工程力学动量矩
第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
工程力学—动量矩定理
FOy O FOx u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等 于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A 位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人 与重物A将始终保持相同的高度。
12 动量矩定理
• • • • • • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
A
mg mg
u
va
ve＝v
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速 度 转动，则 Lz＝ Jz。
刚体受有主动力和轴承 约束反力，如不计摩擦，则 由质点系动量矩定理得 d ( J z ) M z ( F ) dt d 或 Jz M z (F ) dt J z M z ( F ) F1 z
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
工程力学-材料力学-第12章动量矩定理
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。
工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M
(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
M
(e) C
刚体
dLC dt
M
(e) C
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。
质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
动量矩定理
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。
动量矩定理
4. 常见刚体对轴的转动惯量 J z —刚体转动惯性大小的度量 质量 J z mi ri2 { 质量分布
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2 z称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中于一点， 该点距转轴的距离为ρz
动量矩定理
上例中：求质点系对AB(z)轴的动量矩 1.利用定义
动量矩定理
§3-1 质点系动量矩定理
1.质点动量矩的计算
◆质点对一点的动量矩：
MO (mv) r (mv)
◆质点对轴的动量矩
M x (mv) [M O (mv)]x y(mv z ) z(mv y ) M y (mv) [M O (mv)] y z(mv x ) x(mv z ) M z (mv) [M O (mv)]z x(mv y ) y(mv x ) 即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD
动量矩定理的三个公式
动量矩定理的三个公式动量矩定理是物理学中的重要概念，它有三个关键公式。
这三个公式在解决许多物理问题时，那可是相当有用的。
咱们先来聊聊第一个公式：对某定点 O，质点的动量矩 L 等于质点对该点的位置矢量 r 与质点的动量 p 的矢量积，即 L = r × p 。
这个公式看似有点复杂，其实你仔细琢磨琢磨，也不难理解。
比如说，你想象一下，有个小球在光滑的平面上滚动。
这个小球的速度很快，质量也不小。
那它的动量就比较大。
如果这个小球距离某个固定的点比较远，那它相对于这个点的动量矩就会更大。
再来说说第二个公式：质点所受的合力 F 对某定点 O 的力矩 M 等于质点对该点 O 的动量矩随时间的变化率，即 M = dL/dt 。
这个公式能帮助我们理解物体在受到外力作用时，它的转动状态是怎么变化的。
就像我们骑自行车的时候，我们蹬脚踏板的力就相当于一个外力。
这个力产生的力矩会让自行车的轮子转动起来，并且改变轮子的转动速度和方向。
最后是第三个公式：质点系对某定点 O 的动量矩 L 等于质点系中各质点对该点动量矩的矢量和，即L = ∑（ri × pi）。
这三个公式在实际应用中可是大显身手。
记得有一次，我在学校的物理实验室里，看到同学们在做一个关于转动惯量的实验。
实验台上有一个可以绕着中心轴旋转的圆盘，圆盘上有不同位置的小孔，可以通过改变小孔的位置来改变圆盘的质量分布。
同学们在圆盘上施加一个恒定的力矩，然后观察圆盘的转动情况。
他们通过测量圆盘的角速度和角加速度，来验证动量矩定理的公式。
当时有个同学怎么都弄不明白为什么改变圆盘的质量分布会影响它的转动状态。
我就用动量矩定理的公式给他解释。
我说，你看啊，质量分布变了，相当于质点的位置变了，那对中心点的动量矩也就跟着变了。
合力矩不变的情况下，动量矩的变化率就不一样了，所以转动状态就不同啦。
这同学听了之后，恍然大悟，那种因为搞懂一个难题而露出的兴奋表情，我到现在都还记得。
工程力学-结构力学课件-12动量矩定理p
12-1、图示三角形薄板，质量为m ，a 、h 已知，求薄板对z 轴的转动惯量z J 。
12-2、如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为A J ；C ，A ，B 三点在同一铅直线上。
1）当轮子只滚不滑时，若A v 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
2）当轮子又滚又滑时，若A v ，ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
题12-2图12-3、如图所示，求下列两种情况的动量矩O L ：(a) 质量为m ，半径为R 的均质薄圆盘绕水平轴O (垂直纸面)转动的角速度为ω； (b) 质量为m ，长为l 的均质细直杆绕O 轴转动的角速度为ω。
12-4、如图：（a ）所示刚体由均质圆环与直秆焊接而成，两者质量均为m ，求绕O 轴的转动惯量；(b ）所示均质圆盘质量为1m ，绳子无重且不可伸长．与圆盘之间无相对滑动，物块A 、B 质量均为2m ，求系统对O 轴的动量矩。
（a ）（b12-5、某质点对于某定点O 的动量矩矢量表达式为：226(86)(4)t t t =++--O L i j k ，式中为t 时间，i, j, k 分别为x 、y 、z 轴向的单位矢量，求此质点上作用力对O 点的力矩的大小。
12-6、均质杆AB ，长L ；质量m ，在已知力A F ,B F (A B F F ≠)作用下，在铅垂面内作平面运动，若对端点B ，中点C 的转动惯量分别为B J ，C J ，求图示瞬时杆AB 的角加速度。
12-7、两根质量均为8kg的均质细杆固连成T字形，可绕通过O点的水平轴转动，当OAω=。
求该瞬时轴承O处的约束反力。
处于水平位置时，T形杆具有角速度4rad/s12-8、均质圆轮A质量为1m，半径为1r，以角速度ω绕杆OA的A端转动，此时将轮放置在m的另一均质圆轮B上，其半径为2r，如图所示。
轮B原为静止，但可绕其中心轴质量为2自由转动。
第十章 动量矩定理
= J 1ω1 + ( J 2ω 2 + m 2 v 2 R 2 ) + m 3 v3 R 2 v 3 = v 2 = R 2ω 2 = 1 R1ω 1 2
J1 J2 LO = ( 2 + 2 + m2 + m3 )R2v3 R2 R2
7
§10-2
一．质点的动量矩定理
动量矩定理
d ( mv ) =F dt
2g P M 化简(1) 得： 1 a = 1 − T 2g r1
M1 /r −P 1 3 ∴ = a ⋅2g P +P +2P 1 2 3
21
§10-5 质点系相对于质心的 动量矩定理刚体平面运动微分方程
一．质点系对O的动量矩 质点系对 的动量矩
LO =rC ×mvC +LC r (LC =LC r )
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩， 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和。 作转动时的动量矩之和。
6
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 例 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。 解： O = LOA + LOB + LOC L
2．定轴转动刚体 Lz = ．
∑ mz (mi vi ) = ∑ mi ri ⋅ ω = J z ⋅ ω
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。 度的乘积。 J Z = ∑ mi ri 2 称为刚体对轴z的转动惯量 3．平面运动刚体 ．
பைடு நூலகம்
Lz = mz ( mvC ) + J C ⋅ ω
动量矩
动量矩
编辑
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动量矩又称角动量。
中文名
动量矩
外文名
moment of momentum
动力学普遍定理之一，它给出质点系的动量矩与质点系受机械作用的冲量矩之间的关系。
动量矩定理有微分形式和积分形式两种。
描述物体转动状态的量，又称角动量。
一个质量为m、速度为v、矢径为r的质点对r 的原点的动量矩为L=r×mv。
动量矩是个矢量，它在某一轴上的投影就是对该轴的动量矩。
对轴的动量矩是个标量。
质点系或刚体对某点（或某轴）的动量矩等于其中所有质点的动量对该点（或该轴）之矩的矢量和（或代数和〉。
常用的动量矩单位有
、
等。
平动的刚体，由于它的各点的速度都相同（见刚体的平动），所以它对某点的动量矩等于刚体质心以该点为原点的矢径与刚体动量的矢量积。
一个作半径r的匀速圆周运动的质点绕圆心O转动的角速度为），则质点对O的动量矩即质点的角动量为
，其中I 为质点对圆心的转动惯量。
绕定轴转动的刚体对定轴的动量矩即刚体的角动量，其中I为刚体对该轴的转动惯量，为刚体绕该轴转动的角速度。
绕定轴转动的刚体，其角动量变化率等于作用在刚体上所有外力对该轴之矩的代数和（见刚体动力学）。
若刚体不受外力矩作用，它的角动量不变（见动量矩守恒）。
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M(e) O
0,
LO 常矢量
外力系对某轴力矩的代数和为零 ，则质系对该轴的动量矩为一常 数，例如
M x (F(e) ) 0
Lx=常量
例 1 水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用
铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结重为P的小
球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为 铅垂，系统绕z轴的角速度为 。如0 某瞬时此细线拉断
i 1
d dt
MO (mivi )
n i 1
n
MO (Fi(i) )
i 1
MO (Fi(e) )
n
MO (Fi(i) ) 0
i 1
n
n
MO (Fi(e) )
ri
F(e) i
M(e) O
i 1
i 1
n
i 1
d dt
MO (mivi )
n i 1
n
MO (Fi(i) )
i 1
MO (Fi(e) )
质点系相对质心动量矩定理
LO rC mvC LC
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
MC(e)
dLC dt
M
(e) C
maC R(e)
JO
m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
g
5．应用动量定理
mx X 0 XO
my Y
dpx
dt
X
e
dpy
dt
Y
e
dpz
dt
Z
e
m1r1 m2r2 YO m1g m2g W
所以轴承约束力为
例3 转动惯量分别为 J1 100 kg m2 和 J 2 80 kg m2 的两个飞轮分别
maCx F
maCy N mg
mC2 M Fr
N mg
F maC
在纯滚动（即只滚不滑）的条件下，有 aC r
mC2 M Fr F maC
Mr
aC
m(
2 C
r2)
欲使圆轮只滚动而不滑动，必须满足 F fN
Mr
C2 r 2
fmg
于是得圆轮只滚不滑的条件为
M fmg r 2 C2
mr2
sin
取s为质心的弧坐标
3 2
aC
g
s (R r) ,
aC
d 2s dt 2
3d 2s g 2dt 2 R r s 0
s s0 sin( nt ),
2 n
2g 3(R r)
t 0时, v v0, s 0得 : , s0 v0 n
质心轨迹的运动方程： s v0
MO (mv) r mv
d dt
MO
(mv)
dr dt
mv
r
d dt
(mv)
r
F
MO
(F)
d dt MO (mv) MO (F)
质点系动量矩定理
设质系内有n个质点，对于任意质点Mi有
d dt
MO
(mi vi
)
MO
(Fi(i)
)
MO
(Fi(e) )
,
i 1,2, n
n个方程的矢量和
n
2
)
YB
P
JC MC (F),
P g
l 2
12
YB
l 2
sin
X
A
l 2
cos
4．求解微分方程
1 4
P g
l 2
XA
l 2
cos
YB
l sin
2
P
l 2
sin
3g sin
2l
欲求杆在任意瞬时的速度，应做如下的积分运算
d d
d 3g sin d
2l
d 3g sin d
dLC dt
M
(e) C
dLC dt
MC(e)
质系相对质心的动量矩定理：在相对随 质心平动坐标系的运动中，质系对质心 的动量矩对于时间的一阶导数，等于外 力系对质心的主矩。
讨论
➢如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相 对质心的运动，则可分别用质心运动定理和 相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外 力系的关系。 ➢质系相对质心的运动只与外力系对质心的主 矩有关，而与内力无关。
后，杆AC与BD各与铅垂线成 角，如图所示。不计各
杆重量，求这时系统的角速度。
解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些
力对z轴之矩都等于零。所以系统对z 轴的动量矩守恒.
开始时系统的动量矩为
Lz1
2
P g
a0
a
2
P g
a 2 0
细线拉断后的动量矩为
Lz1 lz2
2
P g
a 2 0
2
P g
n
i 1
d dt
MO (mivi )
n
i 1
MO (Fi(e) )
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
L0
dLO dt
M
(e) O
质点系动量矩定理：质系对固定点的 动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
动量矩定理的投影形式
质系对于x，y，z轴的 动量矩等于质系中各 质点动量对于x，y，z 轴动量矩的代数和。
(a
l
sin
)2
(a
a2 l sin
)2
0
第三节 刚体绕定轴转动的微分方程
如图所示定轴转动刚体，若任意瞬时的角速度为，则刚
体对于固定轴z轴的动量矩为
Lz rimivi miri2 miri2
J z miri2 即，刚体对转动轴的动量矩等于刚体 对该轴的转动惯量与角速度的乘积。
应用质系对z轴的动量矩方程，得：
刚体绕定轴转动时的动量矩
将绕定轴转动的刚体看成一质点系，
则
Lz M z (mivi ) mivi ri miri ri
miri2 J z
Lz J z
绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩阵等于刚 体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积
第二节 动量矩定理
质点动量矩定理：
质点对固定点的动量矩 对时间的一阶导数等于 作用于质点上的力对同 一点的力矩。
JC M C (F)
例4 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动，如图所 示。设轮的回转半径为 ，作用于圆轮上的力矩为M，圆轮 与地面间的静摩擦系数为f。求（1）轮心的加速度；（2）地面 对圆轮的约束力；（3）在不滑动的条件下力矩M的最大值。
解:圆轮的受力图如图所示。 列写圆轮的平面运动微分方程，有
r
应用刚体平面运动微分方程，求解动力学的两
类问题，除了列写微分方程外，还需写出补充
的运动学方程或其他所需的方程
例5均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后， 在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足 够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规
律。
解：设角 以逆时针方向
为正，取切线轴的正向如 图，并设圆轮以顺时针转 动为正，则图示瞬时刚体 平面运动微分方程在自然 轴上的投影式为
对于质心C用绝对速度计算动量矩并不方便，通常引入固结于 质心的平动参考系，用相对此参考系的相对速度计算质点系对 质心的动量矩由。速度合成定理有
vi vC vi
miri vC mrC vC 0
miri vC mrC vC 0
LCr ri mivi
LC LCr
质点系在绝对运动中对质心的动量矩，等于质 系在相对质心平动系的运动中对质心的动量矩。
两鼓轮对O 轴的转动惯量为JO，重为W，求鼓轮的角加速度和 轴承的约束力。
解：1. 以整个系统为研究对象； 2．系统所受外力的受力图如图，
3．系统的动量矩为
LO (JO m1r12 m2r22 )
4．应用动量矩定理
dLO dt
M O (F)
(JO m1r12 m2r22 ) m1gr1 m2 gr2
装在轴Ⅰ和轴Ⅱ上，齿数比为 z1 3 的两齿轮将转动从轴Ⅰ传到轴Ⅱ， z2 2
如图 (a)所示。轴Ⅰ由静止开始以匀加速度转动，10 秒后其角速度达到 1500 r/min 。求需加在轴Ⅰ上的转动力矩及两轮间的切向压力 P 。 已知 r1 10 cm ，不计各齿轮和轴的转动惯量。
解：分别取轴Ⅰ和轴Ⅱ为研究对象，其受力如图（b）、（c） 所示。分别建立两轴的转动微分方程
MO (mv) r mv
质点对于O点的动量矩为矢量，它 垂直于矢径r与动量mv所形成的平 面，指向按右手法则确定，其大 小为
MO (mv) 2OMD mvd
➢质点对某轴的动量矩 质点的动量对固定点的动量矩在z轴上的投 影等于质点的动量对z轴的动量矩
MO (mv)z M z (mv) MO (mv)x M x (mv) MO (mv)y M y (mv)
间的关系 如图所示，质点系对于固定点O的矩为
LO ri mivi
z'
图中C为质点系的质心，有
ri rC ri
y'
ri '
x'
LO (rC ri) mivi
rC mivi ri mivi
mivi mvC LC ri mivi
LO rC mvC 心的动量 矩与在绝对运动中对质心的动量矩之间的关系