苏教版高中数学必修一函数的零点教案
高中数学必修1苏教版2.5.1 函数的零点教案
2.5.1 函数的零点
教学目标：
1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．
教学重点：
函数零点存在性的判断．
教学难点：
数形结合思想，转化化归思想的培养与应用．
教学方法：
的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0
例2 求证：二次函数y ＝2x 2＋3x －7有两个不同的零点． 例3 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？ 例4 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． （3）二次函数y ＝2x 2＋px ＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ； （4）已知函数f (x )＝x 3－3x ＋3在R 上有且只有一个零点，且该零点在区间[t ，t ＋1]上，则实数t ＝___ __．
五、要点归纳与方法小结
1．函数零点的概念、求法．
2．函数与方程的相互转化，即转化思想；以及数形结合思想．六、作业
课本P
－习题1，2．
81。
苏教版高中数学必修第一册8.1.1函数的零点【授课课件】
8.1.1 函数的零点
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点．
()
(2)任意两个零点之间函数值保持同号．
()
(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜
A 易知 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象是一条连续不断的曲线，又 f(－ 3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以 f(x)在(－3，－1)内有零点，即方 程 ax2＋bx＋c＝0 在(－3，－1)内有根，同理方程 ax2＋bx＋c＝0 在(2,4) 内有根．故选 A．
8.1.1 函数的零点
第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解 8.1.1 函数的零点
8.1.1 函数的零点
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．理解函数的零点的概念以及函 1．通过零点的求法，培养数学运算 数的零点与方程根的关系．(重点) 和逻辑推理的素养． 2．会求函数的零点．(重点、难点) 2．借助函数的零点与方程根的关 3．掌握函数零点的存在定理并会 系，培养直观想象的数学素养． 判断函数零点的个数．(难点)
8.1.1 函数的零点
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
求函数的零点 求函数 fx的零点时，通常转化为解方程 fx＝0，若方程 fx＝0 有实数根，则函数 fx存在零点，该方程的根就是函数 fx的零点； 否则，函数 fx不存在零点.
2018-2019学年苏教版必修一3.4.1第1课时函数的零点学案
3．4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点(重点)；2.掌握函数零点的判定方法(难点)；3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．预习教材P91－93，完成下面问题：知识点一函数的零点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．【预习评价】思考函数的零点是点吗？提示函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点三函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．【预习评价】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，判断下列说法是否正确．①若f(a)f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()②若f(a)f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()③若f(a)f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()④若f(a)f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()提示①×可通过反例“f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＞0，但其存在两个解{－1,1}”，故①不正确；②×对于②可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＜0，但其存在三个解{－1,0,1}”故②不正确；③√；④×由零点存在性定理可知④不正确．题型一求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x2－x－6；(2)f(x)＝x3－x；(3)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．解(1)方法一令f(x)＝0，即x2－x－6＝0.∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，∴方程x2－x－6＝0有两个不相等的实数根x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点是x1＝－2，x2＝3.方法二由f(x)＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，得x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点为x1＝－2，x2＝3.(2)∵x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，∴令f(x)＝0得x(x－1)(x＋1)＝0.∴f(x)的零点为x1＝0，x2＝1，x3＝－1.(3)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝12时，f(x)＝(12x－1)(x－2)＝12(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2. ∴f(x)有零点2.当a≠0且a≠12时，令f(x)＝0得x1＝1a，x2＝2.∴f(x)的零点为1a，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝12时，函数有零点2；当a≠0且a≠12时，f(x)的零点为1a，2.规律方法根据函数零点的定义，求函数f(x)的零点就是求使f(x)＝0的x的值，即方程f(x)＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f(x)＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法；②几何法：函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．【训练1】函数y＝x－1的零点是________．解析令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1.答案 1题型二函数零点存在性定理及应用【例2】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解(1)∵f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(－1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0.∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点．规律方法由函数给定的区间[a，b]分别求出f(a)和f(b)，判断f(a)f(b)＜0是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果f(a)f(b)＞0，并不说明函数在[a，b]上没有零点．【训练2】已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：则函数f(x)解析根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点．答案 3题型三判断函数零点的个数【例3】判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．解函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x 与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．规律方法判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．【训练3】函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．解析如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数的图象有两个交点，即f(x)有两个零点．答案 2【探究1(0,1)与(1,2)内，试求k的取值范围．解由题意可知，方程7x2－(k＋13)x－k＋2＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，也就是说函数y＝7x2－(k＋13)x－k＋2的图象与x轴的交点横坐标分别在0与1,1与2之间，作出草图．根据图象得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2＞0，7－(k ＋13)－k ＋2＜0，28－2k －26－k ＋2＞0.解之得－2＜k ＜43.故k 的取值范围是(－2，43)．【探究2】 已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．解析 如图所示，由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象有三个交点，则方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个不相等的实数根， 因此a ＝1. 答案 1【探究3】 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ∈R )，若方程f (x )＝0至少有一正根，则a 的取值范围是________．解析 对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12，不符合题意；当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．当a ≠0时，由Δ＝4－4a ＞0，得a ＜1， 又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点， f (x )图象的对称轴方程为x ＝－22a ＝－1a ，当－1a ＞0，即a ＜0时，图象开口向下，与x 轴正半轴有一交点，满足题意；当－1a ＜0，即a ＞0时，图象开口向上，与x 轴正半轴无交点，不满足题意，综上，a 的取值范围是(－∞，0)．答案 (－∞，0)规律方法 (1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面：①Δ与0的关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(2)求解探究2这类问题可先将原式变形为f (x )＝g (x )，则方程f (x )＝g (x )的不同解的个数等于函数f (x )与g (x )图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．课堂达标1．函数f (x )＝1－x 21＋x 的零点是________．解析 由f (x )＝0，即1－x 21＋x＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为1.答案 12．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，又f (x )单调递增， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．答案 ③3．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a ＜b )，并且α，β(α＜β)是函数y ＝f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是________． 解析 函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a ＜α＜β＜b . 答案 a ＜α＜β＜b4．已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是________．解析 二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 可化为f (x )＝(x ＋12)2＋a －14，则二次函数对称轴为x ＝－12，其图象如图．∵f (m )＜0，由图象知f (m ＋1)＞0，∴f (m )·f (m ＋1)＜0，∴f (x )在(m ，m ＋1)上有1个零点． 答案 15．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围．解 ∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的图象是连续的且两零点x 1，x 2满足x 2∈(－4，－2)，x 1∈(0,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)·f (1)<0⇒3a ＋1<0，f (－4)·f (－2)<0⇒8a ＋1<0⇒a <－13. ∴a 的取值范围为(－∞，－13)．课堂小结1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。
8.1.1函数的零点教学设计-2023-2024学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
课程基本信息
1.课程名称：函数的零点
2.教学年级和班级：2023-2024学年高一上学期，数学苏教版（2019）必修第一册
3.授课时间：第1课时
4.教学时数：45分钟
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解函数零点的基本概念。函数零点是函数图像与x轴交点的横坐标，它是使函数值为零的输入值。函数的零点可以帮助我们解决方程的根的问题，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了函数零点在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
再次，在实践活动环节，学生对于如何利用函数零点解决实际问题还不够熟练。针对这一点，我计划在接下来的教学中，增加更多的生活实例，让学生在解决实际问题的过程中，更好地运用所学的函数零点知识。
此外，我在课堂上的提问和互动环节，发现学生参与度不高。为了提高学生的积极性，我计划改变提问方式，更多地采用开放式问题，引导学生进行思考和讨论。
答案：根据函数值的正负来判断。如果函数在这两个值之间的区间内有一个值为0，则函数在这个区间内有零点。
2.函数零点的求解方法
题型3：求解一次函数的零点。
答案：一次函数的零点为函数的截距，即y轴截距。
题型4：求解二次函数的零点。
答案：二次函数的零点为判别式Δ=0的解，即x1,x2=(-b±√Δ)/(2a)。
-学生能够在作业中正确解答与函数零点相关的实际问题，显示出对函数零点的应用能力。
5.教师评价与反馈：
精品2019-2020年最新高中数学苏教版必修一2.5.1《函数的零点》一等奖教学设计
§2.5 函数与方程2．5.1 函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的______．3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的______．4．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．函数零点的存在性的判断方法若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一、填空题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________．2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)①若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；②若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；③若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0；④若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0.3．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是________．4．已知函数y ＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0零点的个数为________．6．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是________．7．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．8．函数f(x)＝lnx －x ＋2的零点个数为________． 9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N)，则k 的值为________.10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围． 能力提升 12．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x 的解的个数是_______________________．13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．2．5.1 函数的零点知识梳理1．2个1个0个2个1个 2.零点 3.实数根横坐标4．交点零点作业设计1．2个解析方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，∴Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．2．①②④解析对于①，可能存在根；对于②，必存在但不一定唯一；④显然不成立．3．0，－1 2解析∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，ab＝－12.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.4．4解析由图象可知，当x>0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称，故此函数的零点至少有4个．5．2解析x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.x>0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∴f(1)f(e3)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f(x)在R上有2个零点．6．(－∞，0)解析设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d ＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.7．3 0解析∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.8．2解析该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx －x ＋2有2个零点．9．1解析 设f(x)＝e 2－(x ＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f(x)＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f(x)＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m>0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m>026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m<026m ＋38>0，解得－1913<m<0.12．3解析由已知⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x>0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x>0时，方程为x ＝2， ∴方程f(x)＝x 有3个解．13．解 设f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎨⎧f0>0f 1<0f2>0，即⎩⎨⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k<23.。
2.5方程的根与函数的零点教案【苏教版必修一】
方程的根与函数的零点一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本》苏教版第二章第五节时5.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。
之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
二学生学习情况分析地理位置：学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数。
知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。
苏教版高中数学必修一学案：3.4函数的零点(1)
§31 函数的零点（1）主备：韩梅花 审核：马佩珊 做题：姜荣华一、教学重、难点一元二次方程的根与对应的二次函数图象的关系，根的存在性定理.二、新课导航 1. 问题情境：（1）作二次函数322--=x x y 的图象并观察：x 取哪些值时，0y =？ 方程0322=--x x 根的与其对应的二次函数的图象有什么关系？ 什么是二次函数322--=x x y 的零点？2．二次函数2(0)y ax bx c a =++>的零点，二次方程20(0)ax bx c a ++=〉的根， 以及二次函数2(0)y ax bx c a =++〉图像有什么关系？3．函数()y f x =的零点及其求法：（1）零点：把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点． （2）函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根．从图象上看，函数()y f x =的零点，就是它的图象与x 轴交点的 ． （3）函数()y f x =的零点求法：4．函数零点存在性定理及理解：函数零点的存在性定理：若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条 的曲线，且()()0f a f b <，则函数()y f x =在区间(,)a b 上必有零点。
（1）有多少个零点？唯一吗？（2）反之，若函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，则必有()()0f a f b <吗？ （3）对一元二次函数呢？三、合作探究活动1 求证：一元二次方程07322=-+x x 有两个不同的零点；．活动2 判断函数()122--=x x x f 在区间)3,2(上是否存在零点．思考：如果0x 是二次函数)(x f y =的零点，且n x m <<0，则()0)(<n f m f 一定成立吗？活动3 求证：函数()123++=x x x f 在区间)1,2(--上存在零点．四、提高拓展1．课本P93第3题：五、知识网点§31 函数的零点（1）作业班级 姓名 学号 得分 日期 一、填空题1．函数()432--=x x x f 与x 轴的交点坐标是 ，零点是 ．2．函数()xx x f 4-=的零点个数是 ． 3．函数)54(log 22+-=x x y 的图象与x 轴交点的横坐标是 ． 4．函数x x y 643-=的零点的个数是 ． 5．方程3)2(2=-x x 的解的个数是 ． 6．设函数⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈-=)1,(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，则函数y=41)(-x f 的零点是______． 二、解答题7．求证：方程012=++x x 没有实数根．8．说明下列函数在给定区间上存在零点：（1）)3,1(,52lg )(-+=x x x f ； （2）)2,1(,72)(2-+=x x f x；（3）)1,0(,1)(3-+=x x x f ．9．函数c bx ax y ++=2的图象如图． （1）写出方程02=++c bx ax 的根； （2）求c bx ax y ++=2的最小值．10．已知定义在R 上的函数)(x f y =的图像是一条不间断的曲线，b a b f a f <≠其中),()(，设2)()()()(b f a f x f x F +-=，求证：函数),)(b a x F 在（上有零点．三、错题剖析。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.1 函数与方程》11
《函数的零点》教学设计一、教学目标1、知识与技能：理解函数零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系。
2、过程与方法：体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。
3、情感态度价值观：让学生体会函数与方程相互转化的思想，体会数形结合的数学思想。
二、教学重点、难点重点：函数零点的概念以及求法；难点：利用函数的零点作图，函数与方程的转化。
三、教学方法采用学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法。
四、教学过程（一）创设情境，感知概念1一元二次方程的根与二次函数图像的关系1问题1结论？由特一般性的归纳表2问题2：一元二次方程的根相应的二次函数的图象间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标．意图：通过回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。
2、一般函数的图象与方程根的关系问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论方程f＝0有几个根，＝f的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念1概念：对于函数＝f，把使f＝0的实数叫做函数＝f的零点．说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f＝0的根。
2.归纳函数的零点与方程的根的关系方程f＝0有实数根⇔函数＝f的图象与轴有交点⇔函数f有零点．小试牛刀：1函数)4()(2-=xxxf的零点为（）A)00(， ,)02(， B 0，2 C)02(，-)00(， D -2，0，22函数)(x f设计意图：1及时矫正“零点是交点”这一误解．2使学生熟悉零点的求法3二次函数的零点个数如何判断？4函数零点的性质？学生讨论后，得出结论。
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2.5.1函数的零点
教学目标：
1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．
教学重点：
函数零点存在性的判断．
教学难点：
数形结合思想，转化化归思想的培养与应用．
教学方法：
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：在第2.3.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解；
2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？
二、学生活动
1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点
填空：
（1）k0，b0；
（2）方程kx＋b＝0的解是；
（3）不等式kx＋b＜0的解集；
2．如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空：
（1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是 ；
（2）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ； ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ．
三、建构数学
1．函数y ＝f (x )零点的定义；
2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象之间关系：
3．函数零点存在的条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上不间断，且f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．
四、数学运用
例1 函数y ＝f (x )(x [－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x )
的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0的解集．
例2 求证：二次函数y ＝2x 2＋3x －7有两个不同的零点． 例3 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？ 例4 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． 练习：（1）函数f (x )＝2x 2－5x ＋2的零点是_______ ．
（2）若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围是___________；（3）二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是；（4）已知函数f(x)＝x3－3x＋3在R上有且只有一个零点，且该零点在区间[t，t＋1]上，则实数t＝___ __．
五、要点归纳与方法小结
1．函数零点的概念、求法．
2．函数与方程的相互转化，即转化思想；以及数形结合思想．
六、作业
课本P81－习题1，2．。