无穷级数练习题word版
无穷级数习题
一、填空题 1、设幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为3，则幂级数
1
1
(1)
n n
n na x ∞
+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数
0(21)n
n n x
∞
=+∑的收敛域为 。
3、幂级数
21
1(3)
2
n n
n
n n
x ∞
-=-+∑的收敛半径R = 。 4
、幂级数
n
n ∞
=的收敛域是 。 5、级数21
(2)4n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域为 。 6、级数0
(ln 3)2n
n
n ∞
=∑的和为 。 7、
1
1
1()2n n n ∞
-==∑ 。 8、设函数2
()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为
01
(cos sin )2
n n n a a nx b nx ∞
=++∑，则其系数3b 的值为 。
9、设函数2
1,
()1,f x x -?=?+? 0,0,
x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数
1
1
(1)(2)n n n n ∞
=++∑的和 。 11、级数21
(2)4n
n
n x n ∞
=-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3
、R = 4、[1,1)- 5、(0,4)
6、
22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1
4
11、(0,4)
二、选择题
1、设常数0λ>，而级数
21
n n a ∞=∑
收敛，则级数1
(1)n
n ∞
=-∑是（ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=
，2
n n
n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。
（A ）若
1n
n a
∞
=∑条件收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑都收敛。
（B ）若
1n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑都收敛。
（C ）若
1n
n a
∞
=∑条件收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑的敛散性都不一定。
（D ）若
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
1
n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑的敛散性都不定。
3、设0,1,2
n a n >=，若
1n
n a
∞
=∑发散，
1
1
(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。
（A ）
21
1n N a
∞
-=∑收敛，
21
n
n a
∞
=∑发散. （B ）
21n
n a
∞
=∑收敛，
21
1
n n a
∞
-=∑发散.
（C ）
21
21
()n n n a
a ∞
-=+∑收敛. （D ）2121
()n n n a a ∞
-=-∑收敛.
4、设α
为常数，则级数
21
sin()(
n n n α∞
=∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数
1
(1)(1cos
)n n n
α
∞
=--∑（常数0α）是（ ）
（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6
、设(1)ln(1)n
n u =-+
，则级数 （A ）
1
n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都收敛. （B ）
1
n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都发散.
（C ）
1
n
n u
∞
=∑收敛而
20n
n u
∞
=∑发散. （D ）
1
n
n u
∞
=∑发散而
21
n
n u
∞
=∑收敛.
7、已知级数
1
211
1
(1)
2,5n n n n n a a ∞
∞--==-==∑∑，则级数1
n n a ∞
=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 8、设函数2
()(01)f x x x =≤≤，而 1
()sin n
n S x b
n x π∞
==
∑， x -∞<<∞
其中1
2
()sin n b f x n xdx π=?，1,2,3
n =，则1
()2
S -
等于（ ）。 （A ）12-. （B ）14-. （C ）14. （D ）1
2
.
9、设,
()22,x f x x ?=?-? 102
11
2
x x ≤≤
<< 01()cos 2n n a S x a n x π∞==
+∑，x -∞<<+∞ 其中1
2
()cos n a f x n xdx π=? (0,1,2,
)n = 则5
()2
S -等于（ ）。 （A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34
-.
10、设级数
1n
n μ
∞
=∑收敛，则必收敛的级数为
（A ）1(1)n
n
n u n ∞
=-∑. （B ）n ∞
=
∑
2
1
n
n u
∞
=∑. （C ）
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑. （D ）11
()n n n u u ∞
+=+∑.
11、已知级数
1
1
(1)
2n n n a ∞
-=-=∑， 2151
n n a ∞-==∑，则级数1
n n a ∞
=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 12、若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，则级数（ ）
（A ）
1
n n a ∞
=∑
收敛. （B ）1
(1)n
n n a ∞=-∑收敛. （C ）11
n n n a a ∞
+=∑收敛.（D ）1
1
2n n n a a ∞
=++∑
收敛.
13、若
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =处收敛，则此级数在2x =处（ ）。
（A ）条件收敛. （B ）绝对收敛. （C ）发散. （D ）敛散性不能确定.
14、设幂级数0n
n n a x ∞
=∑与1n
n n b x ∞
=∑
的收敛半径分别为3与13，则幂级数221n n
n n
a x
b ∞
=∑的收敛半
径为（ ） （A ）5. （B
）.3 （C ）1.3 （D ）1
.5
三、解答题
1、设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且0
()
lim
0x f x x
→=，证明级数1
1
(
)n f n
∞
=∑
绝对收敛。 【分析一】0
()
lim
0x f x x
→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小，若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小，1p >，从而1()f n 也是1
n
的p 阶或高于p 阶的
无穷小，这就证明了
1
1
()n f n
∞
=∑
绝对收敛。 【证明一】由0
()
lim
0x f x x
→=及()f x 的连续性?(0)0,(0)0f f '==。再由()f x 在0x =邻域有二阶连续导数及洛必达法则
2000()()()1lim lim lim (0)222
x x x f x f x f x f x x →→→'''''?=== ? 2
()1
lim
(0).2
x f x f x →''= 由函数极限与数列极限的关系? 21
(
)
1lim
(0)2x f n
f n
→+∞
''= 因211n n
∞
=∑收敛11()n f n ∞=?∑收敛，即11
()n f n ∞
=∑绝对收敛。
2、设正项数列n a 单调减小，且
1
(1)n
n n a ∞=-∑发散，试问级数1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑是否收敛？ 【分析与求解】因{}n a 单调下降有下界0??极限lim 0n x a a →+∞
=≥。若0a =，由莱布
尼兹法则，并错级数
1(1)n
n
n a
∞
=-∑收敛，与假设矛盾，于是0a >。
现在对正项级数
1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑可用根值判别法：因为
11
lim lim 111
n n n a a →+∞==<++，
所以原级数收敛。
3、求幂级数1
13(2)n
n n
n x n ∞
=+-∑收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。 【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求
1lim
lim
.3
n n == 于是收敛半径3R =，收敛区间为(3,3).-
当3x =时是正项级数：131
.3(2)
n n
n
n n ∞
=?+-∑ 31
1()3(2)n n n n n
n ?
→+∞+-，而11
n n
∞
=∑发散， ? 131
3(2)n n
n
n n
∞
=+-∑发散，即3x =时原幂级数发散。 当3x =-时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
31(1)(3(2)(2)1
3(2)3(2)n n n n n n n n n n n -+---=?+-+-
(1)21
3(2)n n n n n n
-=-?+-
因 121
3123(2)lim lim 0,()23(2)3
3n n n n n n n n n n n n
n
n ∞
→+∞→+∞=+-=?=+-∑收敛， 1213(2)n n n n n ∞
=??+-∑收敛，又1(1)n n n ∞=-∑收敛131
3(2)n n n
n n
∞
=?+-∑收敛，即3x =-时原幂级数收敛。
4、（1）验证函数369
3()1()3!6!9
(3)!
n x x x x y x x n =+
+++++-∞<<+∞满足微分方程
x y y y e '''++=；
（2）利用（1）的结果求幂级数30
(3)!n
n x n ∞
=∑的和函数。
【分析与求解】
（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(,).-∞+∞这是缺项幂级数，令3
t x =，则
原级数300
(3)!(3)!n n
n n x t n n ∞
∞
====∑∑
由 1
1(3(1))!
lim
lim 01
(33)(32)(31)(3)!
n n n n n n n →+∞→+∞+==+++ (,)t ?∈-∞+∞，从而(,)x ∈-∞+∞时原级数收敛。
其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：
311()(31)!n n x y x n -∞
='=-∑， 32
1()(32)!
n n x y x n -∞
=''=-∑， (,).x ∈-∞+∞
于是 ()()()y x y x y x '''++
32313110
(32)!(31)!(3)!n n n
n n n x x x n n n --∞
∞∞====++--∑∑∑
级数的线性性质 323131
1(
)(32)!(31)!(3)!n n n
n x x x n n n --∞
=+++--∑
23456
01()()2!3!4!5!6!
!
n
n x x x x x x x n ∞
==++
+++++=∑ x
e = ().x -∞<<∞（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）
（2）因为幂级数30(3)!
n n x n ∞
=∑的和函数()y x 满足微分方程
.x
y y y e '''++= ① 又知 (0)1,(0)0.y y '== ②
所以为求()
y x 只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②
该方程相应的齐次方程的特征方程为 2
10.λλ++=
特征根为1,2122
λ=-
± ? 相应齐次方程的通解为 12
12().x y e
c x c x -=+ 设非齐次方程的一个特解为x
y Ae *=，代入方程①得
3.x x y y y Ae e '''*+*
+*==
?
1
.3
A =
? 非齐次方程①的通解为 2
121(cos
sin ).223
x x y e c
x c x e -
=++ 令0x =，由初始条件② ?
112
1(0)1,311(0)0.
23y c y c ?
=+=??
??'=-+=??
? 1
22,0.3c c == 因此 32021
()(3)!
33x
n x n x y x e x e n ∞
-===+∑ ()x -∞<<+∞
5、求幂级数
121
1
(1)(1)(21)
n n n x n n ∞
-=-+
-∑的收敛区间与和函数().
f x
【分析与求解】 这是缺项幂级数，令2
,t x =考察
1
n
n n a t
∞
=∑，其中
1
1
(1)(1).(21)
n n a n n -=-+
-
由 1
n
n
n a ≤?
lim
1.n =
1
n n n a t ∞
=?∑的收敛半径为1?原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-。
下面求和函数：
21
22
1
2(1)
2
2121
1
()(1)
(1)
(1),1n n
n n n
n
n n n x f x x
x
x
x
x
x
∞
∞
∞
---====-=-=-=+∑∑∑ 1
221
1
()(1)(21)
n n n f x x n n ∞
-==--∑，
? 21
1
21
()2(1)
,21
n n n x f x n -∞
-='=--∑ 12(1)22
1
2
()2(1)1n n n f x x x ∞
--=''
=-=
+∑ (1)x < 注意22(0)0,(0)0f f '==，积分两次得
222
00
1
()()22arctan 1x x
f x f t dt dt x t
'''===+??
, 222
()()2arctan 2arctan 21x
x
x t
f x f t dt tdt x x dt t
'=
==-+?
??
2
2arctan 1(1)x x n x =-+ (1).x <
因此，2
2122
()()()2arctan 1(1).1x f x f x f x x x n x x
=+=+-++ 6、求级数
2
1(1)(1)2n
n
n n n ∞
=--+∑的和。 【分析与求解】先将级数分解：
2000
111(1)(1)(1)(1)().222n
n n n n n n n A n n n n ∞
∞∞
====--+=--+-∑∑∑ 第二个级数是几何级数，它的和已知