8、二次根式的化简求值-培优 数学张老师
专题16.1 二次根式的化简求值(压轴题专项讲练)(解析版)-八年级数学下册
专题16.1二次根式的化简求值整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
一、二次根式的定义形如（≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.二、二次根式有意义的条件1.二次根式中的被开方数是非负数；2.二次根式具有非负性：≥0.三、判断二次根式有意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．四、二次根式的性质性质1：2=（≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；性质2：2==（≥0）−（<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.五、同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：∙=∙o≥0,≥0)；②积的算术平方根：∙=∙o≥0,≥0)；≥0,>0)；=≥0,>0).八、最简二次根式我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．九、分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【典例1】阅读下列材料，然后回答问题．====3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=-3，求2+2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则2+2=(+p2−2B=2−2=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．（1（2）m是正整数，a b22+1823B+22=2019．求m．（3）已知15+2−26−2=1，求15+2+26−2的值．（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出+=2(2+1),B=1再由22+1823B+22=2019进行变形再求值即可；（3）先得到15+2⋅26−2=20，然后可得(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，最后由15+2≥0,26−2≥0，求出结果．解：（1）原式=2+++⋯+2=3−1+5−3+7−5+⋯+2019−20172=（2）∵a b∴+==2(2+1),B=1，∵22+1823B+22=2019，∴2(2+2)+1823=2019，∴2+2=98，∴4(2+1)2=100，∴2=±5−1，∵m是正整数，∴m=2．（3）由15+2−26−2=1得出(15+2−26−2)2=1，∴15+2⋅26−2=20，∵(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，又∵15+2≥0,26−2≥0，∴15+2+26−2=9．1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知=2−3,=2+3，则代数式2+2B+2+−−4的值为（）A B．34C．3−1D【思路点拨】根据已知，得到+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，整体思想带入求值即可．【解题过程】解：∵=2−3,=2+3，∴+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，∴2+2B+2+−−4=+2+−−4=222−23−4=8−23−4=4−23=32−23+1=3−12=3−1．故选C．2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知+1=7(0<<1)，则−）【思路点拨】，故＜，将−由0<<1，得0＜＜1【解题过程】解：∵0<<1，∴0＜＜1，∴＜2=−2+1，+1=7(0<<1)，∵(−∴(−∴=-5或−=5，∵＜0，∴∴故选B．3．（2023·浙江宁波·校考一模）若2+2=1，则2−4+4+B−3+−3的值为（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】先根据2+2=1得出−1≤≤1，−1≤≤1，根据2−4+4+B−3+−3要有意义，得出+ 1−3≥0，根据−3<0得出+1≤0，从而得出J−1，将J−1代入即可求出式子的值．【解题过程】解：∵2+2=1，∴−1≤≤1，−1≤≤1，∵2−4+4+B−3+−3要有意义，∴B−3+−3≥0，整理得：+1−3≥0，∵−3<0，∴+1≤0，∴J−1，∴2−4+4+B−3+−3=−22++1−3=−1−22+−1+1−3=3+0=3，故D正确．故选：D．4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知xx6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020的值为（）A．0B．1C．2019D．2020【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵=2020−=2020+2019，∴6−220195−4+3−220202+2−2020，=5−22019−4+2−22020+2−2020，=52020+2019−22019−4+22020+2019−22020+2−2020，=52020−2019−4+22019−2020+2−2020，=42020−2019−1+22019−2020+2−2020，=2020+20192019−2020+2−2020=−+2−2020，=−2020，=2019，故选：C．5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−33的小数部分，则2b−1的值为（）A．6+2−1B．6−2+1C．6−2−1 D．6+2+1【思路点拨】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【解题过程】解：3+5−3−5-=5+15-1=2∴a的小数部分为2-1，6+336−33−=3+33-3=6∴b的小数部分为6-2，∴2b−1=6+2-2-1=6-2+1，故选：B．6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设1=1+112+122，2=1+122+132，3=1+132+142，……，=1+ 12+1(r1)2．其中n为正整数，则1+2+3+⋅⋅⋅+2021的值是（）A．202020192020B．202020202021C．202120202021D．202120212022【思路点拨】根据题意，先求出=1+1or1)，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．【解题过程】解：∵n为正整数，∴＝2+r1or1)＝1+1or1)；∴1+2+3+⋯+2021＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12021×2022）＝2021+1﹣12+12−13+13−14+⋯+12021−12022＝2021+1﹣12022＝202120212022．故选：D．7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果=5−2，则1=．【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得1，从而可得1−>0，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得．【解题过程】解：∵=5−2，∴1=5−2=5−2=5+2，∴1−55−2∴1=1+=1+−=5+2+4=5+6．故答案为：5+6．8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知==42−3B+42=．【思路点拨】先把和的值分母有理化得到==−=−12，B=1，再利用完全平方公式变形原式得到4(−p2+5B，然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解：∵==∴====∴−=−12，B=1，∴原式=4(−p2+5B=4×(−12)2+5×1=6．故答案为6．9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知=2的值等于．【思路点拨】通过完全平方公式求出+1=2，把待求式的被开方数都用+1的代数式表示，然后再进行计算．【解题过程】=2，解：∵+∴=4，∴+1+2=4∴+12===10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，+−7−7+ 7B=7，求+=．【思路点拨】将等式进行因式分解，得到++7B−7=0，求得B=7，即可求解．【解题过程】解：∵+−7−7+7B=7，∴+−7−7+7B−7=0，∴B+−7++7B−7=0，∴+B−7+7B−7=0，∴++7B−7=0，∵++7>0，∴B−7=0，∴B=7，又x，y为正整数，则s=1,7或7,1，从而+=8，故答案为：8．11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设=3−2，则6+35+113+2+1=．【思路点拨】利用+22=2+4+4和=3−2，推得2+4+1=0，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解．【解题过程】解：∵=3−2，∴+22=3−2+22=3，又∵+22=2+4+4，即2+4+4=3，整理得2+4+1=0，6+35+113+2+1=42+4+1+35+113+2+1−45−4=−5−4+113+2+1=−32+4+1−4+113+2+1+44+3=34+123+2+1=322+4+1+2+1−32=−32+2+1=−32+4+1+2+1+12+3=14+4，将=3−2代入原式可得14×3−2+4=143−24．故答案为：143−24．12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知=则代数式23−32−7+2022的值为．【思路点拨】将已知条件=2−3=−1，再将所求代数式变形为23−62+32−7+2022，由此即可求解．【解题过程】解：已知=∴2=3+5，即2−3=5，等式两边同时平方得，2−32=52，整理得，42−12+9=5，即42−12=−4，∴2−3=−1，∵23−32−7+2022=2o2−3p+32−7+20022把2−3=−1代入得，=2×−1+32−7+2022=32−2−7+2022=32−9+2022=3(2−3p+2022把2−3=−1代入得，=3×−1+2022=2019，故答案为：2019．13．（2022上·上海闵行·=3,=13.【思路点拨】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解题过程】解：原式=K=+++=2+2当=3,=13时，原式=23+=23+=14．（2023·北京·九年级专题练习）已知==，求2+2的值．【思路点拨】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【解题过程】解：∵==5−26，===5+26，∴原式=(5+2(5−26)=2620626206=26)(49206)6)(49206)6)(492026)(49206)=245−1006−986+240+245+1006+986+240=970．15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知+=−8，B=12，求+【思路点拨】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．【解题过程】解：∵+=−8，B=12，∴a和b均为负数，2+2−2B=40=B+B=2B2B=2+2B=−−==2=−4012=−401212=−40×2312=−203316．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知−2B−15=0【思路点拨】讨论：当>0，>0，利用因式分解的方法得到−5+3=0，解得=25，当I0，<0，则−−+5−−−3−=0，解得=9，然后把=25，=9化简求解．【解题过程】解：∵−2B−15=0要有意义，即B≥0，∴>0且>0或I0且<0，当>0且>0时，∵−2B−15=−5+3=0，∴−5=0或+3=0（舍去），解得：=25，把=25=25r5r225K10r=2；当I0且<0时，∵−2B−15=−−+5−−−3−=0，∴−r5−=0（舍去）或−−3−=0，解得：=9，把=9==9K3r29r6r=12．17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知==（2【思路点拨】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．【解题过程】（1）∵=10−3=10+3，=10−3，=∴+=210，−=6，∴2+2B+2=(+p2=(210)2=40．（2）∵=10+3，=10−3，∴1∴o−2)=−2o−2)−+1o+1)=1−1=1010=10−3−10−3=−6．18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知=2−3，=2+3．（1）求+和B的值；（2）求2+2−3B的值；（3）若的小数部分是，的整数部分是，求B−B的值．【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）代入=2−3，=2+3即可求出+和B的值；（2）将原式变形为+2−5B，代入数值进行计算即可；（3）先估算出1<3<2，从而得出=2−3，=3，再代入进行计算即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵=2−3，=2+3，∴+=2−3+2+3=4，B=2−32+3=4−3=1；（2）解：由（1）得：+=4，B=1，∴2+2−3B=+2−5B=42−5×1=11（3）解：∵1<3<4，∴1<3<4，即1<3<2，∴−2<−3<−1，∴0<2−3<1，∵的小数部分是，∴=2−3，∵3<2+3<4，的整数部分是，∴=3，∴B−B=2−32−3−32+3=4−43+3−6−33=1−73．19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使2+2=且B =，±2将变成2+2±2B ，即变成(±p 2，从而使±2得以化简．（1）例如，∵5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2，∴5+26=(3+2)2=______，请完成填空．（2）仿照上面的例子，请化简4−23；（3）利用上面的方法，设=6+42，=3−5，求A ＋B 的值．【思路点拨】（1）根据二次根式的性质：2==o >0)0(=0)−o <0)，即可得出相应结果．（2）根据（1）中“5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．（3）根据题意，首先把A 式和B 式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A 式和B 式的结果分别算出，最后把A 式和B 式再代入A ＋B 中，求出A ＋B 的值．【解题过程】（1）∵5+26=2+3+26=22+32+2×2×3=2+32∴5+26=(3+2)2=3+2故答案为：3+2（2）∵4−23=3+1−23=32+1−23=3−12∴4−23=(3−1)2=3−1．（3）∵=6+42=4+2+42=42+22+2×4×2=(2+2)2∴=6+42=2+2∵=3−5=∴=3−5====∴把A 式和B 式的值代入A ＋B 中，得：+=2+2=2+2220．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将+、−称为一对“对偶式”，因为+−=(p2−(p2=−，所以构造“和−====3+22.像这中的“”样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：“>”、“<”或“=”填空)；（1（2）已知==，求K2rB2的值；+…+（3【思路点拨】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解；（2）先求得−s B的值，然后代入即可求解；（3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解．【解题过程】（17−2=7−2===∵7>6,2>3−137−6+2−3>0,>故答案为：>．（2）∵==5+45+4=9+45，==5+2=5−45+4=9−45，∴+=9+45+9−45=18，−=9+45+−9+45=85，B=9+45945−80=1，∴K 2rB2+⋯+（3=3)2(53−35)35)(5−3979799⋯+2(99979799)(99979799)(9997−97=1−33+33−55+55−77+⋯+9797−9999=1−9999=1−。
培优专题10二次根式化简求值的五种方法-2022-2023学年八年级(五四制)下册初三数学学练测(鲁
培优专题10二次根式化简求值的五种方法一、引言在初三数学学习中，二次根式是一个重要的概念，也是化简和求值的常见题型。
本文介绍了五种方法来化简和求值二次根式，帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、方法一：分解质因数法当二次根式中含有平方数时，分解质因数法是一种很有效的化简方法。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{100}$解析：由于100可以分解为 $2^2 \\times 5^2$，所以 $\\sqrt{100}$ 可以化简为 $2 \\times 5 = 10$。
三、方法二：直接运算法当二次根式中没有平方数时，可以直接进行运算来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{8}$解析：可以发现8可以分解为23，所以 $\\sqrt{8}$ 可以化简为$\\sqrt{2^3} = 2\\sqrt{2}$。
四、方法三：有理化方法有时候，二次根式的分子或分母中含有根号，这时可以使用有理化方法来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}$解析：可以使用有理化的方法，将分母的两个根式的乘积展开，得到$\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}} = \\frac{1}{(\\sqrt{3} +\\sqrt{2})(\\sqrt{3} - \\sqrt{2})} = \\frac{1}{3 - 2} = 1$。
五、方法四：配方法当二次根式中含有两个以上的项时，可以使用配方法来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{18} + \\sqrt{8}$解析：首先，对于 $\\sqrt{18}$，可以将其分解为 $3\\sqrt{2}$。
对于$\\sqrt{8}$，可以将其分解为 $2\\sqrt{2}$。
所以， $\\sqrt{18} +\\sqrt{8}$ 可以化简为 $3\\sqrt{2} + 2\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$。
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（ ）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．（四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）； 【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2m n－mab mn ＋mn n m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）． 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）] ＝（25＋1）（1100-） ＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
二次根式拓展专题培优
二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习：1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-= 3、若a a a =-+-20152014，则22014-a = 二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把ab b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为 练习：1、化简（1）a a 1-（2）22x x x -- 2、已知a,b,c 为?ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x x +=-11，则2)1(-x = 三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+，1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+，1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+，猜测=⨯⨯⨯+201720162015201412练习： 1、设n,k 为正整数，，，，已知,则 2、小明做数学题时,发现,,,,按上述规律,第n 个等式是3、设S=++…+，求不超过S 的最大整数 四、分母有理化 例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题：①的有理化因式是，②计算： ③计算：．④已知,,则⑤已知:,,,试比较a 、b 、c 的大小.练习：12、已知则3、已知实数x,y 满足,则的值为五、二次根式的计算综合题练习：（2）（3）（4）638638-++（5）24066312305941--+++ 六、二次根式的求值例题：1、先化简,再求值,其中,.23、若,,求xy.4、设a=，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值． 5、正数m,n 满足,求的值.2、若,,则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b满足,且满足,求的值5、如果,求的值.。
二次根式的化简与应用核心考点讲与练八年级数学下学期考试满分全攻略
第04讲二次根式的化简与应用(核心考点讲与练)一．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．二．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．一．二次根式的化简求值（共10小题）1．（2020秋•会宁县期末）已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（）A．4B．14C．D．14+4【分析】根据二次根式的混合运算法则分别求出a+b，ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．2．（2021春•杭州期末）若a＝+1，b＝﹣1，则a2﹣ab+b2＝5．【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝+1+﹣1＝2，ab＝（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，∴原式＝a2+2ab+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×1＝8﹣3＝5．故答案为：5．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．3．（2021春•奉化区校级期末）已知x﹣2＝，则代数式（x+1）2﹣6（x+1）+9的值为2．【分析】利用完全平方公式得到原式＝（x﹣2）2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（x+1）2﹣6（x+1）+9＝[（x+1）﹣3]2＝（x﹣2）2，因为x﹣2＝，所以原式＝（）2＝2．故答案为2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．4．（2021春•永嘉县校级期中）若|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，则＝2．【分析】利用非负数的性质得到a﹣2＝0，b+2＝0，c﹣＝0，解得a＝2，b＝﹣2，c＝，然后根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算．【解答】解：根据题意得|a﹣2|+（b+2）2+＝0，∴a﹣2＝0，b+2＝0，c﹣＝0，解得a＝2，b＝﹣2，c＝，所以原式＝××＝2×＝2×1＝2．故答案为2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．5．（2021秋•西湖区校级期末）已知：y＝++5，化简并求的值．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x＝4，则y＝5，再利用约分得到原式＝+，然后通分得到原式＝，最后把x、y的值代入计算即可．【解答】解：∵x﹣4≥0且4﹣x≥0，∴x＝4，∴y＝5，∴原式＝+＝＝＝＝﹣4．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式有意义的条件．也考查了根式有意义的条件．6．（2021春•上城区校级期中）已知a＝，b＝，求ab的值为1．【分析】a＝，b＝易得ab＝1即可．【解答】解：a＝，b＝，∴ab＝（）（）＝3﹣2＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值．7．（2021•余杭区模拟）已知x＝2+，则代数式（7﹣4）x2+（2﹣）x﹣的值为2﹣．【分析】将x＝2+代入代数式（7﹣4）x2+（2﹣）x﹣，先利用完全平方公式和平方差公式化简计算，再进行实数的混合运算即可得出答案．【解答】解：∵x＝2+，∴（7﹣4）x2+（2﹣）x﹣＝（7﹣4）（2+）2+（2﹣）（2+）﹣＝（7﹣4）（7+4）+（4﹣3）﹣＝49﹣48+1﹣＝2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式及二次根式的混合运算法则是解题的关键．8．（2021春•永嘉县校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为．【分析】根据a+b＝3，ab＝2，可以判断出a＞0，b＞0，将所求数字化简，然后a+b＝3，ab＝2代入即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，∵a+b＝3，ab＝2，∴a＞0，b＞0，∴原式＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．9．（2021春•永嘉县校级期末）已知x＝，其中a是正整数，那么所有使得x为整数的a的取值之和为14．【分析】首先利用二次根式有意义的条件得到a≤178；然后＜50，列举出满足条件的a的整数值，求和即可．【解答】解：①根据题意知，50﹣≥0．解得a≤178．因为a是正整数，且使得x为正整数，所以是正整数．当a＝178时，＜50，则在1、2、3、…、178中，满足14的倍数，即14n（n是正整数），同时又能整开方的数，只有14，即和为14．②故答案是：14．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，此题的难点是根据二次根式有意义的条件求得a的取值范围，结合条件确定a的取值．10．（2021春•永嘉县校级期末）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣5xy+y2+6＝7．【分析】根据已知条件先求出x﹣y和xy的值，再把要求的式子变形为（x﹣y）2﹣3xy+6，然后代值计算即可．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x﹣y＝+1﹣（﹣1）＝2，xy＝1，∴x2﹣5xy+y2+6＝（x﹣y）2﹣3xy+6＝22﹣3+6＝7；故答案为：7．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是完全平方公式和平方差公式，关键是对要求的式子进行变形．二．二次根式的应用（共8小题）11．（2021春•鄢陵县期末）方程的解为（）A．B．C．D．【分析】两边同时除以后即可求得方程的解．【解答】解：方程两边同时除以得：x＝＝＝＝＝，故选：B．【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是能够进行分母有理化，难度不大．12．（2020秋•奉化区校级期末）已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max＝81．当max时，则x 的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用已知分别分析得出符合题意的答案．【解答】解：当max时，①＝，解得：x＝，此时＞x＞x2，符合题意；②x2＝，解得：x＝；此时＞x＞x2，不合题意；③x＝，＞x＞x2，不合题意；故只有x＝时，max．故选：C．【点评】此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．13．（2021春•锡山区期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为24cm2．【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．【解答】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，∴大正方形边长为：+＝2+3＝5（cm），∴大正方形面积为（5）2＝50（cm2），∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm2）．故答案为：24cm2．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．14．（2021春•余姚市期末）如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（）A．8﹣3B．9﹣3C．3﹣3D．3﹣2【分析】根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两个相邻的正方形，面积分别为3和9，∴两个正方形的边长分别为，3，∴阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣3．故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘方，正方形的性质，是基础题，熟记概念并求出两个正方形的边长是解题的关键．15．（2021春•盂县月考）阅读与计算：古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝（a+b+c），则三角形的面积为：S△ABC＝（海伦公式），若△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝6，请利用上面公式求出△ABC的面积．【分析】先求出p，再代入海伦公式中计算即可．【解答】解：∵BC＝4，AC＝5，AB＝6，∴p＝（4+5+6）＝，∴S＝＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是读懂题意，理解公式的意思．16．（2021春•天河区校级月考）若矩形的长a＝，宽b＝．（1）求矩形的面积和周长；（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）∵矩形的长a＝，宽b＝．∴矩形的面积为：（+）（﹣）＝6﹣5＝1；矩形的周长为：2（++﹣）＝4；（2）a2+b2﹣20+2ab＝（a+b）2﹣20＝（++﹣）2﹣20＝（2）2﹣20＝24﹣20＝4．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．17．（2021春•永嘉县校级期末）解方程：，得x＝．【分析】去分母、移项，据此求出方程的解是多少即可．【解答】解：去分母得：3x+＝4x，移项得：x＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法和二次根式的乘法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．18．（2021春•乌苏市期末）矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是6，面积是4．【分析】利用矩形的周长和面积计算公式列式计算即可．【解答】解：矩形的周长是2×（+）＝2×（+2）＝6，矩形的面积是×＝4．故答案为：6，4．【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握矩形的周长和面积计算方法是解决问题的关键．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2019春•诸暨市月考）将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）【分析】根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到3所在的位置．【解答】解：由题意可得，每五个数为一行，3＝，90÷3＝30，30÷5＝6，故3位于第六行第五个数，位置记为（6，5），故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的性质，掌握二次根式的性质、正确找出规律是解题的关键．2．（2020•越城区模拟）已知a＝+，b＝﹣，那么a、b的关系为（）A．a+b＝B．a﹣b＝0C．ab＝1D．＝2【分析】利用a、b的值分别计算出它们的和、差和积，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵a＝+，b＝﹣，∴a+b＝2，a﹣b＝2，ab＝3﹣2＝1，＝＝（+）2＝5+2．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．3．（2020春•温州期中）若x＝2﹣，则代数式x2﹣4x+7的值为（）A．7B．6C．﹣6D．﹣7【分析】先移项得到x﹣2＝﹣，两边平方得到x2﹣4x＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x＝2﹣，∴x﹣2＝﹣，∴（x﹣2）2＝3，∴x2﹣4x+4＝3，即x2﹣4x＝﹣1，∴x2﹣4x+7＝﹣1+7＝6．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．4．（2020春•鹿城区校级期中）已知a＝3﹣，b＝2+，则代数式（a2﹣6a+9）（b2﹣4b+4）的值是（）A．20B．16C．8D．4【分析】先将（a2﹣6a+9）（b2﹣4b+4）变形为[（a﹣3）（b﹣2）]2，再将a＝3﹣，b＝2+，代入求值即可．【解答】解：（a2﹣6a+9）（b2﹣4b+4）＝（a﹣3）2（b﹣2）2＝[（a﹣3）（b﹣2）]2当a＝3﹣，b＝2+时，原式＝[（3﹣﹣3）（2+﹣2）]2＝（﹣2）2＝4．故选：D．【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练运用完全平方公式是解题的关键．5．（2019秋•镇海区期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（）A．16B．8C．163D．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为：和，∴这个直角三角形的面积为：．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．6．（2019春•椒江区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【分析】设两个正方形的边长是x、y（x＜y），得出方程x2＝3，y2＝9，求出x＝，y＝3，代入阴影部分的面积是（y﹣x）x求出即可．【解答】解：设两个正方形的边长是x、y（x＜y），则x2＝3，y2＝9，x＝，y＝3，则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（3﹣）×＝3﹣3，故选：B．【点评】本题考查了算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力．二．填空题（共4小题）7．（2019春•天台县期末）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣y2＝．【分析】先分解因式，再代入比较简便．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4．【点评】注意分解因式在代数式求值中的作用．8．（2019春•西湖区期末）已知a＝﹣2，则+a＝0．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当a＝﹣2时，原式＝|a|+a＝﹣a+a＝0；故答案为：0【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．9．（2019春•温州期中）当x＝﹣时，二次根式的值是2．【分析】把x＝﹣代入已知二次根式，通过开平方求得答案．【解答】解：把x＝﹣代入中，得＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值．此题利用代入法求得二次根式的值．10．（2020秋•奉化区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为3﹣3．【分析】设两个正方形的边长是x、y（x＜y），得出方程x2＝4，y2＝9，求出x＝2，y＝3，代入阴影部分的面积是（y﹣x）x求出即可．【解答】解：设两个正方形的边长是x、y（x＜y），则x2＝3，y2＝9，x＝，y＝3，则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（3﹣）×＝3﹣3，故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力．三．解答题（共3小题）11．（2020春•越城区校级月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点．（1）用二次根式表示点P与点A的距离；（2）当x＝4，y＝时，连接OP、PA，求PA+PO；（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求+的值．【分析】（1）利用两点间的距离公式进行解答；（2）利用两点间的距离公式求得OP、PA，然后求PA+PO；（3）把y＝x+1代入所求的代数式进行解答．【解答】解：（1）点P与点A的距离：；（2）∵x＝4，y＝，P（x，y），A（1，0），∴P（4，），∴PA＝＝2，PO＝＝3，则PA+PO＝2+3；（3）∵点P位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y＝x+1，∴+＝|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝1．即+的值是1．【点评】本题考查了二次根式的应用．熟记两点间的距离公式是解题的难点．12．（2019春•临海市期末）计算：（1）+|﹣|；（2）已知x＝+1，求代数式x2﹣2x+3的值．【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．【解答】解：（1）+|﹣|＝2+＝3；（2）当x＝+1时，x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2＝5+2＝7．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、合并同类二次根式的法则是解题的关键．13．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．题组B 能力提升练一．选择题（共3小题）1．（2020春•铁东区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm2【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．2．（2019秋•永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝，则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．3．（2013•宁波自主招生）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（）A．3B．C．2D．【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a＝0，代入即可求出y＝﹣x，把y＝﹣x代入原式即可求出答案．【解答】解：由于根号下的数要是非负数，∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，∴a只能等于0，将a＝0代入等式得﹣＝0，∴x＝﹣y，即：y＝﹣x，由于x，y，a是三个不同的实数，∴x＞0，y＜0．将x＝﹣y代入原式得：原式＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．二．填空题（共6小题）4．（2021春•永嘉县校级期中）若，则＝6．【分析】对变形，得，因为各项均为非负数，故可求得x、y、z的值，代入中即可．【解答】解：根据题意，，即，得x＝2，y＝6，z＝3；所以．【点评】本题考查的是非负数的性质及二次根式的化简和求值．5．（2020春•萧山区期末）已知x＝+1，则代数式x2﹣2x+1的值为2．【分析】根据x的值和完全平方差公式可以解答本题．【解答】解：∵x＝+1，∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝（+1﹣1）2＝（）2＝2，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．6．（2020•浙江自主招生）设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝15．【分析】将a﹣b＝2+和b﹣c＝2﹣相加，得到a﹣c＝4，再将a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc转化成关于a﹣b，b﹣c，a﹣c的完全平方的形式，再将a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣和a﹣c＝4整体代入即可．【解答】解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，两式相加得，a﹣c＝4，原式＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝＝＝＝＝15．【点评】此题考查了对完全平方公式及整体代入的掌握情况，有一定的综合性，但难度不大．7．（2019秋•锦江区校级期中）若，则m＝3，n＝2．【分析】将已知的等式的左边被开方数中的5变形为2+3，根据平方根的定义将2变为，3变为，同时将2化为2••，符合完全平方公式的特点，利用完全平方公式变形后，再利用二次根式的化简公式＝|a|化简后，根据大于，利用绝对值的代数意义化简，与等式右边比较，即可求出m与n的值．【解答】解：∵＞，即﹣＞0，∴＝＝＝＝|﹣|＝﹣，又∵＝﹣，则m＝3，n＝2．故答案为：3；2【点评】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：平方根的定义，二次根式的化简公式，完全平方公式，以及绝对值的代数意义，其技巧性较强，灵活变换等式左边的被开方数是解本题的关键．8．（2018春•绍兴期中）求当a＝1+，b＝时，代数式2a2+b2﹣4a+2的值为12．【分析】原式配方变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）+b2＝2（a﹣1）2+b2，当a＝1+，b＝时，原式＝10+2＝12，故答案为：12【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2018春•台州期中）若a＝3﹣，则a2﹣6a+9的值为7．【分析】将a的值代入a2﹣6a+9＝（a﹣3）2计算可得．【解答】解：当a＝3﹣时，a2﹣6a+9＝（a﹣3）2＝（3﹣﹣3）2＝（﹣）2＝7，故答案为：7．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根数的运算顺序及运算法则．三．解答题（共6小题）10．（2021秋•鄞州区月考）已知a＝．（1）求a2﹣4a+4的值；（2）化简并求值：．【分析】（1）先将a化简，然后通过配方法将原式化简，最后代入a求值．（2）将原式先化简，然后代入a的值求解．【解答】解：（1）a＝＝＝2﹣，a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，将a＝2﹣代入（a﹣2）2得（﹣）2＝3．（2），＝﹣＝（a﹣1）﹣，∵a＝2﹣，∴a﹣1＝1﹣＜0，∴原式＝a﹣1+＝2﹣﹣1+2+＝3．【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握因式分解与分式化简的方法，掌握分母有理化的方法．11．（2021•仙桃校级模拟）（1）计算：．（2）已知x2＝2x+15，求代数式的值．【分析】（1）根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；（2）根据完全平方公式可以将所求式子化简，然后根据x2＝2x+15，可以得到x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）＝2+9﹣2＝9；（2）＝x2+2x+2﹣（x2﹣2x+2）＝x2+2x+2﹣x2+2x﹣2＝4x，由x2＝2x+15，可得x1＝﹣3，x2＝5，当x＝﹣3时，原式＝﹣12；当x＝5时，原式＝20．【点评】本题考查二次根式的化简求值、负整数指数幂、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．12．（2020秋•镇海区期末）计算：（1）×；（2）已知|﹣a|+＝0，求a2﹣2+2+b2的值．【分析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；（2）根据|﹣a|+＝0，可以得到a、b的值，然后将所求式子变形，再将a、b的值代入即可解答本题．【解答】解：（1）×＝4÷﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）∵|﹣a|+＝0，∴﹣a＝0，b﹣2＝0，∴a＝，b＝2，∴a2﹣2+2+b2＝（a﹣）2+b2＝（﹣）2+22＝02+4＝0+4＝4．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．13．（2020春•长岭县期末）已知x＝2﹣，y＝2+，求x2+xy+y2的值．【分析】先分别求出x+y，xy的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可，【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，∴x+y＝4，xy＝4﹣3＝1，∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝15．【点评】本题考查了二次根式的性质和完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力．14．（2019春•西湖区校级期中）（1）计算（）+；（2）已知x＝，y＝2，求3x2﹣2xy+3y2的值．【分析】（1）先化简各二次根式，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）先计算出x+y和xy的值，再代入原式＝3（x+y）2﹣8xy计算可得．【解答】解：（1）原式＝×（﹣2）+6（+）＝﹣6+6（+）＝﹣6+6+6＝7；（2）∵x＝，y＝2，∴x+y＝2，xy＝﹣1．∴3x2﹣2xy+3y2＝3（x2+2xy+y2﹣2xy）﹣2xy＝3（x+y）2﹣8xy＝3×（2）2﹣8×（﹣1）＝44．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．15．如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形ABC，点D是边AB的中点，中柱CD＝2，AB＝2，求△ABC的周长及面积．【分析】根据点D为AB的中点，三角形ABC为等腰三角形，可得CD⊥AB，并且求出AD和BD的长度，在Rt△ACD中求出AC的长度，同理可求出BC的长度，继而以求得△ABC的周长及面积．【解答】解：在等腰三角形ABC中，∵点D是边AB的中点，∴CD⊥AB，AD＝BD＝，在Rt△ACD中，∵AD＝，CD＝2，∴AC＝＝3，同理可得，BC＝3，则△ABC的周长为3+3+2＝8，面积为×2×2＝6．【点评】本题考查了二次根式的应用以及勾股定理的应用，解答本题的关键是得出CD为三角形ABC的高，并且运用勾股定理求出等腰三角形的腰长，难度一般．。
第三节 二次根式的化简求值-学而思培优
第三节二次根式的化简求值-学而思培优第三节二次根式的化简求值二、核心纲要如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做双重二次根式，例如3-2.8+7.2.化简双重二次根式对于双重二次根式a±2b，设法找到两个正数x、y(x>y)，使得x+y=a，xy=b，则a±2b=(x±y)²=x²±2xy+y²。
3.二次根式化简求值的方法1) 直接代入：将已知条件代入所求代数式即可。
2) 变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值。
4.共轭根式形如a+b和a-b（其中a，b是有理数）的两个最简二次根式称为共轭根式。
5.解无理方程解无理方程的方法就是转化为有理方程进行求解，然后检验。
本节重点讲解二次根式的化简和求值。
三、全能突破基础训练1.若x=m-n，y=m+n，则xy的值是( )。
A。
2m B。
2n C。
m+n D。
m-n2.已知若2x-1+y-3=√2，则4x×xy÷2y等于( )。
A。
2 B。
2√2 C。
2 D。
13.已知a=5+2，b=5-2，则a+b+7的值为( )。
A。
3 B。
4 C。
5 D。
64.代数式a+2a-2-2-a+3的值等于a-b=5.若a+b=5，ab=4，则：5.先化简，再求值：1) 2a³ab³-131/27a³b³+2abab，其中a=964，b=3.2) 3(a+3)(a-3)-a(a-6)-(a+2)²+13，其中a=2-1.a²-a-23) xy+(x+y)²/3-2，其中a=2-1.a²-4a+47.已知x=值，y=，求代数式xy-(x+y)²/3+2的值。
8.已知x=2+3，y=2-3，求下列代数式的值：1) x²-xy+y²2) x+y9.星期天，XXX的妈妈和XXX做了一个小游戏，XXX的妈妈说：“你现在研究了二次根式，若x表示10的整数部分，y代表它的小数部分，我这个纸包里的钱是(10+x)y元，你猜一猜这个纸包里的钱数是多少？10.某同学作业本上有这样一道题：“当a=□时，试求a+a-2a+1的值”。
2023年人教版八年级下册数学专题一二次根式的化简求值 同步典型例题精讲课件
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1 2
6.当t＝
5
时，
3t－3－5 的值最小，最小值是 5
－5
.
3
4
5
解析：∵
35t－3
≥0，∴当
3 5
t－3＝0，即t＝5时，
35t－3－5的值
6
最小，最小值是－5.7来自8910
11
专题一 二次根式的化简求值
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1
类型三 利用二次根式性质( a2 ＝|a|)化简求值
2
7.[2022云南保山期末]若2，5，n为三角形的三边长，则化简
5
∴(a－1)2＝2，a2－2a＋1＝2，∴a2－2a＝1，
6
∴2a2－4a＝2，2a2－4a＋1＝3.
7
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
8 9
(1)化简：3－2
； 7
10 11
解：原式＝(3－2(37＋)(3＋7) 7) ＝2(332＋－77)＝3＋ 7.
专题一 二次根式的化简求值
1 2
(2)若a＝
3
(3－n)2＋ (8－n)2 的结果为( A )
4
A.5
B.2n－10
C.2n－6
5
D.10
6
解析：∵2,5，n为三角形的三边长，∴3＜n＜7.∴ (3－n)2＋ (8－n)2
7
＝|3－n|＋|8－n|＝n－3＋8－n＝5.
8
9
10
11
专题一 二次根式的化简求值
1 2
8.已知：a＝
1 5
，则
(a－1)2 ＝
专题一 二次根式的化简求值
类型一 类型二 类型三 类型四
先化简再求值 利用二次根式的非负性化简求值 利用二次根式性质( ＝|a|)化简求值 用乘法公式和整体代入法求值
八年级数学_二次根式的化简求值_练习题及答案
(4)已知a= ,b= ,求 的值.
解析：a= ，同理b= ；
a + b= + =10，a b=（ ）（ ）=1，然后将所要求值的式子用a + b和a b表示，再整体代入求值即可.
答案：解：因为a= ，b= ，
所以a + b= + =10，a b=（ ）（ ）=1.1.若 ，Βιβλιοθήκη ，则xy的值是( )A. B.
C.m + nD.m-n
解析：xy= = = .
例2阅读材料:“黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.”这是武侠小说的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如:(2+ )(2- )=1,( + )( - )=3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解:如 = = , = = ,像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.
6（a2+2a）-12=6×6-12=24.
举一反三：
4.设a= -1，则3a3+12a2-6a-12=（ ）
A. 24 B. 25 C. D.
解析：由a= -1得a+1= ，两边平方得a2+2a+1=7，所以a2+2a=6，所以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=3a×6+6a2-6a-12=6a2+12a-12=
∴ - > - .
小结：比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因子移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内；(2)根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内.
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8、二次根式的化简求值
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式．有理式(rational expression)和无理式(irrational expression)统称代数式，整式和分式统称有理式．
有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形．
【例l 】 已知
,21=+
x
x 那么
1
91
32
2
++++x x x x x x 的值等亍
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)
思路点拨通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x+x
1的代数式表示．
【例2】满足等式2003200320032003=+
-
-
+
xy y x y x y x 的正整数对(x ，y)的个数是
( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(全国初中数学联赛题) 思路点拨对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．
【例3】 已知a 、b 是实数，且,1)1)(1(22=++-+b b Fa a 问a ，b 之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式人手，而化简的基本方法是有理化．
【例4】 有这样一道题，计算
2
2
2
22
4
44
4x x x x x x x x x -++
--+
--
-+的值，其中x=1005，某同学把
“x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果是正确的．请回答这是怎么回事?试说明理由． (2005年辽宁省中考题)
思路点拨解题的关键是正确化简待求式．
【例5】(1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角 形的三边长分别为
,)()(,,2
2
2
2
2
2
c d a b d b c a -+-++求此三角形的面积；
(第12届“五羊杯”竞赛题)
(2)已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求142
2
++
+=
b a u 的最小值．
(北京市竞赛题)
思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．
1．已知a<0，化简=-
++
-2
2
)
1(4)
1(4a
a a a
(2004年宁波市中考题)
2．若),10(41<<=+
a a
a 则
=-
a
a 1
3．．当2
15,2
15-=
+=
b a 时，代数式
2
22
22b a b
ab a -+-的值是
(2005年河南省竞赛题)
4．已知a 是4一捂的小数部分，那么代数式)4).(24
42(
2
2
2
a
a a
a a a a a a -
++
++-+的值为
5．若x ，y 为有理数，且,42112=+-+
-y x x 则xy 的值为( )．
0.A 2
1.
B 2.
C
D ．不能确定
(2004年广西竞赛题)
6．已知实数a 满足,2001|2000|a a a =-+-那么a-20002的值是( )．
A ．1999
B ．2000
C ．2001
D ．2002 7．设10002,9991001,9971003=+
=
+
=
c b a 则a 、b 、C 之间的大小关系是( )．
A ．a<b<c
B ．c<b<a
C ．c<a<b
D ．a<c<b 8．若
,1a a
x -=
则2
4x x u +=
的值为( )．
a
a A 1.- a a
B -1. a a
C 1.+
D ．不能确定
9．有一道题：“先化简，再求值：,4
1)4
42
2(
2
2
-÷
-+
+-x x x x x 其中.3-=x ”小玲做题时把“3-=x ”
错抄成了“,3=
x ”但她的计算结果是正确的，请你解释这是怎么回事．
(2005年南通市中考题)
10. 已知
x x x x x x ++
+-+
=--
4
14
1,)
1(12
2
2
化简
11.=--
-+
++
=2
14
12
1,312
x x x x 那么
已知
12．已知=-=-++a 26,514则a a
13．代数式
9)12(42
2
+-+
+x x 的最小值为
(“希望杯”邀请赛试题)
14．已知(x
2002)2002()200222
=++
+y y x 则+----y x y xy x 66432
2=58
(第17届江苏省竞赛题)
15．如果,||,22002,220023
333c b c b b a b a -=+-=
-+=
+那么3
33c b a -的值为( )．
20022002
.A 2001.B 1.C 0.D
(武汉市选拔赛试题)
16．化简
2
40
663
1
230
5941--+
+ 的结果是( )．
A ．无理数
B ．真分数
C ．奇数
D ．偶数
(2005年全国初中数学联赛题)
17．a 、b 为有理数，且满足等式,3241.63+=
+b a 则a+b 的值为( )．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
(2006年全国初中数学联赛题)
18．设)
1(1
,1
11,1
11,4++
=
+-
=
+-
=
≥r r r c r r b r r a r 则下列各式中，一定成立的是( )．
c b a A >>. a c b B >>. b a c C >>. a b c D >>.
(2005年全国初中数学联赛试题)
19．已知,1
313,1
313-+=
+-=
y x 求4
4
y x +的值．
(2004年天津市竞赛题)
20．已知20052
+a 是整数，求所有满足条件的正整数a
的和．
(2005年“CASl0杯”武汉市竞赛题)
21．已知),0(12
>+=a a a
x 化简：
⋅-+
+--+2
222x x x x
22．已知,713572
x x x =+-+求x 的值．
(2005年全国初中数学竞赛题)
答案：。