新教材高中数学课时跟踪检测三十八正弦函数余弦函数的性质一新人教A版必修第一册
2022秋新教材高中数学课时跟踪检测三空间向量基本定理新人教A版选择性必修第一册
课时跟踪检测（三） 空间向量基本定理1．已知{a，b，c}是空间一组基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是( )A．a B．bC．c D．p－2q解析：选C 因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝x p＋y q＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面．2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p q，q⇒p.3．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的关系是( )A．OM＝OA＋OB＋OCB．MA＝MB＋MCC．OM＝OA＋OB＋OCD．MA＝2MB－MC解析：选C 对于选项A，由OM＝x OA＋y OB＋z OC (x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知MA，MB，MC共面；对于选项B、D，易知MA，MB，MC共面，故选C.4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C 根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得AC·CD＝DB·CD＝0，所以AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋|CD|2＋DB·CD＝|CD|2＝1，所以cos〈AB，CD〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.5．在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN=( )A．a－b＋c B．－a＋b＋cC．a＋b－c D．a＋b－c解析：选B MN＝MA＋AB＋BN＝OA＋OB－OA＋(OC－OB)＝－OA＋OB＋OC＝－a＋b＋c.6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是__________.解析：∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0，∴a⊥b.答案：a⊥b7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λx a＋λy b＋2λc，于是有解得答案：2 －28.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若{AB，AC，AD}为基底，则GE＝________.解析：GE＝GA＋AD＋DE＝－(AB＋AC)＋AD＋(AB－AD)＝－AB－AC＋AD.答案：－AB－AC＋AD9.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．解：(1)MN＝MA1＋A1B1＋B1N＝BA1＋AB＋B1C1＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，∴|a＋b＋c|＝，∴|MN|＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.10．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)试用向量a，b，c表示D1B，EF；(2)若D1F＝x a＋y b＋z c，求实数x，y，z的值．解：(1)如图，D1B＝D1D＋DB＝－AA1＋AB－AD＝a－b－c，EF＝EA＋AF＝D1A＋AC＝－(AA1＋AD)＋(AB＋AD)＝(a－c)．(2)D1F＝(D1D＋D1B)＝(－AA1＋D1B)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，∴x＝，y＝－，z＝－1.1．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF ＝DD1.若EF＝x AB＋y AD＋z AA1，则x＋y＋z＝( )A．－1 B．0C. D. 1解析：选C 因为EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C 如图，令a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则x＝AB1，y＝AD1，z＝AC，a＋b＋c＝AC1.由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μ e2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面的向量．又∵λe1＋μ e2＋v e3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.答案：04.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若EF＝x AB＋y AD＋z AA1，求x＋y＋z的值.解：(1)证明：因为AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝＋＝＋＝AE＋AF，所以A，E，C1，F四点共面．(2)因为EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.5．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．解：假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k.∵{i，k，j}是一组基底，∴i，j，k不共面．∴解得故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．。
5_4_2正弦函数、余弦函数的性质39-高中数学人教A版(2019)必修第一册
,
当堂达标
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若 sin(60°＋60°)＝sin 60°，则 60°为正弦函数 y＝sin x 的一个周期．(
(2)若 T 是函数 f(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．(
(3)函数 y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(
它的周期．
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做 的最小正周期（minimalpositiveperiod）．
根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， 2k π（k∈Z且k≠０）都是它
的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数， 2k π（k∈Z且
第五章
三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标
1.掌握 y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性
和最值．
2.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间
及最值．
3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．
提出问题
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的
每一个值时，都有 + = 那么函数 就叫做周期函数
（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．
概念解析
周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，
－６π，…都是正弦函数的周期．事实上∀ ∈ ，且 ≠０，常数2 都是
值时自变量的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 ．
（ １ ） y = + 1， ∈R ；
正弦、余弦函数的性质--高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2
， 曲线逐渐下
降 ， sinx的值由 1减小到 -1．
二 新知教学——性质3单调性与最值
正弦函数、余弦函数单调性的探究
sin 的值的变化情况如下表格:
−
2
sinx -1
x
↑
0
↑
↑
0
↑
2
1
↑
↑
↓
0
↓
2
-1
二 新知教学——性质3单调性与最值
正弦函数、余弦函数单调性的探究
x
−
2
↑
0
↑
二 新知教学——性质1周期性
周期函数、周期、最小正周期的定义
诱导公式一：
sin + 2 = sin （k∈Z）
周期性
二 新知教学——性质1周期性
周期函数、周期、最小正周期的定义
一般地，设函数f x 的定义域D ,如果存在一个非零
常数T，对每一个x ∈D都有x + T ∈ D，且
f x+T =f x
其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ,(2k + 1)π](k ∈ Z)上都单调递减，其值
从1减小到-1.
二 新知教学——性质3单调性与最值
正弦函数、余弦函数单调性巩固提高
1
2
求函数 = , ∈ [−2, ]的单调增区间
解题锦囊：
1
令z= ,
2
∈ [−2, ], 当自变量增大时，
那么函数f x 就叫做周期函数。非零常数T叫做这个
函数的周期。
二 新知教学——性质1周期性
周期函数、周期、最小正周期的定义
正弦函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…
新教材高中数学课时跟踪检测(三十九)正弦函数、余弦函数的性质(二)新人教A版必修第一册
新教材高中数学课时跟踪检测（三十九）正弦函数、余弦函数的性质（二）新人教A 版必修第一册课时跟踪检测（三十九） 正弦函数、余弦函数的性质（二）A 级——学考水平达标练1．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：选A ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x ∈[－1,3]，∴y min ＝－1，y max ＝3.2．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3＞sin 2C ．sin 75π＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2＞cos 1解析：选D ∵sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0＜2－π2＜1＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＞cos 1，即sin 2＞cos 1.故选D.3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π 解析：选C 函数y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0，－cos x ，cos x <0，图象如下图所示：单调减区间有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π，…，故选C.4．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，且f (α)＝－2，f (β)＝0，|α－β|的最小值是π2，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，kπ＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) 解析：选A 由题意可知14T ＝π2，所以T ＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z)．故选A.5．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12解析：选B 依题意得f (x 1)是f (x )的最小值，f (x 2)是f (x )的最大值．因此|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12T (k ∈Z)．∴当k ＝0时，|x 1－x 2|min ＝12T ＝12×2ππ2＝2.故选B.6．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为________．解析：画出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的图象，如图．由图象可知，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝4π3时，y min ＝－32，所以函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 7．函数y ＝sin 2x －cos x ＋1的最大值为________．解析：y ＝sin 2x －cos x ＋1＝－cos 2x －cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋94，∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－12时，y 取最大值94.答案：948．已知函数f (x )＝－sin 2ωx (ω＞0)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，则ω的值为________．解析：依题意得T 4≥π2，即T ≥2π，从而0＜ω≤12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω×5π4＝0，即sin 5ωπ2＝0， ∴5ωπ2＝k π(k ∈Z)，解得ω＝25k (k ∈Z)． 由0＜ω≤12知，ω＝25.答案：259．求函数y ＝3－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1.当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.10．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z)，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z)．(2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z)时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z)时，f (x )取最小值－2.B 级——高考水平高分练1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的最大值为( )A ．1B ．32C ． 3D ．2解析：选D 由π6＋x 与π3－x 互余，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故f (x )的最大值为2，故选D.2．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：依题意得T 2≥π2⇒T ≥π，又ω＞0，所以2πω≥π⇒0＜ω≤2.由π2＜x ＜π得ωπ2＋π3＜ωx ＋π3＜ωπ＋π3， 由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减得⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π3≥π2，ωπ＋π3≤3π2⇒13≤ω≤76. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，763．若函数y ＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝－a sin x 取得最大值时x 的值．解：(1)当b ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.当b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)知a ＝12，所以函数y ＝－a sin x ＝－12sin x ，所以当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数y ＝－a sin x 取得最大值．4．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )图象的对称轴．所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是________．解析：由f (x ＋1)＝－f (x )， 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，且2是它的一个周期．因为函数f (x )是偶函数且在[－4，－3]上是增函数， 所以函数f (x )在[0,1]上是增函数．又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞π2，即π2＞α＞π2－β＞0， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β， 且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]， 所以f (sin α)＞f (cos β)． 答案：f (sin α)＞f (cos β)。
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质-高一数学同步精讲课件(人教A版必修第一册)
3 5
2
2 3
2
2
O
1
2
3
2
2
5
2
3
x
函数
y＝sin x(x∈R)
y＝cos x (x∈R)
图像
·
最
值
·
周期
T=2
奇偶性
对称轴
对称中心
增区间
减区间
最值
=
奇函数
π
2
+ , ∈ Z
(, 0) ∈ Z
π
π
[− + 2, + 2], ∈ Z
典 型 例 题 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
例1 (1)函数 = (2
(2)函数 = (2
(3)函数 =
(
6
− )的单调递减区间为___________________
6
− )， ∈ [0,2]的单调递减区间为_____
6
− 2)的单调递增区间为___________________
跟 踪 训 练 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
(1)函数 = 2(
− )，
3
∈ [−, 0]的单调递增区间是(
5
A.[−, − ]
6
5
B.[− , − ]
6
6
C.[− , 0]
3
D.[− , 0]
6
(2)函数 =
3(
3
− 2)的单调递减区间为_________________
(1) 函数() = (2 − Nhomakorabea)，
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(2) 令 2x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，解得 x＝38π＋k2π，k∈Z，故 f(x)图象的
对称轴方程为 x＝38π＋k2π，k∈Z.
12345
内容索引
令 2x－π4＝kπ，k∈Z，解得 x＝π8＋k2π，k∈Z，故 f(x)图象的对称中心 的坐标为π8＋k2π，0，k∈Z.
(3) 因为 0≤x≤π2，令 t＝2x－π4∈－π4，34π， 故 y＝sint 在 t＝－π4时，ymin＝－ 22，即 2x－π4＝－π4，解得 x＝0，f(x)min ＝f(0)＝－ 22；
例 1 下列函数有最大值、 最小值吗？如果有，请写出取最大值、 最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1) y＝cos x＋1，x∈R； (2) y＝－3sin 2x，x∈R. 【解析】 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值． (1) 使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝ cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调 性、对称性等性质．
2. 通过观察、猜想、归纳，掌握利用数形结合思想分析问题、 解决问题的能力．
内容索引
【答案】 －2或2
12345
内容索引
5. (2022·济南高一期末)已知函数 f(x)＝sin2x－π4. (1) 求函数 f(x)的最小正周期；
(2) 求函数 f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3) 当 0≤x≤π2时，求函数 f(x)的最大值、最小值及相应的 x 的值． 【解析】 (1) 周期 T＝22π＝π.
高中数学 弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教A版必修第一册
[归纳提升] 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数 x 都 满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，可利用 T＝|2ωπ|来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别 是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为__3_的周期 函数．
知识点 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性
y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 奇函数
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 偶函数
想一想：(1)正弦曲线对称吗？ (2)余弦曲线对称吗？ 提示：(1)正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
【对点练习】❶ 求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin3x＋π3； (2)y＝|sin x|； (3)y＝sin2πx－π4.
[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π. (2)作图如下：
观察图象可知最小正周期为 π. (3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2.
π
题型二
三角函数奇偶性的判断
典例2 判断下列函数的奇偶性：
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
[归纳提升] 1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周 期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合 周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加 以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
2022秋新教材高中数学课时跟踪检测三并集与交集新人教A版必修第一册
并集与交集层级(一) “四基”落实练1．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∪B等于( )A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x＜4}C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x＜4}解析：选A 因为集合A＝{x|－3≤x＜4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－3≤x≤5}，故选A.2．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a－1，a∈N*}，则M∩N等于( )A．{0} B．{1,2}C．{1} D．{2}解析：选C 因为N＝{1,3,5，…}，M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1}．3．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B ∵A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，∴A∩B＝{5,7,11}，A∩B中有3个元素，故选B.4．(多选)已知集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则A∩B中的元素有( )A. B.C. D．－解析：选AB 由解得或∴A∩B＝.故选A、B.5．(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )A．－4 B．－2C．2 D．4解析：选B 法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意，排除D.故选B.6．设集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则A∪B＝________，(A∪B)∩C＝________.解析：由题意得A∪B＝{－1,0,1,2,3}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0，1,2,3}∩{x∈R|－1≤x＜2}＝{－1,0,1}．答案：{－1,0,1,2,3} {－1,0,1}7．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}，则集合A∪B中元素的个数是________．解析：∵B＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}，有4个元素．答案：48．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a(a＞0)}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．解：(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，如图．观察数轴可知，a的取值范围为.(2)因为a＞0，所以B≠∅，则A∩B＝∅有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a＞0，所以a的取值范围为.层级(二) 能力提升练1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}解析：选D 因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，所以A∩B＝{1,2}．又C＝{2,3,4}，所以(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．2．(多选)满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M可能是( )A．{a1，a2} B．{a1，a2，a3}C．{a1，a2，a4} D．{a1，a2，a3，a4}解析：选AC 由题意知集合M必含有元素a1，a2，并且不含元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选A、C.3．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则p ＋q＝________，A∪B＝________.解析：由题意可得∈A，∈B，∴解得∴p＋q＝－11.∴集合A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝，B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝，故A∪B＝.答案：－11 4．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x，y及A∪B.解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}且A∩B＝C得7∈A,7∈B且－1∈B，所以在集合A中x2－x＋1＝7，解得x＝－2或3.当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，又2∈A，故2∈A∩B＝C，但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去．当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.故有2y＝－1，解得y＝－，经检验满足A∩B＝C.综上知，所求x＝3，y＝－.此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}．故A∪B＝{－4，－1,2,7}．5．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．(1)求A∩B，A∪B；(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围．解：(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}．(2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4.故实数a的取值范围为{a|a≥4}．层级(三) 素养培优练1．现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( )A．最多人数是55 B．最少人数是55C．最少人数是75 D．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成集合I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.由图可知，x＋card(A)＋card(B)－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100.∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.2．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a使A∩B)？若存在，求出集合A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)∅(a的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数a使A，B满足条件，由题意得B＝{2,3}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或A B.又A≠B，∴A B.又∅ (A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}．当A＝{2}时，将x＝2代入A中方程得a2－2a－15＝0.即a＝－3或a＝5.当a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；当a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．当A＝{3}时，将x＝3代入A中方程得a2－3a－10＝0，即a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；当a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使集合A，B满足条件．。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第五章三角函数两角和与差的正弦余弦正切公式讲义
最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识点一两角和的余弦公式cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S（α＋β）sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S（α—β）sin（α—β）＝sin_αcos_β—cos_αsin_βα，β∈R错误!公式的记忆方法（１）理顺公式间的联系．C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）（２）注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．知识点三两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan（α＋β）＝错误!T（α＋β）α，β，α＋β≠kπ＋错误!（k∈Z）两角差的正切tan（α—β）＝错误!T（α—β）α，β，α—β≠kπ＋错误!（k∈Z）错误!公式T（α±β）（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．（２）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[教材解难]１．教材P２１7思考能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．２．教材P２１9思考成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.方法二：由于sin错误!＝sin错误!cos α—cos错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），cos错误!＝cos错误!cos α—sin错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），故sin错误!＝cos错误!.[基础自测]１．sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin１0５°等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin １0５°＝sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin 7５°＝sin（１５°＋7５°）＝sin 90°＝１．答案：D２．设α∈错误!，若sin α＝错误!，则错误!cos错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：易得cos α＝错误!，则错误!cos错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：B３．已知tan α＝４，tan β＝３，则tan（α＋β）＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：B４．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：由sin α＋cos β＝１与cos α＋sin β＝0分别平方相加得sin２α＋２sin αcos β＋cos２β＋cos２α＋２cos αsin β＋sin２β＝１，即２＋２sin αcos β＋２cos αsin β＝１，所以sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!题型一给角求值[教材P２１9例４]例１利用和（差）角公式计算下列各式的值：（１）sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°；（２）cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°；（３）错误!.【解析】（１）由公式S（α—β），得sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°＝sin（7２°—４２°）＝sin ３0°＝错误!.（２）由公式C（α＋β），得cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°＝cos（２0°＋70°）＝cos 90°＝0．（３）由公式T（α＋β）及tan ４５°＝１，得错误!＝错误!＝tan（４５°＋１５°）＝tan 60°＝错误!.和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．教材反思解决给角求值问题的方法（１）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．（２）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练１求值：（１）cos １0５°；（２）错误!；（３）错误!.解析：（１）cos １0５°＝cos（60°＋４５°）＝cos 60°cos ４５°—sin 60°sin ４５°＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.（２）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＝tan ４５°＝１．（１）１0５°＝60 °＋４５°（２）找到３１°、9１°、２9 °之间的联系利用公式化简求值．题型二给值求值例２已知错误!<β<α<错误!，cos（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求cos ２α与cos ２β的值．【解析】因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!.所以sin（α—β）＝错误!＝错误!＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!＝—错误!＝—错误!.所以cos ２α＝cos[（α＋β）＋（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）—sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，cos ２β＝cos[（α＋β）—（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）＋sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.１．正确判断α—β，α＋β的范围是求解前提．２．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值（式）求值的策略（１）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．（２）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练２本例条件变为：错误!<β<α<错误!，sin（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求sin ２β的值．解析：因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!π.所以cos（α—β）＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!，sin ２β＝sin[（α＋β）—（α—β）]＝sin（α＋β）cos（α—β）—cos（α＋β）sin （α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝0．（１）由已知求出α—β、α＋β的范围．（２）２β＝（α＋β）—（α—β）．（３）利用公式求值．题型三给值求角例３已知cos α＝错误!，sin（α＋β）＝错误!，0<α<错误!，0<β<错误!，求角β的值．【解析】因为0<α<错误!，cos α＝错误!，所以sin α＝错误!.又因为0<β<错误!，所以0<α＋β<π.因为sin（α＋β）＝错误!<sin α，所以cos（α＋β）＝—错误!，所以sin β＝sin[（α＋β）—α]＝sin（α＋β）cos α—cos（α＋β）sin α＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.又因为0<β<错误!，所以β＝错误!.（１）已知α的范围及cosα，求sinα.（２）求α＋β的范围及sin（α＋β），求cos（α＋β）．（３）利用sinβ＝sin[（α＋β）—α]，求值．方法归纳解决给值（式）求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，２π）时，选取求余弦值，当所求角范围是错误!或错误!时，选取求正弦值．跟踪训练３已知tan（α—β）＝错误!，tan β＝—错误!，α，β∈（0，π），求２α—β的值．解析：tan α＝tan[（α—β）＋β]＝错误!＝错误!＝错误!.又因为α∈（0，π），而tan α>0，所以α∈错误!.tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]＝错误!＝错误!＝１．因为tan β＝—错误!，β∈（0，π），所以β∈错误!，所以α—β∈（—π，0）．由tan（α—β）＝错误!>0，得α—β∈错误!，所以２α—β∈（—π，0）．又tan（２α—β）＝１，所以２α—β＝—错误!.（１）先求tanα＝tan[（α—β）＋β]（２）再求tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]（３）由已知求２α—β的范围，最后求值易错易误忽略条件中隐含的角的范围而致错例已知tan２α＋6tan α＋7＝0，tan２β＋6tan β＋7＝0，α，β∈（0，π），且α≠β，求α＋β的值．【错解】由题意知tan α，tan β是方程x２＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：错误!∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝１．∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<２π，∴α＋β＝错误!或α＋β＝错误!π.【错因分析】由１２知tan α<0，tan β<0．角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．【正解】由错误!易知tan α<0，tan β<0．∵α，β∈（0，π）∴错误!<α<π，错误!<β<π.∴π<α＋β<２π.又∵tan（α＋β）＝１，∴α＋β＝错误!π.【点评】在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．课时作业３8一、选择题１．sin １0５°的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：sin １0５°＝sin（４５°＋60°）＝sin ４５°cos 60°＋cos ４５°sin 60°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：D２．sin ２0°cos １0°—cos １60°sin １0°＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：原式＝sin ２0°cos １0°＋cos ２0°sin １0°＝sin（２0°＋１0°）＝错误!.答案：D３．若cos α＝—错误!，α是第三象限的角，则sin错误!＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为cos α＝—错误!，α是第三象限的角，所以sin α＝—错误!，由两角和的正弦公式可得sin错误!＝sin αcos错误!＋cos αsin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.答案：A４．若错误!＝错误!，则tan错误!＝（）Ａ．—２Ｂ．２Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，因为错误!＝错误!＝—tan错误!＝错误!，所以tan错误!＝—错误!.答案：C二、填空题５．已知cos错误!＝错误!错误!，则cos α＝________.解析：由于0<α—错误!<错误!，cos错误!＝错误!，所以sin错误!＝错误!.所以cos α＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.答案：错误!6．若tan α＝３，则tan错误!＝________.解析：因为tan α＝３，所以tan错误!＝错误!＝错误!＝—２．答案：—２7．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：∵sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，∴sin２α＋cos２β＋２sin αcos β＝１１，cos２α＋sin２β＋２cos αsin β＝0 ２，１２两式相加可得sin２α＋cos２α＋sin２β＋cos２β＋２（sin αcos β＋cos αsin β）＝１，∴sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!三、解答题8．求下列各式的值．（１）sin ３４7°cos １４8°＋sin 77°cos ５8°；（２）错误!sin错误!＋cos错误!；（３）tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°.解析：（１）原式＝sin（３60°—１３°）·cos（１80°—３２°）＋sin（90°—１３°）cos（90°—３２°）＝sin １３°cos３２°＋cos １３°sin ３２°＝sin（１３°＋３２°）＝sin ４５°＝错误!.（２）原式＝２错误!＝２错误!＝２sin错误!＝２sin错误!＝错误!.（３）∵tan 60°＝错误!＝错误!，∴tan ２３°＋tan ３7°＝错误!—错误!tan ２３°tan ３7°，∴tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°＝错误!.9．已知△ABC，若sin（A＋B）＝错误!，cos B＝—错误!，求cos A的值．解析：∵cos B＝—错误!，∴错误!<B<π，错误!<A＋B<π，∴sin B＝错误!＝错误!，cos（A＋B）＝—错误!＝—错误!，∴cos A＝cos[（A＋B）—B]＝cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知tan α＝错误!，sin β＝错误!，且α，β为锐角，求α＋２β的值．解析：∵tan α＝错误!<１且α为锐角，∴0<α<错误!.又∵sin β＝错误!<错误!＝错误!且β为锐角．∴0<β<错误!，∴0<α＋２β<错误!.１由sin β＝错误!，β为锐角，得cos β＝错误!，∴tan β＝错误!.∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!.∴tan（α＋２β）＝错误!＝错误!＝１．２由１２可得α＋２β＝错误!.。
新教材人教版高中数学必修第一册 5-4-2-1 正弦函数、余弦函数的性质 正弦、余弦函数的周期性
由图象可知 T＝π.
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[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos＝ 2π 求得． |ω|
(2)定义法：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得
定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x)，那么非零常数 T 叫做这
第二十三页，共三十四页。
[ 典例 3] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
()
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin π2＋2x
D．y＝cos 32π－2x
[ 解析]
(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
2x|是偶函数，y＝sin
π＋2x 2
＝
cos 2x 是偶函数，y＝cos 32π－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小
正周期 T＝π. [ 答案] (1)D
第二十四页，共三十四页。
[ 典例 3] (2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若
f(x)的最小正周期为π，且当 x∈ 0，π2 时，f(x)＝sin x，则 f
5π 3 等于(
)
A．－1 2
B．1 2
C．－ 3 2
D． 3 2
[ 解析]
所以函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为
x∈Rx≠2kπ＋32π，k∈Z
，
显然定义域不关于原点对称．
故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x是非奇非偶函数．
第十九页，共三十四页。
[方法技巧]
判断函数奇偶性的思路
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新教材高中数学课时跟踪检测三十八正弦函数余弦函数的
性质一新人教A 版必修第一册
课时跟踪检测（三十八） 正弦函数、余弦函数的性质（一）
A 级——学考水平达标练
1．函数y ＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
sin x 2的最小正周期是( )
A.
π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π
解析：选C ∵y ＝sin x
2的周期为4π，∴y ＝⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
sin x 2的周期为2π，故选C.
2．函数：①y ＝x 2
sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0,2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C ①③④是奇函数，故选C. 3．函数f (x )＝|cos 2x |的最小正周期为( ) A ．π B ．π
2
C ．2π
D ．3π2
解析：选B 作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象(图略)知，f (x )的最小正周期为π
2
.
4．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x ＋15π2是( )
A ．周期为3π的偶函数
B ．周期为2π的奇函数
C ．周期为3π的奇函数
D ．周期为4π
3
的偶函数
解析：选A ∵f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋7π＋π2＝－7sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 3＋π2＝－7cos 2
3x .
∴函数f (x )的周期为2π
23＝3π.
又∵f (－x )＝－7cos 2
3x ＝f (x )．
∴函数f (x )是周期为3π的偶函数．
5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4
x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
解析：选D 由题意知2π
k
4
≤2，得k ≥4π.又∵k 为整数，∴k 的最小值为13.
6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π4，则ω＝________. 解析：因为π4＝2π
ω，所以ω＝8.
答案：8
7．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，x ∈R ，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝9
5，
则sin α的值为______．
解析：因为f (x )的最小正周期为π
2，ω＞0，
所以ω＝2π
π2＝4.
所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 因为f ⎝
⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，
所以cos α＝3
5
.
所以sin α＝±1－cos 2
α＝±45.
答案：±4
5
8．已知f (x )＝2cos π
6
x ，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.
解析：易知f (x )的最小正周期T ＝12，
f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (11)＝0，
所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝168[f (0)＋…＋f (11)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝2cos 0＋2cos π6＋2cos π3＋2cos π2
＝3＋ 3.
答案：3＋ 3
9．求下列函数的最小正周期：
(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 解：(1)∵ω＝3，∴T ＝2π
3
.
(2)易知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象是将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象在x 轴下方的部分对称翻折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方的
图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π
2
.
10．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x cos(π＋x )；
(2)f (x )＝lg(sin x ＋sin 2
x ＋1)． 解：(1)∵f (x )＝－x cos x ，
∴f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．
(2)∵f (－x )＋f (x )＝lg[sin(－x )＋sin 2
(－x )＋1]＋lg(sin x ＋sin 2
x ＋1)＝lg(sin 2
x ＋1－sin 2
x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
B 级——高考水平高分练
1．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( )
A ．0
B ．－π
4
C ．π
2
D ．π
解析：选B 法一：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ为奇函数，则只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从
而φ＝k π－π
4
，k ∈Z.
显然当k ＝0时，φ＝－π
4
满足题意．
法二：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，所以φ＋π4＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π4，令k ＝0，则φ＝－π
4
.
2．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π
2
，且满足f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
cos x ，－π2≤x ＜0，
sin x ，0≤x ＜π，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.
答案：
2
2
3．已知函数f (x )＝12sin x ＋1
2|sin x |.
(1)画出函数f (x )的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)f (x )＝12sin x ＋1
2
|sin x |
＝⎩⎪⎨⎪
⎧
sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，
图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
4．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，
g (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2
，求关于x 的方程g (x )＝32
的解集．
解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋π3
. 因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，5π6，
所以由g (x )＝
32解得x ＋π3＝－π6或π6
， 即x ＝－π2或－π
6
.
又因为g (x )的最小正周期为π. 所以g (x )＝
3
2的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .
5．设函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2k ＋13
πx ＋π4(k ∈N *)，若在区间[a ，a ＋3](a 为实数)上存在有不少于4个且不多于8个不同的x 0，使f (x 0)＝1
2
，求k 的值．
解：∵f (x )在一个周期内有且只有2个不同的x 0，使f (x 0)＝1
2
，∴f (x )在区间[a ，a ＋3]
上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
2T ≤3，
4T ≥3，
即34≤T ≤3
2
，即34≤62k ＋1≤32，解得32≤k ≤72，因为k ∈N *
，∴k ＝2或k ＝3.。