2022-2023学年广东省广州市第二教育联盟高一年级上册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市真光中学、深圳市第二高级中学教育联盟高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．若集合{}|2A x x =<，{|B y y ==，则A B =（ ） A ．{}|12x x << B ．{}|02x x << C ．{}|12x x ≤< D ．{}|02x x ≤<【答案】D【分析】求得集合B ，再根据集合的交运算求解即可.【详解】{{}||0B y y y y ===≥，{}|02A B x x ∴⋂=≤<. 故选：D.2．“a b ≤”是“lg lg a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】判断“a b ≤”和“lg lg a b <”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由题意a b ≤，但,a b 的正负不确定，故推不出lg lg a b <； 当lg lg a b <时，由于lg y x =为增函数，故可推出a b <，则a b ≤成立， 故“a b ≤”是“lg lg a b <”的必要不充分条件， 故选：B.3．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．52【答案】A【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】定点为(1,2), 1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+ 当且仅当4m nn m=时等号成立， 即42,33m n ==时取得最小值92.故选A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.4．关于x 的不等式0ax b -<的解集是{}|1x x >,则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是 A ．{|1x x <-或}3x > B ．{}3|1x x << C ．{}|13x x -<< D ．{|1x x <或}3x >【答案】C【分析】根据0ax b -<的解集判断出,a b 的关系，由此求得不等式()(3)0ax b x +->的解集. 【详解】由于x 的不等式0ax b -<的解集是{}|1x x >，所以0,a b a b -==且,0a b <.所以不等式()(3)0ax b x +->等价于(1)(3)0a x x +->，故解集为{}|13x x -<<.故选：C【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 5．若[]:1,5p x ∀∈，240ax x -->是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．925a >B ．116a ≥-C ．5a >D ．5a ≥【答案】C【分析】利用参变量分离法可得出241a x x >+，当[]1,5x ∈时，求出241x x+的取值范围，即可得出实数a 的取值范围.【详解】对任意的[]1,5x ∈，240ax x -->，则241a x x>+， 因为[]1,5x ∈，则1115x≤≤，则2419,525x x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，5a ∴>.故选：C.6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量()mg/L N 与时间的关系0e ktN N -=（0N 为最初污染物数量）．如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（ ） A ．2.6小时 B ．3小时 C ．6小时 D ．4小时【答案】B【分析】先通过前3个小时消除了20%的污染物求得e k -的值，再由000.64e ktN N -=求得6t =，进而得到污染物消除至最初的64%还要3小时.【详解】由题意得，前3个小时消除了20%的污染物，则3000.8e kN N -=，则13e 0.8k -= 则由000.64e ktN N -=，可得30.640.8t=，解之得6t =则污染物消除至最初的64%还要633-=小时 故选：B7．已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间(),0∞-上递减.若()0.72a f =，()ln 2b f =-，()3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c<a<b B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【解析】由()f x 是偶函数在(),0∞-上递减，故在(0,)+∞上递增，然后比较,,a b c 的自变量，进而判断得结果.【详解】因为()f x 定义在R 上的偶函数在区间(),0∞-上递减，所以在(0,)+∞上递增，()0.72a f =，()()ln 2ln 2b f f =-=，()3log 2c f =，因为0.730log 2ln 212<<<<，()f x 在(0,)+∞上递增，所以()()0.73log 2(ln 2)2f f f <<，即c b a <<，故选:B.【点睛】方法点睛：本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图像与奇偶性、单调性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.8．已知函数()212,1,1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩，若存在1212,R,x x x x ∈≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,2) B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞⋃+∞D ．(],0,)2(-∞⋃+∞【答案】D【分析】对a 进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得a 的取值范围. 【详解】21121,111a a a a a ⨯+-=--⨯=-，()1221y ax a a x =+-=-+，过定点()2,1，2y x ax =-开口向上，对称轴2a x =， 当a<0时，()f x 在(),1-∞递减，在()1,+∞递增，最小值为()11f a =-， 根据直线和抛物线的知识可知：存在1212,R,x x x x ∈≠，使()()12f x f x =成立.当0a =时，()21,1,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，()()211f f -=-=， 所以存在1212,R,x x x x ∈≠，使()()12f x f x =成立， 当01,022aa <≤<≤时，()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞递增， 即()f x 在R 上递增，所以不存在符合题意的12,x x . 当1,22a a >>时，()f x 在(),1-∞上递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， 根据直线和抛物线的知识可知：存在1212,R,x x x x ∈≠，使()()12f x f x =成立. 综上所述，a 的取值范围是(],0,)2(-∞⋃+∞. 故选：D【点睛】对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴（单调性）有关，由此可确定分类的标准，从而使分类做到“不重不漏”二、多选题9．下列命题错误的是（ ）A ．命题“1x ∀<，都有21x <”的否定是“1x ∃≥，使得21x ≥”B ．函数2()2x f x x =-的零点有2个C ．用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1D ．函数2()ln(1)f x x x =+-在()0,∞+上只有一个零点，且该零点在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上 【答案】ABC【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断A ；求出函数的零点结合零点的存在性定理即可判断B ；根据二分法的定义即可判断C ；根据零点的存在性定理即可判断D. 【详解】解：对于A ，命题“1x ∀<，都有21x <”的否定是“1x ∃<，使得21x ≥”，故A 错误； 对于B ，2x =或4x =时，2()20x f x x =-=， 因为22,x y y x ==-在(),0∞-上都是增函数， 所以函数2()2x f x x =-在(),0∞-上是增函数，又因为()()110,0102f f -=-<=>，所以函数()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故B 错误；对于C ，开区间()2,3的长度等于1，没经过一次操作长度变为原来的一半， 则经过()*N n n ∈次操作之后，区间的长度变为12n， 故有10.12n ≤，则210n ≥，所以4n ≥， 所以至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C 错误；对于D ，因为函数2ln(1),y x y x =+=-在()0,∞+上都是增函数，所以函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上是增函数， 又()13ln 40,2ln 31022f f ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点，且该零点在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上，故D 正确.故选：ABC.10．已知函数()21,1,1,1,x x f x x x +<-⎧=⎨-≥-⎩则（ ）A ．()f x 在[)1,-+∞上单调递增B ．()f x 的值域为RC ．()1f x >-的解集为()2,-+∞D ．若关于x 的方程()f x m =恰有3个不同的解，则()1,0m ∈- 【答案】BD【分析】对于选项A ，分析()f x 在[)1,-+∞上单调性即可.对于选项B ，分别求出()f x 在(),1-∞-及[)1,-+∞值域，再求出两值域的并集. 对于选项C ，分别在x ∈(),1-∞-与x ∈[)1,-+∞前提下解不等式()1f x >-即可. 对于选项D ，由题意画出()f x 图像即可得答案.【详解】对于选项A ，当x ∈[)1,-+∞时，()21f x x =-在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故A 错误.对于选项B ，当x ∈(),1-∞-时，()f x ()0,∈-∞；当x ∈[)1,-+∞时，()f x )1,∞⎡∈-+⎣.故()f x 值域是())1,01,∞⎡-⋃-+⎣=R.故B 正确. 对于选项C ，当x ∈(),1-∞-时，()111>-⇒+>-f x x ，解得()2,1x ∈--.当x ∈[)1,-+∞时，()2111>-⇒->-f x x ，解得)()1,00,x ∞⎡∈-⋃+⎣.综上，()1f x >-的解集为()()200,,∈-+∞∪x ，故C 错误.对于选项D ，由题意画出()f x 图像如下，方程()f x m =恰有3个不同的解 等价于直线y m =与()f x 图像只有三个交点，由图可得()1,0m ∈-，故D 正确. 故选：BD11．下列说法正确的有（ ） A ．21x y x+=的最小值为2B ．已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为421 C ．已知正实数,x y 满足23x y xy +=，则2x y +的最大值为3D ．若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则实数a 的范围是22a -<≤【答案】BD【分析】对于A 选项，211+==+x y x x x ，利用基本不等式式可判断，但要注意x 范围.对于B 选项，()442121111y x x x x =+-=-++--，后利用基本不等式解决问题. 对于C 选项，由23x y xy +=得2121333x y xy y x +=+=，则2x y +=()12233x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 后利用基本不等式可解决问题.对于D 选项，当2a =时，显然成立.当2a ≠时，转化为()()()22224f x a x a x =-+--图像恒在x 轴下方即可.【详解】对于A 选项，211+==+x y x x x，易得0x ≠.当0x >时，2112x y x x x +==+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号.当0x <时，21112x y x x x x x +⎛⎫==+=--+≤-- ⎪-⎝⎭， 当且仅当1x x-=-，即=1x -时取等号. 因条件中未告知x 范围，故A 错误. 对于B 选项，()442121111y x x x x =+-=-++--，因1x >，则()4211111x x -++≥=-，当且仅当()4211x x -=-，即1x =时取等号.故B 正确. 对于C 选项，由23x y xy +=得2121333x y xy y x+=+=， 则2x y +=()12233x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=225333x y y x ++，又,x y 为正实数.则225533333x y y x ++≥=. 取等号时有2233x yy x=，即x y =，代入23x y xy +=，得1x y ==. 即当且仅当1x y ==时，上述不等式取等号.则2x y +的最小值为3. 又12133y x +=，当13y 无限接近1时，y 无限接近13.此时23x无限接近于0，得x 接近正无穷大，故2x y+无最大值.综上，C 选项错误.对于D 选项，当2a =时，原式化为4<0-，故2a =满足条件. 当2a ≠时，不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立等价于()()()22224f x a x a x =-+--图像恒在x 轴下方.有20Δ0a -<⎧⎨<⎩，即()()22421620a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩得22a -<<. 综上22a -<≤，故D 正确. 故选：BD【点睛】易错点点睛：本题为不等式综合问题，涉及基本不等式与恒成立问题.需注意：（1）利用基本不等式时要注意“一正，二定，三相等”.“一正“要保证利用不等式的对象大于0，“二定”指我们要发现或者构造变量和为定值或者变量积为定值.“三相等”是指能在题目条件前提下找到等号成立条件.（2）解决二次函数恒成立问题时，可转化为其图像恒在x 轴上方或下方，但要根据题目描述考虑二次项系数是否可以为012．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[]3.54-=-，[]2.12=.已知函数()e 11e 2x xf x =-+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在R 上是增函数 C ．()g x 是偶函数 D ．()g x 的值域是{}1,0- 【答案】BD【分析】对于A ：利用函数奇偶性的定义直接判断； 对于B ：利用单调性的四则运算即可判断； 对于C ：取特殊值()()11g g ≠-，即可判断； 对于D ：直接求出()g x 的值域即可判断.【详解】对于A ：因为函数()e 11e 2x x f x =-+，所以函数()1121e x f x =-+，所以()()e 1111e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++，所以()f x 是奇函数.故A 错误； 对于B ：因为()e 1111e 221e x x xf x =-=-++，而e xy =为增函数，11e x y =+为减函数，11e x y =-+为增函数，所以()1121xf x e =-+为增函数.故B 正确；对于C ：因为()()1111021e g f ⎡⎤⎡⎤==-=⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，而()()11111121e g f ⎡⎤⎢⎥⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 所以()()11g g ≠-，所以()g x 不是偶函数.故C 错误；对于D ：因为1e 1x +>，所以()1122f x -<<，所以()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-. 故D 正确. 故选：BD【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：()()f x f x =-或()()f x f x =-； （2）判断函数的单调性的方法：①定义法；②图像法；③四则运算法；④导数法.三、填空题13．函数()ln 1y x =-___________. 【答案】()1,2##{}12x x <<【分析】根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数()ln 1y x =-1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<.故函数()ln 1y x =-+的定义域为()1,2. 故答案为：()1,2.14．若函数()21f x ax bx =++是定义在[]1,2a a --上的偶函数，则a b +=___________.【答案】1【分析】根据偶函数的定义与性质，求参数的取值.【详解】由定义域关于原点对称，所以120a a --+=，所以a =1.又()221()1f x ax bx f x ax bx -=-+==++，所以b =0.所以，a +b =1. 故答案为：1.15．若函数()log (6)a f x ax =-在[0,2]上为减函数，则a 取值范围是___________. 【答案】()1,3【分析】令log a y u =，0a >且1a ≠ ，6u ax =-，由log a y u =是增函数且0u >恒成立，列出关于a 的不等式组并解之即可.【详解】令log a y u =，0a >且1a ≠ ，6u ax =-，因为函数()log (6)a f x ax =-在[]0,2上是减函数且6u ax =-在[]0,2上是减函数， 所以log a y u =是增函数且0u >恒成立，即1620a a >⎧⎨->⎩，解之得a 的取值范围是()1,3.故答案为：()1,3.16．定义在R 上函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=且当[0,2)x ∈时，()21f x x =--，则使得1()8f x ≤在[),+∞m 上恒成立的m 的最小值是________．【答案】8【分析】根据给定条件，依次求出函数()f x 在[0,2),[2,4),[4,6),,[2,22),N n n n +∈上的最大值、最小值，再借助函数图象求解作答. 【详解】R 上函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()21f x x =--，max min ()2,()1f x f x ==， 当[2,4)x ∈时，2[0,2)x -∈，11()(2)1322f x f x x =-=--，max min 1()1,()2f x f x ==， 当[4,6)x ∈时，4[0,2)x -∈，2111()(4)5224f x f x x =-=--，max min11(),()24f x f x ==， 当[2,22),N x n n n ∈+∈时，2[0,2)x n -∈，1111()(2)(21)222n n n f x f x n x n -=-=--+，max min 111(),()22n n f x f x -==， 由11128n -≤得，4n ≥，因此当8x ≥时，1()8f x ≤恒成立， 观察图象知，[),[8,)m +∞⊆+∞，则有8m ≥，所以m 的最小值是8.故答案为：8【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.四、解答题17．化简求值（需要写出计算过程） (1)若1004a =，1025b =，求2a b +的值；(2)23ln 213248e log log 32log 327-⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭．【答案】(1)2 (2)1-【分析】（1）先取对数将,a b 表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可. 【详解】（1）1004lg100lg 42lg 4a a a =⇒=⇒=，1025lg 25b b =⇒=，得2lg 4lg 25lg1002a b +=+== （2）原式223135232222log 2log 2log 33-⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2212534-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭91344=-1=- 18．已知集合{}{}2230,2A x x x B x m x m =--<=-<<(1)若0m =，全集U A B =⋃，求UB ；(2)若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){}03x x ≤< (2)(][),15,-∞-⋃+∞【分析】（1）解二次不等式化简集合A ，再利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用数轴法分类讨论B =∅与B ≠∅，即可求得m 的取值范围.【详解】（1）由2230x x --<得()()310x x -+<，解得13x -<<，所以{}13A x x =-<<， 又0m =，所以{}{}220B x m x m x x =-<<=-<< 所以{}23U A B x x =⋃=-<<，故{}03UB x x =≤<.（2）因为A B ⋂=∅，所以当B =∅时，2m m -≥，无解；当B ≠∅时，由数轴法得1m ≤-或23m -≥，故1m ≤-或5m ≥， 综上：1m ≤-或5m ≥，即实数m 的取值范围为(][),15,-∞-⋃+∞.19．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足: 当1x <-时，()()21f x x =+，当11x -≤≤时，()f x x =.(1)在平面直角坐标系中画出函数 ()f x 在R 上的图象，并写出单调递减区间; (2)求出 1x >时的解析式.【答案】(1)图像见解析，单调递减区间为 (),1-∞-和()1,+∞； (2)()()21f x x =--.【分析】（1）根据奇函数的对称性结合条件可得函数的图象，根据图象可得函数单调减区间； （2）根据奇函数的定义结合条件即得.【详解】（1）因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当1x <-时，()()21f x x =+，当11x -≤≤时，()f x x =，可得函数的图象，由图可知，单调递减区间为 (),1-∞-和()1,+∞；（2）设1x >，则()()21,1x f x x -<--=-+， 又函数()f x 为奇函数，所以 ()()()()2211f x f x x x =--=--+=--， 即 1x >时的解析式为()()21f x x =--.20．已知定义域为R 的函数21()22x x f x a =-+是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的x ∈R ，不等式()()220f x x f x m -+->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)1a =；(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析； (3)18⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,-.【分析】（1）由()f x 是奇函数可得()00f =，求出a 的值，再验证此时()f x 是奇函数； （2）()f x 先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数()f x 在R 上单调递增； （3）等价于22m x x <-恒成立，求函数的最小值即得解. 【详解】（1）因为函数的定义域为R ，所以()110012f a =-=+，∴1a =. 经检验当1a =时，2121()2122(21)x x x x f x -=-=++， 2112()()2122(21)x xx x f x f x ----=-==-++，所以1a =.（2）()211111111212212221x x x x f x +-=-=--=-+++， 函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以()()()()12212112112*********x x x x x x f x f x --=-=++++，因为1222x x >，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递增.（3）∵()f x 是奇函数，由已知可得()()220f x x f x m -+->，所以()()()222f x x f x m f x m ->---+=，所以222,2x x x m m x x ->-+∴<-， 设2()2g x x x =-，当min 111()21648g x =⨯-=-. 所以18m <-.∴实数m 的取值范围为18⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,-.21．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()10kP x x=+（k 为常数，且0k >），日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为505元． (1)给出以下四个函数模型：①()Q x ax b =+；②()Q x a x m b =-+；③()xQ x a b =⋅；④()log b Q x a x =⋅．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），求()f x 的最小值．【答案】(1)选②()Q x a x m b =-+，()2060(130,N )Q x x x x *=--+≤≤∈(2)441【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出k ，再根据表中数据可知时间x 变换时，()Q x 先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解；（2）分120,N x x *≤≤∈和2030,N x x *<≤∈，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案.【详解】（1）解：因为第10天的日销售收入为505元，则105050510k ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得1k =，由表格中的数据知，当时间x 变换时，()Q x 先增后减，函数模型：①()Q x ax b =+；③()x Q x a b =⋅；④()log b Q x a x =⋅都是单调函数， 所以选择模型②：()||Q x d x m b =-+，由()()1525Q Q =，可得1525m m -=-，解得20m =，由(15)555(20)60Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩，解得1,60a b =-=，所以日销售量()Q x 与时间x 的变化的关系式为()2060(130,N )Q x x x x *=--+≤≤∈；（2）解：由（1）知()40,120,N 206080,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩， 所以()()()()()11040,120,N 11080,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⋅=⎨⎛⎫⎪+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()4010401,120,N 8010799,2030,N x x x xf x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，当120,N x x *≤≤∈时，()4010401401441f x x x =++≥=， 当且仅当4010x x =时，即2x =时等号成立，当2030,N x x *<≤∈时，()8010799f x x x=-++为减函数， 所以函数的最小值为()min 8(30)4994413f x f ==+>，综上可得，当2x =时，函数()f x 取得最小值441.22．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，则称x 为()f x 的“稳定点”．若函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．(1)求证：A B ⊆；(2)若R b ∀∈，函数()21f x x bx c =+++总存在不动点，求实数c 的取值范围；(3)若()21f x ax =-，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析； (2){}1c c ≤- (3)13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分A =∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论即可；（2）问题转化成()2110x b x c +-++=有解，利用判别式即可而得到答案；（3）由A ≠∅可得21ax x -=有实根，14a ∴≥-，又A B ⊆，所以()2211a ax x --=，即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=.再由题中条件，即可得出结果【详解】（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立，若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦，即t B ∈， 从而A B ⊆，故A B ⊆成立；（2）原问题转化为R b ∀∈，()f x x =有解，∴21x bx c x +++=即()2110x b x c +-++=，则()()21410b c ∆=--+≥即()()2411c b +≤-恒成立， ∴()()2min4110c b +≤-=，∴1c ≤-，所以实数c 的取值范围为{}1c c ≤-；（3）A 中的元素是方程()f x x =即210ax x --=的实根，由A ≠∅，知0a =或0Δ140a a ≠⎧⎨=+≥⎩,解得14a ≥-， B 中元素是方程()2211a ax x --=即3422210a x a x x a --+-=的实根，由A B ⊆知方程含有一个因式21ax x --，即方程可化为：()()222110ax x a x ax a --+-+=，若A B =，则方程2210a x ax a +-+=①要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=②的根， 若①没有实根，当0a =时，方程为10=，不成立，故此时没有实数根；当0a ≠时，()22410a a a ∆=--<，解得34a <，此时34a <且0a ≠； 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有22a x ax a =+，代入①有210ax +=， 由此解得12x a =-，再代入②得111042a a+-=，解得34a =， 综上，a 的取值范围为13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。