高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)
高中数学竞赛解题方法
高中数学竞赛解题方法高中数学竞赛是展现数学优秀人才的舞台，而参加数学竞赛也成为了大多数学子们展示自己特长的方式。
想要在高中数学竞赛中获得好成绩，除了平时的坚实基础，更需要掌握一套行之有效的解题方法。
本文将从数学思维、解题技巧、数学知识的拓展等几方面进行介绍，希望能对广大竞赛学子有所帮助。
一、数学思维1.思维模型数学竞赛中，思维模型功能强大。
它是指一种通用解决问题的思维方式。
思维模型根据不同的考试形式和题型，具体体现为归纳法、逆推法、类比法、转化法、画图法、反证法等。
2.逆向思维数学竞赛中，逆向思维是常见的求解复杂问题的方法之一。
我们经常会遇到问题分解、构造和证明题等类型的问题，这些问题需要用到逆向思维。
逆向思维的关键在于反着想，从解的步骤逆向推导，而不是直接计算出答案。
二、解题技巧1.强化基础高中数学竞赛的解题技巧常常是建立在扎实的基础上的，因此，学习基础知识以及掌握基本的解题技巧是必不可少的。
可以分别从代数、几何、数论等各方面提高基本功。
2.多练习数学竞赛是相对于普通数学而言的。
其中的难度和复杂度更高，需要更多练习来不断提高自己的解题能力。
只有不断练习，才能加深对数学竞赛知识的理解，掌握解决问题的思路。
3.掌握易错点掌握易错点是提高解题能力的重要方法之一。
例如，负数、分数等基础问题很容易错，而一旦犯了这种错误通常会影响整个题目的解答。
三、数学知识的拓展数学竞赛中，知识量和难度都非常大，需要有一定的数学知识储备。
同时，我们还需要通过实际操作和实验，拓宽我们的研究领域，扩展我们的数学思维。
1.参加数学竞赛通过参加各种数学竞赛，我们可以了解到更多的数学领域和知识点，从而扩大自己的数学知识面和解题思路。
2.阅读数学相关书籍对于数学爱好者来说，阅读数学相关的书籍也是一种不错的拓展数学知识的方式。
可以挑选一些优秀的数学竞赛相关的书籍，如《高中数学竞赛1200题》、《计数的艺术》等等。
总而言之，高中数学竞赛不是一朝一夕可以练就的能力，需要长时间的沉淀和坚实的基础。
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
高中奥数解题技巧
奥林匹克数学的技巧（上篇)有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。
这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法,以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。
在2—1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说,这是一种数学创造力，一种高思维层次,高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。
”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。
2—7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式,使得问题在这种形式下简捷解决。
常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉,构造算法等.例2-127 一位棋手参加11周（77天)的集训，每天至少下一盘棋,每周至多下12盘棋,证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。
证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天(包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤⨯=…考虑154个数：12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,?,又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。
这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉"，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。
高中数学奥林匹克竞赛中的递推技巧
数学奥林匹克竞赛中的递推技巧如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。
用递推的方法计数时要抓好三个环节：（1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1)f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定；（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程； （3）解函数方程。
例1.整数1，2，…，n 的排列满足：每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。
试问有多少个这样的排列？解：通过建立递推关系来计算。
设所求的个数为n a ，则11a =（1） 对1n >，如果n 排在第i 位，则它之后的n i -个数完全确定，只能是,1,n i n i ---…,2，1。
而它之前的1i -个数，1,2,n i n i -+-+…,1n -，有1i a -种排法，令1,2,i =…,n 得递推关系。
1211211111(1)2n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=++++=++++=+=…… （2） 由（1），（2）得12n n a -=例2.设n 是正整数，n A 表示用2×1矩形覆盖2n ⨯的方法数；n B 表示由1和2组成的各项和为n 的数列的个数；且024*********12321, 2,21m m m m m n m m m m m C C C C n m C C C C C n m +++++++⎧++++=⎪=⎨++++=+⎪⎩……，证明n n n A B C ==证明：由,n n A B 的定义，容易得到 1112,1,2n n n A A A A A +-=+== 1112,1,2n n n B B B B B +-=+==又因为121,2C C ==，且当2n m =时，0242221352113112212122112m m m n n m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C ---++-++-+++=++++++++++=+…… 5212132211m m m m m n C C C C -++++++++=…类似地可证在21n m =+时也有11n n n C C C -++=，从而{}{},n n A B 和{}n C 有相同的递推关系和相同的初始条件，所以n n n A B C ==。
国际奥林匹克数学竞赛_奥林匹克数学竞赛答题技巧方法
国际奥林匹克数学竞赛_奥林匹克数学竞赛答题技巧方法奥林匹克数学竞赛答题技巧方法奥林匹克数学竞赛答题技巧(一)1、对照法如何正确地理解和运用数学概念小学数学常用的方法就是对照法。
根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。
例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。
这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。
只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。
2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。
它体现的是由一般到特殊的演绎思维。
公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。
但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。
例3：计算59某37+12某59+5959某37+12某59+59=59某(37+12+1)…………运用乘法分配律=59某50…………运用加法计算法则=(60-1)某50…………运用数的组成规则=60某50-1某50…………运用乘法分配律=3000-50…………运用乘法计算法则=2950…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。
比较法要注意：(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。
(3)必须在同一种关系下(同一种标准)进行比较，这是“比较”的基本条件。
(4)要抓住主要内容进行比较，尽量少用“穷举法”进行比较，那样会使重点不突出。
(5)因为数学的严密性，决定了比较必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比较结论的对或错。
奥数竞赛解题技巧
奥数竞赛解题技巧
以下是 9 条关于奥数竞赛解题技巧：
1. 嘿，要学会找关键信息呀！就像在森林里找宝藏的线索一样。
比如一道题说有几个小朋友分苹果，那人数和苹果数不就是关键嘛。
2. 哎呀，大胆去假设呀！比如说那道追及问题，咱就假设其中一个速度，就好解决多啦，你说是不是？
3. 记得灵活运用公式呀！公式就像是武器，要用对地方。
比如计算图形面积的公式，碰到相应图形就拿出来用呀。
4. 咋能忘了画图呢？这就好比给题目画一幅地图，一下子就清晰了。
像行程问题，画出路线，答案就容易找到啦。
5. 尝试多角度思考呀！别死磕一种方法，就像走迷宫，这条路不行就换条路嘛。
比如那道方程题，换个未知数试试呢？
6. 一定要细致呀！不能放过任何一个小细节，不然就像千里之堤毁于蚁穴。
那道计算的题，一个小数点可不能错哟。
7. 多积累一些特殊解法呀！这就像游戏里的隐藏技能。
比如特殊的图形规律，学会了可厉害啦。
8. 学会类推呀！看见一个题，想想以前做过的类似的，不就有思路了嘛。
那道找规律的题不就和以前做的很像嘛。
9. 心态要稳住呀！别急别慌，这可不是打仗。
就算遇到难题，咱也慢慢分析，肯定能找到办法的啦。
我的观点结论就是：掌握这些奥数竞赛解题技巧，就能在竞赛中更得心应手啦！。
数学奥赛训练与解题技巧
数学奥赛训练与解题技巧数学奥赛是许多学生争相参加的一项重要活动。
通过数学奥赛的训练，可以提高学生的数学水平和解题能力。
本文将介绍数学奥赛的训练方法和一些解题技巧，帮助读者更好地准备数学奥赛。
第一部分：数学奥赛训练方法1. 增加解题速度数学奥赛通常有时间限制，因此提高解题速度是十分重要的。
为了增加解题速度，学生可以多做一些习题，例如刷题或者参加数学竞赛。
刷题可以帮助学生熟悉各类题型，并掌握解题思路。
参加数学竞赛则可以提供一种模拟考试的环境，让学生适应有限的时间来解决问题。
2. 提高数学基础数学奥赛的题目往往涉及到高深的数学知识。
为了提高数学基础，学生需要加强对基础概念的掌握。
可以通过学习数学教材、参加数学班级或找到优秀的数学老师进行辅导来加强数学基础的学习。
3. 学会分析问题解决数学问题的第一步是正确地分析问题。
学生在训练中要注重思考问题的关键点和难点，以便能够合理地制定解题思路。
通过分析问题，学生可以更加清楚地理解题目的要求，从而更好地解决问题。
第二部分：数学奥赛解题技巧1. 学会做简化数学奥赛的题目有时会提供大量冗余信息，需要学生学会简化问题，找到问题的本质。
通过去掉无关信息，学生能够更快速地找到问题的解决方法。
2. 掌握解题模式数学奥赛的题目往往有一定的解题模式。
学生在训练中要积累和总结不同类型问题的解决方法，形成自己的解题模式库。
通过掌握解题模式，学生能更好地应对各类题目。
3. 多角度思考解题时，学生可以从不同的角度思考问题，寻找不同的解决路径。
有时，多角度的思考能够帮助学生发现题目中的规律或者突破口。
4. 注重细节和符号运算数学奥赛的题目通常有许多细节问题需要注意，比如符号运算和计算过程。
学生在解题过程中要注意书写规范，并且细心处理每一步的计算，以防出现低级错误。
第三部分：总结和展望数学奥赛的训练和解题是一个循序渐进的过程。
学生需通过不断的练习和总结，提高自己的数学水平和解题能力。
同时，数学奥赛也需要学生培养良好的心态，保持自信和冷静，以应对竞赛中的各种挑战。
高中数学竞赛解题技巧
高中数学竞赛解题技巧导语：高中数学竞赛是全世界范围内非常重要且受到重视的学术竞赛活动。
参加高中数学竞赛既能增加数学知识的深度和广度，又能锻炼学生的综合能力。
在这篇文章中，我们将介绍一些高中数学竞赛解题的技巧，帮助参赛者在竞赛中取得更好的成绩。
一、准备阶段在参加高中数学竞赛之前，充分的准备工作是非常重要的。
这个阶段包括复习基础知识、熟悉竞赛题型和解题思路。
1. 复习基础知识复习基础知识是参加数学竞赛的基础。
要全面复习高中数学的各个部分，特别是重难点内容。
理解概念和原理，并能够熟练运用，是解题成功的基础。
2. 熟悉题型和解题思路不同的竞赛题型要求不同的解题思路，所以熟悉题型和解题思路是解题能力的关键。
可以通过做大量的模拟题和历年竞赛题来熟悉题型，并掌握解题技巧。
二、解题技巧解题的技巧对于取得好成绩至关重要。
下面，我们将介绍一些常见的解题技巧。
3. 找到问题的关键在解题过程中，要从题目中找到关键信息，明确问题的目标，帮助我们思考问题和解决问题。
关键信息有时可能隐藏在题目中，需要仔细辨别。
4. 推理逻辑数学问题的解决过程往往依赖于严谨的推理逻辑。
通过遵循严密的逻辑推理，将问题简化为更容易解决的步骤，有利于高效解题。
5. 发现问题的内在规律数学问题中存在一定的规律性，通过发现这些规律，可以将问题转化为更简单的形式。
因此，在解题过程中要敏锐地观察，寻找问题的内在规律。
6. 创造性思维高中数学竞赛往往需要创造性的思维。
对于某些复杂或不常见的问题，不能仅仅依靠已有的方法和定理，而需运用创造性的思维，尝试不同的解法。
7. 掌握多种解题方法在解决问题时，应灵活运用不同的解题方法。
掌握多种解题方法可以提高解题的效率和准确性。
三、实战训练在解题技巧的基础上，实战训练是提高解题能力的关键。
下面，我们将介绍一些实战训练的方法。
8. 做大量的习题通过做大量的习题，可以帮助巩固基础知识，提高解题技巧。
可以选择适当难度的习题集进行训练，逐步提高解题能力。
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奥林匹克数学的技巧（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。
这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。
在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。
” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。
2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。
常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。
例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。
证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤⨯=…考虑154个数：12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,?又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。
这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。
例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。
解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，则其面积为1∆== 另方面2()()2sin x y y z ab C∆++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+()y x y z xz ++=时，()()x y y z ++取最小值2，如1,x z y ===时，()()2x y y z ++=。
2-7-2 映射它的基本形式是RMI 原理。
令R 表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像x ，令M 表示一种映射，通过它的作用把原像结构R 被映成映象关系结构R*，其中自然包含着未知原像x 的映象*x 。
如果有办法把*x 确定下来，则通过反演即逆映射1I M -=也就相应地把x 确定下来。
取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。
建立对应来解题，也属于这一技巧。
例2-129 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 。
解 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A 1，A 2，…，A 7和B 1，B 2，…B 7。
如果甲方获胜，设i A 获胜的场数是i x ，则07,17i x i ≤≤≤≤而且 1277x x x +++=… （*）容易证明以下两点：在甲方获生时，（i ）不同的比赛过程对应着方程（*）的不同非负整数解；（ii ）方程（*）的不同非负整数解对应着不同的比赛过程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过程为：A 1胜B 1和B 2，B 3胜A 1，A 2和A 3，A 4胜B 3后负于B 4，A 5胜B 4，B 5和B 6但负于B 7，最后A 6胜B 7结束比赛。
故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程（*）的非负整数解的个数713C 。
解二 建立下面的对应；集合{}127,,A A A …,的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程，且这种对应也是一个一一对应。
例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是{}123456,,,,,A A A A A A 所以甲方获胜的不同的比赛过程的总数就是集合{}127,,A A A …,的7-可重组合的个数7777113C C +-=。
例2-130 设()n p k 表示n 个元素中有k 个不动点的所有排列的种数。
求证0()!nnk kp k n ==∑ 证明 设{}12,,,n S a a a =…。
对S 的每个排列，将它对应向量12(,,)n e e e …,，其中每个{}0,1i e ∈，当排列中第i 个元素不动时，1i e =，否则为0。
于是()n p k 中所计数的任一排列所对应的向量都恰有k 个分量为1，所以!n 个排列所对应的那些向量中取值为1的分量的总数为1()nnk kp k =∑。
另一方面，对于每个i ，1i n ≤≤，使得第i 个元素不动的排列共有(1)!n -个，从而相应的n 维向量中，有(1)!n -个向量的第i 个分量为1。
所以，所有向量的取值为1的分量总数(1)!!n n n -=，从而得到1()!nnk kp k n ==∑ 例2-131 在圆周上给定21(3)n n -≥个点，从中任选n 个点染成黑色。
试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有n 个给定的点。
证明 若不然，从圆周上任何一个黑点出发，沿任何方向的第1n -个点都是白点，因而，对于每一个黑点，都可得到两个相应的白点。
这就定义了一个由所有黑点到白点的对应，因为每个黑点对应于两个白点，故共有2n 个白点（包括重复计数）。
又因每个白点至多是两个黑点的对应点，故至少有n 个不同的白点，这与共有21n -个点矛盾，故知命题成立。
2-7-3 递推如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。
用递推的方法计数时要抓好三个环节：（1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1),(2)f f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定。
（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程。
（3）解函数方程例2-132 整数1，2，…，n 的排列满足：每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。
试问有多少个这样的排列？解 通过建立递推关系来计算。
设所求的个数为n a ，则11a =（1）对1n >，如果n 排在第i 位，则它之后的n i -个数完全确定，只能是,1,n i n i ---…,2，1。
而它之前的1i -个数，1,2,n i n i -+-+…,1n -，有1i a -种排法，令1,2,i =…,n 得递推关系。
1211211111(1)2n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=++++=++++=+= (2)由（1），（2）得 12n n a -=例2-133 设n 是正整数，n A 表示用2×1矩形覆盖2n ⨯的方法数；n B 表示由1和2组成的各项和为n 的数列的个数；且 02421221352112321, 2, 21m m m m m n m m m m m C C C C n m C C C C C n m +++++++⎧++++=⎪=⎨++++=+⎪⎩……，证明n n n A B C ==证明 由,n n A B 的定义，容易得到 1112,1,2n n n A A A A A +-=+== 1112,1,2n n n B B B B B +-=+==又因为121,2C C ==，且当2n m =时，0242221352113112212122112m m m n n m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C ---++-++-+++=++++++++++=+……5212132211m m m m m n C C C C -++++++++=…类似地可证在21n m =+时也有11n n n C C C -++=，从而{}{},n n A B 和{}n C 有相同的递推关系和相同的初始条件，所以n n n A B C ==。
223296,IMO IMO --用无穷递降法求解也用到了这一技巧。
2-7-4 区分当“数学黑箱”过于复杂时，可以分割为若干个小黑箱逐一破译，即把具有共同性质的部分分为一类，形成数学上很有特色的方法——区分情况或分类，不会正确地分类就谈不上掌握数学。
有时候，也可以把一个问题分阶段排成一些小目标系列，使得一旦证明了前面的情况，便可用来证明后面的情况，称为爬坡式程序。
比如，解柯西函数方程就是将整数的情况归结为自然数的情况来解决，再将有理数的情况归结为整数的情况来解决，最后是实数的情况归结为有理数的情况来解决。
142IMO -的处理也体现了爬坡式的推理（例2-47）。
区分情况不仅分化了问题的难度，而且分类标准本身又附加了一个已知条件，所以，每一类子问题的解决都大大降低了难度。
例2-134 设凸四边形ABCD 的面积为1，求证在它的边上（包括顶点）或内部可以找出4个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的4个三角形的面积均大于1/4。
证明 作二级分类1．当四边形ABCD 为平行四边形时，1124ABC ABD ACD BCD S S S S ∆∆∆∆====> A ，B ，C ，D 即为所求，命题成立。
2．当四边形ABCD 不是平行四边形时，则至少有一组对边不平行，设AD 与BC 不平行，且直线AD 与直线BC 相交于E ，又设D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作AB 的平行线交BC 于F ，然后分两种情况讨论。
（1）如图2-52，12DF AB ≤，此时可作△EAB 的中位线PQ 、QG ，则 111222AGQP EAB ABCD S S S =>= 即A 、G 、Q 、P 为所求。
（2）如图2-53，12DF AB >，此时可在CD 与CF 上分别取P 、Q ，使12PQ AB =。
过Q9或P ）作QG ∥AP 交AB 于G 。