三角函数定义求出tan θ值，再由θ的范围，即可求得θ的值． [解析] tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4sin π4＝－1， 又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.[答案] D[类题通法]1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件． [冲关集训]1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a 1log 3a(a>0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( ) A.1010 B ．－1010C.31010D ．－31010解析：选B 由题意可知tan(3π＋α)＝13，所以tan α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. [考情分析] 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A 、ω、φ问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．[例2] (2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．[思路点拨] (1)利用最值求出A 的值．再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出ω＝2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角α的某一个三角函数值，再根据α的范围易求得α的值．[解] (1)∵函数f(x)的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π.∴ω＝2.∴函数f(x)的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.∴α－π6＝π6，∴α＝π3.[类题通法]1．确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 解析式的方法(1)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，求解析式，常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图像的升降找准第一个零点的位置． (2)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的图像求解析式，参数A ，B ， A ＝最大值－最小值2，B ＝最大值＋最小值2；2．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像变换的技巧及注意事项(1)函数图像的平移变换规则是“左加右减”．(2)在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换．(3)变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． [冲关集训]3．(2012·济南一模)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2解析：选D y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――――→向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.因为当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1，所以对称轴可以是x ＝π2. 4．(2012·天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D 将函数f(x)＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2. 5．(2012·衡水模拟)若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点与最低点，且OM ·ON＝0，则A ·ω＝( ) A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3解析：选C 由题中图像知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ， 由OM ·ON＝0，得7π2122＝A2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. [考情分析] 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法． [例3] (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．[思路点拨] 先化简函数解析式，再求函数的性质． [解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)， 故f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}． 因为f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z)．[类题通法]函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． [冲关集训]6．(2012·石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析：选D 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为减函数．7．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.8．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图像关于直线x ＝π4对称；④函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x 的图像可知，函数f(x)的图像关于直线x＝π4不对称，③错误；由f(x)的图像易知函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确． 9．设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R. (1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4， 又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x|x ＝3π2＋4k π，k ∈Z}．(2)法一：因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 所以，x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ， 又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z.法二：x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ωπ8－cos ωπ8＝0， 即tan ωπ8＝1.所以ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 以下同法一．“观看”数学思想在三角函数中的精彩应用许多三角函数问题，如能灵活运用相应的数学思想(数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想、整体思想)，往往能使一些抽象的、复杂的三角问题迅速、准确地找到解题思路，从而得到便捷的解法．[典例] 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．[思路点拨] 利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解．[解] (1)由图像知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2，又图像过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2.即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m(m ∈R)的图像，如图所示，由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2. 当－2<m<1时，两根之和为4π3； 当1<m<2时，两根之和为π3.[名师支招]本题将方程的根的问题转化成两个函数图像交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解，从函数图像上可以清楚地看出当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图像的对称性便可求出两根之和． [高考预测]函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x ∈R 都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________． 解析：依题意得，当sin πx －cos πx ≥0，即sin πx ≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx －cos πx<0，即sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图像可知，|x2－x1|的最小值是34.答案：34[配套课时作业]1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：选A 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α＝cos23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.2．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan2 θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan2 θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin2 θ＋cos2 θ＝2tan θ1＋tan2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3解析：选B 由于函数f(x)＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，可知π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 4．(2012·福州质检)将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B .⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：选 B 将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.5．(2012·山西考前适应性训练)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<5,0≤φ≤π2)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，则ω＝( ) A.113 B ．4 C.133 D.143解析：选D 依题意得，f(0)＝sin φ＝32，又0≤φ≤π2，因此φ＝π3.由f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ω×π4＋π3＝－1得ω×π4＋π3＝2k π－π2，ω＝8k －103，k ∈Z ；又0<ω<5，于是有0<8k －103<5，512<k<2524，k ∈Z ，因此k ＝1，ω＝143.6．已知函数f(x)＝sin x ＋3cos x ．设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：选B 法一：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f ⎝⎛⎭⎫π7，所以c<a<b.法二：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，显然f(x)的最小正周期T ＝2π，一个对称轴为x ＝π6.因为⎪⎪⎪⎪π6－π6<⎪⎪⎪⎪π7－π6<⎪⎪⎪⎪π3－π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，即c<a<b.7．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：r ＝x2＋y2＝16＋y2， 且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－88．函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析：∵f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，且f(x)的最大值是3<2，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，即sin π4ω＝32， ∴π4ω＝π3，∴ω＝43. 答案：439．函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1，给出下列四个命题：①函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数； ②直线x ＝π8是函数图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度而得到；④若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f(x)的值域是[]－1，2.其中所有正确命题的序号是________．解析：∵f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得：k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，即f(x)的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．∴命题①正确．又∵x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是函数图像的一条对称轴，∴命题②正确．又∵f(x)可由y ＝2sin 2x 的图像向左平移π8个单位长度而得到，∴命题③错误．又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1， 2 ]， 即f(x)∈[－1， 2 ]，∴命题④正确． 答案：①②④10．(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos2x －1，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)法一：因为f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.法二：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，因为－π4≤x ≤π4，则－π2≤2x ≤π2，则－π4≤2x ＋π4≤3π4.所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，即－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤ 2. 所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.11．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，3π2上的函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f(x)＝－sin x.(1)作出y ＝f(x)的图像； (2)求y ＝f(x)的解析式．解：(1)y ＝f(x)的图像如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，因函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f(x)＝－sin x ，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.12.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图像的一部分如右图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由图像知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图像经过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0.又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23， ∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值为－2 2.第二节三角变换与解三角形1．“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α.②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.③tan 2α＝2tan α1－tan2α.2．“熟记”两个定理 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝a2＋c2－2accos B ， c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A ＝b2＋c2－a22bc ，cos B ＝a2＋c2－b22ac ，cos C ＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A ，a2＋c2－b2＝2accos B ， a2＋b2－c2＝2abcos C.[考情分析] 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．[例1] (2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R. (1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．[思路点拨] (1)可以直接代入求值．(2)首先要化简条件得sin α，cos β，然后用和角公式sin(α＋β)计算．[解] (1)f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. (2)由f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，即2sin α＝1013，所以sin α＝513.由f(3β＋2π)＝65，得2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65， 即2cos β＝65，所以cos β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin2α＝1213，sin β＝1－cos2β＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365. [类题通法]三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换．特别是“1”的代换，如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x ＋2cos2x ＝(sin2x ＋cos2x)＋cos2x ＝1＋cos2x ；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等．(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次．(4)化弦(切)法．将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)．(5)引入辅助角．asin θ＋bcos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba确定．[冲关集训]1．(2012·深圳调研)已知直线l ：xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73B.73C.57D ．1 解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.2．(2012·哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525解析：选A 依题意得sin α＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2 α＋β ＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.3．(2012·德州模拟)已知函数f(x)＝2cos2x2－3sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．解：(1)∵f(x)＝2cos2x2－3sin x＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.[考情分析] 正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．[例2] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为 3，求b ，c.[思路点拨] (1)由题设以及正弦定理得到关于A 的三角函数值，进而求得A 的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到b 与c 的方程组，进而求得b 与c 的值． [解] (1)由acos C ＋3asin C －b －c ＝0得 sin Acos C ＋3sin Asin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝3，故bc ＝4.而a2＝b2＋c2－2bccos A ，故b2＋c2＝8. 解得b ＝c ＝2. [类题通法] 解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C. [冲关集训]4．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos2 B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725. 5．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin ∠B ＝bsin ∠A a ＝3sinπ33＝12，所以∠B ＝π6或5π6(舍去)，所以∠C ＝π－∠A －∠B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π26．(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C. (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c. 解：(1)由3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C ， 得3(cos Bcos C －sin Bsin C)＝－1， 即cos(B ＋C)＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C)＝13.(2)由于0<A<π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bcsin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，得b2＋c2＝13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b2＋c2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.[考情分析] 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S ，利用余弦定理把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数求解S 的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v ，t 的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题． [解] (1)设相遇时小艇航行距离为S 海里，则 S ＝900t2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30° ＝900t2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，Smin ＝103，v ＝303，即小艇以每小时303海里的速度航行，相遇时距离最小．(2)若轮船与小艇在B 处相遇，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·(30t)·cos(90°－30°)， 化简得v2＝400t2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675， 由于0<t ≤12，即1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．(3)由(2)知v2＝400t2－600t ＋900，令1t＝μ(μ>0)，于是有400μ2－600μ＋900－v2＝0，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧600 2－1 600 900－v2 >0，900－v2>0，解得：153<v<30，所以v 的取值范围为(153，30)． [类题通法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[冲关集训]7.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CDsin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BCtan 60°＝10 6.答案：10 68．(2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(2＝1.414，3＝1.732) 解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC ·BC ＝82＋52－AB22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD2＋BD2－AB22AD ·BD ＝72＋72－AB22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，③解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BDsin D ，S △ABC ＝12AC ·BCsin C ，因为AD ·BD>AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD>S △ABC.故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝∠C ＝60°. 故S △ABC ＝12AC ·BCsin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 0003≈86 600元．透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：①未能牢记三角公式；②不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法．三角函数的求值、求角问题包括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．[典例] (2011·天津高考)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，求α的大小． [思路点拨] (1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值．[解] (1)由三角函数的定义得2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠π8＋k π2，k ∈Z.∴f(x)的定义域为{x|x ≠π8＋k π2，k ∈Z}，f(x)的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos2α－sin2α)， 整理得：sin α＋cos αsin α－cos α＝2(sin α＋cos α)(sin α－cos α)．∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin α＋cos α≠0.∴(sin α－cos α)2＝12.∴sin 2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α＝π6，α＝π12.[名师支招]利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用．求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围．总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变． [高考预测]已知向量OA ＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA－n)．(1)求向量OA ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)． 解：(1)∵OA＝(cos α，sin α)， ∴OA－n ＝(cos α，sin α＋5)，∵m ⊥(OA －n)，∴m ·(OA－n)＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②联立方程解得cos α＝－255，sin α＝－55，∴OA＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210， 又∵0<β<π，∴sin β＝7210，且π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45， cos 2α＝2cos2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22.[配套课时作业]1．(2012·威海模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，则tan 2α＝( )A.43 B ．－43 C ．－2D ．2解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，所以sin α＝－1－cos2α＝－255.所以tan α＝2.则tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.2．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3解析：选D 由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝14，sin2α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32.即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 3．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724C.247D.724解析：选D ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，∴tan 2β＝2tan β1－tan2β＝－43，∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝724. 4．(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：选C 原式＝sin 30°＋17° －sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－435.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 6．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a>b>c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n>1，且n ∈N*)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)· n ＋1 2＋n2－ n ＋2 22n n ＋1 ，化简得7n2－13n－60＝0，n ∈N*，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶si n C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：代入余弦定理公式得：b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：48．(2012·烟台模拟)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，则tan α＝________. 解析：因为cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，即cos2α＋cos 2α＝12，所以cos2α＋2cos2α－1＝12.整理得3cos2α＝32，所以cos α＝22(因α为锐角，所以取正)．。
【三维设计】浙江省杭州市2013年高考数学二轮复习 专题能力提升训练六 解析几何
某某附中三维设计2013年高考数学二轮复习：解析几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点(cos ,sin )θθ到直线sin cos 10x y θθ+-=的距离是1(0)22πθ≤≤，则θ的值为( )A ．12πB ．512π C ．12π或512π D ．56π或6π 【答案】C2．已知圆022=+++Ey Dx y x 的圆心在直线x+y= l 上则D 与E 的关系是( ) A ． D+E=2B ． D+E = 1C ．D+E= -1D ．D+E= -2【答案】D 3．“2=m ”是“直线m x y +=与圆122=+y x 相切”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A4．直线bx + ay = ab ()0,0<<b a 的倾斜角是( )A ．)arctan(ab - B ． )arctan(ba -C ． a b arctan-π D ． ba arctan -π 【答案】C5．函数()52f x x x=+图像上的动点P 到直线2y x =的距离为1d ，点P 到y 轴的距离为2d ，则12d d 的值为( )A ．5B ．5C D ．不确定的正数【答案】C6．由点P （2，3）向圆x 2+y 2+6x+4y-3=0引切线，则切线长是( )A ．34B ．34C ．42D ．32【答案】A7．椭圆222212x y m n +=与双曲线222212x y m n-=有公共焦点，则椭圆的离心率是( )A B C D 【答案】D8．已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点。
如果延长P F 1到Q ，使得PQ =2PF ，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】A9．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A ．14B ．12C ． 2D ．4【答案】A10．已知点1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值X 围是( ) A ．(21,)-+∞B ．(31,)++∞ C ．(12,)++∞D ．(1,12)+【答案】C11．双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为( )A ．23B ．2C ．3D ．1【答案】A12．直线1y kx =+与双曲线221916y x -=的一条渐近线垂直，则实数k=( ) A ．34B ．43C ．34±D ．43±【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若一个圆的圆心在抛物线的焦点上，且此圆与直线相切，则这个圆的方程是 ； 【答案】14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，则圆C 的方程为．【答案】226210x y x y +--+=（22(3)(1)9x y -+-=）15．已知F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且12F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是【答案】516．连接双曲线12222=-b y a x 和12222=-a x b y （其中0,0>>b a ）的四个顶点的四边形面积为1S ，连接四个焦点的四边形的面积为2S ，则当21S S 的值最大时，双曲线12222=-ax b y 的离心率为.【答案】2三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知一圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5），且圆心C 在直线l ：230x y --=，此圆的标准方程. 【答案】因为A （2，－3），B （－2，－5）， 所以线段AB 的中点D 的坐标为（0，－4），又5(3)1222AB k ---==--，所以线段AB 的垂直平分线的方程是24y x =--．联立方程组23024x y y x --=⎧⎨=--⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩． 所以，圆心坐标为C （－1，－2），半径||r CA===所以，此圆的标准方程是22(1)(2)10x y +++=．18．在等腰直角三角形ABC 中,C=90°,直角边BC 在直线2x+3y-6=0上,顶点A 的坐标是(5,4),求边AB 和AC 所在的直线方程. 【答案】A Ｃ的斜率k 1=23AC ∴所在的直线方程为)5(234-=-x y ,即 ３x －２y －７=0 设ＡＢ的斜率为k 2 ，那么)32(2312323145tan 321322222022-±=+⇒=-+⇒==-+k k k k k k 52-=⇒k ，或,512=k ∴AB 所在的直线方程为)5(54--=-x y ，或)5(514-=-x y 即 ５x ＋y －29=0 或 x －５y ＋15=019．已知直线l ：kx-y-3k=0；圆M ：228290x y x y +--+= (Ⅰ）求证：直线l 与圆M 必相交；(Ⅱ）当圆M 截l 所得弦最长时，求k 的值。
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 配套课时作业 第二节 (带解析)
[配套课时作业]1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y25－x24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x2＝4yB ．x2＝－4yC ．y2＝－12xD ．x2＝－12y解析：选D 由题意c ＝5＋4＝3，故抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．所以抛物线的标准方程为x2＝12y 或x2＝－12y.2．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1 C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝1 解析：选A 根据已知列出方程即可．c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax 经过点(2,1)，所以a ＝2b ，所以25＝4b2＋b2，由此得b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是x220－y25＝1. 3．(2012·江西高考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 解析：选B 依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a －c)(a ＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，所以e ＝c a ＝55. 4．(2012·大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C ：x2－y2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析：选C 因为c2＝2＋2＝4，所以c ＝2,2c ＝|F1F2|＝4.由题可知|PF1|－|PF2|＝2a ＝22，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝22，|PF1|＝4 2.由余弦定理可知cos ∠F1PF2＝ 42 2＋ 22 2－422×42×22＝345．(2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D ．3解析：选B 设双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1， 焦点F(－c,0)．将x ＝－c 代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2， 所以|AB|＝2×b2a＝2×2a. 所以b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，所以e ＝c a＝ 3. 6．(2012·山东高考)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A ．x2＝833B ．x2＝1633C ．x2＝8yD ．x2＝16y 解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于c a ＝ a2＋b2a2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x.抛物线的焦点坐标为(0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2m －y2m2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：由题意得m>0，所以a ＝m ，b ＝m2＋4，所以c ＝m2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案：28．(2012·安徽高考)过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：法一：抛物线y2＝4x 准线为x ＝－1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A(2,22)，由A ，F ，B 三点共线可知直线AB 的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物线方程消去y 得2x2－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x2＝12， 故|BF|＝x2＋1＝32. 法二：易得抛物线y2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点F(1,0)．则|AF|＝xA ＋1＝3，故xA ＝2.又抛物线过焦点，且p ＝2，故xA ·xB ＝p24＝1，故xB ＝12.故|BF|＝121＝32. 答案：329．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1，F2在x 轴上，离心率为22.过F1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF2的周长为16，那么C 的方程为______________． 解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)， 因为AB 过F1且A ，B 在椭圆上，如图，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a ＝16，解得a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，故c ＝2 2. 所以b2＝a2－c2＝8，所以椭圆C 的方程为x216＋y28＝1. 答案：x216＋y28＝1 10．设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45C 所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1， 解得b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925， 则a ＝5.所以C 的方程为x225＋y2161.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程， 得x225＋ x －3 225＝1，即x2－3x －8＝0，所以x1＋x2＝3. 设AB 的中点坐标为(x －，y －)，则x －＝x1＋x22＝32， y －＝y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65， 即中点为⎝⎛⎭⎫32，－65.11．(2012·安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF2与椭圆C 的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c)．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c . 所以|AB|＝1＋3·|85c －0|＝165c. 由S △AF1B ＝12|AF1|·|AB|sin ∠F1AB ＝12a ·165·32＝235a2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a ，所以|BF2|＝t －a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a 可知，|BF1|＝3a －t.再由余弦定理(3a －t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t ＝85a. 由S △AF1B ＝12a ·85a ·32＝235a2＝403， 解得a ＝10，b ＝5 3.12．(2012·陕西高考)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C1和C2上， OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2＋x24＝1(a>2)， 其离心率为32，故a2－4a ＝32，则a ＝4， 故椭圆C2的方程为y216＋x24＝1. (2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(xA ，yA)，(xB ，yB)，由 OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx.将y ＝kx 代入x24y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x2A ＝41＋4k2， 将y ＝kx 代入y216＋x24＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x2B ＝164＋k2， 又由 OB ＝2 OA ，得x2B ＝4x2A ，即164＋k2＝161＋4k2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x.法二：A ，B 两点的坐标分别记为(xA ，yA)，(xB ，yB)，由 OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx.将y ＝kx 代入x24y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x2A ＝41＋4k2， 由 OB ＝2OA ，得x2B ＝161＋4k2y2B ＝16k21＋4k2， 将x2B ，y2B 代入y216＋x24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1， 即4＋k2＝1＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x.。
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 山东详解答案 阶段一(理) 专题二 第二节
∴tan(α－2β) 3 4 －4－－3 tan α－tan 2β ＝ ＝ 3 4 1＋tan αtan 2β 1＋－4×－3 7 ＝24.
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4．选C
sin30° ＋17° －sin 17° 30° cos 原式＝ cos 17°
sin 30° 17° cos ＋cos 30° 17° sin －sin 17° 30° cos ＝ cos 17° sin 30° 17° 1 cos ＝ cos 17° ＝2.
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π 又 0＜A＜π，故 A＝3. 1 (2)△ABC 的面积 S＝2bcsin A＝ 3，故 bc＝4. 而 a2＝b2＋c2－2bccos A，故 b2＋c2＝8. 解(1)步设相遇时小艇航行的距离为 S，利用余 弦定理把 S 表示为关于 t 的函数， 利用二次函数求解 S 的最小值， 并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出 v，t 的关系式， 并利用函数知识求解； 第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问 题． 解：(1)设相遇时小艇航行距离为 S 海里，则
考点例题
第 一 阶 段
专 题 二
第 二 节
冲关集训 高考预测
课时检测（八）
第一阶段 二轮专题复习
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专题二 三角函数与平面向量
第二节 三角变换与解三角形
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考点例题
例 1：思路点拨：(1)可以直接代入求值． (2)首先要化简条件得 sin α，cos β，然后用和角公式 sin(α＋β)计 算．
bc＝6， 解方程组 2 2 b ＋c ＝13， b＝2， 得 c＝3， b＝3， 或 c＝2.
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7．解析：在△BCD 中，CD＝10，∠BDC＝45° ，∠BCD＝15° ＋ BC CD CDsin 45° 90° ＝105° ，∠DBC＝30° sin 45° sin 30° ， ＝ ，BC＝ sin 30° ＝ AB 10 2.在 Rt△ABC 中，tan 60° BC，AB＝BCtan 60° ＝ ＝10 6.
【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 湖南详解答案 阶段一(理) 专题二 第三节
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3． B 选
记 α 与 β 的夹角为 θ， 则依题意得 2α2－2β2＋3α· β＝2×12
2
1 －2×1 ＋3×1×1×cos θ＝1，cos θ＝3，即 α 与 β 的夹角的余 1 弦值是3.
2x－4＝0， 由题意可知 －4－2y＝0， x＝2， 解得 y＝－2.
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4．选 D
如图，∵a· b＝0，∴a⊥b，
∴∠ACB＝90° ， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 5. 又 CD⊥AB， 4 5 ∴AC ＝AD· AB，∴AD＝ 5 .
2
4 4 4 4 ∴ AD ＝5 AB ＝5(a－b)＝5a－5b.
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5．选 D
∵点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心，∴
答案：D
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例 2：思路点拨：建立平面直角坐标系，将向量数量积运算转化 为向量的坐标运算求解．
解析：如图所示，以 AB、AD 所在的直线分 别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系， 由于正方形边长为 1，故 B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)． 又 E 在 AB 边上，故设 E(t,0)(0≤t≤1)， CB 则 DE ＝(t，－1)， CB ＝(0，－1)．故 DE · ＝1. 又 DC ＝(1,0)， DC ∴ DE · ＝(t，－1)· (1,0)＝t. DC 又 0≤t≤1，∴ DE · 的最大值为 1.
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7．解析：a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)· b＝0，即 3(m 1 ＋1)＋3m＝0，解得 m＝－ ，则 a＝(1，－1)，故|a|＝ 2. 2
| BM | | CN | 8．解析：法一：设 ＝ ＝λ，则 0≤λ≤1， | BC | | CD | 因为 AM ＝ AB ＋ BM ＝ AB ＋λ BC ， AN ＝ AD ＋ DN ＝ AD AD AN ＋(1－λ) DC ，所以 AM · ＝ AB · ＋λ BC · (1－λ) DC ＋(1 DC BC －λ) AB · ＋λ AD · ，由于 AB ⊥ AD ， BC ⊥ DC ， AB ＝ 2 2 AN DC ， ＝ AD ， BC 所以 AM · ＝(1－λ) AB ＋λ AD ＝4(1－λ)
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[配套课时作业]
1．(2012·济南模拟)某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人，本科生有3 000人，研究生1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取( ) A ．65人，150人，65人 B ．30人，150人，100人 C ．93人，94人，93人 D ．80人，120人，80人
解析：选A 设应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取x 人，y 人，z 人，则
5 600
280＝1 300x ＝3 000y ＝1 300z ，所以x ＝z ＝65，y ＝150.所以应在专科生，本科生与研究生这三
类学生中分别抽取65人，150人，65人．
2．(2012·陕西高考)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A ．46,45,56
B ．46,45,53
C ．47,45,56
D ．45,47,53
解析：选A 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋47
2＝46，
众数为45，极差为68－12＝56.
3．(2012·广州调研)设随机变量X ～N(1,52)，且P(X ≤0)＝P(X>a －2)，则实数a 的值为 ( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
解析：选A 由正态分布的性质可知P(X ≤0)＝P(X ≥2)，所以a －2＝2，故a ＝4.
4．(2012·武汉适应性训练)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，加工时间y(min)
A ．左上方
B ．左下方
C ．右上方
D ．右下方
解析：选C 依题意得，x ＝18×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，y ＝1
8×(62＋
68＋75＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.注意到题中的每一组点(x ，y)均位于直线x ＋45y －
10＝0的右上方，因此点(a ，b)必位于直线x ＋45y －10＝0的右上方．
5．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为 ( ) A.
65
B.65
C. 2 D ．2
解析：选D 由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋3
5＝1，解得a ＝－1，所以样本
的方差为1
5
[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
6．(2012·济南模拟)下列命题：①若函数f(x)＝x2－2x ＋3，x ∈[－2,0]的最小值为2；②线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^
至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)中的一个点；③命题p ：∃x ∈R ，使得x2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x2＋x ＋1≥0；④若x1，x2，…，x10的平均数为a ，方差为b ，则x1＋5，x2＋5，…，x10＋5的平均数为a ＋5，方差为b ＋25.
其中，错误命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解析：选D 依题意，得命题①中的函数的最小值为3，命题①是错误的；线性回归方程对应的直线不一定经过样本点，命题②是错误的；易知命题③是正确的；命题④中的方差是b ，命题④是错误的．
7．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________． 解析：由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14.故还有一个同学的学号应为6＋14＝20. 答案：20 8．(2012·济南模拟)随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ<30)＝0.2，则P(30<ξ<50)＝________.
解析：根据正态分布曲线的对称性可得P(30<ξ<50)＝1－2P(ξ<30)＝0.6. 答案：0.6
9．(2011·广东高考)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
解析：设父亲身高为x cm
x －＝173，y －
＝176，b ＝0× －6 ＋ －3 ×0＋3×602＋9＋9＝1，
a ＝y －－
b x －
＝176－1×173＝3， 所以y ^＝x ＋3，当x ＝182时，y ^
＝185.
答案：185
10．(2012·郑州质检)为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：
(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，199，试写出第二组第一位学生的编号；
(2)求出a ，b ，c ，d ，e 的值(直接写出结果)，并作出频率分布直方图；
(3)若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人． 解：(1)依题意可知第二组第一位学生的编号为004. (2)a ，b ，c ，d ，e 的值分别为13,4,0.30,0.08,1. 频率分布直方图如下：
(3)被抽到的学生中获二等奖的人数约为9＋2＝11，占样本的比例是11
50
＝0.22，
即获二等奖的概率为22%，所以参赛学生中获二等奖的人数估计为200×22%＝44. 答：参赛学生中获得二等奖的学生大约有44人．
11．(2012·淮北二模)时维壬辰，序属仲春，值春耕播种时机，某中学生物研究性学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究，记录了实验室4月10日至4月14日的每天昼夜温差与每天每50颗稻籽浸泡后的发芽数，得到如下资料：
(1)从4月10日至4月14日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均小于14”的概率；
(2)根据表中的数据可知发芽数y(颗)与温差x(℃)呈线性相关，请求出发芽数y 关于温差x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
.
(参考公式：回归直线方程式y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝
∑i ＝1
n
xiyi －n x
y
∑i ＝1
n
x2i －n x 2
，a ^＝y －b ^
x ) 解：(1)m ，n 构成的基本事件(m ，n)，有：(11,13)，(11,14)，(11,16)，(11,12)，(13,14)，(13,16)，(13,12)，(14,16)，(14,12)，(16,12)，共有10个．
其中“m ，n 均小于14”的有3个，故所求概率为3
10.
(2)∵x ＝12，y ＝13.2，
∴b ^＝10×11＋12×13＋13×14＋14×16＋11×12－5×12×13.2102＋122＋132＋142＋112－5×122＝1.2，
于是，a ^
＝13.2－1.2×12＝－1.2.
故所求线性回归方程为y ＝1.2x －1.2.
12．(2012·辽宁高考)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)
”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E(X)和方差D(X)． 附：K2（X2）＝n n11n22－n12n21 2
n1＋n2＋n ＋1n ＋2
，
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷
”有25人，从而2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝
n n11n22－n12n21 2
n1＋n2＋n ＋1n ＋2
＝
100× 30×10－45×15 245×55×75×25＝100
33
≈3.030.
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14
.
由题意X ～B(3，1
4
)，从而X 的分布列为
E(X)＝np ＝3×14＝3
4
，
D(X)＝np(1－p)＝3×14×34＝9
16.。