折叠问题与勾股定理
利用勾股定理解决折叠问题—课件
8
x
6
4
10
知识讲解
变式1.已知长方形ABCD在平面直角坐标系中，A （0,8）D（10,8），如图AD沿着AE翻折后点D落在 BC上，求点E的坐标.
E(10,3)
10
8 10
8-x
8 8-x x
6
4
10
知识讲解
变式2.在长方形ABCD中，AB=8，AD=10， 如图AD沿着AC翻折， 求CE的长.
10
8x
8
x
10-x
8
10
课堂练习
变式3.在长方形ABCD中，AB=8，AD=10，如
图，翻折长方形ABCD，使点D与点B重合，
求 折痕EAFE 的长.
x 10G10-x
8 10-x
小结
利用勾股定理解决折叠问题的基本步骤： （1）标出已知和问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； （2）利用折叠找全等； （3）将已知边和未知边（用含x的代数式表示）， 转化到同一个直角三角形中表示出来； （4）利用勾股定理列方程，解方程，得解。
知识ห้องสมุดไป่ตู้解
类型一、直角三角形的折叠
例1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现折叠纸片使A与B重合，折痕为DE， 求CD的长.
解： ∵Rt△ABC，AC=6，BC=8
设观C察D为、x思，考则BD=8-x
由1折.题叠中的已性知质可什得么，求的是什么？
2∴.D折B叠=A过D=程8中-x 你发现了什么？
在3R.观t △察BCDDE在中哪，一由个勾直股定角理三得角形中，
你能x2表6示2 出(这8 个x直)2角三角形的每
解得条x边= ？7
6 8-x
人教版八年级下册数学 第17章 勾股定理—— 勾股定理的应用及折叠问题
勾股定理的应用及折叠问题（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．【能力提高篇】【经典例题】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）A．4B．4πC．8πD．82．如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，其面积S1、S2、S3满足S1+S2＝S3的个数是（）A．1B．2C．3D．43．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2017＝（）A．B．C．D．4．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，求S1+S2+S3的值．6．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？7．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）8．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C 刚好落在AB边上点E处，则BD＝．10．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．611．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点．则AE的长是（）A．3B．4C．5D．612．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG＝GH，则AE的长为（）A．B．1C．D．213．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2。
勾股定理折叠问题
CB ADE一、折叠问题1、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？2、折叠矩形ABCD 的一边AD ，使D 落在BC 边上的F 处，得折痕AE ，若AB ＝8，BC=10， 求CE,CF,EF3、如图，将矩形ABCD 纸片沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在边BC 的F 处，已知3,CE cm =8AB cm =，求图中阴影部分的面积．4、如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.5、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于________ 。
A CD F ／E图56、将矩形ABCD（A B﹤AD）沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8㎝，AB=4㎝，求三角形BED的面积。
7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为8、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
9、P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.二、生活应用D ˊABCD A ˊ B ˊC ˊ1、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.2、八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面。
勾股定理的应用解有关折叠问题
这节课，你学习到了什么？
解决折叠问题的方法： 1. 找到等量关系，相等线段（折叠，垂直平分线，边
角关系，三角形全等……）， 2.运用勾股定理列方程（方程思想） 3.解方程并求出所求量 作业： 1.完成学案 2.补充练习 3.思考题（选做）
动手操作
• 2.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在BC上 一点F处，折痕的两端点分别在AD，CD上(含端 点)，且AB＝6，BC＝10.设CF＝x，
• ①x的取值范围是______________；
• ②当CF取最小值时，折痕与线段CD的交点E与F的
距离为_____________
A
D
B
CБайду номын сангаас
解：由折叠可知
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=8,BC=6
⑴如图1将△ABC折叠，使得A、C重合，折痕MN，
求AM；
(2)如图2将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折 痕为MN，求BN；
(3)如图3将△ABC折叠，使直角边AB折叠使它落在斜 边AC上，折痕为AD，求BD。
图2
图3
用勾股定理列方程是解题的关键
• 思考1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点， 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.
• (1)求证：△ABG≌△AFG；
• (2)求BG的长。
思考2：如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠
(1) 使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，
连接CE.
①求证：AE=AF=EC=CF； ②设AE=a，ED=b，DC=c，请写出一个a，b， c三者之间的数量关系式。 (2)如图2，当C的对应点C′在线段AD里运动时，C′E、
用勾股定理求折叠问题
用勾股定理求折叠问题在我们的生活中，折叠这个话题其实还挺有趣的。
咱们常常看到衣服、纸张、甚至是一些奇奇怪怪的东西需要折叠，这时候大家可能会想，这折叠的过程究竟有什么奥秘呢？说到这，不得不提到勾股定理，嘿嘿，这可是个神奇的工具，能帮我们解决不少麻烦。
想象一下，一张纸对折成两半，然后又折叠成小小的四分之一，最后一摞起来，哇，简直就是艺术品！不过，折叠过程中其实也藏着不少数学的智慧，咱们来聊聊。
折叠的时候，纸张的边边角角往往会形成一些三角形。
大家想象一下，咱们把一张长方形的纸对折，形成一个小长方形。
这个时候，长方形的对角线就出现了。
哎呀，看到这个对角线，是不是瞬间有种“哈，这不就是勾股定理的舞台吗？”的感觉？对角线的长度其实就可以用勾股定理来计算，听起来有点复杂，但其实很简单。
长方形的长和宽就像是直角三角形的两条直角边，而对角线就是斜边。
只要用长方形的长和宽平方相加，再开根号，就能得到对角线的长度。
简单吧？就像把一根香肠切成两段，轻松搞定。
说到这里，想想在学校的时候，老师讲这道题时，我们是不是都在心里默念“能不能快点啊，我还想出去玩呢？”勾股定理不只是数学课堂上的干货，在生活中也能派上大用场。
你有没有试过把一张纸折成一个小飞机？这个小飞机的翅膀得对称，要不然飞不起来。
你在折的时候，恰好就用上了勾股定理，找准了折叠的角度和位置，嘿，飞机飞得可远了。
再说说折叠衣服，那可是个技术活。
有时候一堆衣服像小山一样堆在角落，简直是“山重水复疑无路”的状态。
于是，咱们用折叠的技巧，把它们理顺。
每次折叠时，心里默念“衣服的宽和长能不能形成一个完美的直角三角形呢？”折得越整齐，找衣服的时候就越方便。
这时候，勾股定理又在你耳边悄悄响起，想想每一件衣服的边缘，就像是一个个小三角形，堆在一起形成了一个大矩形，真是让人感叹，折叠这门艺术，简直太精彩了！然后，咱们还可以想象一下折叠纸飞机的场景。
拿出一张纸，开始在手中翻飞，折啊折，最后变成一只酷炫的纸飞机，准备起飞。
利用勾股定理解决折叠问题
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= 3，求DC的长。 B
E D
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边 AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm， ∴在Rt△ABF中
A
D
BF AF2 AB2 102 82 6cm
FC=BC-BF=4cm 设EC=xcm ,则EF=DC－EC=(8－x)cm
E
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
EC²=FC²=EF² 即x²＋4²=（8－x）²，x=3cm，
B
F 图2
C
∴EC的长为3cm。
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
EAEຫໍສະໝຸດ DDCAD
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
课堂小结
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。
8.C专题 勾股定理与折叠问题
专题 勾股定理与折叠问题【方法归纳】扣住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决.一、折叠直角三角形1.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 为AB 上一点，沿CD 折叠△ABC ，点A 恰好落在边BC 上的A ′处，AB ＝4，AC ＝3，求BD 的长.A BCD A'【解答】由题意得AD ＝A ′D 、AC ＝A ′C ，设AD ＝x ，则BD ＝4－x ,在Rt △A ′BD 中，22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.BD ＝52.二、折叠长方形2.如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，F 为CD 上一点，将长方形沿折痕AF 折叠，点D 恰好落在BC 上的点E 处，求CF 的长.【解答】BE ＝3.设CF ＝x ，DF ＝EF ＝4－x ,CE ＝2, 22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.3. 如图，长方形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，使点C 与点C′重合.(1)求DE 的长; (2)求折痕EF 的长.【解答】(1)由题意得DE ＝EB ，设DE ＝EB ＝x ,则AE ＝8－x .在Rt △AEB 中， x 2＝42＋(8－x )2,x ＝5.(2)作EM ⊥BC 于M ，证∠DEF ＝∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ＝5，MF ＝2.∴EF ＝EM 2＋MF 2＝2 5.4. 如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，沿BD 折叠使点A 到A ′处，DA ′交BC 于点F .(1)求证：FB ＝FD ；(2) 求证：CA ′∥BD ；(3) 求△DBF 的面积.【解答】(1)∠DBF ＝∠ADB ＝∠DBF ，∴FB ＝FD .(2)A ′D ＝AD ＝BC ，FA ′＝FC ，∠DBF ＝∠BDF ＝∠FCA ′＝∠FA ′C ，(3)设FB ＝FD ＝x ,x 2＝(8－x )2＋62,x ＝254,∴S △BFD ＝12×254×6＝754.三、折叠正方形5.如图，长方形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，G 为BC 的中点，连接AG 、CF .(1)求证：AG ∥CF ；(2)求DE CE 的值.【解答】(1)连接BF ，∴BG ＝FG ＝CG .∴CF ⊥BF .∵BG ＝FG ，AB ＝AF ，∴AG 垂直平分BF .∴AG ∥CF .(2)设DE ＝EF ＝x ，BG ＝FG ＝y ,则CE ＝2y －x ，CG ＝y ,在△CEG 中，（x ＋y ）2＝（2y －x ）2＋y 2,3x＝2y ,∴DE CE ＝12。
第17章勾股定理利用勾股定理解决折叠问题(教案)
今天我们在课堂上一起探讨了勾股定理及其在折叠问题中的应用。整体来看，学生们对勾股定理的概念和应用有了更深入的理解，但在教学过程中我也发现了一些需要改进的地方。
首先，我发现有些学生在理解勾股定理时，仍然存在一定的困难。特别是在将定理应用于实际问题时，他们往往不知道如何下手。针对这一点，我考虑在未来的教学中，可以多设计一些直观的例子，让学生通过观察和操作，更直观地感受勾股定理的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.培养学生的团队合作精神，通过小组讨论和合作，共同解决折叠问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的理解与应用。
-学生需掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方这一数学关系。
-学生需学会如何将勾股定理应用于解决实际问题，特别是折叠问题中的长度计算。
-举例：在折叠问题中，若已知一个直角三角形的两个直角边长度，学生应能迅速计算出斜边长度。
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折叠问题与勾股定理 Revised at 2 pm on December 25, 2020.
折叠问题与勾股定理
1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。
(1)求EF 的长；(2)求梯形ABCE 的面积。
2．如图所示，在ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把ABC 折叠，使AB 落在直线AC
上，求重叠部分(阴影部分)的面积． 3．如图，矩形纸片ABCD 的长
AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么
折叠后DE 的长是多少
4如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC 折叠,使AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ，求BD 的长为．
5.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ．求EC 的长．
6.如图，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D
落在BC 中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长．(MN 的长)
7．如题，在长方形ABCD 中，将ABC 沿AC 对折至AEC 位置，CE 与AD 交于点F. (1)试说明：AF=FC
(2)如果AB=3，BC=4，求AF 的长。
C
D
B
A
E
E
F
A
B
8.把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ． 若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，
（1）重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2
（2）求EF 的长。
9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，M 为AB
M 旋转，使点C 与点A 重合得到△DEA ，设AE 交CB 于点(1) 若∠B=25°,求∠BAE 的度数； (2) 若AC=2，BC=3
，求CN 的长．
10.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 与CD 交于点E ．
(1)求证：△AED ≌△CEB'；
(2) AB ＝8，DE ＝3，点P 为线段AC 上任一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ．求
PG ＋PH 的值，并说明理由．
11.有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形
ABCD 对折，设折痕为EF ；再沿过点D 的折痕将角A 翻折，
使得点A 落在EF 的H 上，折痕交AE 于点G,求EG 的
长。
折叠问题作业
1、如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=，
4cm AC =，3cm BC =，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为（ ） A ．1cm
B ．1.5cm
C ．2cm
D ．3cm
2、如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）．
'）
A 20cm
B 10cm
C 14cm
D 无法确定
3、矩形纸片ABCD 中，AD =4c m ，AB =10c m ，按如图18-1方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE =_______c m ．
4、在Rt ABC △中，90
BAC ∠=°为边BC 上的点，联结
AM ．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．
AC
5、如图所示：在一块砖宽AN ＝5cm ，长ND ＝10cm ，CD
上的点B 距地面BD ＝8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是 。
6、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对
角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.
7、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 相交于点F.
（1）求证：△FAC 是等腰三角形；
（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.
8、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．
9、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。
现将其折叠，使点D 与点B 重合。
求折叠后BE 的长和折痕EF 的长。
10、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重
合，折叠后在其一面着色（如图），求着色部分的面积。
D
B
F E
D
C B A 2题 E。