幂函数的定义
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数与指数函数是高等数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍幂函数和指数函数的定义、性质以及它们在不同领域的应用。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。
幂函数的定义域为正实数集。
当a>0时，幂函数是严格递增的；当a<0时，幂函数是严格递减的。
特别地，当a=0时，幂函数为常函数。
幂函数的图像可以分为几种不同的情况。
当a>1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当a<0时，幂函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。
二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a为底数，x为自变量。
指数函数的定义域为实数集。
当底数a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。
特别地，当底数a=1时，指数函数为常函数。
指数函数的图像也有几种不同的情况。
当底数a>1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当底数a<0时，指数函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。
三、幂函数与指数函数的应用1. 科学领域幂函数与指数函数在科学领域的应用非常广泛。
在物理学中，幂函数与指数函数可以描述天体运动、物体的增长规律等。
在化学中，幂函数与指数函数可用于描述化学反应速率、物质的衰变等。
2. 经济领域在经济学中，幂函数与指数函数常用于描述经济增长、人口增长等问题。
其中，指数函数可以用来描述指数增长，而幂函数则可以用来描述多项式增长。
3. 网络领域在网络传输中，幂函数与指数函数可以用于描述网络带宽的分配、传输速度的控制等问题。
指数函数在网络拓扑中也有广泛的应用，如指数递增的网络节点连接数量等。
幂函数与其他函数的关系及应用
幂函数与其他函数的关系及应用1. 引言在数学中，幂函数是一类常见而重要的函数。
本文旨在探讨幂函数与其他函数的关系，并介绍它们在实际问题中的应用。
2. 幂函数的定义与性质幂函数是指形如 f(x) = ax^n 的函数，其中 a 是常数，n 是整数。
幂函数的定义域为所有实数集，函数图像可能是一条平行于x 轴的直线，也可能是一条曲线。
3. 幂函数与线性函数的关系当 n = 1 时，幂函数退化为线性函数。
线性函数的特征是图像呈现一条直线，斜率为常数。
可以通过比较幂函数和线性函数的图像，发现幂函数的图像要么与 x 轴平行，要么与 x 轴相交于一个点。
4. 幂函数与多项式函数的关系多项式函数可以看作幂函数的一种特殊情况。
当 n 是正整数且 a 为1 时，幂函数退化为多项式函数。
多项式函数的图像通常是一条曲线，其形状取决于多项式的次数和系数。
5. 幂函数与指数函数的关系指数函数是幂函数的一种特殊形式，即当底数 a 为正实数且指数 n为分数时。
指数函数的图像呈现一种特殊的形式，随着自变量的增大，函数值迅速趋于无穷大或无穷小。
6. 幂函数在实际问题中的应用6.1 金融领域幂函数在金融领域中的应用非常广泛。
例如，利率的计算和复利的概念都可以通过幂函数的形式进行建模和计算。
6.2 自然科学在自然科学领域，幂函数可以用来描述一系列现象和规律。
例如，光线的强度随着距离的增加而减小，可以用幂函数来表达。
6.3 经济学经济学中的供需关系、成本曲线等经济现象常常可以建模为幂函数。
幂函数的特性能够帮助经济学家分析问题，预测趋势。
7. 结论幂函数是数学中重要而常见的函数之一，与其他函数有着密切的关系。
通过对幂函数与线性函数、多项式函数、指数函数的比较，我们可以更深入地理解它们之间的联系与区别。
此外，幂函数在实际问题中有着广泛的应用，包括金融、自然科学和经济学等领域。
通过本文的探讨，我们希望读者能够更好地理解幂函数的概念、性质和应用，以及它与其他函数的关系。
幂函数知识点总结
幂函数知识点总结幂函数是数学中常见的一类函数，主要应用于数据分析和物理学中。
它有着独特的数学性质，并且能够解释一系列规律性的现象，因此在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将综合介绍幂函数的基本性质、作用机制和表达方式，以及其在实际应用中的各种特性。
一、基本性质幂函数（Power Function）是一类函数，通常定义为 y=x^n，其中x为变量，n为常数。
它同样也是一种一元函数，因为它只有一个变量X，表示函数值由变量X决定。
二、作用机制幂函数的作用机制主要体现在它的图象与数轴上。
因为x的增大会使得y的值也会加大，所以函数的图象通常是一条上凸的曲线。
这条曲线在原点处发散无限，而且具有明显的拐点，即抛物线的最高点。
此外，幂函数的作用机制还表现出了其“加速增长”的性质。
从图象上看，在抛物线最高点处，x增大时，y值会比较稳定，但是在x值增大之后，y值会变化得越来越快，这也是函数的最显著特征。
三、表达方式幂函数的表达方式很简单，一般情况下，以n来表示其幂的值，并且幂的值可以是整数、实数或负数，但必须保证x的值不等于0，这里说明由于x不等于0才有意义，因为若x等于0时，n为任意值，y都等于0.例如：y=x^2，即平方函数，n=2；y=x^3，即立方函数，n=3；y=x^2，即倒数平方函数，n=2.四、实际应用1、数据分析：幂函数在数据分析中应用十分广泛，其特有的“加速增长”性质，让数据分析者能够以规律的路径追求特定的结果。
例如，可以利用幂函数进行回归分析，以拟合给定数据；此外，可以利用幂函数构建概率模型，更好地研究联系型数据间的关系；2、物理学：幂函数在物理学中也有着广泛应用，可以用来模拟夸克的衰变过程，更好地理解物质的衰变规律；另外，也可以利用幂函数，研究物体受力的加速度变化，以及质量变化对物体运动的影响等。
综上所述，幂函数是一类重要的函数，它的基本性质、作用机制和表达方式构成了幂函数的基本框架，而在实际应用中，幂函数又有着广泛的用途，能够用于数据分析和物理学等领域，从而帮助人们更好地理解客观事物的变化规律。
第15讲 幂函数及其性质
第15讲幂函数及其性质【知识点梳理】（1）幂函数的定义：一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.（2）幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.（3）幂函数的图象和性质常见的幂函数图像及性质：（4对幂函数性质的综合考查，主要体现为单调性、奇偶性，处理时要以常见的具体幂函数的图象和性质1.幂函数的单调性：在区间(0,)+∞上，当0α>时，y x α=是增函数；当0α<时，y x α=是减函数.2.幂函数的奇偶性：令qpα=（其中,p q 互质，*,,1p q N p ∈>）.（1）若p 为奇数，则q py x =的奇偶性取决于q 是奇数还是偶数.当q 是奇数时，q py x =是奇函数；当q 是偶数时，q py x =是偶函数.（2）若p 为偶数，则q 必是奇数，此时qpy x =既不是奇函数，也不是偶函数.1.幂函数的凸性1.上凸函数、下凸函数的定义：设函数(x)f 在[,]a b 上有定义，若对[,]a b 中任意不同两点121212()(),,()22x x f x f x x x f ++≥都成立，则称()f x 在[,]a b 上是上凸的函数，即上凸函数.设函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对[,]a b 中任意不同两点121212()(),,()22x x f x f x x x f ++≤都成立，则称()f x 在[,]a b 上是下凸的函数，即下凸函数.这个定义从几何形式上看就是：在函数()f x 的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方，那么这个函数就是上凸函数；如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断，一般开口向下的二次函数是上凸函数，开口向上的二次函数是下凸函数.2.幂函数的凸性（1）幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，在1α>时，函数是下凸函数；（2）幂函数y x α=，(0,)x ∈+∞，在01α<<时，函数是上凸函数；（3）幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，在0α<时，函数是下凸函数.【典型例题】题型一幂函数的概念【例1】在函数21y x=，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例2】已知()21212223m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．【题型专练】1．现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知函数()()()2211 nn f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___.3.已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．题型二：幂函数的三要素【例1】幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例2】已知幂函数()22333mm y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值可以为（）A ．5B ．1C ．2D ．4【题型专练】1.若函数()f x 是幂函数，满足(4)8(2)f f =，则1(1)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．2.已知幂函数()f x 的图象经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()4f 的值为___．3.设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3题型三：幂函数的性质【例1】幂函数()()2231mm f x m m x+-=--在x ∈（0，+∞）上是减函数，则m ＝（）A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．1【例2】幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（）A ．27B ．9C ．19D ．127【例3】已知幂函数()f x 的图象经过点()9,3，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【例4】已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（）A ．23-B ．1C ．23D ．1-【例5】若幂函数()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈在()0,∞+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p q +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【题型专练】1．若幂函数()()215m f x m m x -=+-在()0,∞+上单调递减，则m =（）A ．3-或2B ．2C ．3-D ．2-2．已知幂函数()()()224210,m m f x m x ∞-+=-+在上单调递增，则m =（）A ．0B ．13-C ．103-或D ．106-或3．已知幂函数()y f x =的图象过点24⎛ ⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞4.已知幂函数()223()pp f x x p N --*=∈的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133pp aa -<+，则a 的取值范围是_____．5．写出一个具有性质①②③的函数()f x =______．①()f x 定义域为{}0x x ≠；②()f x 在(),0∞-单调递增；③()()()f ab f a f b =⋅．题型四：幂函数的图象【例1】幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a>>>D ．b c d a>>>【例2】已知幂函数()f x 的图象为曲线C ，有下列四个性质：①()f x 为偶函数；②曲线C 不过原点O ；③曲线C 在第一象限呈上升趋势，④当1≥x 时，()1f x ≥.写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数()f x ___________.【例3】如图所示是函数m ny x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（）A ．m n 、是奇数且1m n<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m n 、是偶数，且1m n>【题型专练】1．图中1C ，2C ，3C 分别为幂函数1y x =α，2y x =α，3y x α=在第一象限内的图象，则1α，2α，3α依次可以是（）A.12，3，1-B ．1-，3，12C ．12，1-，3D ．1-，12，32.幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ． III, VII3．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．题型五：幂函数的综合运用【例1】已知幂函数()()2144m f x m m x +=+-在区间()0,+¥上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.【例2】已知幂函数()y f x =经过点14,8⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若()()232f a f a +<-，求实数a 的取值范围．【题型专练】1．若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.2．已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式（2）若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.3．已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b +∈R ）满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值．。
幂函数的单调性、奇偶性及其应用-高中数学知识点讲解
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
1．幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【知识点归纳】
一、幂函数定义：
一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．
（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是 1；
（4）形式都是y＝x a，其中a 是常数．
二、幂函数与指数函数的对比
式子名称
a x y
指数函数：y＝a x 底数指数幂值幂函数：y＝x a 指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质
1
（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y =푥2；（5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x31
2y＝x
﹣1
y =푥
定义域R R R [0，+∞）{x|x≠0}
值域R [0，+∞）R [0，+∞）{y|y≠0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增x∈[0，+∞）增增x∈（0，+∞）
时，增时，减
x∈（﹣∞，0] x∈（﹣∞，
1/ 2
时，减0）时，减
公共点（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）0）0）0）0）
四、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数，当a 为偶数时，幂函数为偶函数．
2/ 2。
幂函数的基本概念与性质
幂函数的基本概念与性质幂函数是数学中一类重要的函数类型，其表示形式为$f(x) = ax^b$，其中a和b为常数，且b是实数。
幂函数的基本概念包括定义域、值域、图像特征等，而幂函数的性质则涉及到增减性、奇偶性、最值和渐近线等方面。
本文将详细探讨幂函数的基本概念与性质，以帮助读者更好地理解这一函数类型。
一、幂函数的基本概念1. 定义域：幂函数的定义域为所有使得底数$x$的幂指数$b$合法的实数。
通常来说，当$b$为有理数时，定义域为全体实数；若$b$为无理数，定义域则需根据具体情况进行讨论。
2. 值域：幂函数的值域根据幂指数$b$的正负以及常数$a$的正负可以得到不同的结果。
当$b$为正数时，如果$a$也为正数，则值域为全体正实数；若$a$为负数，则值域为全体负实数。
当$b$为负数时，根据奇偶性的不同，值域也有所不同。
3. 图像特征：幂函数的图像特征主要与幂指数$b$的正负、常数$a$的正负以及其他可能的变化因素有关。
当$b$为正数时，幂函数呈现递增趋势，且随着$b$的增大，图像会更加陡峭；当$b$为负数时，幂函数会呈现递减趋势，且随着$b$的增大，图像会更加平缓。
二、幂函数的性质1. 增减性：当幂函数的幂指数$b$为正数时，函数是递增的，即随着自变量$x$的增大，函数值$f(x)$也随之增大。
相反，当$b$为负数时，函数是递减的，即随着自变量$x$的增大，函数值$f(x)$会减小。
2. 奇偶性：幂函数的奇偶性取决于底数$x$的幂指数$b$的奇偶性。
当$b$为偶数时，函数是偶函数，即$f(-x) = f(x)$；当$b$为奇数时，函数是奇函数，即$f(-x) = -f(x)$。
3. 最值：当幂函数的幂指数$b$为正数时，最小值为函数的定义域中最小的值，最大值为正无穷。
当幂指数$b$为负数时，最小值为负无穷，最大值为函数的定义域中最小的值。
同时，最值的具体取值还与常数$a$的正负有关。
4. 渐近线：当幂函数的幂指数$b$大于1时，函数的图像会趋近于$y=0$的水平渐近线；当幂指数$b$小于1时，函数的图像会趋近于$x$轴的正半轴。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数和指数函数是数学中经常遇到的两种函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将就幂函数和指数函数的定义、性质以及实际应用进行探讨。
一、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。
在这里，a可以是任意实数。
幂函数的图像一般可以分为三种类型：当a > 1时，函数图像是一个递增的曲线；当0 < a < 1时，函数图像是一个递减的曲线；当a = 1时，函数图像是一条直线。
幂函数具有如下性质：1. 定义域：对于非零自变量，幂函数的定义域为全体实数。
2. 奇偶性：当a为奇数时，幂函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)；当a为偶数时，幂函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
3. 增减性：当a > 0时，幂函数在整个定义域上是递增的；当a < 0时，幂函数在整个定义域上是递减的。
4. 连续性：幂函数在其定义域上是连续的。
二、指数函数的定义和性质指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中x为自变量，a为常数且a > 0且a ≠ 1。
指数函数在实际问题中经常出现，例如在经济增长、人口增长等领域中的应用。
指数函数的图像在a > 1时是递增的曲线，而在0 < a < 1时是递减的曲线。
指数函数具有如下性质：1. 定义域：对于所有实数，指数函数的定义域为全体实数。
2. 零点：指数函数不存在零点，因为对于任意正数a，a的任意次方都不可能等于0。
3. 奇偶性：指数函数不具备奇偶性。
4. 连续性：指数函数在其定义域上是连续的。
三、幂函数与指数函数的实际应用1. 幂函数的应用：- 在物理学中，物体的速度、加速度与时间的关系通常可以用幂函数表示，例如v = at^2。
- 在金融领域中，贷款利息、股票收益等往往也可以使用幂函数来描述，例如利率计算公式。
- 在电路分析中，电流和电压之间的关系可以通过幂函数来表达。
幂函数概念
幂函数概念
幂函数是数学中一种重要的概念，它在多种不同的科学和技术领域都有着广泛的用途。
它是一种函数，通过让数字的值经过某种算法的处理求出一个结果，或者可以把它看作是某种运算的一种快捷方法。
它的基本特征是，给定一个数字及其特定的次数和指数，它可以计算出一个结果，即次方指数。
例如，若要计算2的3次方，即2的平方，则可以把答案定义为f（x）=x^3，并将2作为x的值来求得f（2）=8，即2的3次方为8。
这就是幂函数的基本使用方法。
除了像这样简单的基本使用外，幂函数还有更复杂的用法。
它可以用来求解方程，描述函数的变化规律，计算数学表达式，以及对函数的求导等等。
幂函数的表达式可以用公式表示：y=x^n，其中x为自变量，y
为因变量，n为指数，表示x的n次方。
换句话说，当x的值改变时，以指数n的幂级数表示的y的值也会改变。
指数n可以为正数、负数或者零。
当n为正数时，表示x的正指数，乘积指数越大，函数值越大；当n为负数时，表示x的负指数，乘积指数越大，函数值越小；当n为零时，函数值始终为1，表示x
的无穷指数。
此外，幂函数的求导也是一个重要的概念。
一般形式的幂函数求导是：y=nx^(n-1)，其中y为导数，n为指数。
根据求导的准则，对nx^(n-1)求导得：n(n-1)x^(n-2)，即导数系数乘以函数下一次幂数，
直至函数次数为1。
最后，幂函数有着广泛的应用。
它可以用来解决多种不同的方程，表达多种数学表达式，描述函数的变化规律，以及对函数的求导。
因此，它是一种非常有用的概念，值得研究。
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引入：
设当年人口为12亿，如果人口的年净增率是5.3‰，那么到
25年后，人口总数y为
y=12(1+0.0053)25=12 1.005325，
(1)
现在想知道，不同的年净增率对25年后总人口数y大小的
影响，年净增率不再是常数0.0053，而是一个可变化的量，
不妨用p来表示它．不同的p，计算y的公式是
幂函数的一般形式是y=x，其中x是自变量， 叫做幂 指数(0)，幂指数是常量． 幂指数仅有一个限制：0，即可以取任意不等于零的确
定的实数值．
2.幂函数的定义域和值域 我们先来考察几个具体幂函数的例子．
例1 求下列幂函数的定义域和值域：
1
2
1
(1)y=x 5 ； (2)y= x 5 ； (3)y= x 4
照上表，即知其定义域为(-,+)，值域为(-,+)；
(2)因为指数 2 >0，且指数的分母为奇数，分子为偶数，对 5
照上表，即知其定义域(-,+)，值域为[0,+)； (3)因为指数 1 >0，且指数的分母为偶数，分子为奇数，对
4
照上表，即知其定义域[0,+)，值域为[0,+)．
当 <p 0时，只要把上表中把a允许取值范围及 q a p 值的范
y=12(1+p)25．
以x表示量1+p，上式成为
y=12x25．
(2)
我们知道x25是x的25次幂，只是现在(2)中的x不是常数，而
是一个变量，那么它是什么呢？
1．幂函数的定义 对每一个x1，x25是一个幂；随着x的变化，幂的大小
也发生变化。对每一个确定的x，x25有唯一确定的值与之对 应，因此x与x25之间具有函数关系．这种类型的函数关系， 叫做幂函数．
数)，分子为偶数，对照上表并注意去掉0，即知其定义域
为(-,0)(0,+)，值域为(0,+)；
(3)因为指数- 3 ＜0，且指数的分母为偶数，分子为奇数， 2
对照上表知其定义域为(0,+)，值域为(0,+)．
对其它的幂函数y=x，当为有理数 p
q
时，可仿例1、例2
来确定它的定义域和值域．
课内练习1
§3.2 幂函数
1课时
预备知识 幂的概念的推广 正比例函数的概念及其性质 反比例函数的概念及其性质 二次函数y＝ax2的概念及其性质 重点 幂函数的概念、定义域和值域 几个特殊指数的幂函数的图象及性质 难点 幂函数的定义域、值域 幂函数的图象及性质 学习要求 了解幂函数的概念 会求幂函数的定义域和值域 理解几个特殊指数的幂函数的图象及性质 能根据幂函数的性质比较同底幂的大小
q
围去掉0，其余不变． ．
例2 求下列幂函数的定义域和值域：
(1)y=
x 1
3 ； (2)y=x -2；
(3)y=
x 3 2
p
分析 根据有理指数幂的定义 a q q a p ，当
p
q ＜0时，a的允许取值范围及所得幂的范围如下表：
p q ＜0
q
p
a允许取值
范围
ap值
qap
值的范围
奇 数
偶数 奇数
分析 根据有理指数幂的定义
p
aq q ap
当p q
>0时，a的允许取值范围及所得幂的范围
如下表:
q
p
a允许取值范围源自ap值偶数奇数
p q ＞0
奇数
偶数 奇数
(-,+) [0,+)
[0,+) (-,+)
[0,+)
qap
值的范围
[0,+) (-,+)
[0,+)
1 解 (1)因为指数 3 >0，且指数的分母、分子均为奇数，对
1. 确定下列幂函数的定义域和值
域.
(1)y=x3；
(2)y=x-2；
(3)y=x3/ 4；
(4)y=x – 2/ 3；
(5)y=x – 5/2；
(6)y=x 4/5．
No Im再a见ge
(0,+)
(0,+)
(-,0)(0,+)
(-,0)(0,+) (-,0)(0,+)
偶 数
奇数
(0,+) (0,+)
(0,+)
解 (1)因为指数- 1 <0，且指数的分母、分子为奇数，对 3
照上表知其定义域为(-,0)(0,+)，值域为(-,0)(0,+)；
(2)因为指数-2<0，且指数的分母为奇数(分母为1，作为奇