第二节二重积分计算

小块 1, 2,, n , 从而
有
f (x, y)d f (x, y)dxdy.
D
D
由定积分的几何应用：设一立体满足a x b，
在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面
与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体
积
V
b
a
S
(
x)dx.
设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有 两个交点.区域D可以用不等式表示为
相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积
分下限，出口曲线为
x
31
y 2
，作为积分上
限.积分区域D在y轴上投影区间为[0,2]，
y
(6 2x 3y)d 02dy03(1 2) (6 2x 3y)dx
D
02 6x x2
3yx
3(1 y )
2 dy
0
029(1
y
y )dy 4
作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.
例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面 所围成的四面体的体积. 解 即求以z=6–2x–3y为顶，以△ABC围成区域D为
底的柱体体积.也就是计算二重积分
(6 2x 3y)d .
D
解法1 积分域D的图形如图9.5(b)所示，先对y积分.
量，按定积分的计算方法解之.
为了简便常记为
D
f
(x,
y)dxdy
bdx y2 (x)
a y1 ( x)
f
(x,
y)dy.
同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线 至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为
x1( y) x x2 ( y) c y d.
(3)
在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面 截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为 S(y)，则
S(x)
y2 ( x)
y1( x)
f
(x,
y)dy.
故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为
D
f
(x,
y)dxdy
Байду номын сангаас
b
a
S
(
x)dx
b[ f y2 (x)
a y1 ( x)
(x,
y)dy]dx.
(2)
将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.
需要指出，计算
y2 ( x)
y1( x)
f
(x,
y)dy时，应将x视为常
先对x积分时，xx12((yy)) f (x, y)dx中的y应视为常量，
按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上， 上述结论并不受此限制.
如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直 线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个 子区域，其中每个子区 域的边界曲线与平行于 坐标轴的直线相交时， 交点不多于两个，用前 述方法及重积分的可加 性可求区域D上的二重 积分.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤： (1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
S
(
y)
x2 ( y)
x1 ( y)
f
(x,
y)dx，
所给立体体积
V cd S ( y)dy.
因此
f (x, y)dxdy cd S( y)dy
D
cd
x2 (y)
x1 ( y)
f
(x, y)dx dy
cd
d y
x2 ( y) x1 ( y)
f
(x,
y)dx.
(4)
即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.
而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上 投影区间[a,b]，a是下限，b是上限，即
D
f
(x,
y)dxdy
bdx y2 (x)
a y1 ( x)
f
(x,
y)dy.
如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，
在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该
将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所
作平行于y轴的直线与区域D相
交，入口曲线为y=0，作为积分
下限.出口曲线为
y
21
x 3
，
作为积分上限.
(6
2x
3y)d
03dx
2(1
0
x) 3
(6
2x
3y)dy
D
03(6
2x)
y
3 2
y2
2(1
x 3
)
0
dx
03121
x 3
2
61
x 3
2
dx
6031
x 3
2
dx
6.
解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D
cos
ydy
D
π
2
0
sin
x sin
y
x 0
dy
π
2
0
sin
2
xdx
π. 4
解法2 先对x积分.
作平行于x轴的直线与积分
区域D相交，沿x轴的正方
向看，入口曲线为x=y，出
口曲线为x π .D在y轴上
2 的投影区间为[0,
π]
.故
2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dy
x
0
sin
x
cos
ydx
D
π
π
2
6，
这个结果与我们熟知的四面体的体积
V 是一致的.
1 3
底
高
1 3
1 2
2
3
6
6
例2
计算积分
D
y x2
dxdy，其中D是正方形区域：
1 x 2,0 y 1.
解 像这样的正方形区域可以不必画，即得
D
y x2
dxdy
12 dx01
y x2
dy
12
1 2x
2
y2
1
dx
0
1 2
12
dx x2
1. 4
0
cos
y[
cos
例3 计算积分sin x cos ydxdy ，其中D是由y=x，y=0
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分.
作平行于y轴的直线与积分
区域D相交，沿着y的正方
向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x
轴上的投影区间为[0, π]. 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
第二节 二重积分的计算
一、二重积分在直角坐 标系下的计算
二、二重积分在极坐标 系下的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简 称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何 意义来引出这种计算方法.
一、二重积分在直角坐标系下的计算
在直角坐标系中，如果
用平行于两个坐标轴的两组
直线段，将区域D分割成n个
y1(x) y y2 (x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平
面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投
影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y) 为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.