无穷级数练习题word版
(完整版)第六章无穷级数(典型例题)
第六章 无穷级数（3-4道小题，5分一个题）例1、 考察下述级数的敛、散性（不用全部讲）（1）∑∞=1n n ； （2)().111∑∞=+n n n ； （3） (81)614121++++；（4） (71)615141++++； （5)1ln 2124n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；（6）111111 (392)3nn +++++++ ; （7） (4)33221+++; （8）....cos ...3cos 2cos cos +++++n ππππ； （9）12nn n n ∞=-⎛⎫⎪⎝⎭∑ 例2、 已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时,求n u .例3、 若级数1n n u ∞=∑收敛，记1nn i i S u ==∑，则()B().lim0n n A S →∞=； ()lim n n B S →∞存在； ().lim n n C S →∞可能不存在； (){}.n D S 是单调数列。
例4、 若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是：(AE ）A 110nn u ∞=∑ B 1(10)n n u ∞=+∑ C 110n n u ∞=∑ D 1(10)n n u ∞=-∑ E 110n n u ∞=∑例5、 设1150100n n n n u v ∞∞====∑∑，，则()123n n n u v ∞=+∑（D)A 发散B 收敛，其和为100C 收敛,其和为50D 收敛，其和为400例6、 下列条件中,使级数()1n n n u v ∞=+∑一定发散的是()A()1.n n A u ∞=∑发散且1n n v ∞=∑收敛； ()1.n n B u ∞=∑发散；()1n n C v ∞=∑发散； ()1.n n D u ∞=∑和1n n v ∞=∑都发散.例7、 设级数1(1)n n u ∞=-∑收敛，则lim 1n x u →∞=.例8、 判别下列级数的敛、散性.(1）2111n nn ∞=++∑（讲直接用极限形式的） （2）n ∞=；(3）∑∞=11sin n n （注意可推广1sin 0)pn aa n ∞=>∑（ ）； （4）12sin3n nn π∞=∑;例9、 判别下列级数的敛散性：、(1）12!nn n ∞=∑； （2）12!n n n n n ∞=∑；（3) 132n n n n ∞=∑。
高数 无穷级数练习
姓名
学号
第十一章
无穷级数
习题 11－1 1、用级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性
(1)
∑
∞
1
n +1 + n n =1 解：设前 n 项部分和为 S n ，则
n →∞
lim S n = lim
n→∞
∑
i =1
n
1
i +1 + i
= lim
n →∞
∑(
i =1
n
i + 1 − i ) = lim ( n + 1 − 1) = ∞
n →∞
由级数敛散性定义知：级数
(2)
∑
n =1
∞
1
n +1 + n
发散。
∑ (n + 1)!
n =1
∞
n
解：设前 n 项部分和为 S n ，则
n →∞
lim S n = lim
n →∞
∑ (i + 1)! = lim ∑ (i + 1)! = lim ∑ ( i! − (i + 1)!) = lim (1 − (n + 1)!) = 1
∞
解：因为
lim
n →∞
由比值审敛法知：级数 ∑ (−1) n
n =1
n! 收敛，且绝对收敛。 1 ⋅ 3 ⋅ 5 L (2n − 1)
59
班级
姓名
∞ n +1
学号
(3)
∑ (−1)
n =1
n 1 + n2 1 n > 2 n 1+ n
解：因为
(−1) n +1
第十二章无穷级数练习题含答案
第十二章 无穷级数练习1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[3n n n n ∞-=-+∑； 21cos 3nn n n ∞=∑；1(1)n n ∞-=-∑。
3.求幂级数0nn ∞=的收敛区间。
4.证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。
注：数列nn nx )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。
5.在区间(1,1)-求幂级数 11n n x n +∞=∑ 的和函数。
6.求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。
7.设11112,()2n n na a a a +==+ （1,2,n =）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。
8.设40tan n n a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛。
9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。
10.已知222111358π+++=[参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x+-⎛⎜⎠。
无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n nn n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑解：1）2211sin n n < ，而∑∞=121n n 收敛，由比较审敛法知 ∑∞=121sin n n 收敛。
2）)(1~)11ln(∞→+n n n ，而∑∞=11n n发散，由比较审敛法的极限形式知 ∑∞=+1)11ln(n n 发散。
无穷级数练习题
n1
n1
n1
7 o 若
u n收敛 ,则
u
2 n
收
敛
.
（
n1
n1
）
）
）
）
）
）
.
）
.
8 o 若
u
2 n
收
敛
,则
u n收敛 .
（）
n1
n1
9 o
若 u n收敛
n1
,则
1 必发散
n1 u n
.
（）
10 o
若 u n发散， 则
n1
1 n1 u n
(1f)(x)的麦克劳林 (2)f级 (x)在 数 x； 1处的泰.勒
7 求 幂 级 nn x数 的 和 函数 (n1)， n (1)的 并. 和 求
n1(n1)!
n1
n !
8.
将函f(数 x)πx在 (π,π)上展2成 π为 以周期的傅 2
级数，分 f(x别 )以画 及 级出 数的s和 (x)的 函图 数 .并 形 求 s(5π). 4
第十一部分：无穷级数 练习题
一 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n
0.
（
2 o
若
lim
n
u
n
0，则级数
u n收敛 .
n1
（
3 o 若 | u n | 收敛，则
u n收敛 .
（
n1
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
无穷级数练习题
无穷级数习题一、填空题1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为nn n a x∞=∑11(1)n nn na x ∞+=-∑。
2、幂级数的收敛域为 。
0(21)nn n x∞=+∑3、幂级数的收敛半径 。
211(3)2n n nn n ∞-=-+∑R =4、幂级数的收敛域是 。
n ∞=5、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-∑6、级数的和为 。
(ln 3)2nnn ∞=∑7、。
111()2n n n ∞-==∑8、设函数 的傅里叶级数展开式为2()f x x x π=+()x ππ-<<，则其系数的值为。
1(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑3b 9、设函数 则其以为周期的傅里叶级数在点处的21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩0,0,x x ππ-<≤<≤2πx π=敛于。
10、级数的和 。
11(1)(2)n n n n ∞=++∑11、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑参考答案：1、 2、 3、 4、 5、(2,4)-(1,1)-R =[1,1)-(0,4)6、7、8、9、10、11、22ln 3-423π212π14(0,4)二、选择题1、设常数，而级数收敛，则级数是（ ）。
0λ>21n n a ∞=∑1(1)nn ∞=-∑（A ）发散 （B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）收敛与有关λ2、设，，，则下列命题中正确的是（）。
2n n n a a p +=2n nn a a q -= 1.2n = （A ）若条件收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（B ）若绝对收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（C ）若条件收敛，则与的敛散性都不一定。
1nn a ∞=∑1nn p ∞=∑1nn q∞=∑（D ）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。
无穷级数练习题
无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。
2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。
3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。
4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。
2) \cup (2.\infty)$。
5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。
6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。
7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。
8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。
9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。
& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。
高等数学题库第10章(无穷级数)Word版
第10章 无穷级数习题一一、判断题1. 级数∑∞=101n n 发散； （）2. 几何级数∑∞=02n n q ，当1<q 时，收敛于q-12；当1≥q 时，发散； （）3. 若级数∑∞=1n nu发散，则0lim ≠∞→n n u ；（）4. 若级数∑∞=+1)(n n nv u收敛，则级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均收敛；（）5. 设n s 为∑∞=1n nu的前n 项的部分和，则n n s ∞→lim 存在是∑∞=1n nu收敛的充分必要条件。
（）二、填空题1. 级数∑∞=+1)1(1n n n 的部分和_________,=n s 此级数的和________;=s 2. 当1<x 时，∑∞=13n nx 的和________;=s3. 已知a an n=∑∞=1，则级数∑∞=+-11)(n n n a a 的部分和_________,=n s 此级数的和________;=s4*. 已知∑∞=1!2n n n nn 收敛，则.__________!2lim n n n n n ∞→三、选择题1. 下列说法正确的是（）；A 、若,1∑∞=n n u ∑∞=1n nv都发散，则∑∞=+1)(n n nv u发散B 、若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=11n nu 收敛 C 、若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=11n nu 收敛 D 、若,1∑∞=n n u ∑∞=1n nv都发散，则∑∞=1)(n nn vu 发散2. 若∑∞=1n nu收敛，∑∞=1n nv发散，则对∑∞=±1)(n n nv u来说，结论（ ）必成立；A 、级数收敛B 、级数发散C 、其敛散性不定D 、等于±∑∞=1n nu∑∞=1n nv3. 下列级数发散的是（ ）；A 、∑∞=121n n B 、∑∞=12)1(n nC 、∑∞=-211n n D 、∑∞=+12)1(n nn 4*. 下列级数中，条件收敛的是（ ）； A 、∑∞=-15)1(n nnB 、∑∞=-121)1(n nn C 、∑∞=--11)21()1(n n n D 、∑∞=--111)1(n n n 5. 下列级数中，绝对收敛的是（ ）。
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无穷级数习题一、填空题 1、设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数0(21)nn n x∞=+∑的收敛域为 。
3、幂级数211(3)2n nnn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = 。
4、幂级数nn ∞=的收敛域是 。
5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。
6、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。
7、111()2n n n ∞-==∑ 。
8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 。
9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。
10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。
11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R = 4、[1,1)- 5、(0,4)6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1411、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>，而级数21n n a ∞=∑收敛，则级数1(1)nn ∞=-∑是（ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。
（A ）若1nn a∞=∑条件收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑都收敛。
（B ）若1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑都收敛。
（C ）若1nn a∞=∑条件收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑的敛散性都不一定。
（D ）若1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn p∞=∑与1nn q∞=∑的敛散性都不定。
3、设0,1,2n a n >=，若1nn a∞=∑发散，11(1)n n n a ∞-=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。
（A ）211n N a∞-=∑收敛，21nn a∞=∑发散. （B ）21nn a∞=∑收敛，211n n a∞-=∑发散.（C ）2121()n n n aa ∞-=+∑收敛. （D ）2121()n n n a a ∞-=-∑收敛.4、设α为常数，则级数21sin()(n n n α∞=∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数1(1)(1cos)n n nα∞=--∑（常数0α）是（ ）（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6、设(1)ln(1)nn u =-+，则级数 （A ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛. （B ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散.（C ）1nn u∞=∑收敛而20nn u∞=∑发散. （D ）1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛.7、已知级数12111(1)2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑，则级数1n n a ∞=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 8、设函数2()(01)f x x x =≤≤，而 1()sin nn S x bn x π∞==∑， x -∞<<∞其中12()sin n b f x n xdx π=⎰，1,2,3n =，则1()2S -等于（ ）。
（A ）12-. （B ）14-. （C ）14. （D ）12.9、设,()22,x f x x ⎧=⎨-⎩ 102112x x ≤≤<< 01()cos 2n n a S x a n x π∞==+∑，x -∞<<+∞ 其中12()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = 则5()2S -等于（ ）。
（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-.10、设级数1nn μ∞=∑收敛，则必收敛的级数为（A ）1(1)nnn u n ∞=-∑. （B ）n ∞=∑21nn u∞=∑. （C ）2121()n n n uu ∞-=-∑. （D ）11()n n n u u ∞+=+∑.11、已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑， 2151n n a ∞-==∑，则级数1n n a ∞=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 12、若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（ ）（A ）1n n a ∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛. （C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞=++∑收敛.13、若(1)nn n a x ∞=-∑在1x =处收敛，则此级数在2x =处（ ）。
（A ）条件收敛. （B ）绝对收敛. （C ）发散. （D ）敛散性不能确定.14、设幂级数0nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑的收敛半径分别为3与13，则幂级数221n nn na xb ∞=∑的收敛半径为（ ） （A ）5. （B）.3 （C ）1.3 （D ）1.5三、解答题1、设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0x f x x→=，证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛。
【分析一】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小，若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小，1p >，从而1()f n 也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小，这就证明了11()n f n∞=∑绝对收敛。
【证明一】由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性⇒(0)0,(0)0f f '==。
再由()f x 在0x =邻域有二阶连续导数及洛必达法则2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''⇒=== ⇒ 2()1lim(0).2x f x f x →''= 由函数极限与数列极限的关系⇒ 21()1lim(0)2x f nf n→+∞''= 因211n n∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛，即11()n f n ∞=∑绝对收敛。
2、设正项数列n a 单调减小，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛？ 【分析与求解】因{}n a 单调下降有下界0⇒∃极限lim 0n x a a →+∞=≥。
若0a =，由莱布尼兹法则，并错级数1(1)nnn a∞=-∑收敛，与假设矛盾，于是0a >。
现在对正项级数11()1nn n a ∞=+∑可用根值判别法：因为11lim lim 111n n n a a →+∞==<++，所以原级数收敛。
3、求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求1limlim.3n n == 于是收敛半径3R =，收敛区间为(3,3).-当3x =时是正项级数：131.3(2)n nnn n ∞=⋅+-∑ 311()3(2)n n n n nn ⋅→+∞+-，而11n n∞=∑发散， ⇒ 1313(2)n nnn n∞=+-∑发散，即3x =时原幂级数发散。
当3x =-时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
31(1)(3(2)(2)13(2)3(2)n n n n n n n n n n n -+---=⋅+-+-(1)213(2)n n n n n n-=-⋅+-因 1213123(2)lim lim 0,()23(2)33n n n n n n n n n n n nnn ∞→+∞→+∞=+-=⋅=+-∑收敛， 1213(2)n n n n n ∞=⇒⋅+-∑收敛，又1(1)n n n ∞=-∑收敛1313(2)n n nn n∞=⇒+-∑收敛，即3x =-时原幂级数收敛。
4、（1）验证函数3693()1()3!6!9(3)!n x x x x y x x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=；（2）利用（1）的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数。
【分析与求解】（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(,).-∞+∞这是缺项幂级数，令3t x =，则原级数300(3)!(3)!n nn n x t n n ∞∞====∑∑由 11(3(1))!limlim 01(33)(32)(31)(3)!n n n n n n n →+∞→+∞+==+++ (,)t ⇒∈-∞+∞，从而(,)x ∈-∞+∞时原级数收敛。
其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：311()(31)!n n x y x n -∞='=-∑， 321()(32)!n n x y x n -∞=''=-∑， (,).x ∈-∞+∞于是 ()()()y x y x y x '''++32313110(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====++--∑∑∑级数的线性性质 3231311()(32)!(31)!(3)!n n nn x x x n n n --∞=+++--∑2345601()()2!3!4!5!6!!nn x x x x x x x n ∞==+++++++=∑ xe = ().x -∞<<∞（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）（2）因为幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数()y x 满足微分方程.xy y y e '''++= ① 又知 (0)1,(0)0.y y '== ②所以为求()y x 只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②该方程相应的齐次方程的特征方程为 210.λλ++=特征根为1,2122λ=-± ⇒ 相应齐次方程的通解为 1212().x y ec x c x -=+ 设非齐次方程的一个特解为xy Ae *=，代入方程①得3.x x y y y Ae e '''*+*+*==⇒1.3A =⇒ 非齐次方程①的通解为 2121(cossin ).223x x y e cx c x e -=++ 令0x =，由初始条件② ⇒1121(0)1,311(0)0.23y c y c ⎧=+=⎪⎪⎨⎪'=-+=⎪⎩⇒ 122,0.3c c == 因此 32021()(3)!33xn x n x y x e x e n ∞-===+∑ ()x -∞<<+∞5、求幂级数1211(1)(1)(21)n n n x n n ∞-=-+-∑的收敛区间与和函数().f x【分析与求解】 这是缺项幂级数，令2,t x =考察1nn n a t∞=∑，其中11(1)(1).(21)n n a n n -=-+-由 1nnn a ≤⇒lim1.n =1n n n a t ∞=⇒∑的收敛半径为1⇒原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-。