浙江省宁波市镇海中学2021届高三第一学期期中考试数学试题(含答案解析)
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.[-1.2）C.（0.1]D.（-∞.2）2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（13）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）A.若α || β.m || β.则l || mB.若α || β.m⊥β.则l⊥mC.若1 || m.α || β.则m || βD.若l⊥m.m || β.则α⊥β4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0x+y+1≥0y≤1.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）A.[0.7]B.（1.7）C.[0.4]D.[1.4]5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1a1+1a2+1a3=2 .a2=2.则S3=（）A.8B.7C.6D.46.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)x2−1的部分图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6对称.则θ的最小值为（）个单位长度.得到的图象关于直线x=π6A. π6B. π3C. π2D.π9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（ ） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+210.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（ ） A.2 B.4 C.10 D.1411.（填空题.6分）复数i (1+2i )1+i的虚部为___ .模为___ ． 12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ）.则该几何体的体积（单位：cm 3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm 2）为___ ．13.（填空题.6分）若（1+x ）（1-2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8.则a 1+a 2+…+a 7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法． 14.（填空题.6分）已知数列{a n }.{b n }满足：a 1=1.a n +a n+1=n.b n =a 2n-1.则数列b n =___ ；记S n 为数列{a n }的前n 项和.S 31-S 24=___ ．15.（填空题.4分）函数f （x ）=sin （ωx+φ）的部分图象如图所示.则f （x ）的单调递增区间为___ ．16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值为___ ．17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 23 sinAsinC.c=2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 12BC.CD=SD.点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．20.（问答题.0分）已知数列{a n}满足a1= 12，(a n+1+1)(a n+1)=2a n+1，n∈N∗．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对∀n∈N*.a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜112．21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.且经过点P（- √3 . 12）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；（2）当x≥−π2时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.[-1.2）C.（0.1]D.（-∞.2）【正确答案】：C【解析】：求出集合A.集合B.由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}.集合B={x|-1≤x≤1}.∴A∩B={x|0＜x≤1}=（0.1]．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（1）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）3A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b【正确答案】：D【解析】：根据指数函数和对数函数的性质即可求出．）-0.8=30.8.【解答】：解：a=30.7.b=（13则b＞a＞1.log0.70.8＜log0.70.7=1.∴c＜a＜b.【点评】：本题考查了指数函数和对数函数的性质.属于基础题．3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）A.若α || β.m || β.则l || mB.若α || β.m⊥β.则l⊥mC.若1 || m.α || β.则m || βD.若l⊥m.m || β.则α⊥β【正确答案】：B【解析】：由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：对于A.若α || β.m || β.则l || m或l与m异面.故A错误；对于B.若α || β.m⊥β.则m⊥α.又l⊂α.则l⊥m.故B正确；对于C.若1 || m.α || β.则m || β或m⊂β.故C错误；对于D.若l⊥m.m || β.则α || β或α与β相交.故D错误．故选：B．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0x+y+1≥0y≤1.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）A.[0.7]B.（1.7）C.[0.4]D.[1.4]【正确答案】：A【解析】：根据二元一次不等式组画出可行域.目标函数几何意义z′=x-3y-2的纵截距相反数.平移目标函数观察Z取值范围．【解答】：解：如图可行域：令z′=x-3y-2.平移直线x-3y-2=0可知当直线过C（0.-1）时.z′取得最大值1.经过B（-2.1）时.z′有最小值-7.Z=|x-3y-2|.所以Z的取值范围：[0.7]【点评】：本题考查线性规划问题.属常规题较简单.解题的关键是画好可行域.弄清z所对应的几何意义．5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1a1+1a2+1a3=2 .a2=2.则S3=（）A.8B.7C.6D.4【正确答案】：A【解析】：利用已知条件化简.转化求解即可．【解答】：解：1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2 .则S3=8．故选：A．【点评】：本题考查等比数列的性质.考查化归与转化的思想．6.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)x2−1的部分图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：由函数为偶函数.可排除选项A.由f（2）＞0.可排除BC.即可得到正确答案．【解答】：解：函数的定义域为{x|x≠±1}. f(−x)=−x(e −x−e x)x2−1=f(x) .故函数f（x）为偶函数.其图象关于y轴对称.故排除A；又f(2)=2(e 2−e−2)3＞0 .故排除BC；故选：D．【点评】：本题考查利用函数性质确定函数图象.考查数形结合思想.属于基础题．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据条件判断函数f（x）是奇函数.同时也是增函数.结合函数奇偶性和单调性的性质.利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：∵f（x）=|x|（e x-e-x）.∴f（-x）=|-x|（e-x-e x）=-|x|（e x-e-x）=-f（x）.即函数f（x）是奇函数.当x≥0.f（x）为增函数.则由a+b＞0得a＞-b.此时f（a）＞f（-b）=-f（b）.即f（a）+f（b）＞0成立.即充分性成立. 若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞-f（b）=f（-b）.则a＞-b.即a+b＞0成立.即必要性成立.则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件.故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.得到的图象关于直线x=π6对称.则θ的最小值为（）A. π6B. π3C. π2D.π【正确答案】：C【解析】：根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式.再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．【解答】：解：函数f(x)=2sin(2x+π6) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.得y=f（x-θ）=2sin[2（x-θ）+ π6 ]=2sin（2x-2θ+ π6）；又函数y的图象关于直线x=π6对称.即2× π6 -2θ+ π6=kπ+ π2.k∈Z；解得θ=- 12kπ.k∈Z；又θ＞0.所以θ的最小值为π2．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了图象平移问题.是基础题． 9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（ ） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+2 【正确答案】：C【解析】：过O 作OD⊥AB .由已知求得|OD|.再求出原点到直线x+y-4=0的距离.求得| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.再由 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |求解．【解答】：解：如图.P 为直线x+y-4=0上的任意一点.过原点O 作OD⊥AB .由|AB|=2 √3 .可得|OD|=1. ∴| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP|-1.则 |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√2−1=2√2−1 ． 则| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 4√2−2 ． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了直线与圆相交的性质.考查向量模的最值的求法.理解题意是关键.是中档题．10.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（ ）A.2B.4C.10D.14【正确答案】：B【解析】：可将数列的递推式两边平方.运用累加法和排除法.可得结论．【解答】：解：|a i+1|=|a i +1|.两边平方可得a i+12=a i 2+2a i +1. 由a 12=a 02+2a 0+1=0+0+1.a 22=a 12+2a 1+1.a 32=a 22+2a 2+1.….a 212=a 202+2a 20+1. 上面的式子累加可得a 212=2（a 1+a 2+…+a 20）+21.则| ∑a k 20k=1 |=| a 212−212|.若| a 212−212 |=2.可得a 21=±5.故A 可能； 若|a 212−212|=4.可得a 21不为整数.故B 不可能； 若| a 212−212 |=10.可得a 21=±1.故C 可能； 若|a 212−212|=14.可得a 21=±7.故D 可能．故选：B ．【点评】：本题考查数列递推式的运用和数列的求和.考查分类讨论思想和判断能力.属于中档题．11.（填空题.6分）复数i (1+2i )1+i 的虚部为___ .模为___ ． 【正确答案】：[1] 32; [2]√102【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.可得复数的虚部.再由复数模的计算公式求复数的模．【解答】：解：∵ i (1+2i )1+i = −2+i1+i=(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=−2+2i+i−i 22=−12+32i .∴复数 i (1+2i )1+i 的虚部为 32. |i (1+2i )1+i |=| −12+32i |= √(−12)2+(32)2=√102． 故答案为： 32 ； √102．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.考查复数模的求法.是基础题．12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）.则该几何体的体积（单位：cm3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm2）为___ ．【正确答案】：[1] 163; [2]4 √2【解析】：首先把三视图转换为几何体的直观图.进一步利用体积公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E-ABCD．如图所示：所以V E−ABCD=13×2×4×2=163. S△ADE=12×4×√22+22=4√2．故答案为：163；4√2．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换.几何体的体积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．13.（填空题.6分）若（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.则a1+a2+…+a7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法．【正确答案】：[1]125; [2]35【解析】：利用二项式定理可知.对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a8的值．先求出任取不同的三项的所有取法.再求出三项均相邻和只有两项相邻的不同取法.利用间接法即可求解．【解答】：解：∵（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.∴a8= C77•（-2）7=-128．令x=0.得（1+0）（1-0）7=a0.即a0=1；令x=1.得（1+1）（1-2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=-2.∴a1+a2+…+a7=-2-a0-a8=-2-1+128=125．在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.有C93 =84种不同取法.三项均相邻.有7种不同的取法.两项相邻.有2×6+6×5=42种不同的取法.故三项均不相邻有84-7-42=35种不同的取法．故答案为：125；35．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.组合数公式的应用.属于中档题．14.（填空题.6分）已知数列{a n}.{b n}满足：a1=1.a n+a n+1=n.b n=a2n-1.则数列b n=___ ；记S n为数列{a n}的前n项和.S31-S24=___ ．【正确答案】：[1]n; [2]97【解析】：由a n+a n+1=n.可将n换为n-1.相减可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.再由数列的分组求和.可得所求和．【解答】：解：a1=1.a n+a n+1=n.可得a2=1-a1=0.将n换为n-1可得a n-1+a n=n-1.n≥2.又a n+a n+1=n.相减可得a n+1-a n-1=1.可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.可得b n=a2n-1=1+（n-1）=n；a2n=0+n-1=n-1.则S31-S24=a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31=（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）=（13+14+15+16）+（12+13+14）=58+39=97．故答案为：n.97．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的求和方法：分组求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．15.（填空题.4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示.则f（x）的单调递增区间为___ ．【正确答案】：[1][2k- 54 .2k- 14].k∈Z【解析】：由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得函数的解析式.再利用正弦函数的单调性.得出结论．【解答】：解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象.可得12• 2πω= 54- 14.∴ω=π．再根据五点法作图.可得π× 14+φ=π.∴φ= 3π4.f（x）=sin（πx+ 3π4）．令2kπ- π2≤πx+ 3π4≤2kπ+ π2.k∈Z.解得 2k- 54≤x≤2k- 14.k∈Z.故函数的增区间为[2k- 54 .2k- 14].k∈Z．故答案为：[2k- 54 .2k- 14].k∈Z．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.正弦函数的单调性.属于中档题．16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 2√23【解析】：换元t= xy +2yx.然后结合基本不等式可求t的范围.然后结合函数y=t+ 1t的单调性可求范围.然后2xyx2+4y2+xyx2+y2= 3x3y+6xy3x4+5x2y2+4y4=3xy+6yxx2y2+4y2x2+5=3(xy+2yx)(xy+2yx)2+1= 3t1+t2= 3t+1t.从而可求【解答】：解：因为x＞0.y＞0.令t= xy +2yx.则t ≥2√2 .所以y=t+ 1t 在[2 √2 .+∞）上单调递增.y ≥9√24.则2xyx2+4y2+xyx2+y2= 3x3y+6xy3x4+5x2y2+4y4=3xy+6yxx2y2+4y2x2+5=3(xy+2yx)(xy+2yx)2+1= 3t1+t2= 3t+1t≤9√24= 2√23.当且仅当t= 1t即t=1时取等号.故答案为：2√23【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是应用条件的配凑.属于中档试题．17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]2 √3【解析】：构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O 为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.推导出∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理推导出12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.由此能求出四面体ABCD的体积的最大值．【解答】：解：四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°. 构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.∵异面直线AB与CD所成角为60°.∴∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理得：AE2=AB2+BE2-2AB•BE•cos60°.∴AB2+BE2-AB•BE=12.∴12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.∴四面体ABCD的体积：V A−BCD=13V ABE−CDF = 13×12×AB×BE×sin60°×BC = √36×AB×BE≤ 2√3．∴四面体ABCD的体积的最大值为2 √3．故答案为：2√3．【点评】：本题考查四面体的体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 23 sinAsinC.c=2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理化角为边.再由余弦定理求出cosB.从而求出sinB的值；（2）根据题意画出图形.利用余弦定理求出BD的值.再求△ABC的面积．【解答】：解：（1）△ABC中.sin2A+sin2C-sin2B= 23sinAsinC.由正弦定理得.a2+c2-b2= 23ac.所以cosB= a 2+c2−b22ac=23ac2ac= 13；又B∈（0.π）.所以sinB= √1−sin2B = √1−(13)2= 2√23；（2）如图所示.设BD=AD=2DC=x.由c=AB=2.利用余弦定理得.AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB. 即x2=22+x2-2×2×x× 13.解得x=3.CD= 12 x= 32.所以△ABC的面积为S△ABC= 12AB•BC•sinB= 12×2×（3+ 32）× 2√23=3 √2．【点评】：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题.也考查了运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 12BC.CD=SD.点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取BC的中点E.连接DE.分别计算BD.CD.利用勾股定理的逆定理证明BD⊥CD.再根据面面垂直的性质得出BD⊥平面SCD；（2）建立空间坐标系.计算平面MBD的法向量n⃗ .计算n⃗和DS⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出SD与平面MBD所成角的大小．【解答】：（1）证明：取BC 的中点E.连接DE. 设AB=a.则AD=a.BC=2a.BE= 12 BC=a. ∵∠ABC=90°.AD || BE.AD=BE. ∴四边形ABED 是正方形. ∴BD= √2 a.DE⊥BC .DE=CE=a. ∴C D= √2 a.∴BD 2+CD 2=BC 2.故BD⊥CD .∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.BD⊂平面ABCD.BD⊥CD . ∴BD⊥平面SCD ．（2）解：过S 作SN⊥CD .交CD 延长线于N.∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.SN⊂平面SCD.SN⊥CD . ∴SN⊥平面ABCD.∴∠SDN 为直线SD 与底面ABCD 所成的角.故∠SDN=60°. ∵SD=CD= √2 a.∴DN=√2a 2 .SN= √6a2. 以D 为原点.以DB.DC.及平面ABCD 的过点D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz.如图所示.则B （ √2 a.0.0）.D （0.0.0）.A （ √22a.- √22a.0）.S （0.- √22a. √62a ）. ∵M 是SA 的中点.∴M （ √24 a.- √22 a. √64 a ）.∴ DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.- √22 a. √62 a ）. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 a.0.0）. DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √24 a.- √22 a. √64a ）. 设平面MBD 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {√2ax =0√24ax −√22ay +√64az =0 . 令z=2可得 n ⃗ =（0. √3 .2）.∴cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •DS ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DS ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √62a √7×√2a= √2114 . ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|= √2114 ．【点评】：本题考查面面垂直的性质.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.0分）已知数列{a n }满足a 1= 12，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对∀n∈N *.a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2＜ 112 ．【正确答案】：【解析】：（1）求得a n+1= an1+a n.判断a n ＞0.两边取倒数.结合等差数列的定义和通项公式.可得所求通项公式；（2）求得a k a k+1a k+2= 12 [ 1(k+1)(k+2) - 1(k+2)(k+3)].再由数列的裂项相消求和和不等式的性质.即可得证．【解答】：解：（1）由a 1= 12，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ .可得a n+1= an 1+a n.由a 1＞0.可得a n ＞0. 则 1a n+1=1+ 1a n.即1a n+1- 1a n=1.所以{ 1a n}是首项为2.公差为1的等差数列. 则 1a n=2+n-1=n+1.即a n = 1n+1 ；（2）证明：a n = 1n+1 .对k=1.2.3.….a k a k+1a k+2= 1(k+1)(k+2)(k+3)= 12 [ 1(k+1)(k+2)- 1(k+2)(k+3)].所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2= 12 [ 12×3- 13×4+ 13×4- 14×5+…+ 1(n+1)(n+2)- 1(n+2)(n+3)]= 12 [ 12×3- 1(n+2)(n+3)]= 112- 12(n+2)(n+3)＜112．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的裂项相消求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.且经过点P（- √3 . 12）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过椭圆E的离心率.及椭圆过点P（- √3 . 12）.求得a.b即可得到椭圆方程．（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.写出直线MA、MB的方程即可得到得D（0. 2 y0x0+2）.C（x0y0+1.0）.所以三角形OCD的面积S= 12 |OC||OD|= x0y0(x0+2)(y0+1)= x0y0x0y0+x0+2y0+2令x0+2y0=t.利用椭圆参数方程无得t的范围即可求解．【解答】：解：（1）由题意{ca =√323 a2+14b2=1.结合a2=b2+c2.解得a2=4.b2=1.c2=3.故.椭圆C的标准方程为：x 24+y2=1．；（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.a（-2.0）.B（0.-1）.直线MA的方程为：y=y0x0+2(x+2) .令x=0.得D（0. 2 y0x0+2）.直线MB的方程为：y=y0+1x0x−1 .令x=0.得C（x0y0+1.0）.所以三角形OCD的面积S= 12 |OC||OD|= x0y0(x0+2)(y0+1)= x0y0x0y0+x0+2y0+2.令x0+2y0=t.则t2=(x0+2y0)2=x02+4y02+4x0y0 =4+4x0y0. ∴ x0y0=t2−44.∴S=t2−44t2−44+t+2=1+ −4t+2．令x0=2cosθ，y0=sinθ，θ∈(0，π2) .则t=2cosθ+2sinθ=2 √2 sin（θ+π4）.∵ θ∈(0，π2) .∴ θ+π4∈(π4，3π4) .sin（θ+π4）∈（√22.1]．∵函数S=1+ −4t+2在（2.2 √2 ]单调递增.∴ S∈(0，3−2√2 ]．三角形OCD的面积的取值范围为（0.3-2 √2 ]．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.直线与椭圆的位置关系的综合应用.三角形面积的求法.考查转化思想以及计算能力.是难题．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；（2）当x≥−π2时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导.判断函数的单调性.进而得到函数的最值；（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.依题意当x≥−π2时.x•h（x）≥0恒成立.然后分a≤1及a＞1讨论.即可得出结论．【解答】：解：（1）f'（x）=e x-sinx.令g（x）=e x-sinx.x≥0.则g'（x）=e x-cosx．当x∈[0.π）时.g'（x）为增函数.g'（x）≥g'（0）=0；当x∈[π.+∞）时.g'（x）≥eπ-1＞0．故x≥0时.g'（x）≥0.g（x）为增函数.故g（x）min=g（0）=1.即f'（x）的最小值为1．时.x•h（x）≥0恒成立．（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.h'（x）=e x-sinx-a.则x≥−π2当a≤1时.若x≥0.则由（1）可知.h'（x）≥1-a≥0.所以h（x）为增函数.故h（x）≥h（0）=0恒成立.即x•h（x）≥0恒成立；，0] .则h''（x）=e x-cosx.若x∈[−π2h'''（x）=e x+sinx在[−π，0]上为增函数.2)=e−π2−1＜0 .又h'''（0）=1. ℎ‴(−π2故存在唯一x0∈(−π，0) .使得h'''（x0）=0．2，x0)时.h'''（x）＜0.h''（x）为减函数；当x∈(−π2x∈（x0.0）时.h'''（x）≥0.h''（x）为增函数．)=e−π2＞0 .h''（0）=0.又ℎ″(−π2，0)使得h''（x1）=0．故存在唯一x1∈(−π2故x∈(−π，x1)时.h''（x1）＞0.h'（x）为增函数；2x∈（x1.0）时.h''（x1）＜0.h'（x）为减函数．)=eπ2+1−a＞0 .h'（0）=1-a≥0.又ℎ′(−π2，0]时.h'（x）＞0.h（x）为增函数.所以x∈[−π2故h（x）≤h（0）=0.即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时.由（1）可知h'（x）=e x-sinx-a在[0.+∞）上为增函数.且h'（0）=1-a＜0.h'（1+a）≥e1+a-1-a＞0.故存在唯一x2∈（0.+∞）.使得h'（x2）=0．则当x∈（0.x2）时.h'（x）＜0.h（x）为减函数.所以h（x）＜h（0）=0.此时x•h（x）＜0.与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述.a≤1．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性.极值及最值.考查不等式的恒成立问题.考查转化思想.分类讨论思想.考查逻辑推理能力.属于中档题．。
2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一上期中数学试卷试题及答案解析版
2021-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷 1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 22﹣2x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则集合A ∩∁U B ＝（ ）A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |0＜x ≤1} 2．函数f （x ）＝2x +3x 的零点所在的一个区间（ ）A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．与B ．与C ．f （x ）＝l g x 2与g （x ）＝2l g xD ．f （x ）＝x 0与4．已知a ＝l o g 52，b ＝l o g 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b5．关于函数，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）最小值为1B ．f （x ）的图象不具备对称性C ．f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增D ．对任意x ∈R ，均有f （x ）≤1 6．若函数f （x ）＝（﹣x 2+4x +5）在区间（3m ﹣2，m +2）内单调递增，则实数m 的取值为（ ） A ．[]B ．[]C ．[）D ．[）7．设a 为实数，若函数f （x ）＝2x 2﹣x +a 有零点，则函数y ＝f [f （x ）]零点的个数是（ ） A ．1或3B ．2或3C ．2或4D ．3或48．已知函数f （x ）＝e x x﹣e ﹣﹣x x，g （x ）＝e x x+e ﹣﹣x x，则以下结论正确的是（ ）A ．任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有B ．任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有C ．f （x ）有最小值，无最大值D ．g （x ）有最小值，无最大值9．函数f （x ）＝|x |+（其中a ∈R ）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．己知函数，函数y ＝f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则﹣x 1x 2+x 3+x 4的取值范围为（ ） A ．（3，3+e ]B ．[3，3+e ）C ．（3，+∞）D ．[3，3+e ）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 11．已知集合，则列举法表示集合A ＝ ，集合A的真子集有 个．12．函数的定义域是，值域是．13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有个，其中函数的值域一共有种不同情况．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．16．若|x|且x≠0时，不等式|a x2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为．，17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2t x﹣1≤0}，若A∩B＝{x1 x}，求t的取值范围．2三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g （x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝m a x{e f（x），e g（x）}的最小值．2021-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分B 1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：∵集合A＝{x|x22﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，又∵B＝{x|x＞1}，B＝{x|x≤1}，∴∁U则集合A∩∁B＝{x|0＜x≤1}U故选：D．2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．f（x）＝l g x2与g（x）＝2l g xD．f（x）＝x0与【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝﹣x（x≤R），与g（x）＝x（x≤0）的对应关系不同，不是同一函数；对于B ，函数f （x ）＝•＝（x ≥1），与g （x ）＝（x ≤﹣1或x ≥1）的定义域不同，不是同一函数；对于C ，函数f （x ）＝l g x 22＝2l g |x |（x ≠0），与g （x ）＝2l g x （x ＞0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于D ，函数f （x ）＝x 0＝1（x ≠0），与g （x ）＝＝1（x ≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D ．4．已知a ＝l o g 52，b ＝l o g 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 【解答】解：由题意，可知： a ＝l o g 52＜1， b ＝l o g 0.50.2＝＝＝l o g 25＞l o g 24＝2．c ＝0.50.2＜1，∴b 最大，a 、c 都小于1． ∵a ＝l o g 52＝，c ＝0.50.2＝＝＝．而l o g 25＞l o g 24＝2＞，∴＜．∴a ＜c ， ∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．5．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）最小值为1B．f（x）的图象不具备对称性C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增D．对任意x∈R，均有f（x）≤1【解答】解：根据题意，对于函数，设t＝x2+4x+5，则y＝，t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，在区间（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）上为增函数，y＝在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，则当x＝﹣2时，f（x）取得最大值f（﹣2）＝1，故A、C错误，D正确；t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1为二次函数，其图象关于直线x＝﹣2对称，则的图象关于直线x＝﹣2对称，B错误；故选：D．6．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）A．[]B．[]C．[）D．[）【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝﹣＝2，由复合函数单调性可得函数f（x）＝（﹣x22+4x+5）的单调递增区间为（2，5），要使函数f（x）＝（﹣x22+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，只需，解关于m的不等式组得≤m＜2，故选：C．7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或4【解答】解：令t＝f（x），y＝f[f（x）]＝f（t）＝2t2﹣t+a．函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，即方程2x2﹣x+a＝0有根，若方程2x2﹣x+a＝0有1个零点，则△＝1﹣8a＝0，即a＝．而方程2t2﹣t+a＝0化为，即（4t﹣1）2＝0，t＝，此时函数y＝f[f（x）]有2个零点；若方程2x2﹣x+a＝0有2个零点，则△＝1﹣8a＞0，得a＜．此时方程2t2﹣t+a＝0的根为t＝，而小根＞在a ＜时成立，∴函数y＝f[f（x）]有4个零点．综上，函数y＝f[f（x）]零点的个数是2或4．故选：C．8．已知函数f（x）＝e x x﹣e﹣﹣x x，g（x）＝e x x+e﹣﹣x x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x，f“（x）＝e x+e﹣x≥2，f（x）递增，无最小值，无最大值，g（x）＝e x+e﹣x≥2，当x＞0时，g'（x）＝e x﹣e﹣x＝≥0，g（x）递增，g（x）为偶函数，所以g（x）在（﹣∞，0）递减，所以（0，+∞）上递增，所以g（x）m i n＝g（0）＝2，无最大，故选：D．9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）＝x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f （x ）＝﹣x +在（﹣∞，0）上为减函数，故B 符合， 当x ＜0时，且a ＜0时，f （x ）＝﹣x +≥2＝2，当x ＞0时，且a ＜0时，f （x ）＝x +在（0，+∞）上为增函数，故D 符合， 故选：C ． 10．己知函数，函数y ＝f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则﹣x 1x 2+x 3+x 4的取值范围为（ ） A ．（3，3+e ]B ．[3，3+e ）C ．（3，+∞）D ．[3，3+e ）【解答】解：函数y ＝f （x ）﹣a 有四个不同的零点，即两函数y ＝f （x ）与y ＝a 图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1＜a ≤e ， x 1，x 2是方程的两根，即x 2+2x +1﹣l n a ＝0的两根，∴x 1x 2＝1﹣l n a ，x 3，x 4是方程x +﹣3＝a 的两根，即x 2﹣（3+a ）x +4＝0的两个根， ∴x 3+x 4＝3+a ，∴﹣x 1x 2+x 3+x 4＝2+a +l n a ．∵g （a ）＝2+a +l n a 在（1，e ]上为单调增函数， ∴g （a ）∈（3，e +3]． 故选：A ．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 11．已知集合，则列举法表示集合A ＝ {0，1，3，9} ，集合A的真子集有15个．【解答】解：∵集合，∴列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A的真子集有24﹣1＝15个．故答案为：{0，1，3，9}，15．12．函数的定义域是[﹣1，7]，值域是[0，4]．【解答】解：7+6x﹣x2≥0，解得x∈[﹣1，7]，t＝﹣（x﹣3）2+16，t∈[0，16]，y＝∈[0，4]，故答案为：[﹣1，7]，[0，4]13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝﹣2或4．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝|﹣2|＝2，f（f（﹣2））＝f（2）＝；∵f（a）＝2，∴当a≤0时，f（a）＝|a|＝2，解得a＝﹣2；当a＞0时，f（a）＝＝2，解得a＝4．综上，实数a的值为﹣2或4．故答案为：，﹣2或4．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有27个，其中函数的值域一共有7种不同情况．【解答】解：因为函数的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，所以：①当函数值为一个数时，函数共有3个，函数的值域有3种情况，②当函数值为两个数时，函数共有＝18个，函数的值域有3种情况，③当函数值为三个数时，函数共有A＝6个，函数的值域有1种情况，故这样的函数一共有3+18+6＝27个，函数的值域一共有7种情况，故答案为：27；7．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为2＜a≤4．【解答】解：根据题意函数是R上的单调减函数，2﹣a＜0，a≤4，且2﹣a+3a≥4，即a＞2，a≤4，a≥1，故2＜a≤4，故答案为：2＜a≤4．16．若|x|且x≠0时，不等式|a x2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：若|x|且x≠0时，不等式|a x2﹣x﹣a|≥2|x|，即为|a x﹣﹣1|≥2恒成立，可得a（x﹣）≥3或a（x﹣）≤﹣1，由|x|且x≠0可得y＝x﹣的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞），由于a＝0不等式不成立，当a＞0，0＜x≤时，a∈∅或a（x﹣）≤﹣a，即﹣1≥﹣a，则a≥；当a＞0，﹣≤x＜0时，a（x﹣）≥a或a∈∅，即3≤a，则a≥2，综上可得a≥2；同理可得a＜0时，|a x﹣﹣1|≥2恒成立，可得a≤﹣2，故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2t x﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围（﹣，﹣]∪[，）．．【解答】解：∵x2﹣1＞0，x∈Z，∴A＝{x|x＞1或x＜﹣1，x∈Z}，∵B＝{x|x2﹣2t x﹣1≤0}，设方程x2﹣2t x﹣1＝0的两根为m，n，不妨设m＜n，则m+n＝2t，m n＝﹣1；∴m，n一正一负，且互为负倒数；且B＝{x|m ≤x≤n}∵A∩B＝{x1，x2}，令f（x）＝x2﹣2t x﹣1，则有2种情况：①，当A∩B＝{2，3}时，即﹣1＜m＜0，3≤n＜4，则，得，解得，≤t＜；②当A∩B＝{﹣2，﹣3}时，即﹣4＜m≤﹣3，0＜n＜1，则，得，解得，﹣＜t≤﹣；综上述：t的取值范围是（﹣，﹣]∪[，）．故答案为：（﹣，﹣]∪[，）．三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝﹣1+﹣+＝﹣1+100﹣+24＝﹣1+100﹣+16＝115．（2）＝l g（×）+＝l g10+＝+1＝．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为4∈A，所以2a≤4≤a22+1，解得a≤﹣或≤a ≤2．又3∉A，所以2a＞3或a2+1＜3，故﹣＜a＜或a＞．∴若4∈A，3∉A，有≤a≤2；故a的取值范围是：[，2]．（2）B＝{x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，当3a+1＝2，即a＝时，B＝{2}，不合题意．当3a+1＜2，即a＜时，B＝{x|3a+1≤x≤2}，所以，∴，解得a＝﹣1．当3a+1＞2，即a＞时，B＝{x|2≤x≤3a+1}，所以，∴，解得1≤a≤3．综上知，a＝﹣1或1≤a≤3．故实数a的取值范围是{a|a＝﹣1或1≤a≤3}．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设﹣1＜x≤0，则0≤﹣x＜1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）22+1＝﹣x22+1，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝﹣x22+1，（﹣1＜x＜≤0），设x≤﹣1，则﹣x≥1，∴f（﹣x）＝2﹣2﹣x，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝2﹣2﹣x，（x≤﹣1），∴当x＜0时，f（x）的解析式为；（2）易知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为减函数，∴f（2﹣x）≤f（x+m）⇔f（|2﹣x|）≤f（|x+m|）⇔|2﹣x|≥|x+m|，∴（2m+4）x≤4﹣m2对任意x∈[m﹣1，m]恒成立，当2m+4≥0，即m≥﹣2时，只需（2m+4）m≤4﹣m22，解得，故此时；当2m+4＜0，即m＜﹣2时，只需（2m+4）（m﹣1）≤4﹣m2，解得，此时无解．综上，实数m的取值范围为．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g （x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）当a＝5，b＝﹣3时，，令，则（3x x）22﹣4•3x x﹣5＝0，解得3x x＝5或3x x＝﹣1（舍），5；∴x＝l o g3（2）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴a＝﹣1，b＝1，∴，∴＝3x+3﹣x﹣1，∴不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10即为32x+3﹣2x﹣1≥m（3x+3﹣x﹣1）﹣10，亦即（3x x+3﹣﹣x x）22﹣m（3x x+3﹣﹣x x）+7﹣m≥0对任意x∈R且x≠0恒成立，令t＝3x+3﹣x＞2，则t2﹣m t+7﹣m≥0对任意t∈（2，+∞）都成立，亦即对任意t∈（2，+∞）都成立，，令，则m≤h（t）m i n又，由双勾函数可知，h（t）在（2，+∞）为增函数，∴，∴，∴m的最大值为．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝m a x{e f f（（x x）），e g g（（x x））}的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则φ（x）＝e|x﹣3|+e|x﹣2|+1，由于x∈[2，3]，即|x﹣3|＝3﹣x，|x﹣2|+1＝x﹣2+1＝x﹣1，∴φ（x）＝e3﹣x+e x﹣1＝+≥2＝2e，当且仅当＝时，即x＝2时φ（x）有最小值2e．（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|，故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2，故a的取值范围为[0，2]．（3）h（x）＝m a x{e f（x），e g（x）}＝e m a x{f（x），g（x）}＝e m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}，接下来讨论m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}在[1，6]上的最小值，情形一：2a﹣1≤a≤1，即a≤1时，x∈[1，6]，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝m a x{x﹣2a+1，x﹣a+1}，①当a≤0时，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝m a x{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x ﹣2a+1≥2﹣2a，②当0＜a≤1时，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝m a x{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣a+1≥2﹣a，情形二：1＜a＜2a﹣1＜6，即时，③当1＜a≤2时，（i）当1＜x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2≤0，（i i）当a＜x≤2a﹣1时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜3a ﹣2﹣2a＜0，（i i i）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝|x﹣a|+1≥1，④当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（i i）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（i i i）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，（ⅳ）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；情形三：当1＜a＜6≤2a﹣1，即时，⑤当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（i i）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（i i i）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；⑥当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（i i）当a＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}m i n ＝2a﹣7；情形四：当a≥6时，（i）当1≤x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}m i n ＝2a﹣7；＝，综上，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}m i n。
2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)
2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S6．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．167．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．33B ．53C ．73D ．838．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．99．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km10．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4011．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 14．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．15．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .19．在中，若，则__________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求12111nS S S ++⋯+． 24．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为324，求+a b 的值； 26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2|450,{|0ln 2}A x x x B x x =∈--≤=<<Z ，则A B 的元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．7【答案】C【解析】求出集合,A B ，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】}{{}24501,0,1,2,3,4,5A x Z x x =∈--≤=-，{}{}20ln 21B x x x x e =<<=<<{}2,3,4,5A B ∴⋂=所以A B ⋂的元素的个数为4. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集概念与运算，属于基础题.2．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ac bc > B ．2()0a b c ->C ．11a b＜D ．22a b -<-【答案】D【解析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，若0c ≤，则不等式不成立； 对于B ，若0c =，则不等式不成立； 对于C ，若,a b 均为负值，则不等式不成立；对于D ，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题. 3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且244,18S S ==，则6S 等于（ ）A ．50B ．42C ．38D ．36【答案】B【解析】由等差数列前n 项和的性质：232,,n n n n n S S S S S --成等差数列即可求解. 【详解】由24264,,S S S S S --成等差数列， 所以()()62184418S -=+- 所以642S =， 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项的性质，需熟记性质的内容，属于基础题. 4．函数()243xx f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的奇偶性、极限值以及特殊值，利用排除法即可判断. 【详解】()()f x f x -=，可知函数为偶函数，可排除C ；当x →+∞时，由于指数函数的增长速度快，则()0f x →，可排除B ； 当2x =时，()216162239y f ===<，特殊值法可排除D ； 故选：A 【点睛】本题主要考查函数奇偶性等性质的应用，利用函数的性质求函数的大致图像可采用排除法，此题属于中档题.5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．76B ．84C ．76+D ．84+【答案】C【解析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4. 【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4. 所以五棱柱的表面积为(14422244224762⎛⎫⨯-⨯⨯⨯+++++⨯=+⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查三视图，解题的关键是还原几何体，属于基础题. 6．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()y f x =的函数解析式为（ ）A ．()cos2f x x =-B ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()cos2f x x =D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数图象的平移法则即可求解. 【详解】把()26g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位可得()sin 2sin 2cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移，需掌握平移法则，平移是对变量x 平移且“左加右减” ，属于基础题.7．设命题():lg 210p x -≤，命题()10x a q x a-+≤-：，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．102⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．∅【答案】A【解析】首先求出命题p 、q 中不等式的解集，再根据命题之间的关系推出集合的包含关系即可求出参数的取值范围. 【详解】解不等式()lg 210x -≤得02-11x <≤，所以112x <≤， 故满足命题p 的集合112P xx ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭， 解不等式()10x a x a-+≤-得()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦且x a ≠，所以1a x a <≤+故命题q 的集合{}1Q x a x a =<≤+， 若q 是p 的必要而不充分条件，则PQ即1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩解得102a ≤≤故选：A 【点睛】本题主要考查命题中必要不充分条件，解题的关键是根据命题的关系推出集合的包含关系，属于基础题. 8．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3sin πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．B C ．3±D ．3±【答案】B【解析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题.9．已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，设点P 是该椭圆和双曲线的一个公共点，且123F PF π∠=，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值为（ ）A ．B ．4+C ．2+D ．1【答案】A【解析】设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：12,2m n a m n a +=-=，解出,m n ，利用余弦定理解关于12,e e 的等式，再由基本不等式求出2212e e +的最小值即可. 【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程为：()222210x y a b a b+=>>，()2211221110,0x y a b a b -=>>， 设1PF m =，2PF n =，m n >. 则12,2m n a m n a +=-=，11,m a a n a a ∴=+=- ，在12PF F ∆中，123F PF π∠=，由余弦定理可得2221241cos cos 322m n c F PF mn π+-∠===，化为()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-，所以2221340a a c +-=，2212134e e ∴+=， ()(2222222112122222121231131144444e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当21e =时，取等号，则2212e e +. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质以及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，综合性比较强.10．设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（ ） A ．2 B ．92C ．132D ．9【答案】C【解析】根据题意可得2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解不等式即可求解. 【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1221212213a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2222121413a b b a a b ⎡⎤⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 22212212591313a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当且仅当22a b b a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得12922a b ≤+≤所以12a b +的最大值为92；最小值为2； 所以最大值和最小值之和为132. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.二、填空题 11．抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 【答案】，.【解析】试题分析：由题意得，焦点坐标是，准线方程是，故填：，.【考点】抛物线的标准方程及其性质.12．已知点A （1，0），B （0，2），点(),P a b 在线段AB 上，则直线AB 的斜率为______；⋅a b 的最大值为______．【答案】2-12【解析】由直线上两点求斜率公式：1212y y k x x -=-，可求斜率，再用二次函数配方求最值即可求解. 【详解】由A （1，0），B （0，2），可得20201AB k -==--，所以直线AB 的斜率为2-， 直线AB ：22y x =-+由点(),P a b 在线段AB 上，所以()2201b a a =-+≤≤，所以()21122224a b a a a ⎡⎤⎛⎫⋅=-+=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以a b ⋅的最大值为12.故答案为：2-；12【点睛】本题主要考查直线的斜率以及直线方程，需熟记斜率公式以及点斜式方程，属于基础题.13．若实数(),x y 满足约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最小值为_____ ；______．【答案】12【解析】作出约束条件满足的可行域，然后利用目标函数表示的几何意义即可求解. 【详解】作出约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩满足的可行域，设2z x y =-，则2y x z =-，由图可知在C 处取得最小值，由201x y y +-=⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1C ，所以min 2111z =⨯-=，即2x y -的最小值为1；(),x y ，()0,1-两点间的距离，设()0,1-到直线20x y +-=的距离为d ，则2d ==2故答案为：1 ；2【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.14．已知长方体1111ABCD A B C D -中，1112AA AB AD ===，，1AA 与平面1A BD 所成的角为______. 【答案】60【解析】根据等体积法求出点A 到平面1A BD 的距离h ，在直角三角中利用“对边比斜边”即可求解.【详解】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112AA AB AD ===，， 则1A D ==，2BD ==，1A B ==在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以1111222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得h = 设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin 2h AA θ==所以60θ=. 故答案为：60 【点睛】本题主要考查立体几何中的线面角，解题的关键是找到线面所成角，放在三角形中求解，此题也可以建立空间直角坐标系，采用向量法.15．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________．【答案】5 52【解析】243546225a a a a a a ++=22233553535225()25,05n a a a a a a a a a ⇒++=⇒+=>∴+=22354354255()242a a a a a a +∴=≤=⇒≤ ，即4a 的最大值为5216．已知圆22:1O x y +=，设点P 是恒过点（0，4）的直线l 上任意一点，若在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则直线l 的斜率k 的取值范围为______．【答案】,⎫⎛+∞-∞-⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦ 【解析】由题意在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则当直线l 与圆相切时，3OPA π∠=，从而结合图像可知直线的倾斜角的取值范围为566ππα≤≤，由t a n k α=即可求解. 【详解】由题意在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则当直线l 与圆相切时，3OPA π∠=，设直线的倾斜角为α，由图可知566ππα≤≤因为tan k α=，所以3k ≥或3k ≤-即斜率k 的取值范围为,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，故答案为：,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线斜率与直线倾斜角的关系，属于基础题. 17．已知单位圆上两点,A B 满足120AOB ∠=o ，点C 是单位圆上的动点，且OC xOA yOB =+，则2x y -的取值范围为_____．【答案】[]22-,【解析】由点C 是单位圆上的动点，求得[]1(2)1,12OC OB x y ⋅=--∈-，由此能求出2x y -的取值范围. 【详解】单位圆上两点,A B 满足120AOB ∠=o ，点C 是单位圆上的动点，OC xOA yOB =+，,,OA OB OC ∴均为单位向量，即221OA OB ==，12OA OB ⋅=-，点C 是单位圆上的动点，∴OC OB ⋅的取值范围是[]1,1-，又()OC OB xOA yOB OB ⋅=+⋅[]11(2)1,122xOA OB yOB OB x y x y =⋅+⋅=-+=--∈-2x y ∴-的取值范围为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题主要考查向量的坐标运算以及向量的数量积，考查学生分析问题的能力，属于向量的综合题，三、解答题18．已知()222x x x f x sin cos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭的最大值为2． （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 【答案】（1）12-；（2）516.【解析】（1）由二倍角的正、余弦公式以及辅助角公式化简即可求解. （2）由（1）中f （x）24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入化简可得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据两角和与差的公式求出sin ,cos αα的值，代入即可求解. 【详解】 （1）()()1112222242x x x f x sin cos sin a sinx cosx a x aπ⎛⎫⎛⎫=⋅++=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 故102a +=，解得a 12=-． （2）由于f （x）24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以4cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以44sin sin ππαα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．2446cos cos ππαα-⎛⎫=-+=⎪⎝⎭或，所以26sin cos αα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或26sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故22122122422211sin cos sin sin cos sin sin cos tan cos cos παααααααααααααα⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭===+++，所以当2626sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时．144523616sin cos αα-==．当2626sin cos αα⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，144523616sin cos αα-==， 所以原式516=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换的倍角公式、两角和与差的公式，需熟记公式，属于基础题. 19．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知223,39b a c c ==-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围． 【答案】（1）3π；（2）53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）利用余弦定理即可求解. （2）由23B C π+=，以及两角和与差的公式，则sin 2B +sin 2C ＝112+sin （2B 6π-），再由022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，求出6π＜B 2π＜即可求解.【详解】（1）在锐角△ABC 中，∵b ＝3，a 2＝c 2﹣3c +9，∴可得c 2+b 2﹣a 2＝bc ，∴由余弦定理可得：cos A 2221222b c a bc bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得A 3π=．（2）∵sin 2B +sin 2C ＝sin 2B +sin 2（23π-B ）＝sin 2B +（2cos B 12+sin B ）2＝112+B 12-cos2B ）＝112+sin （2B 6π-），又∵022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，可得6π＜B 2π＜，∴2B 6π-∈（6π，56π）， ∴sin （2B 6π-）∈（12，1]，∴sin 2B +sin 2C ＝112+sin （2B 6π-）∈（54，32]，即sin 2B +sin 2C 的取值范围是（54，32]．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形以及三角恒等变换两角和与差的公式，解题的关键是利用三角形的内角和求出B 的取值范围，此题属于中档题.20．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PAB ∆和ABC ∆都为等腰直角三角形，PA PB ⊥，AB AC ⊥，M 为AC 的中点，且PM AC =．（1）求二面角P ﹣AB ﹣C 的大小； （2）求直线PM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）120；（2）10. 【解析】（1）取线段AB ，BC 的中点O ，N ，连接PO ，ON ，MN ，PN ，证出PON ∠为P ﹣AB ﹣C 二面角，在PON ∆中利用余弦定理即可求解.（2）由（1）以AO为x轴，以ON为y轴，过O作平面ABC的垂线，以垂线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求出线面角.【详解】（1）分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设AC＝2，则有在等腰直角△P AB中，O是中点，则有AB⊥PO﹣﹣﹣①在等腰直角△ABC中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有AB⊥ON﹣﹣﹣②由①②可知，AB⊥平面PON，又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，则有MN⊥PN．又AB＝2，则MN＝1，又PM＝AC＝2，则有PN==，又OP＝ON＝1，由三角形余弦定理可知，12 cos PON∠=-，∴∠PON＝120，即二面角P﹣AB﹣C的大小为120．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，过点P 作PD ⊥ON 交NO 延长线于点D ，设AB ＝AC ＝2，则有A （﹣1，0，0），C （﹣1，2，0），B （1，0，0），M （﹣1，1，0）， 由（1）可知，∠POD ＝180°﹣∠PON ＝60°，又∵OP ＝1，∴12OD PD ==， ∴1002D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，102P ⎛- ⎝⎭，．∴312PM ⎛=- ⎝⎭，，， 设平面PBC 的一个法向量为()n x y z =，，，则有0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 又∵1122BP ⎛=-- ⎝⎭，，，()220BC =-，，，∴102220x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩， ∴()113n =，，． 设直线PM 与平面PBC 所成角为θ，则有：sin θ=故直线PM 与平面PBC【点睛】本题主要考查立体几何的二面角以及运用空间直角坐标系求线面角，求二面角步骤“作、证、求”，关键作出二面角；同时此题考查了学生的计算能力，属于基础题.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12b =-，()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，求数列{}n b 通项公式．【答案】（1）(2)nn a =--；（2）(2)nn b n-=. 【解析】（1）由n S 与n a 的关系可求得数列{a n }是等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.（2）由（1）把n a 代入可得()()12322nn nn b b n n++--=-+，裂项化简即可求解.【详解】（1）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．当n ≥2时，a n ＝﹣3S n ﹣1+2，两式相减得：a n +1＝﹣2a n ， 所以数列{a n }是以2为首项﹣2为公比的等比数列．所以(2)nn a =--．（2）由于()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，所以()()12322nn nn bb n n++--=-+，由于()()()((122[2)3223212(2)(2)(2)[22)111nn n n n n nn n n nn n n n n n n n +⎤--+-⎤⎡+----⎛⎫⎦⎤-=⋅--=+--=+=- ⎪⎥⎢⎦+++++⎝⎭⎦⎣， 所以()()11221n nn n bb n n++---=-+，所以(2)nn b n-=．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需掌握等比数列的定义以及通项公式，属于中档题. 22．在平面直角坐标系中，已知()()2,0,2,F P t -，若线段FP 的中垂线l 与抛物线C ：()220y px p =>总是相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点Q （2，1）的直线l ′交抛物线C 于M ，N 两点，过M ，N 分别作抛物线的切线12,l l 相交于点A ．12,l l 分别与y 轴交于点B ，C ．（ i ）证明：当'l 变化时，ABC ∆的外接圆过定点，并求出定点的坐标 ； （ ii ）求ABC ∆的外接圆面积的最小值． 【答案】（1）28y x =；（2）（i ）证明见解析；（ii ）14417π. 【解析】（1）根据F （2，0），P （﹣2，t ）得FP 的中点为（0，2t ），，讨论t 的值，当t ≠0时，求出线段FP 的中垂线l ，代入抛物线方程y 2＝2px ，0∆=即可求解.（2）设过点Q （2，1）的直线l ′的方程为x ﹣2＝m （y ﹣1），代入抛物线的方程y 2＝8x ，求出y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，对y 2＝8x 两边求导得2y •y ′＝8，即y ′4y=，求出,M N 处的切线方程，再求出,B C ，设出外接圆的方程即可求出定点；由上一问可求出半径，配方求半径的最小值即可求解. 【详解】（1）F （2，0），P （﹣2，t ），可得FP 的中点为（0，2t）， 当t ＝0时，FP 的中点为原点，当t ≠0时，直线FP 的斜率为4t -，线段FP 的中垂线l 的斜率为4t ， 可得中垂线l 的方程为y 4t=x 2t +，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得216t x 2+（4﹣2p ）x 24t +=0，由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p ）2﹣16＝0，解得p ＝4，则抛物线的方程为y 2＝8x ；（2）（i ）证明：可设过点Q （2，1）的直线l ′的方程为x ﹣2＝m （y ﹣1），即x ＝my +2﹣m ，代入抛物线的方程y 2＝8x ，可得y 2﹣8my ﹣16+8m ＝0，设M （218y ，y 1），N （228y ，y 2），则y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，由y 2＝8x ，两边对x 求导可得2y •y ′＝8，即y ′4y=， 可得M 处的切线方程为y ﹣y 114y =（x 218y -），化为y 1y ＝4x 212y +，①同理可得N 处的切线方程为y 2y ＝4x 222y +，②由①②可得y 122y y +==4m ，x 128y y==m ﹣2，即A （m ﹣2，4m ）， 又l 1，l 2分别与y 轴交于点B （0，12y ），C （0，22y），设过A ，B ，C 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，（D 2+E 2﹣4F ＞0），即有()()21122222042042216240y y E F y y E F m m D m mE F ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪-++-++=⎪⎩结合y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，可得D ＝﹣m ﹣2，E ＝﹣4m ，F ＝4m ﹣8，可得△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2﹣（m +2）x ﹣4my +4m ﹣8＝0， 可得m （4﹣x ﹣4y ）+（x 2+y 2﹣2x ﹣8）＝0，由2244280x y x y x +=⎧⎨+--=⎩可得40x y =⎧⎨=⎩或28172417x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则当l ′变化时，△ABC 的外接圆过定点（4，0）和（2817-，2417）；（ii ）△ABC 的外接圆的半径r2===可得当m 617=时，r=，则△ABC的外接圆面积的最小值为14417π．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析计算能力，综合性比较强.第 21 页共 21 页。
2021学年第一学期宁波市镇海中学高一数学期中试题
�
3�+5
(0 ≤ � ≤ 10),
若不建隔热层, 每年能源消耗费用为 8 万元. 设�(�)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1) 求�的值及�(�)的表达式.
(2) 试求隔热层多厚时, 总费用 �(�) 达到最小, 并求最小费用.
2021 学年第一学期镇海中学高一年级数学期中试题
一、选择题：本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 � = {1,2,3,4,5,6}, � = {1,2,3}, � = {3,4,5}, 则� ∩ �� (�) = (
的定义域是 (
)
5. 已知函数�(�)是定义在�上的奇函数, 且满足�(� + 1) =− �(� − 1), 则�(10)等于 (
A. −10
B. 0
C. 1
D. 10
)
6. 当 � > 0 且 � ≠ 1 时, 函数 � = �|�| 与 � = log� |�| 的图象可以是 ( )
7. 已知函数� = log1 2�� − �2 在 2 − �2 , � 上单调递减, 则实数 � 的取值范围是 ( )
D. �� + �� = ��
11. 存在函数�(�) 满足: 对于任意 � ∈ � 都有（
A. �(|�|) = � + 1
C. �
2�
2
B. � �
D. �
= 2�
)
1
�2
）
= |�| + 1
2020-2021学年浙江省宁波镇海中学高三(上)期中数学试卷答案解析_20201208213730
2020-2021学年浙江省宁波镇海中学高三（上）期中数学试卷答案解析一、选择题1．已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，2）C．（0，1]D．（﹣∞，2）【解答】解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故选：C．2．设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．3．已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（）A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥mC．若1∥m，α∥β，则m∥βD．若l⊥m，m∥β，则α⊥β【解答】解：对于A，若α∥β，m∥β，则l∥m或l与m异面，故A错误；对于B，若α∥β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；对于C，若1∥m，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若l⊥m，m∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．故选：B．4．已知x，y满足约束条件，则Z＝|x﹣3y﹣2|的取值范围是（）A．[0，7]B．（1，7）C．[0，4]D．[1，4]【解答】解：如图可行域：令z′＝x﹣3y﹣2，平移直线x﹣3y﹣2＝0可知当直线过C（0，﹣1）时，z′取得最大值1，经过B（﹣2，1）时，z′有最小值﹣7，Z＝|x﹣3y﹣2|，所以Z的取值范围：[0，7]故选：A．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，a2＝2，则S3＝（）A．8B．7C．6D．4【解答】解：，则S3＝8．故选：A．6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A；又，故排除BC；故选：D．7．已知函数f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），对于实数a，b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝|﹣x|（e﹣x﹣e x）＝﹣|x|（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，当x≥0，f（x）为增函数，则由a+b＞0得a＞﹣b，此时f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0成立，即充分性成立，若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），则a＞﹣b，即a+b＞0成立，即必要性成立，则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件，故选：C．8．已知函数，将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．π【解答】解：函数，将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得y＝f（x﹣θ）＝2sin[2（x﹣θ）+]＝2sin（2x﹣2θ+）；又函数y的图象关于直线对称，即2×﹣2θ+＝kπ+，k∈Z；解得θ＝﹣kπ，k∈Z；又θ＞0，所以θ的最小值为．故选：C．9．已知线段AB是圆C：x2+y2＝4的一条动弦，且，若点P为直线x+y﹣4＝0上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，P为直线x+y﹣4＝0上的任意一点，过原点O作OD⊥AB，由|AB|＝2，可得|CD|＝1，∴||＝|OP|﹣1，则．则||＝||＝2||＝2||，∴的最小值为．故选：C．10．已知数列{a n}满足a0＝0，|a i+1|＝|a i+1|（i∈N），则||的值不可能是（）A．2B．4C．10D．14【解答】解：|a i+1|＝|a i+1|，两边平方可得a i+12＝a i2+2a i+1，由a12＝a02+2a0+1＝0+0+1，a22＝a12+2a1+1，a32＝a22+2a2+1，…，a212＝a202+2a20+1，上面的式子累加可得a212＝2（a1+a2+…+a20）+21，则||＝||，若||＝2，可得a21＝±5，故A可能；若||＝4，可得a21不为整数，故B不可能；若||＝10，可得a21＝±1，故C可能；若||＝14，可得a21＝±7，故D可能．故选：B．二、填空题11．复数的虚部为，模为．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部为，||＝||＝．故答案为：；．12．已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是；此几何体各个面中，面积的最大值（单位：cm2）为．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E﹣ABCD．如图所示：所以，．故答案为：．13．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有种不同的取法．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8＝•（﹣2）7＝﹣128．令x＝0，得（1+0）（1﹣0）7＝a0，即a0＝1；令x＝1，得（1+1）（1﹣2）7＝a0+a1+a2+…+a7+a8＝﹣2，∴a1+a2+…+a7＝﹣2﹣a0﹣a8＝﹣2﹣1+128＝125．在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，有＝84种不同取法，三项均相邻，有7种不同的取法，两项相邻，有2×6+6×5＝42种不同的取法，故三项均不相邻，则有84﹣7﹣42＝35种不同的取法．故答案为：35．14．已知数列{a n}，{b n}满足：a1＝1，a n+a n+1＝n，b n＝a2n﹣1，则数列b n＝；记S n为数列{a n}的前n项和，S31﹣S24＝．【解答】解：a1＝1，a n+a n+1＝n，可得a2＝1﹣a1＝0，+a n＝n﹣1，n≥2，将n换为n﹣1可得a n﹣1又a n+a n+1＝n，相减可得a n+1﹣a n﹣1＝1，可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列，可得b n＝a2n﹣1＝1+（n﹣1）＝n；a2n＝0+n﹣1＝n﹣1，则S31﹣S24＝a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31＝（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）＝（13+14+15+16）+（12+13+14）＝58+39＝97．故答案为：n，97．15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为．【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象，可得•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（πx+）．令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，k∈Z，解得2k﹣≤x≤2k﹣，k∈Z，故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．16．已知x＞0，y＞0，则的最大值为．【解答】解：因为x＞0，y＞0，令t＝，则t，所以y＝t+在[2，+∞）上单调递增，y，则＝＝＝＝＝＝，当且仅当t＝即t＝1时取等号，故答案为：17．四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，若四面体ABCD的外接球半径为，则四面体ABCD的体积的最大值为．【解答】解：四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，构建直三棱柱ABE﹣CDF，设G，H分别为△ABE，△CDF的外心，连结GH，取其中点O，则O为直三棱柱ABE﹣CDF的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心，∵异面直线AB与CD所成角为60°，∴∠ABE＝60°，设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r，则r＝＝2，AE＝2r sin60°＝2，由余弦定理得：AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos60°，∴AB2+BE2﹣AB•BE＝12，∴12＝AB2+BE2﹣AB•BE≥2AB•BE﹣AB•BE＝AB•BE，∴四面体ABCD的体积：＝＝≤．∴四面体ABCD的体积的最大值为2．故答案为：．三、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，c＝2．（1）求sin B的值；（2）设D在BC边上，且BD＝AD＝2DC，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得，a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B＝＝＝；又B∈（0，π），所以sin B＝＝＝；（2）如图所示，设BD＝AD＝2DC＝x，由c＝AB＝2，利用余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即x2＝22+x2﹣2×2×x×，解得x＝3，CD＝x＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝AB•BC•sin B＝×2×（3+）×＝3．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形且∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，CD＝SD，点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求SD与平面MBD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设AB＝a，则AD＝a，BC＝2a，BE＝BC＝a，∵∠ABC＝90°，AD∥BE，AD＝BE，∴四边形ABED是正方形，∴BD＝a，DE⊥BC，DE＝CE＝a，∴CD＝a，∴BD2+CD2＝BC2，故BD⊥CD，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，BD⊥CD，∴BD⊥平面SCD．（2）解：过S作SN⊥CD，交CD延长线于N，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，SN⊂平面SCD，SN⊥CD，∴SN⊥平面ABCD，∴∠SDN为直线SD与底面ABCD所成的角，故∠SDN＝60°，∵SD＝CD＝a，∴DN＝，SN＝，以D为原点，以DB，DC，及平面ABCD的过点D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，则B（a，0，0），D（0，0，0），A（a，﹣a，0），S（0，﹣a，a），∵M是SA的中点，∴M（a，﹣a，a），∴＝（0，﹣a，a），＝（a，0，0），＝（a，﹣a，a），设平面MBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝2可得＝（0，，2），∴cos＜，＞＝＝＝，∴SD与平面MBD所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝．20．已知数列{a n}满足a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对∀n∈N*，a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜．【解答】解：（1）由a1＝，可得a n+1＝，由a1＞0，可得a n＞0，则＝1+，即﹣＝1，所以{}是首项为2，公差为1的等差数列，则＝2+n﹣1＝n+1，即a n＝；（2）证明：a n＝，对k＝1，2，3，…，a k a k+1a k+2＝＝[﹣]，所以a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n +1a n +2＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝﹣＜．21．已知椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （﹣，）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆C 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，O 为椭圆的中心，求三角形OCD 的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意，结合a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，故，椭圆C 的标准方程为：．；（2）设M （x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，a （﹣2，0），B （0，﹣1），直线MA 的方程为：，令x ＝0，得D （0，），直线MB 的方程为：，令x ＝0，得C （，0），所以三角形OCD 的面积S ＝|OC ||OD |＝＝，令x 0+2y 0＝t ，则＝4+4x 0y 0，∴，∴S＝＝1+．令，则t＝2cosθ+2sinθ＝2sin（），∵，∴，sin（）∈（，1]．∵函数S＝1+在（2，2]单调递增，∴]．三角形OCD的面积的取值范围为（0，3﹣2]．22．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝e x﹣sin x，令g（x）＝e x﹣sin x，x≥0，则g'（x）＝e x﹣cos x．当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．（2）令h（x）＝e x+cos x﹣2﹣ax，h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，则时，x•h（x）≥0恒成立．当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；若，则h''（x）＝e x﹣cos x，h'''（x）＝e x+sin x在上为增函数，又h'''（0）＝1，，故存在唯一，使得h'''（x0）＝0．当时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又，h''（0）＝0，故存在唯一使得h''（x1）＝0．故时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又，h'（0）＝1﹣a≥0，所以时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．。
浙江省镇海中学2019-2020学年第一学期期中考试高三数学试题
镇海中学学年第一学期期中考试高三数学试题卷一、选择题（本大题共小题，每题分，共分）1. 已知集合，则的元素的个数为A. B. C. D.2. 若且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.3. 已知是等差数列的前项和，且，则等于A. B. C. D.4. 函数的图像大致为5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A.B.C.D.6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B. )C. D. )7. 设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 已知，，，则A. B. C. D.9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为A. B. C. D.10. 设为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. B. C. D.二、填空题（本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分）11. 抛物线方程的焦点坐标为；准线方程为12. 已知点，点在线段上，则直线的斜率为；的最大值为13. 若实数满足约束条件，则的最小值为；的最小值为14. 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为；若空间的一条直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的最大角为15. 已知数列是等比数列且，，则的最大值为16. 已知圆，设点是恒过点的直线上任意一点，若在该圆上任意点满足，则直线的斜率的取值范围为17. 已知点为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为三、解答题（本大题共小题，共分）18. 已知的最大值为（I）求实数的值；（II）若，求的值.19. 在锐角中，角所对边分别为，已知，（I）求；（II）求的取值范围.20. 如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，为的中点，且（I）求二面角的大小；（II）求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知数列 的前 项和为 ，且满足： （I ）求数列 的通项公式；（II ）数列 满足 ， ，求数列 通项公式.22. 在平面直角坐标系中，已知 ， ，若线段 的中垂线 与抛物线B C总是相切.（I）求抛物线的方程；（II）若过点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线相交于点. 分别与轴交于点.（i）证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；（ii）求的外接圆面积的最小值.。
2021届浙江宁波效实中学高三上学期期中文科数学试卷
2021年浙江宁波效实中学高三上学期期中文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“6πα=”是“tan2α=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγ B ．若,//m αββ⊥，则m α⊥C ．若,m n αα⊥⊥，则//m nD ．若//,//m n αα，则//m n3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．64B ．72C ．80D ．1124．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，351,1a a ==+，则2326372a a a a a ++=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．8- 5．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象向右平移8π后关于y 轴对称，则满足此条件的ϕ值为（ ） A ．4π B ．38π C ．34π D ．58π6．函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．104a -≤< B ．14a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤- 7．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①图象关于(1,0)点对称；②(1+)(1)f x f x -=--；③当[1,1]x ∈-时，21,[1,0],()cos ,(0,1],2x x f x x x π⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩则函数1()()2xy f x =-在区间[3,3]-上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 8．已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是（ ） A． B． C．1[2 D．1(2二、填空题9．已知全集U R =，集合{|13}A x x =-≤≤，集合(){}2log 21B x x =-，则A B ⋃= ； ()U A B ⋂= ．10．若指数函数()f x 的图象过点(2,4)-，则(3)f = ；不等式5()()2f x f x +-<的解集为 ． 11．向量2(,22m =-），(sin ,cos ),(0,)n x x x π=∈，①若//m n ，则tan x = ； ②若m 与n 的夹角为3π，则x = ． 12．数列{}n a 的前n 项和为26n S n n =-，则2a = ；数列{}n a 的前10项和1210a a a +++= ．13．求值2cos40°+sin10°cos10°= ．14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，若1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数，是奇数，且329S =，则2015S = ．15．已知三角形ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，(0)AN y AC xy =≠，则4x y +的最小值为 ．三、解答题16．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4379,22a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求证：123111134n S S S S ++++<． 17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．已知2a c =，且2A C π-=．（1）求cos C 的值；（2）当1b =时，求ABC ∆的面积S ．18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，PA =E ，F 分别为BC ，PA 的中点．C（1）求证：//BF 面PDE ；（2）求二面角D PE A --的大小的正弦值； （3）求点C 到面PDE 的距离．19．若0x R ∈满足00()f x x =，则称0x 为()f x 的不动点． （1）若函数2()f x x ax a =++没有不动点，求实数a 的取值范围； （2）若函数()ln 3f x x =-+的不动点0[,1),x n n n ∈+∈Z ，求n 的值；（3）若函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++有不动点，求实数a 的取值范围．20．已知函数()()()23,21f x x a g x ax a R =+=+∈（1）若函数()f x 在()0,2上无零点，请你探究函数()y g x =在()0,2上的单调性；（2）设()()()F x f x g x =-，若对任意的()0,1x ∈，恒有()1F x <成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．A【解析】试题分析：∵()()tan22=+362k k k Z k Z πππααπα=⇔=+∈⇔∈，∴应是充分不必要条件，故选A ．考点：1．三角函数的定义；2．充分必要条件． 2．C 【解析】试题分析：A ：α，γ可能的位置关系为相交，平行，故A 错误；B ：m 可能在α上，可能与α斜交，故B 错误；C ：根据线面垂直的性质，可知C 正确；D ：m ，n 可能的位置关系为相交，平行，异面，故D 错误，故选C ． 考点：空间中直线平面的位置关系． 3．C 【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加． 【详解】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高13h =，正方体棱长为4224464V Sh ==⨯=正方体，2111431633V Sh ==⨯⨯=四棱锥，所以641680V =+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键，属于基础题． 4．A ． 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴22223263733553522()8a a a a a a a a a a a ++=++=+=，故选A ．考点：等比数列的性质．5．C 【解析】函数()sin 2y x ϕ=+图象向右平移8π个单位长度后得到sin 24x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭为偶函数，故34πϕ=. 选C 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.6．D ． 【解析】试题分析：∵21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，∴0121221421a a a a a <⎧⎪⎪-≤⇒≤-⎨⎪-≥+-⎪⎩，故选D ． 考点：分段函数的单调性．【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是21421a a -≥+-，将分段函数在R 上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升． 7．A ． 【解析】试题分析：∵(1)(1)f x f x -+=--，∴()f x 的图象关于直线1x =-对称，又∵()f x 图象关于点(1,0)对称，故如下图，画出()f x 在[3,3]-上的图象，以及||1()()2x g x =的图象，由图可知，零点个数为5个，故选A ．考点：1．函数与方程；2．数形结合的思想．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化． 8．B ． 【解析】试题分析：如图所示，设B 到平面α，C 到平面α的射影，D 到平面α的射影分别为E ，F ，P ， 设BE a=，CF b=，则2a bDP +=，由题意可知2222244()3()EF AP AD DP a b ==-=-+，22221AE AB BE a =-=-，22221AF AC CF b =-=-，∴222AE AF EF +=2221113()2a b a b b a ⇒-+-=-+⇒=，由011112012a a a <<⎧⎪⇒<<⎨<<⎪⎩， ∴11222sin 33a a a DPa DAP AD++∠===，由函数1()2f x x x =+在12(,22上单调递减， 22上单调递增，∴可知2163(()max{(),(1)}sin [22f f a f f DAP ≤<⇒∠∈，故选B ．考点：立体几何综合题．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解． 9．[]()1,34,-⋃+∞， []1,3-．【解析】试题分析： ()()2log 212244,x x x B ->⇒->⇒>⇒=+∞，∴[]()1,34,A B ⋃=-⋃+∞， ()[]1,3U A C B ⋂=-．考点：1．对数的性质；2．集合的运算． 10．18，(1,1)-． 【解析】 试题分析：设指数函数为()(0x f x a a =>且1)a ≠，∴231114(3)()228a a f -=⇒=⇒==， 5151()()()222112222x x x f x f x x +-<⇒+<⇒<<⇒-<<，即不等式的解集是(1,1)-． 考点：指数函数的性质． 11．1-，512π． 【解析】试题分析：①：∵//m n ，∴22cos (sin )0tan 122x x x --=⇒=-；②：显然||||1m n ==， ∴111cos32m n π⋅=⋅⋅=，即221cos 222x x -=，∴1sin()42x π-=，又∵(0,)x π∈，∴54612x x πππ-=⇒=． 考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形． 12．3-，58． 【解析】 试题分析：当1n =时，115a S ==-，当2n ≥时，2216(1)6(1)27n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，∴22273a =⨯-=-，∴1210113531131397949582a a a ++++=+++++⋅⋅⋅+=+⨯=+=． 考点：1．数列的通项公式；2．数列求和． 13．√3．【解析】试题分析：2cos40°+sin10°cos10°=2cos(30°+10°)+sin10°cos10°=2(cos30°cos10°−sin30°sin10°)+sin10°cos10°=√3cos10°−sin10°+sin10°cos10°=√3．考点：两角和与差的余弦公式．【名师点睛】本题求三角函数值问题，一般把求值式的角与特殊角如30°,45°,60°等联系，把其中的角用特殊角表示后用两角和与差的正弦（余弦、正切）公式展开进行化简计算． 14．4725． 【解析】试题分析：∵329S =为奇数，且当n a 是奇数时，131n n a a +=+是偶数，∴1a ，2a ，3a 中必有两个偶数，一个奇数，若1a 为奇数，2a ，3a 是偶数：111131312952a a a a ++++=⇒=，216a =，38a =，44a =，52a =，61a =，74a =，∴从第四项起，数列{}n a 是以3为周期的数列，而201236702=⨯+， ∴201551687670424725S =+++⨯++=． 考点：1．分类讨论的数学思想；2．数列求和．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解．15．94． 【解析】试题分析：由题意可知，M ，E ，N 三点共线，故设(01)ME MN λλ=<<，而11()24AE AD AB AC ==+，∴()ME MN AE AM AN AM λλ=⇒-=-， 即111()()()()0444AB AC xAB y AC xAB x x AB y AC λλλ+-=-⇒-++-=， ∴11011114(1)44()[(1)]114141044x x x x y y y λλλλλλλλλλ⎧⎧=-+=⎪⎪-⎪⎪⇒⇒+=+=++-⎨⎨--⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩155914444λλλλ-++≥=-，当且仅当11143λλλλλ-=⇒=-时，等号成立，故4x y +的最小值是94． 考点：1．平面向量的数量积；2．基本不等式．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．16．（1）21n a n =+；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）将条件中的式子转化为只与1a ，d 有关的方程，解出1a 与d ，即可得到通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式首先求出1nS ，再利用裂项相消法即可求得新数列{}n a 的前n 项和，即可得证不等式．试题解析：（1）∵等差数列{}n a ，49a =，3722a a +=，∴11*139321()28222n a d a a n n N a d d +==⎧⎧⇒⇒=+∈⎨⎨+==⎩⎩；（2）由（1）可知，1()(321)(2)22n n a a n n n S n n +⋅++⋅===+，∴11111()(2)22nS n n n n ==-++， ∴123111111*********(1)(1)2324+222124n S S S S n n n n ++++=-+-+⋅⋅⋅-=+--<++． 考点：1．等差数列的通项公式及其前n 项和；2．裂项相消法求数列的和．17．（1；（2）13． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为C 的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得a ，c 的值，再利用三角形面积计算公式即可求得S 的值．试题解析：（1）∵2a c=，∴sin 2sin A C =①，又∵2A C π-=，∴sin sin()cos 2A C C π=+=②，联立①②，即可求得sin C =，cos C =；（2）由（1）结合余弦定理可知，2222cos c a b ab C =+-2241221c c c c ⇒=+-⋅⋅⇒=或c =，由已知易得2A π>，∴1212a b c c >⇒>⇒>， ∴c =，111sin 1223S ab C ===． 考点：1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．18．（1）详见解析；（2（3． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的中点，利用三角形的中位线性质产生线线平行，再利用线面平行的判定，进一步将其转化到线面平行即可；（2）根据已知条件，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用已知数据即可求解；（3）利用P CDE C PDE V V --=，从而即可求得所求距离．试题解析：（1）如图所示，取PD 中点G ，连结GF ，GE ，∵E ，F 分别为BC ，PA 的中点，∴可证得//FG BE ，FG BE =，∴四边形BFGE 是平行四边形，∴//BF EG ，又∵EG ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴ //BF 面PDE ；（2）作DH AE ⊥于H 点，作HI PE ⊥于I 点，连结DI ，易证DH ⊥平面PAE ，∴DH PE ⊥，又∵PE HI ⊥，HI DH H =，∴PE ⊥平面DIH ，∴PE DI ⊥，∴DIH∠即为二面角D PE A --的平面角，在Rt DIH ∆中，23102sin 107721DH DIH DI ∠==⋅=； （3）∵P CDE C PDE V V --=，∴33112121337372CDE CDE PDE PDE S PA S PA S h h S ∆∆∆∆⨯⨯⨯=⨯⇒===⨯⨯．考点：1．线面平行的判定；2．二面角的求解；3．体积法求线面距离．【方法点睛】立体几何大题通常会考查两条异面直线所成的角，求二面角的平面角，点到面的距离等，要综合运用平行垂直关系等判定定理，性质定理，及支线与平面所成角的概念，二面角的概念，作出相应的角，再通过平面几何知识进行计算，求点到平面的距离，通常可考虑体积法，此外，空间向量也是解决立体几何大题的一种方法．19．（1）322322a -<<+（2）2n =；（3）(,33]-∞-．【解析】试题分析：（1）根据条件可知，()f x 没有不动点，等价于方程()f x x =无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得()f x x =的根所在的区间，即可求得n 的值；（3）()f x 有不动点，等价于()f x x =有解，从而可知4212x x x a a +⋅++=，从而问题进一步等价于关于t 的一元二次方程2(1)10t a t a +-++=至少有一正根，利用韦达定理，即可求解a 的取值范围．试题解析：（1）由已知可得，问题等价于()f x x =无实数根，即2(1)1x a x a +-++无实数根，∴2(1)40a a ∆=--<，33a -<<+；（2）令()f x x =，∴ln 3x x -+=，即ln 30x x +-=，令()ln 3g x x x =+-，()g x 在(0,)+∞上递增，(2)0g <，(3)0g >，0(2,3)x ∈，2n =；（3）令()f x x =，则4212x x x a a +⋅++=，又令2(0)x t t =>，从而可得2(1)10t a t a +-++=，故问题等价于关于t 的一元二次方程2(1)10t a t a +-++=至少有一正根，若方程有一根为0：此时1a =-，12t =，20t =，符合题意，若方程的根不为0，考虑都为负根，由韦达定理可知121210110t t a a t t a +=-+<⎧⇒>⎨=+>⎩，因此方程至少有一正根需1a ≤，又∵0∆≥⇒3a ≤-或3a ≥+a的取值范围是(,3-∞-．考点：1．材料阅读；2．零点存在定理；3．韦达定理．【思路点睛】解决含有参数的动函数的常见方法有：1．参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题，2．对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合；3．零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；3．数形结合思想．20．（1）若0a =：在()0,2上无单调性，若0a >：在()0,2上单调递增，若12a ≤-：在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）[]1,2． 【解析】试题分析：（1）根据条件()f x 在()0,2上无零点首先可求得a 的取值范围，再对求得的a 的取值范围分类讨论，从而可知相应的单调性；（2）问题等价于()F x 在()0,1上的最大值小于1即可，通过分类讨论结合二次函数的性质即可求得a 的取值范围．试题解析：（1）令()0f x =，从而可知23a x =-，∵()0,2x ∈，∴()2312,0x -∈-，故满足()f x 在()0,2上无零点的实数a 的取值范围是][(),120,-∞-⋃+∞，若0a =： ()1g x =，在()0,2上无单调性，若0a >： ()2121g x ax ax =+=+，在()0,2上单调递增，若12a ≤-：则110224a <-≤，∴()g x 在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）()()()()232101F x f x g x x ax a x =-=-+-≤≤，而()1F x ≤在()0,1上恒成立等价于()()111{101 12113F F a a F -≤≤-≤≤⇒≤≤⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，∴实数a 的取值范围是[]1,2． 考点：1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想．。