03第三讲积分及其应用

1 第三讲 积分及其应用 考纲要求 1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法. 3.会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式. 5.了解广义积分的概念，会计算广义积分. 6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值. 一、不定积分

1 不定积分的概念与性质

定义1 如果在区间I上，有Fxfx或者()()dFxfxdx，则称Fx为fx在区间I上的原函数. 定义2 fx的全体原函数称为fx的不定积分，记作()fxdx. ▲它们的关系是：如果Fx为fx的一个原函数，则()()fxdxFxC. 上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数. 性质1（互逆性）如果不计任意常数，求导运算和积分运算是互逆的，即 [()]()dfxdxfxdx （先积后导还原了） ()()fxdxfxC （先导后积还原C）

性质2 （线性性）[()()]fxgxdx()()fxdxgxdx.

题型1 与原函数有关的问题 例题1 若1])([3xf，则()fx .【3Cx】 例题2 已知xxxf22tansin)cos2(，则)(xf .【Cxx213)2(3】 例题3 已知)(xf的一个原函数为xxln)sin1(,则dxxfx)( .【Cxxxxxxln)sin1(sinlncos】 例题4 下列命题中不正确的是（）.【B】 (A)若()fx为连续的奇函数，则其原函数为偶函数；(B)若()fx为连续的偶函数，则其原函数为奇函数；

(C)若()fx为可导的奇函数，则其导函数为偶函数；(D)若()fx为可导的偶函数，则其导函数为奇函数。 解 由0()()xfxdxftdtC知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A. 2

▲求导改变函数的奇偶性. 证明如下： 若()()fxfx，则()(1)()fxfx，即()()fxfx.

▲积分0()xftdt改变函数的奇偶性. 证明如下：记0()()xxftdt， 若()()fxfx，则000()()()()()()utxxxxftdtfudufudux. 2 常用的积分公式 常用的积分公式有22个，它们是：

（1）kdxkxC；（2）111xdxxC；（3）1lndxxCx；（4）lnxxaadxCa； （5）eexxdxC；（6）sincosxdxxC；（7）cossinxdxxC；（8）2sectanxdxxC； （9）2csccotxdxxC；（10）sectansecxxdxxC；（11）csccotcscxxdxxC；

（12）21arcsin1dxxCx；（13）21arctan1dxxCx；（14）tanlncosxdxxC； （15）cotlnsinxdxxC；（16）seclnsectanxdxxxC；（17）csclncsccotxdxxxC； （18）221arcsinxdxCaax；（19）2211arctanxdxCaxaa；

（20）2211ln2xadxCxaaxa；（21）22221ln()dxxxaCxa （22）22221lndxxxaCxa ▲其中三角函数的积分公式10个，与二次式有关的积分公式7个. 3 不定积分的第一类换元法（凑微分法） 凑微分法是由复合函数求导法则导出的积分方法，适用于计算形如[()]()fxxdx的积分 . 定理 设有积分公式()()fxdxFxC，则[()]()[()]()[()]fxxdxfxdxFxC. ▲凑微分型积分特点：[()]()fxxdx，关键是凑微分，即将()xdx凑成微分()dx，从而积分[()]()[()]()fxxdxfxdx，其中f是22个函数之一；

▲本公式说明，将22个积分公式中的x换为()x，公式仍成立； ▲在运用凑微分法求不定积分时，请记住下面的口诀： 3

根据复合抓住u，凑完微分配系数； 使用公式要准确，积分消失加常数； 特殊情形有两个，就是u和u倒数：

()()xxdx，()()xdxx

4 不定积分的第二类换元法 定理 设()fx连续，()t单调、可导且()t连续，则1()[()]()()[()]fxdxfttdtGtCGxC.

▲当被积函数含2222,axxa时，用三角代换； ▲当被积函数含naxb，naxbcxd，e1x时，根式代换，令ntaxb，naxbtcxd，e1xt； ▲当被积函数分母次数较高时，倒代换，令1tx. 5 不定积分的分部积分法：分部积分公式由乘积求导法则导出，用于计算形如uvdx的积分. 设(),()uuxvvx都具有连续导数，则由乘积求导法则()uvuvuv，得()uvuvuv 两边求不定积分，得uvdxuvuvdx，即udvuvvdu uvdxudv（凑微分）uvvdu（用公式）uvuvdx（算微分，求积分）关键是凑微分.

▲分部积分型积分特点：uvdx，被积函数为“反对幂指三”五类函数的乘积，下面都是典型的分部积分题： 分部化简型：2xxedx；2sinxxdx；2lnxxdx；arctanxdx. 分部还原型：sinxexdx；3secxdx ；22axdx. 分部递推型：enxxdx，22()ndxxa. 分部抵消型：1[ln(ln)]lnxdxx. 可以这样说，凡是“反对幂指三”五类函数的乘积，只要不是凑微分题，都可以考虑用分部积分法计算. ▲使用分部积分法求不定积分时，请记住下面的口诀： 可凑尽量凑，不可不强求，反对幂指三，逆序找函数； 一乘一交换，判别难易度，难度若降低，积分可以求； 难度若相当，还原有希望，分部若降次，可得递推式； 积分积不出，分部试一试，若能两相消，难点解决掉.

6 有理函数的不定积分 4

由于假分式多项式真分式，所以关键是真分式()()()PxRxQx的积分，步骤是： ⑴将()Qx在实数范围内分解因式； ⑵将()()()PxRxQx表为部分分式之和，其方法是：

若()Qx有因式()kxa，则分解式中含下列k项之和122()()kk

AAA

xaxaxa，

若()Qx有因式2()kxpxq，则分解式中含下列k项之和11222222()()kkk

MxNMxNMxNxpxqxpxqxpxq





；

⑶用待定系数法求出,,iiiAMN； ⑷求出积分. ▲许多函数（如指数有理式(e)xR，三角有理式(cos,sin)Rxx，根式有理式()nRaxb等）的积分可以通过换

元：ext，tan2xt，ntaxb化为有理函数的积分.

题型2 求简单有理函数的不定积分

例题1 求不定积分2565xdxxx.【215ln652ln21xxxCx】 例题2 求不定积分2221(1)(4)xdxxx.【243219ln1ln(4)arctan255(1)25502xxxCx】 ▲ 确定待定系数时，辅之以特殊值法，使计算更快捷，如本题令1x，立即得3/5B. 例题3 求不定积分661(1)dxxx.

题型3 简单无理函数的不定积分 例题1 求不定积分11xdxx.【2arcsin1xxC】 例题2 求不定积分dxxx231. 【32221(1)13xxC】 2.21dxxx 例题3 求不定积分)4(xxdx.【2arcsin2xC】 5

例题4 求不定积分e1xdx. 题型4 三角有理式的不定积分 1.“1”的妙用 例题1 求不定积分(1)31sincosdxxx;(2) 1sinxdx. 2.将分母化为单项式 例题1 求不定积分(1)sin1sinxdxx;(2) 1sin1cosxxedxx. 3.降幂法 例题1 求不定积分(1)sin4cos2cos3xxxdx;(2) 24sincosxxdx. 4.变量替换法

例题1 求不定积分4sincos1sinxxdxx【21arctan(sin)2xC】 例题2 求不定积分(1)33sinsincosxdxxx;(2) 2(2sin)cosdxxx;(3) 2(54cos)(2cos)sinxdxxx. 题型5 分段函数的不定积分 例题1 设2,0()0,0xxfxx，求()fxdx【31,0()3,0xCxfxdxCx】

例题2 求32max(,,1)xxdx【3412,133,1113,144xCxxCxxCx】 题型6 含对数函数、反三角函数的不定积分