电磁场的能量密度和能流密度
试论介质中的电磁能量密度
试论介质中的电磁能量密度【摘要】电磁技术是目前应用最广泛的现代化技术之一，如频率在300MHz-300GHz之间的微波段电磁波广泛用于无线通信、材料处理、微波加热、化工过程强化和医疗诊断等领域。
电磁技术的进一步广泛应用需要对电磁场与物质相互规律的深入了解，尤其是物质对电磁波的吸收与消耗。
【关键词】极化能；磁化能；能量密度；电磁能量损耗功率密度1.介质中的电场能量密度和磁场能量密度1.1 电磁能量密度和能流密度电（磁）场的能量特性通常采用能量密度和能流密度（也称为坡印廷矢量）来描述。
能量密度是指在单位体积空间或介质中的能量；能流密度S是指电磁波在传播过程中，单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的能量。
导出电磁场能量密度的普遍方法是，根据电磁场与带电体相互作用过程中的能量守恒，利用麦克斯韦方程和洛伦兹力公式得到能量密度和能流密度。
电磁场的能量平衡方程是■=-?塄·S-f■·v (1)该方程的物理意义是单位时间单位体积内电磁场能的增加量?坠w/?坠t等于通过边界的流入量(-?塄·S)减去电磁场对运动电荷做功的功率密度f■·v。
设介质中的电荷密度是?籽■，电荷的运动速度是v，单位体积介质受到的电磁作用力密度（洛伦兹力）是f■=?籽■E+?籽■v×B (2)利用洛伦兹力公式（2）可以将电磁场对运动电荷做的功率密度写为:f■·v=?籽■v·E=J■·E (3)其中J■=?籽■v是电流密度。
电场对电介质的作用效果是产生极化电荷和极化电流，极化电荷（束缚电荷）密度是?籽■=-?塄·P，极化电流密度是J■=?坠P/?坠t，P是极化强度，即单位体积介质中的电偶极矩。
磁场对磁介质的磁化效果是产生磁化电流，磁化电流密度是J■=?塄×M，M是磁化强度，即单位体积介质中的磁偶极矩。
在电磁学理论中为了研究方便，通过定义D=?着■E+P，将极化效果归并到辅助场量D中；通过定义H=B/?滋■-M，而将磁化效果归并到辅助场量H中。
9-3电磁场的能量密度和能流密度
E
S
H
平面电磁波能流密度平均值
S
1 2
E0 H 0
振荡偶极子的平均辐射功率 p p02 4 4
12πu
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
电偶极子单位时间通过球面辐射出去的能量
P
S
ds
EH
r
2
s
indd
E(r,t) p0 2 sin cos(t r )
D
E
1 2
0E2
磁场能量密度：
wm
1 2
B
H
能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
电磁场能量密度：
w
1 2
0E2
1 2
0H
2
由于电磁场能量以电磁波相同的速度传播， 上式即为电磁波的能量密度。
二 电磁波能流密度
单位时间流过垂直于传播方向单位面积的 电磁波能量—能流密度.
S
wu
u 2
(0E 2
0H
2)
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
将
uC 1
00
代入，并注意 0 E 0 H
S1 2
1(
00
0
0E E
0
0 H H)
1 (HE HE) EH 2
S EH
因为 E H ,并且E H 所决定的方向为电磁波
能量传播方向。
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
➢ 电磁波的能流密度（坡印廷）矢量
电磁场的能量
电流都有相同的值，因此， 电流都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给 负载上消耗的能量。 负载上消耗的能量。 如果电磁能是靠电流传输，功率P与 成正比无法得到 ③ 如果电磁能是靠电流传输，功率 与U成正比无法得到 解释。 解释。 电磁能的传输，可以有电路，也可以没有电路。 ④ 电磁能的传输，可以有电路，也可以没有电路。
称为能流密度矢量（ 玻印亭矢量） 称为能流密度矢量 （ 玻印亭矢量 ） 它表 示单位时间、垂直通过单位面积的能量， 示单位时间 、 垂直通过单位面积的能量 ， 用来描述能量的传播。 用来描述能量的传播。
r r r ∂D r ∂Β ∂ 1 r r r r Ε⋅ + Η⋅ = Ε⋅ D + H ⋅ B ∂t ∂t ∂t 2
1. 电磁能的传输不是靠电流！ 电磁能的传输不是靠电流！
导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 ① 导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 却很大。 却很大。导线内电荷定向移动的速度为 V ~ 6×10 ×
-5m/s，电能的传输速度为 ，电能的传输速度为c=
3×10 8m/s。 × 。
§6
电磁场的能量
二、电磁场能量守恒公式
1、场的能量密度和能流密度 2、电磁场对带电系统作的功率
设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动， 设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动， r 电荷密度为
ρ
r r dr r v= , J =ρ v ，运动速度为 运动速度为 dt
带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度） 带电体受电磁场的洛伦兹力（力Байду номын сангаас度）
dA dW =− dt dt
r r r ∂w ∇⋅ S + = −f ⋅v ∂t
能量守恒定律2能量密度和能流密度带电体受电磁场的洛伦兹力
场对电荷所作的功为：
dW f d r
W f d rdV
场对电荷单位时间所作的功为(功率)：
dr dP f f v dt
S d
S
P f vdV
V内场的能量增加率为：
dW dt
S V
, J
d wdV dt V
d wdV V dt
J f t
D f
D J 0 t
D J 0 t
D (J ) 0 t
（２）
J E
2 rLE 1
E
0 f
f L
2 r
f f 1 f J E 2 r t 2 r t f
I2 l 2 2 P Sr 2 al 2 3 2 al I I R 2 2 a a
14. 内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷 电为 ，极间填充电导率为 的非磁性物质．
f
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消， 因此内部无磁场。 （2）求 f 随时间的衰减规律． （3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度 （4)求长度为L的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于 这段的静电能减少率 解：（1）
B E H H E E H H E H t D B f v E J H E H t t
通过界面S流入V内的能量为：
S d
S
能量守恒定律
S d
S
V
d f vdV wdV dt V
电磁场的能量和能流
04
电磁场能量和能流的应 用
电磁场能量在电力工业中的应用
发电
利用电磁场能量将机械能 转化为电能，如水力发电、 风力发电和火力发电等。
输电
通过高压输电线路将电能 传输到远方，利用电磁场 能量减少能量损失。
配电
在配电过程中，利用电磁 场能量进行变压、稳压， 确保电能质量。
电磁场能流在通信领域的应用
磁场能量
01
磁场能量密度
磁场能量密度定义为磁场与磁介质相互 作用产生的能量密度，单位为焦耳/立 方米（J/m^3）。
02
电感储能
在电感器中，磁场能量储存在磁场中 ，与电流和线圈的乘积成正比。
03
磁场能量与电流的关 系
磁场能量与电流分布和磁场强度的平方 成正比，即W=1/2 * μ0 * H^2 * V， 其中W是磁场能量，μ0是真空磁导率密度
电磁波的传播
电磁场总能量密度定义为电场能量密 度与磁场能量密度的和，即W=1/2 * (ε0 * E^2 + μ0 * H^2) * V。
电磁波在空间传播时，携带一定的能 流密度，能流密度与电场强度和磁场 强度的乘积成正比。
电磁场能量的转换与守恒
在电磁场中，电场能量和磁场能量可 以相互转换，但总能量保持守恒。
电磁场的能量和能流
目 录
• 电磁场的基本概念 • 电磁场的能量 • 能流 • 电磁场能量和能流的应用 • 电磁场能量和能流的未来发展
01
电磁场的基本概念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的， 存在于电荷和电流周围的空间。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁场的性质
02
证明辐射场中能流和能量密度的关系
证明辐射场中能流和能量密度的关系能流和能量密度的关系可以通过能流公式和能量密度公式来证明。
能流公式：根据电磁学的基本公式，辐射场中的能流可以表示为：$P = \vec{S}\cdot \vec{n}$。
其中，$P$ 表示能流量，$\vec{S}$ 表示能流密度，$\vec{n}$ 表示能流的传播方向。
能量密度公式：辐射场中的能量密度可以表示为：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2$。
其中，$\epsilon_0$ 和 $\mu_0$ 分别是真空中的电容率和磁导率，$E$ 和 $H$ 分别是电场强度和磁场强度。
证明：根据能流公式，能流量是能流密度和能流传播方向的乘积。
如果我们假设能流的传播方向为单位向量 $\vec{n}$，则能流密度可以表示为：$\vec{S} = P \vec{n}$。
将上述式子代入能量密度公式中，我们可以得到：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2 = \frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2 + \mu_0 H^2) + \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 - \mu_0 H^2)$。
因为 $\vec{E}$ 和 $\vec{H}$ 都是垂直于能流传播方向$\vec{n}$ 的向量，所以能流的传播方向可以表示为 $\vec{n} = \vec{E} \times \vec{H}$。
带入上式，并使用矢量叉乘运算的恒等式$\vec{a}\times \vec{b}\cdot \vec{c} = \vec{b} \times\vec{c}\cdot\vec{a}$，可以得到：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2 =\frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2 + \mu_0 H^2) + \frac{1}{2}\epsilon_0 \mu_0 \vec{E} \cdot \vec{H} \,\vec{n}\cdot \vec{n}$。
§1.6-电磁场的能量及能流解读
则： w S E D ( E H ) E H t t
D B E H (E H ) t t
对比上式的左右对应关系，显然有：
由微分算子公式： (E H ) E H E H
②在线性介质中： D E, B H 1 2 1 2 w E H 有： 2 2 S E H
电动力学
电动力学
3、电磁场能量的传输
由前面的讨论： S EH
显然，电场、磁场与电磁场的传播方向构成右手系。 例：对于内外半径为a、b的同轴导线，其中通有电流I， (1) 若导线为理想导体 (2) 若导线的电导率为 分别求能流密度。 解:(1) 若为理想导体，导体内为等势体，电场为0，若同轴 线间的电压为U,若同轴线间的电场强度为E，导线的
w D B E H t t t S E H Poynting矢量
电动力学
电动力学
讨论：
①在真空中：D 0 E, B 0 H
w 1 2 2 E H 0 0 则： t 2 t S E H 1 1 2 2 w E H 0 0 显然有： 2 2 S E H
线电荷密度为，则: 2 rlE l
所以： E er 2 r
电动力学
电动力学
显然： a 2 r dr U 2U 则： b log a U 1 由此得： E er br log a
b
H 若导线通有电流I，则：
所以： S
I 2 r
e
UI
ez er e b 2 r b r2 r log 2 log a a b ez UI 单位时间输运的能量为： S dA 2 rdr UI 2 a b A 2 log r a 电动力学 U I
电磁场的能量密度和能流密度
电磁场的能量密度和能流密度●电磁场能量●电磁场对电荷系统作功●电磁能密度和电磁能流密度的表达式●介质的极化能和磁化能( 1 ) 电磁场能量电磁场是一种物质。
电磁场运动与其他物质运动形式之间能够互相转化，它们都具有共同的运动量度−−能量。
这里，我们通过电磁场与带电物体相互作用过程中，电磁场能量和带电物体运动的机械能之间的相互转化，导出电磁场能量的表达式。
能量是按照一定的方式分布在电磁场内的，而且随着电磁场的运动，能量将在空间中传播。
引进：电磁能密度(体积电磁能) w，表示电磁场单位体积内的能量；电磁能流密度矢量S，表示单位时间内流过与能量传输方向(矢量S方向)垂直的单位横截面积的电磁能量( 2 ) 电磁场对电荷系统作功考虑空间某区域，设其体积为V，表面为A，自由电荷密度为ρe0，电流密度为j0. 以f表示电磁场对电荷的作用力密度，v 表示电荷的运动速度，则电磁场对电荷系统所作功的功率为⎰⎰⎰⋅)(d V V v f ,体积V 内电磁场能量的增加率为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=)()(d d d d V V V t w V w t , 通过界面A 流入V 内的电磁能为σ⎰⎰⋅-)(d A S .能量守恒定律要求单位时间内通过界面A 流入V 内的能量，等于场对V 内电荷作功的功率以及V 内电磁场能量的增加率之和，即⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+⋅=⋅-)()()(d d d A V V V t w V v f A S . (14.64)利用奥-高斯公式可得，式(14.64)的相应的微分形式是 v f S ⋅-=∂∂+⋅∇tw . (14.65) ( 3 ) 电磁能密度和电磁能流密度的表达式 ① 由洛仑兹力公式可得0)()(j E v E v B v E v f ⋅=⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ. (14.66)② 将麦克斯韦方程组中的式t ∂∂-⨯∇=D H j 0 (14.22) 代入上式，可得 t ∂∂⋅-⨯∇⋅=⋅DE H E j E )(0.(14.67) ③ 利用矢量分析中的公式)()()(H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇,及式 t ∂∂-=⨯∇BE ，(14.20)可将式(14.67)化为 t t ∂∂⋅-∂∂-⋅+⨯⋅∇-=⋅DE B H H E j E )()(0,即 t t ∂∂⋅+∂∂⋅+⨯⋅∇=⋅-DE B H H E v f )(.④ 将上式与能量守恒定律所要求的式 v f S ⋅-=∂∂+⋅∇t w(14.65)比较，即=∂∂+⋅∇t w S t t ∂∂⋅+∂∂⋅+⨯⋅∇DE BH H E )(,可得H E S ⨯=, (14.68)tt t w ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂B H D E . (14.69)这就是电磁场能流密度矢量(坡印廷矢量) S 以及能量密度变化率∂w/∂t 的普遍表达式。
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电磁场的能量密度和能流密度
电磁场能量
电磁场对电荷系统作功电磁能密度和电磁能流密度的表达式介质的极化能和磁化能
( 1 ) 电磁场能量电磁场是一种物质。
电磁场运动与其他物质运动形式之间能够互相转化，它们都具有共同的运动量度能量。
这里，我们通过电磁场与带电物体相互作用过程中，电磁场能量和带电物体运动的机械能之间的相互转化，导出电磁场能量的表达式。
能量是按照一定的方式分布在电磁场内的，而且随着电磁场的运动，能量将在空间中传播。
引进：电磁能密度(体积电磁能) w，表示电磁场单位体积内的能量；
电磁能流密度矢量S，表示单位时间内流过与能量传输方向(矢量S 方向)垂直的单位横截面积的电磁能量( 2 ) 电磁场对电荷系统作功考虑空间某区域，设其体积为V，表面为A，自由电荷密度为e0，电流密度为j0. 以f 表示电磁场对电荷
的作用力密度， v 表示电荷的运动速度，则电磁场对 电荷系统所作功的功率为
f vdV,
(V) 体积 V 内电磁场能量的增加率为 dw
wdV dV,
dt (V) (V) t
通过界面 A 流入 V 内的电磁能为
S d .
(A) 能量守恒定律要求单位时间内通过界面 A 流入 V 内的 能量，等于场对 V 内电荷作功的功率以及 V 内电磁场 能量的增加率之和，即
(14.64)
利用奥 高斯公式可得，式 (14.64)的相应的微分形式是
(14.65)
( 3 ) 电磁能密度和电磁能流密度的表达式
① 由洛仑兹力公式可得 f v ( E v B) v E ( v) E j 0.
(14.66) ② 将麦克斯韦方程组中的式 S dA f vdV ( )
(V)
(V)
dV . f v.
w S f v t
比较，即
w (E H) H B E t t t
可得
S E H ,
(14.68)
w D B
E H .
t t t j 0 (14.22) 代入上式，可得
E j 0 E ( H) E D t . ③ 利用矢量分析中的公式
(14.67) (E H) H ( E) E ( 及式 E B
t ，
H),
(14.20)
可将式 (14.67)化
为
E j 0 (E H) H ( f v (E H) H B
t)
B t
E t
④ 将上式与能量守恒定律所要求的式
(14.65)
(14.69)这就是电磁场能流密度矢量(坡印廷矢量) S 以及能量密度变化率w/ t 的普遍表达式。
( 4 ) 介质的极化能和磁化能在介质中，极化能和磁化能都归入电磁场能中一起考虑，因此式(14.68)和式(14.69)中的S和w分别代表介质中总电磁能的能流密度和能量密度。
由式(14.69)可以得到，介质中电磁场能量的改变量的普遍表达式为
w E D H B. (14.70) 在线性介质的情况下，
D 0 E, B 0 H ，
上式可以积分得到电磁场能量密度的表达式为
1
w 2(E D H B). (14.71) 应该注意到，式(14.71)仅适用于线性介质，在一般情况下必须应用普遍的公式(14.70)。
( 5 ) 平面电磁波
对于平面电磁波，电磁波的能流密度矢量S E H 总是沿着电磁波的传播方向k 的。
电磁波中的E 和H 都随时间迅速变化，在实际中重要的是S 在一个周期内的平均值，即平均能流密度S.对于简谐平面电磁波，
v,
或 r 0 E 0 r 0 H 0,
平均能流密度为
1
2 E 0H 0, 式中 E 0和 H 0分别是 E 和 H 的振幅。
因 E 0和 H 0之间 存在着比例关系
r 0 E 0
r 0 H 0, 故有 S E 02
或 S H 02,
(14.73) 即平面电磁波的平均能流密度正比于电场强度或磁 场强度振幅的平方。
二 电磁场的动量 根据狭义相对论，能量和动量是密切联系着的，它们 形成一个四维矢量。
于是，我们可以预期，电磁波除 具有能量外还带有一定的动量。
由于电磁波是以光速 c 传播的，所以利用狭义相对论 所给出的能量 动量关系式
E cp 以及式
E E 0
1 B B 0 (14.72) (7.35)
(14.59)
可以求出与真空中平面电磁波相联系的单位体积的 动量为 0E 2
c 由于动量是矢量， 因此上式可以写成如下的矢量形式：
11
g 2 E H 2 S ,
(14.74) cc
即电磁波动量密度的大小正比于能流密度，其方向沿 电磁
波的传播方向。
由于电磁波带有动量，所以在它被物体表面反射或吸 收时，必定产生压强，称为辐射压强。
光是一种电磁 波，它所产生的辐射压强称为光压。
太阳光投射到与 其入射方向垂直的地球表面上的平均强度为
2
I 0 1.35 kW/m 2 ，
称为太阳常量。
与地面大气压强 105 N/m 2相比，太阳 光在镜面上产生的光压 9 10 6 N/m 2 是一般很难观 测到的非常小的压强。
在两个从尺度上看是截然相反的领域中，光压却起了 重要的作用：
① 在原子物理学中，最著名的现象是光在电子上散1 2
c 其方向与电磁波的传播方向相同，
射时与电子交换动量的过程，即康普顿效应。
② 在天体物理学中，星体外层受到其核心部分的引力，相当大一部分是靠核心部分的辐射所产生的光压来平衡的。
例如，彗星尾是由大量尘埃组成的，当彗星运行到太阳附近时，由于这些尘埃微粒所受到的来自太阳的光压比引力大，所以它被太阳光推向远离太阳的方向而形成很长的彗星尾。
彗星尾被太阳光照得很亮，有时能被人用肉眼看到。
在我国的民间，常按其形象把彗星叫做扫帚星。
总之，电磁场不仅具有能量，而且具有动量。
三电磁场是物质的一种形态能量和动量都是物质运动的量度，运动是物质的存在形式，运动和物质是不可分割的。
电磁场具有能量和动量，它是物质的一种形态。
随着科学技术的发展，发现“场”和“实物”之间的界限日益消失。
对黑体辐射和光电效应等一系列现象的研究发现，光也具有不连续的微观结构，或者说，光在某些方面也具有微粒性；与此同时，从电子衍射现象发现，一向被认为是实物微粒的电子同时也具有波动性。
特别是，1932 年发现，一对正负电子结合后可以转化为射线，即静质量为零的光子。
这些事实表明，电磁场和实物一样，也是客观存在的物质，只是电磁场和实物各具有一些不同的属性，而这些属性还会在一定的条件下相互转化。