龙贝格积分实验报告
计算方法大作业——龙贝格积分
3 龙贝格积分3.1 算法原理及程序框图龙贝格积分法是在复化梯形求积公式、复化辛普森求积公式和复化科茨求积公式关系的基础上，构造出的一种精度更高的数值积分方法。
对于复化梯形求积公式而言，近似积分为()2221[]41n n n n I f T T T T ≈+-=-.(11) 对于复化辛普森求积公式和复化科茨求积公式而言，也有类似的关系，如公式(12)和公式(13)。
()22221[]41n n n n I f S S S S ≈+-=- (12)()22231[]41n n n n I f C C C C ≈+-=- (13)通过对公式(11)~(13)做进一步分析，可得到公式(14)和公式(15)。
()22141n n n n S T T T =+--(14)()222141n n n n C S S S =+-- (15)根据公式(14)和公式(15)表现出来的规律，令龙贝格积分为()223141n n n n R C C C =+-- (16)其截断误差为c R h 8f (8)(η)，已经具有很高的精度。
龙贝格积分法是将区间[a , b ]逐次分半进行计算，因此，对已知函数f (x )在区间[a , b ]上的龙贝格积分法的计算公式的算法如下，程序框图如图13所示。
(1) 计算T 1：[]1()()2b aT f a f b -=+；(2) 逐次计算T 2k +1：()1211221121,0,1,2222kk k k k i b a b a T T f a i k +++=--⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭∑；(3) 逐次计算S 2k 、C 2k 和R 2k ：()()()11111122222222232222141141141kk k k k k k k k k k k S T T T C S S S R C C C ++++++⎧=+-⎪-⎪⎪=+-⎨-⎪⎪=+-⎪-⎩；(4) 若122k k R R ε+-<，则取[]12k I f R +≈；否则，继续计算，直到满足精度为止。
龙贝格实验报告
龙贝格实验报告龙贝格实验报告龙贝格实验是一项经典的心理学实验，旨在探究人类对于延迟满足的选择行为。
实验的设计非常简单，但却能揭示出人类的心理特点和决策模式。
本文将对龙贝格实验进行介绍，并探讨实验结果对于我们日常生活中的决策行为的启示。
龙贝格实验最早由德国心理学家沃尔夫冈·龙贝格于1971年提出，他将实验对象置于一个选择情境中。
在这个情境中，实验对象需要在两个选项之间进行选择，一方面是能够立即获得一定的奖励，另一方面是需要等待一段时间才能获得更大的奖励。
实验对象可以根据自己的意愿选择不同的选项。
实验结果显示，大多数人更倾向于选择立即获得的小额奖励，而不是等待更长时间以获得更大的奖励。
这种行为模式被称为“即时满足偏好”。
这一结果揭示了人类的一种心理特点：我们更倾向于追求即时的满足感，而忽视了长期利益。
那么，为什么人们会有这种即时满足偏好呢？心理学家提出了一些解释。
首先，人们往往更容易预测和评估即时奖励，而对于未来的奖励往往难以准确评估。
这导致了人们对于即时奖励的价值更加敏感，而对于未来奖励的价值更加模糊。
其次，人们对于即时奖励的需求更加迫切，因为它们能够立即满足我们的欲望和需求，而未来奖励则需要等待和付出更多的努力。
然而，即时满足偏好并不总是明智的选择。
在现实生活中，我们常常需要做出一系列决策，这些决策涉及到长期利益和短期满足之间的权衡。
例如，我们是否应该立即购买心仪已久的商品，还是将钱储蓄起来以应对未来的不确定性？我们是否应该立即享受美食，还是节制自己以保持健康的身体？这些决策都需要我们权衡即时满足和长期利益之间的关系。
为了克服即时满足偏好的影响，我们可以采取一些策略。
首先，我们可以通过增强对未来奖励的预期和评估来提高对其价值的认识。
这意味着我们需要更加清晰地设定未来奖励的目标，并了解其对我们个人发展和幸福的重要性。
其次，我们可以通过设定明确的规划和目标来引导自己的行为。
例如，我们可以设定一个长期的储蓄计划，以确保我们能够在未来获得更大的回报。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
龙贝格算法-数值分析-实验报告
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一、任务综述于分析
1.1 任务
1、 根据所掌握龙贝格算法，独立编写程序，实现具体问题的求解等； 2、 自己设计一个多项式，根据设定的代数多项式进行测试，调式程序； 3、 对所设计的程序解决实际问题并分析，撰写分析报告
1.2 分析
1、 首先先明确什么是龙贝格算法，了解他的基本原理，画出流程图，编写程序代码。 2、 自己设计一个多项式，对他利用龙贝格算法求出他的积分。并与真实值比较，检测程序是否有错误。 并进一步修改完善程序。可以多试几个多项式，来判断程序的正确性。 3、 任务三实际上是求平面曲线长的问题。利用弧长微分公式可求得结果。
四、测试 ................................................................................................................................................. 8
主要参考资料
《数值分析简明教程》 《数值分析课程设计》
王能超 陈越、童若锋
高等教育出版社 浙江大学出版社
教研室签字： 年 月 日
院签字： 年 月 日
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目录
目录 ......................................................................................................................................................... 3 一、任务综述于分析 ............................................................................................................................. 4
龙贝格积分算法实验
实验题目2 Romberg 积分法摘要考虑积分()()b aI f f x dx =⎰欲求其近似值，可以采用如下公式： （复化）梯形公式 11[()()]2n ii i hT f x f x-+==+∑2()12b a E h f η-''=-[,]a b η∈ （复化）辛卜生公式 11102[()4()()]6n i i i i hS f x f x f x -++==++∑4(4)()1802b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ [,]a b η∈（复化）柯特斯公式 111042[7()32()12()90n i i i i hC f x f x f x -++==+++∑31432()7()]i i f xf x +++6(6)2()()9454b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭[,]a b η∈这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系121021()22n n n i i h T T f x -+==+∑因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。
但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。
所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。
为此，记0,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化梯形积分结果，1,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化辛卜生积分结果，2,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化柯特斯积分结果。
根据李查逊（Richardson ）外推加速方法，可得到1,11,,0,1,2,40,1,2,41m m k m km k m k T T T m -+-=-⎛⎫=⎪=-⎝⎭可以证明，如果()f x 充分光滑，则有,lim ()m k k T I f →∞= （m 固定）,0lim ()m m T I f →∞=这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。
该方法的计算可按下表进行0,0T 0,1T 0,2T … 0,m T 1,0T 1,1T … 1,1m T - 2,0T … 2,2m T - … … ,0m T很明显，龙贝格计算过程在计算机上实现时，只需开辟一个一维数组，即每次计算的结果,m k T ，可存放在0,k T 位置上，其最终结果,0m T 是存放在0,0T 位置上。
Romberg数值积分实验报告
Romberg数值积分实验报告班级：__ 姓名：学号：日期：_一、实验目的1、加深外推法的原理理解, 掌握Romberg外推法的计算方法。
2、用matlab软件实现Romberg数值积分来计算题目的运算。
二、基本理论及背景1、理论推导：对区间[a，b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2把区间二等分，每个小区间长度为h/2=(b-a)/2，于是T2 =T1/2+[h/2]f(a+h/2）把区间四(2)等分，每个小区间长度为h/2 =（b-a）/4，于是T4 =T2/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................把[a，b] 2等分，分点xi=a+（b-a）/ 2 ·i （i =0，1，2 · · · 2k）每个小区间长度为（b-a）/ 2 .2、参考Romberg数值积分，实现积分的数值求解，完成下列题目：三、算法设计及实现1、算法设计(a)function y=fun1(x)y=sqrt(4-(sin(x)).^2)；(b)function y=fun2 (x)y=log(1+2*x)/3;(c)function y=fun3(x)y=exp(-x).*sin(x.^2)四、实验步骤1、○1打开matlab软件，新建Romberg.m文件,在窗口中编辑Romber数值积分函数程序代码,并保存在指定的文件夹下,在Current Directory窗口右边点击《Browse For Folder》按钮指向Romberg.m文件；○2在Command Window中编辑相应要计算的题目的数值函数及相应的题目的表达式。
2、输出结果和初步分析说明（见附件一）。
五、使用说明实验结果分析1、在Command Window窗口中编辑要调用的函数名与指定的函数名字不同导致出现错误，通过改正与函数名相同即可。
龙贝格(Romberg)算法的应用实验报告
Lab4 龙贝格（Romberg）算法的应用下面图1中的塑料雨蓬材料是由图2中所示的长方形平板塑料材料压制而成。
图1 图2已知图1的横截面曲线形状满足函数，则给定了雨蓬的长度后，要求需要平板原材料的长度。
函数接口定义：double Integral(double a, double b, double (*f)(double x, double y, double z), double TOL, double l, double t)在接口定义中：a、b分别为定积分的上、下界，f是积分核函数，其中x是积分哑元，y、z是本题目定义的特殊参数，分别对应中的l和t；TOL是要求积分达到的精度；l和t传入裁判输入的参数l和t的值。
另注意：的单位是厘米，输出的长度值要求以米为单位。
裁判程序样例如下：#include<stdio.h>#include<math.h>double f0( double x, double l, double t ){ /* 弧长积分的核函数*/return sqrt(1.0+l*l*t*t*cos(t*x)*cos(t*x));}double Integral(double a, double b, double (*f)(double x, double y, double z), double TOL, double l, double t);int main(){double a=0.0, b, TOL=0.005, l, t;while (scanf("%lf %lf %lf", &l, &b, &t) != EOF)printf("%.2f\n", Integral(a, b, f0, TOL, l, t));return 0;}裁判输入样例：2 100 1标准输出样例：1.68实验报告：1.求解步骤参照书上的龙贝格求积算法2.步骤①利用k=0;h=b-a;T[0][0]=(h/2)*(f(a,l,t)+f(b,l,t));求解T0(0)3.求解T0(0)到T0(k)的值由公式h=b−an 及h=b−a2k可得n=2k其中h为步长，n为二分次数又由递推公式：T2n=12T n+ℎ2∑f(xk+12)n−1k=0得T2k+1=12T2k+b−a2k+1∑f[a+b−a2k+1(2i−1)]2k−1i=1，k=0,1,2,3~其中xk+12= a+ℎ2(2i−1)。
MATLAB上机实验——采用龙贝格积分计算轴韧性模量
数值分析应用案例:采用龙贝格积分计算轴韧性模量
某杆在轴向负载的作用下会发生变形，其应力—应变曲线如图所示。
曲线下方从应力为0的点到破裂点的面积称为材料的韧性模数。
它提供了一种方法，可以测量出要给定单位体积的材料施加多大的能量才能导致材料破裂。
因此，它代表着材料承受冲击负载的能力。
对于如图所示的应力—应变曲线，利用数值积分计算韧性模数。
s 40.0 37.5 43。
0 52.0 60.0 55.0
（a）轴向负载的杆（b）相应的应力—应变曲线，其中应力的单位是千镑每平方英寸（103lb/in2）而应变是无量纲量
解：采用数值积分计算韧性模数
0.25
M=f(e)
de
首先，需要通过实际测量所得的离散数据点对曲线进行多项式拟合。
得到拟合的多项式函数：
f(e)=-391428.21e5 + 243571.16e4– 64178.49e3 + 9133.92e2 -517.82e + 47.18
>>
进行积分计算：
0.25
de M=(−391428.21e5+243571.16e4–64178.49e3+9133.92e2−517.82e+47.18) 0
综上所述：
M=f(e)
0.25
0de≈12.16。
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二、Romberg 积分法
1.变步长Romberg 积分法的原理
复化求积方法对于提高精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要事先估计出部长。
若步长过大，则精度难于保证；若步长过小，则计算量又不会太大。
而用复化公式的截断误差来估计步长，其结果是步长往往过小，而且''()f x 和(4)()f x 在区间[,]a b 上的上界M 的估计是较为困难的。
在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半（也就是把步长二等分），直到达到某种精度为止，这种方法就是Romberg 积分法的思想。
在步长的逐步分半过程中，要解决两个问题： 1. 在计算出N T 后，如何计算2N T ,即导出2N T 和N T 之间的递推公式； 2. 在计算出N T 后，如何估计其误差，即算法的终止的准则是什么。
首先推导梯形值的递推公式，在计算N T 时，需要计算1N +个点处的函数值在计算出N T 后，在计算2N T 时，需将每个子区间再做二等分，共新增N 个节点。
为了避免重复计算，计算2N T 时，将已计算的1N +个点的数值保留下来，只计算新增N 个节点处的值。
为此，把2N T 表示成两部分之和，即
由此得到梯形值递推公式 因此
由复化梯形公式的截断误差有
若''()f x 变化不大时，即''''12()()f f ηη≈，则有
式（2）表明，用2N T 作为定积分I 的近似值，其误差大致为21
()3
N N T T -，
因此其终止条件为
其中ε是预先给定的精度。
积分公式
将上述方法不断推广下去，可以得到一个求积分的序列，而且这个序列很快收敛到所求的定积分。
记
(0)N N T T =，将区间N 等分的梯形值。
(1)N N T S =，将区间N 等分的Simpson
(2)N N T C =，将区间N 等分的Cotes 。
(3)N N T R =，将区间N 等分的Romberg 。
由其可构造一个序列(){}k N T ，次序列称为Romberg 序列，并满足如下递推关系： 以上递推公式就是Romberg 积分递推公式。
积分程序
1. 置1N =，精度要求ε，1h b a =-；
2. 计算(0)1[()()]2
b a
T f a f b -=+； 3. 置22
N N
h h =，并计算(0)
(0)211((21))222N N N k b a b a T T f a k N N =--=++-∑； 4. 置,2,1;M N N N K ===
5. 计算(1)(1)
2441
k k k k M M
M
k
T T T ---=-； 6. 若 1M =，则转（7）；否则置2
M
M =
，1k k =+转（5）； 7. 若()(1)11k k T T ε--≤，则停止计算（输出()1k T ），否则转（3）。
积分法的应用
function [T,n] = romb(f,a,b,eps) double R ;
if nargin<4,eps=1e-8; end
h=b-a;R(1,1)=(h/2)*(feval(f,a)+feval(f,b)); n=1;J=0;err=1; while (err>eps)
J=J+1;h=h/2;S=0; for i=1:n
x=a+h*(2*i-1); S=S+feval(f,x); end
R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S; for k=1:J
R(J+1,k+1)=(4^k*R(J+1,k)-R(J,k))/(4^k-1); end
err=abs(R(J+1,J+1)-R(J+1,J));
n=2*n;
end
R;
其中输入项：f为被积函数，ab为积分区间的端点值，ep为积分精度；输出项：T 是逐次积分表值，n是迭代次数，R是最后积分值。
程序调用
可以将被积分函数编成函数文件，也可以直接使用内联函数来表示被积分函数，示例如下:
>>f=inline('1/(1+x.^2)','x');
>> [T,n,R]=romb(f,2,9,1e-9)
运行后得出其迭代次数，最终积分结果以及龙贝格积分矩阵如表2-1所示，
迭代次数N=64，最终的积分值R=.
表2-1 龙贝格积分矩阵
3.课本例题求解
1 当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=32，迭代结果R=
表2-2 式1对应的龙贝格积分矩阵
2 当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=32，迭代结果R=.
表2-3 式2对应的龙贝格积分矩阵
3对于积分1
0ln(1)x
dx
x
+
⎰，由于积分下限0为其奇点，理论上无法进行数值积分，
本题中近似取下限为1*10-9来进行计算。
当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=16，迭代结果R=.
表2-4 式3对应的龙贝格积分矩阵
4.对于积分2
0sin()x
dx x
π
⎰，同样积分下限0为积分函数的奇点，理论上无法进行数
值积分运算，本题中仍取积分下限近似为1*10-9进行计算。
当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=16，迭代结果R=.
表2-5 式4对应的龙贝格积分矩阵。